Introducción

Continuando la conexión con la geometría Euclidiana con la que empezamos, hay un concepto en la geometría analítica que se conecta con la noción de ángulo, la de distancia y la de norma en la primera geometría mencionada, el producto interior. Dentro del contenido de esta entrada esta su definición en una dimensión de $2$ o mayor, ejemplos y sus propiedades. También, se discute el concepto del vector ortogonal canónico, que en conjunción con el producto interior, sirve como herramienta para detectar ciertas características de rectas y vectores.

Producto interior

Abramos esta entrada con la definición de este nuevo concepto.

Definición. Si tenemos dos vectores $u=(u_1,u_2)$ y $v=(v_1,v_2)$ en ${\mathbb{R}}^2$, el producto interior (o producto punto) en ${\mathbb{R}}^2$ de $u$ con $v$, está dado por

$u\cdot v:=(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1{v}_1+u_2{v}_2$

Esta definición se puede expresar en dimensiones mayores.

Definición. Si tenemos dos vectores $u=(u_1,u_2,\dots ,u_n)$ y $v=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ en ${\mathbb{R}}^n$, el producto interior (o producto punto) en ${\mathbb{R}}^n$ de $u_1$ con $u_2$, está definido como

$$\begin{array}{rl}u\cdot v:& =(u_1,u_2,\dots ,u_n)\cdot (v_1,v_2,\dots ,v_n)\\ & =u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3+\cdots +u_n{v}_n\\ & =\sum _{j=1}^n{u}_j{v}_j\end{array}$$

Es importante notar que el resultado del producto interior (que es una operación vectorial), es un escalar.

Ejemplos:

1. Sean los vectores $(5,3)$ y $(2,-4)$ en ${\mathbb{R}}^2$, el producto interior de estos es

$$\begin{array}{rl}(5,3)\cdot (2,-4)& =5(2)+3(-4)\\ & =10-12\\ & =-2\end{array}$$

2. Sean los vectores $(-3,1,-1)$ y $(-6,2,-3)$ en ${\mathbb{R}}^3$, el producto interior de estos es

$$\begin{array}{rl}(-3,1,-1)\cdot (-6,2,-3)& =-3(-6)+1(2)+(-1)(-3)\\ & =18+2+3\\ & =23\end{array}$$

3. Sean los vectores $(1,0,-5,2,0,1)$ y $(0,-6,0,0,2,0)$ en ${\mathbb{R}}^6$, el resultado de su producto interior es cero, verifica.

Ahora que hemos definido una nueva operación, nos gustaría demostrar algunas propiedades asociadas a esta.

Teorema. Para todos los vectores $u,v,w\in {\mathbb{R}}^n$ y para todo número $t\in \mathbb{R}$ se cumple que

1. $u\cdot v=v\cdot u$
2. $u\cdot (tv)=t(u\cdot v)$
3. $u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$
4. $u\cdot u\ge 0$
5. $u\cdot u=0\iff u=(0,0)$

La primera propiedad nos dice que el producto interior es conmutativo; la siguiente que la operación saca escalares; la tercera expresa que esta abre sumas; la cuarta que al hacer el producto interior de un vector consigo mismo, el resultado es siempre mayor o igual a cero la última que la igualdad a cero sólo sucede cuando el vector $u$ es el vector cero.

Demostración

Haremos la demostración para vectores en ${\mathbb{R}}^2$, (el caso para dimensión $n$ es análogo) y usaremos los axiomas de los números reales.

Para empezar definamos los vectores $u=(u_1,u_2)$, $v=(v_1,v_2)$ y $w=(w_1,w_2)$ en ${\mathbb{R}}^2$

1. P. D. $u\cdot v=v\cdot u$. Comencemos con la definición y desarrollemos a partir de ella

$$\begin{array}{rl}u\cdot v& =(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)\\ & =u_1{v}_1+u_2{v}_2\\ & =v_1{u}_1+v_2{u}_2\\ & =(v_1,v_2)\cdot (u_1,u_2)\\ & =v\cdot u\end{array}$$

$\therefore$ $u\cdot v=v\cdot u$

2. P.D. $u\cdot (tv)=t(u\cdot v)$

$$\begin{array}{rl}u\cdot (tv)& =(u_1,u_2)\cdot t(v_1,v_2)\\ & =(u_1,u_2)\cdot (t{v}_1,t{v}_2)\\ & =u_1(t{v}_1)+u_2(t{v}_2)\\ & =t(u_1{v}_1+u_2{v}_2)\\ & =t(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)\\ & =t(u\cdot v)\end{array}$$

$\therefore u\cdot (tv)=t(u\cdot v)$

3. P.D. $u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$

$$\begin{array}{rl}u\cdot (v+w)& =(u_1,u_2)\cdot ((v_1,v_2)+(w_1,w_2))\\ & =(u_1,u_2)\cdot (v_1+w_1,v_2+w_2)\\ & =u_1(v_1+w_1)+u_2(v_2+w_2)\\ & =u_1{v}_1+u_1{w}_1+u_2{v}_2+u_2{w}_2\\ & =u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_1{w}_1+u_2{w}_2\\ & =(u_1{v}_1+u_2{v}_2)+(u_1{w}_1+u_2{w}_2)\\ & =((u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2))+((u_1,u_2)\cdot (w_1,w_2))\\ & =u\cdot v+u\cdot w\end{array}$$

$\therefore$ $u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$

4 y 5. P.D. $u\cdot u\ge 0$ y $u\cdot u=0\iff u=(0,0)$

$$\begin{array}{rl}u\cdot u& =(u_1,u_2)\cdot (u_1,u_2)\\ & =u_1{u}_1+u_2{u}_2\\ & =u_1^2+u_2^2\ge 0\end{array}$$

La última relación se da ya que es una suma de números al cuadrado y cada término por sí sólo es mayor o igual a cero.

Resulta que si $u_1\ne 0$ ó $u_2\ne 0$, entonces $u_1^2+u_2^2>0$, por lo que el único caso en el que se da la igualdad a cero es cuando $u=(0,0)$.

$\therefore$ $u\cdot u\ge 0$ y $u\cdot u=0\iff u=(0,0)$

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Lo usado en esta demostración se restringe a los axiomas de los reales y la definición del producto interior, por lo que aunque no haya mucha descripción, espero que te sea clara.

El ortogonal canónico

Definición. Sea $v=(x,y)$ un vector en ${\mathbb{R}}^2$, el vector ortogonal canónico a v es el vector

$v^{\perp }=(-y,x)$

Si te das cuenta, esta definición hace referencia a lo que sucede al aplicar el ortogonal a un vector. Además, esta definición define al ortogonal canónico, pero no significa que sea el único vector perpendicular (ortogonal) a $v$.

Antes de definir o probar más cosas relacionadas al ortogonal, hagamos algunas observaciones.

Observación: Si aplicamos 4 veces el ortogonal a un vector $v$, regresamos al mismo vector:

$v^{\perp }=(x,y{)}^{\perp }=(-y,x)$

$(-y,x{)}^{\perp }=(-x,-y)$

$(-x,-y{)}^{\perp }=(y,-x)$

$(y,-x{)}^{\perp }=(x,y)$

Observación: Para cualquier $v=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, tenemos que

$v\cdot v^{\perp }=(a,b)\cdot (-b,a)=a(-b)+b(a)=-ab+ab=0$

Para continuar, usemos el producto interior para definir y probar ciertas cosas con relación al compadre ortogonal.

Definición. Diremos que dos vectores $u,v\in {\mathbb{R}}^2$ son perpendiculares (ortogonales) si $u\cdot v=0$.

Proposición. Sea $u\in {\mathbb{R}}^2$ \ ${ 0\}$. Entonces

$\{x\in {\mathbb{R}}^2:x\cdot u=0\}=L_{u_{\perp }}:=\{r{u}^{\perp }:r\in \mathbb{R}\}$

Demostración

Como queremos comprobar una igualdad de conjuntos, hay que probar la doble contención. Comencemos con la contención $\supseteq$.

$\supseteq$ En esta contención, queremos demostrar que cualquier vector de la forma $r{u}^{\perp }$ es tal que

$(r{u}^{\perp })\cdot u=0$

Tomemos un vector de la forma $r{u}^{\perp }$ con $r\in \mathbb{R}$ y notemos que gracias a la segunda propiedad del producto interior se cumple que

$(r{u}^{\perp })\cdot u=r(u^{\perp }\cdot u)=r(0)=0$

Esto es suficiente para la demostración de la primera contención, pues hemos probado que el producto interior de cualquier vector de la forma $r{u}^{\perp }$ con $u$ es cero.

$\subseteq$ Para esta contención, queremos demostrar que los vectores $x$ que cumplen $x\cdot u=0$, son de la forma $x=r{u}^{\perp }$. Para esto, tomemos un vector $x=(r,s)$ que cumpla la primera condición y expresemos al vector $u$ con sus coordenadas $u=(u_1,u_2)$. Al realizar el producto interior obtenemos

$x\cdot u=(r,s)\cdot (u_1,u_2)=r{u}_1+s{u}_2=0$

$\Rightarrow r{u}_1=-s{u}_2\cdots (a)$

Dado que $u\ne (0,0)$, al menos una de sus entradas es distinta de cero. Supongamos que $u_1\ne 0$, entonces podemos despejar $r$

$r=\frac{-s{u}_2}{u_1}$

Podemos sustituir este valor en $x$ y desarrollar para obtener

$$\begin{array}{rl}x=(r,s)& =(\frac{-s{u}_2}{u_1},s)=s(\frac{-u_2}{u_1},1)\\ & =s(\frac{-u_2}{u_1},\frac{u_1}{u_1})\\ & =\frac{s}{u_1}(-u_2,u_1)\end{array}$$

Y ya está el primer caso, pues sabemos que $u^{\perp }=(-u_2,u_1)$.

Así, $x\in {\mathbb{R}}^2$ tal que $x\cdot u=0$, es de la forma $r{u}^{\perp }$, con r un escalar.

En el caso en el que $u_2\ne 0$, tenemos algo análogo. A partir de $(a)$ podemos despejar $s$

$r{u}_1=-s{u}_2$

$s=\frac{-r{u}_1}{u_2}$

Al sustituir en $x$ y desarrollar obtendremos que

$x=\frac{r}{-u_2}(-u_2,u_1)$

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Aplicaciones del producto punto

Para cerrar esta entrada, usemos el producto interior para describir algunas características de las rectas y vectores.

Definición. Diremos que dos líneas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares si al escribirlas en forma paramétrica

$l_1=\{p_1+r{q}_1:r\in \mathbb{R}\}$

$l_2=\{p_2+r{q}_2:r\in \mathbb{R}\}$

se tiene que $q_1\cdot q_2=0$, esto es si sus vectores dirección son ortogonales.

Proposición. Dos vectores $u$ y $v$ son paralelos si y sólo si $u$ y $v^{\perp }$ son ortogonales, es decir si $u\cdot v^{\perp }=0$.

Demostración

Ida ($\Rightarrow$). Si $u$ y $v$ son paralelos, por definición $u=cv$ con $c\in \mathbb{R}$. Como queremos que $u$ y $v^{\perp }$ sean ortogonales, realicemos su producto interior y utilicemos las propiedades de este para desarrollar

$$\begin{array}{rl}u\cdot v^{\perp }& =(cv)\cdot v^{\perp }\\ & =c(v\cdot v^{\perp })\\ & =c(0)=0\end{array}$$

Por lo que $u$ y $v^{\perp }$ son ortogonales.

Regreso ($\Leftarrow$). Si ahora suponemos que $u$ y $v^{\perp }$ son ortogonales, pasa que

$u\cdot v^{\perp }=0$

Pero por lo visto en la proposición de la sección anterior, esto sólo pasa cuando $u=c(v^{\perp }{)}^{\perp }$ para algún $c\in \mathbb{R}$. Si $v=(v_1,v_2)$ esto se desarrolla como

$$\begin{array}{rl}u& =c(v^{\perp }{)}^{\perp }=c(-v_2,v_1{)}^{\perp }\\ & =c(-v_1,-v_2)\\ & =-cv\end{array}$$

$\therefore$ por definición de paralelismo, $u$ y $v$ son paralelos.

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Otra cosa útil del producto punto, es que cualquier recta se puede escribir en términos de este. Precisemos esto en la siguiente proposición.

Proposición. Sea la recta $l$ en su forma paramétrica

$l=\{p+rq:r\in \mathbb{R}\}$

La recta $l$ se puede escribir usando el producto punto de la siguiente manera

$l=\{x\in {\mathbb{R}}^2:q^{\perp }\cdot x=q^{\perp }\cdot p\}$

Antes de adentrarnos en la demostración, hablemos un poco de qué significa esta proposición con ayuda del siguiente interactivo aclarando que $qT$ es el vector $q{}^{\perp }$.

Al definir $qT$ como el vector perpendicular a la recta, tenemos que $q$ es el vector director de esta; $p$ es el punto por el que pasa la recta y $x$ representa a los puntos en ella. Como $p$ y $qt$ son fijos, entonces $qT\cdot p$ es un número constante. Si tú mueves $x$ a lo largo de la recta, veras que el producto punto $qT\cdot x$ al cual denominamos como $a$ en GeoGebra, no varia.

Es así como expresamos la recta por medio del producto punto; el conjunto de todas los $x\in {\mathbb{R}}^2$ tal que el producto punto con $q^{\perp }$ ($qT$ en el interactivo) es igual a $q^{\perp }\cdot p$.

Con esto claro, procedamos a la demostración.

Demostración

Como queremos demostrar que $l$ en su forma paramétrica es el mismo conjunto que el descrito por el producto punto, tenemos que explorar las dos contenciones de los conjuntos.

$\supseteq$ Tomemos $x\in {\mathbb{R}}^2$ tal que $q^{\perp }\cdot x=q^{\perp }\cdot p$. De esta igualdad se tiene que

$$\begin{array}{rl}0& =q^{\perp }\cdot x–q^{\perp }\cdot p\\ & =q^{\perp }\cdot (x-p)\\ & \Rightarrow q^{\perp }\cdot (x-p)=0\end{array}$$

Dada la última igualdad, sabemos (por la primera proposición de esta entrada) que $x-p$ debe ser un múltiplo de $(q^{\perp }{)}^{\perp }=-q$ y por lo tanto un múltiplo de $q$; por lo que para algún $s\in \mathbb{R}$ se tiene que

$$\begin{array}{rl}x-p& =sq\\ \Rightarrow x& =p+sq\end{array}$$

$\subseteq$ Ahora partamos de un punto $x=p+rq\in$ $l$ y desarrollemos su producto punto con $q^{\perp }$ para finalizar esta demostración

$$\begin{array}{rl}{q}^{\perp }\cdot x& =q^{\perp }\cdot (p+rq)\\ & =(q^{\perp }\cdot p)+(q^{\perp }\cdot (rq))\\ & =q^{\perp }\cdot p\end{array}$$

Donde la última igualdad se da gracias a que $q^{\perp }\cdot (rq)=r(q^{\perp }\cdot q)=0$.

$\therefore$ Partiendo la expresión paramétrica de la recta está contenida en la expresión con producto punto y viceversa y por lo tanto son el mismo conjunto (la misma recta).

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Más adelante…

El producto interior fungirá como herramienta para establecer las nociones de distancia y ángulo en las siguientes entradas y particularmente para definir la forma normal de la recta en la siguiente entrada.

Tarea moral

• Completa los pocos pasos que omitimos en cada demostración o ejemplo.
• Demuestra el teorema de las propiedades del producto interior para $n=3$.
• Calcula el producto interior de los siguientes vectores:
  • $(4,-1)$ y $(7,2)$
  • $(-2,3,0)$ y $(4,-6,0)$
  • $(-2,3,0)$ y $(-2)(-2,3,0)$
  • $(5,0,-3,0,0)$ y $(0,4,0,-2,1)$
• Usando la definición del producto interior, demuestra que dado $u\in {\mathbb{R}}^2$ se tiene que

$u\cdot x=0$, $\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^2$

si y sólo si $u=(0,0)$.

• Demuestra que para todos los vectores $u\text{, }v\in {\mathbb{R}}^2$ y $\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}$, se cumple que
  1. $(u+v{)}^{\perp }=u^{\perp }+v^{\perp }$
  2. $(t{u}^{\perp })=t(u^{\perp })$
  3. $u^{\perp }\cdot v^{\perp }=u\cdot v$
  4. $u^{\perp }\cdot v=-(u\cdot v^{\perp })$