Introducción
Continuando la conexión con la geometría Euclidiana con la que empezamos, hay un concepto en la geometría analítica que se conecta con la noción de ángulo, la de distancia y la de norma en la primera geometría mencionada, el producto interior. Dentro del contenido de esta entrada esta su definición en una dimensión de
Producto interior
Abramos esta entrada con la definición de este nuevo concepto.
Definición. Si tenemos dos vectores
Esta definición se puede expresar en dimensiones mayores.
Definición. Si tenemos dos vectores
Es importante notar que el resultado del producto interior (que es una operación vectorial), es un escalar.
Ejemplos:
1. Sean los vectores
2. Sean los vectores
3. Sean los vectores
Ahora que hemos definido una nueva operación, nos gustaría demostrar algunas propiedades asociadas a esta.
Teorema. Para todos los vectores
La primera propiedad nos dice que el producto interior es conmutativo; la siguiente que la operación saca escalares; la tercera expresa que esta abre sumas; la cuarta que al hacer el producto interior de un vector consigo mismo, el resultado es siempre mayor o igual a cero la última que la igualdad a cero sólo sucede cuando el vector
Demostración
Haremos la demostración para vectores en
Para empezar definamos los vectores
1. P. D.
2. P.D.
3. P.D.
4 y 5. P.D.
La última relación se da ya que es una suma de números al cuadrado y cada término por sí sólo es mayor o igual a cero.
Resulta que si
Lo usado en esta demostración se restringe a los axiomas de los reales y la definición del producto interior, por lo que aunque no haya mucha descripción, espero que te sea clara.
El ortogonal canónico
Definición. Sea
Si te das cuenta, esta definición hace referencia a lo que sucede al aplicar el ortogonal a un vector. Además, esta definición define al ortogonal canónico, pero no significa que sea el único vector perpendicular (ortogonal) a
Antes de definir o probar más cosas relacionadas al ortogonal, hagamos algunas observaciones.
Observación: Si aplicamos 4 veces el ortogonal a un vector
Observación: Para cualquier
Para continuar, usemos el producto interior para definir y probar ciertas cosas con relación al compadre ortogonal.
Definición. Diremos que dos vectores
Proposición. Sea
Demostración
Como queremos comprobar una igualdad de conjuntos, hay que probar la doble contención. Comencemos con la contención
Tomemos un vector de la forma
Esto es suficiente para la demostración de la primera contención, pues hemos probado que el producto interior de cualquier vector de la forma
Dado que
Podemos sustituir este valor en
Y ya está el primer caso, pues sabemos que
Así,
En el caso en el que
Al sustituir en
Aplicaciones del producto punto
Para cerrar esta entrada, usemos el producto interior para describir algunas características de las rectas y vectores.
Definición. Diremos que dos líneas
se tiene que
Proposición. Dos vectores
Demostración
Ida (
Por lo que
Regreso (
Pero por lo visto en la proposición de la sección anterior, esto sólo pasa cuando
Otra cosa útil del producto punto, es que cualquier recta se puede escribir en términos de este. Precisemos esto en la siguiente proposición.
Proposición. Sea la recta
La recta
Antes de adentrarnos en la demostración, hablemos un poco de qué significa esta proposición con ayuda del siguiente interactivo aclarando que
Al definir
Es así como expresamos la recta por medio del producto punto; el conjunto de todas los
Con esto claro, procedamos a la demostración.
Demostración
Como queremos demostrar que
Dada la última igualdad, sabemos (por la primera proposición de esta entrada) que
Donde la última igualdad se da gracias a que
Más adelante…
El producto interior fungirá como herramienta para establecer las nociones de distancia y ángulo en las siguientes entradas y particularmente para definir la forma normal de la recta en la siguiente entrada.
Tarea moral
- Completa los pocos pasos que omitimos en cada demostración o ejemplo.
- Demuestra el teorema de las propiedades del producto interior para
. - Calcula el producto interior de los siguientes vectores:
y y y y
- Usando la definición del producto interior, demuestra que dado
se tiene que
si y sólo si
- Demuestra que para todos los vectores
y , se cumple que