Introducción

Una vez que se le ha dado un orden a los elementos de un conjunto, podemos decir más acerca de ellos. En esta entrada hablaremos de aquellos elementos con características especiales, según sean éstas los llamaremos mínimos, máximos, minimales o maximales.

Mínimos y máximos

Comenzaremos definiendo a los mínimos y máximos en un conjunto parcialmente ordenado.

Definición. Sea $\leq$ un orden parcial en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento mínimo de $B$ en el orden $\leq$ si para cualquier $x\in B$, se tiene que $b\leq x$.

Ejemplo.

Consideremos $A= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $\subseteq_A$ la relación de contención en $A$. Si consideramos $A\subseteq A$, tenemos que $\emptyset$ es elemento mínimo pues para cada elemento de $A$, se tiene que $\emptyset$ está por debajo o es igual. Más explícitamente, $\emptyset\subseteq \emptyset$, $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ y $\emptyset\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, como se muestra en el siguiente diagrama:

4$\square$

Definición. Sea $\leq$ un orden parcial en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento máximo de $B$ en el orden $\leq$ si para cualquier $x\in B$, se tiene que $x\leq b$.

Ejemplo.

Consideremos $A= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $\subseteq_A$ la relación de contención en $A$. Si consideramos $A\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ es elemento máximo pues para cada elemento de $A$, se tiene que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ esta por encima o es igual a ellos. Más explícitamente, $\emptyset\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\emptyset}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ como se muestra en el siguiente diagrama:

$\square$

Minimales y maximales

Definición. Sea $\leq$ un orden parcial en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento minimal de $B$ en el orden $\leq$ si no existe $x\in B$ tal que $x\leq b$ y $x\not=b$.

Ejemplo.

Consideremos $A= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $\subseteq_A$ la relación de contención en $A$. Si consideramos $A\subseteq A$, tenemos que $\emptyset$ es elemento minimal pues no existe $x\in B$ tal que $x\subseteq \emptyset$ y $x\not=\emptyset$.

$\square$

Definición. Sea $\leq$ un orden parcial en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento maximal de $B$ en el orden $\leq$ si no existe $x\in B$ tal que $b\leq x$ y $x\not=b$.

Ejemplo.

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $\subseteq_A$ la relación de contención en $A$. Si consideramos $A\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ es elemento maximal pues no existe $x\in B$ tal que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq x$ y $x\not=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.

$\square$

Diferencias entre las definiciones

Podemos preguntarnos si la definición de minimal es equivalente a la de mínimo o si la de maximal es equivalente a la de máximo. Sin embargo, va a resultar que las definiciones de minimal y maximal son más débiles que las de mínimo y máximo, respectivamente. Veamos el siguiente ejemplo que muestra que pueden existir elementos minimales sin que haya un elemento mínimo.

Ejemplo.

Consideremos el conjunto parcialmente ordenado $(\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}, \subseteq)$. Veamos el siguiente diagrama:

En la imagen anterior podemos notar que $\set{\emptyset}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y que éstas son las únicas relaciones posibles por la definición de contención. Luego, $\set{\emptyset}$ y $\set{\set{\emptyset}}$ son minimales pues no existe $x\in \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tal que $x\subseteq \set{\emptyset}$ y $x\not=\set{\emptyset}$ ni $x\subseteq \set{\set{\emptyset}}$ y $x\not=\set{\set{\emptyset}}$.

Además, $\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ no tiene elemento mínimo pues de existir $x\in \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tal que $x\subseteq y$ para todo $y\in \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, en particular, se tendría que $x\subseteq \set{\emptyset}$. Luego, el único elemento $x$ con esta propiedad en el conjunto $\set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}},\set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$ es $\set{\emptyset}$ y en consecuencia, $x=\set{\emptyset}$. Por otro lado, por ser $x$ mínimo se tendría que $x\subseteq \set{\set{\emptyset}}$, y así $\set{\emptyset}\subseteq \set{\set{\emptyset}}$, es decir, $\set{\emptyset}\subseteq\set{\set{\emptyset}}$, lo cual no es verdad. Por lo tanto, no existe un mínimo en el conjunto $ \set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}},\set{\emptyset,\set{\emptyset}}} $.

$\square$

De este ejemplo podemos concluir que aunque un conjunto tenga minimal no necesariamente tendrá mínimo. Esto se debe a que en un conjunto puede existir más de un elemento minimal y en cambio, si un conjunto tiene mínimo, entonces éste resulta ser único, como demostraremos a continuación.

Proposición. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial. Si $b\in A$ es mínimo, entonces es único.

Demostración.

Sea $b\in A$ un elemento mínimo, entonces $b\leq a$ para cualquier $a\in A$. Supongamos que $c\in A$ también es elemento mínimo, así, $c\leq a$ para cualquier $a\in A$. Como $b\in A$, entonces $c\leq b$ y de manera similar, $b\leq c$, pues $c\in A$. Por lo tanto, $b=c$ por la antisimetría de $\leq$ en $A$.

$\square$

Dado que el elemento mínimo de un orden parcial $(A,\leq)$ es único, le podemos asignar una notación y lo vamos a denotar como $\min(A)$.

Ahora, veamos el siguiente ejemplo que muestra que pueden existir elementos maximales sin que haya un elemento máximo.

Ejemplo.

Consideremos el conjunto parcialmente ordenado $(\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}, \subseteq)$. Veamos el siguiente diagrama:

En la imagen anterior podemos notar que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ y $\emptyset\subseteq \set{\set{\emptyset}}$ y que estás son las únicas relaciones posibles por la definición de contención. Luego, $\set{\emptyset}$ y $\set{\set{\emptyset}}$ son maximales pues no existe $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ tal que $\set{\emptyset}\subseteq x$ y $x\not=\set{\emptyset}$ y $\set{\set{\emptyset}}\subseteq x$ y $x\not=\set{\set{\emptyset}}$, respectivamente.

Notemos también que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ no tiene elemento máximo pues de existir $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}} $ tal que $y\subseteq x$ para todo $y\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$, se tendría en particular que $\set{\emptyset}\subseteq x$, de donde se sigue que $x=\set{\emptyset}$, pues este es el único elemento con tal propiedad en el conjunto $\set{\emptyset,\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$. Luego, como $x=\set{\emptyset}$ es máximo se sigue que $\set{\set{\emptyset}}\subseteq\set{\emptyset}$, es decir, $\set{\set{\emptyset}}\subseteq\set{\emptyset}$, lo cual no es verdad. Por lo tanto, el conjunto $\set{\emptyset,\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$ no tiene elemento máximo.

$\square$

De este ejemplo podemos concluir que aunque un conjunto tenga elementos maximales no necesariamente tendrá máximo. Esto se debe a que puede existir más de un elemento maximal y, si un conjunto tiene máximo, éste resulta ser único.

Proposición: Sea $(A, \leq)$ un orden parcial. Si $b\in A$ es máximo, entonces es único.

Demostración.

Sea $b\in A$ un elemento máximo, entonces $a\leq b$ para cualquier $a\in A$. Supongamos que $c\in A$ también es elemento máximo, así, $a\leq c$ para cualquier $a\in A$. Como $b\in A$, entonces $b\leq c$ y de manera similar, $c\leq b$, pues $c\in A$. Por lo tanto, $b=c$ por la antisimetría de $\leq$ en $A$.

$\square$

Dado que el elemento máximo de un orden parcial $(A,\leq)$ es único, le podemos asignar una notación y lo vamos a denotar como $\max(A)$

Máximo y maximal en un orden total

Ya vimos que los conceptos de elemento máximo y maximal en un orden parcial no coinciden en general, sin embargo, podríamos preguntarnos si esto mismo sucede en un orden total. En el siguiente lema veremos que en un orden total de hecho sí coinciden.

Lema: Sea $(A, \leq)$ un orden total. Entonces, $b$ es elemento maximal de $A$ si y sólo si $b$ es elemento máximo de $A$.

Demostración.

Sea $(A,\leq)$ un orden total. Supongamos que $b\in A$ es un elemento maximal. Sea $a\in A$. Luego, por ser $(A,\leq)$ un orden total, $a\leq b$ o $b\leq a$. Si $b\leq a$, entonces, $a=b$ por ser $b$ elemento maximal, de modo que las condiciones $a\leq b$ o $b\leq a$ pueden ser escritas como $a\leq b$ o $a=b$, es decir, $a\leq b$. Por lo tanto, para cada $a\in A$, $a\leq b$ y, en consecuencia, $b=max(A)$.

Si ahora suponemos que $b\in A$ es elemento máximo, entonces, no existe $a\in A$ con $b\leq a$ y $b\not=a$, de lo contrario $b$ no sería máximo. Por lo tanto, $b$ es elemento maximal. Por lo tanto, $b$ es maximal si y sólo si $b$ es máximo.

$\square$

Definiciones para órdenes estrictos

Definición. Sea $<$ un orden estricto en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento mínimo de $B$ en el orden $<$ si para cualquier $x\in B\setminus\set{b}$, $b<x$.

Definición. Sea $<$ un orden estricto en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento máximo de $B$ en el orden $<$ si para cualquier $x\in B\setminus\set{b}$, $x<b$.

Definición. Sea $<$ un orden estricto en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento minimal de $B$ en el orden $<$ si no existe $x\in B$ tal que $x< b$.

Definición. Sea $<$ un orden en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento maximal de $B$ en el orden $<$ si no existe $x\in B$ tal que $b< x$.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el tema de esta sección:

Sea $(A, \leq)$ un conjunto parcialmente ordenado. Demuestra que si $A$ tiene máximo, entonces tiene maximal.

Sea $(A, \leq)$ un conjunto parcialmente ordenado. Demuestra que si $A$ tiene mínimo, entonces tiene minimal.

Muestra que si $(A,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado y $A$ tiene un elemento minimal, entonces es único.

Más adelante…

En la siguiente entrada seguiremos hablando de elementos con características especiales en un conjunto según estén ordenados. Hablaremos acerca de las cotas superiores e inferiores, así como de supremos e ínfimos.

Entradas relacionadas

• Entrada relacionada: Relación de pertenencia y relación de contención.
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»