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Probabilidad I-Videos: Distribución Bernoulli

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

En esta ocasión estudiaremos una distribución de probabilidad discreta que resulta ser un bloque de construcción básico para otras distribuciones del mismo tipo. Se trata de la distribución Bernoulli, la cual obtiene su nombre por el matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705), quien fue el primero en formalizar este modelo.

Distribución Bernoulli

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim Bernoulli\left ( p\right ) $. Encuentra la distribución de probabilidad de la variable $1-X$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim Bernoulli\left ( \theta\right ) $. Encuentra la distribución de probabilidad de la variable $$\begin{array}{ll} a) & X^{n} \\ b) & \left ( 1-X\right ) ^{n} \end{array}$$
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim Bernoulli\left ( p\right ) $  y sean $a$ y $b$ constantes con $a\neq 0$. Sea $Y$ la variable aleatoria definida como $Y=aX+ b$. Encuentra la distribución de probabilidad de $Y$.
  • Considera el experimento en el que se prueba un medicamento en personas que contraen cierta enfermedad para ver si funciona y se recuperan. La probabilidad de que un paciente se recupere es .7. Si se sabe tres personas han contraído dicha enfermedad, ¿Cuál sería la función de masa de probabilidad asociada a este experimento?
  • Tomando en cuenta el ejercicio anterior, ¿Cuál sería la función de masa de probabilidad si son $n$ las personas que se han enfermado?, explica tu respuesta.

Más adelante…

Los ensayos Bernoulli conforman un modelo teórico que solo con experiencia se puede determinar si es apropiado para describir observaciones específicas. Asegurar que un experimento, se ajusta a un ensayo Bernoulli se deriva casi siempre de evidencia experimental y en muchas ocasiones puede servir como un indicador de problemas que en cierto proceso pudieran presentarse.

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L

Probabilidad I-Videos: Función de distribución

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Ahora que entendemos lo que es una variable aleatoria, Lo que buscamos con estas cantidades es asignarles probabilidades. Nos interesa entonces calcular la probabilidad del evento tal que la variable aleatoria no excede un cierto valor x. Estas probabilidades asociadas  a la variable aleatoria se describen mediante una función llamada función de distribución.

Función de distribución

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

  • Sea $F$ una función de distribución de $X$, prueba que $P(X>x)=1-F(x)$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria con función de distribución $F$, Para cualesquiera números reales $x<y$ demuestra que: $$\begin{array}{ll}  i)&P(X<y)=F(y^-)\\ ii)&P \left( X=y \right)=F \left( y \right ) -F \left( y^- \right ) \\ iii)&P \left ( y<X\le z \right ) =F \left ( z \right ) -F(y) \\ iv)&P \left ( y\le X\le z \right ) =F \left ( z \right ) -F(y^-) \\ v)&P \left ( y<X<z \right ) =F \left ( z^- \right ) -F(y) \\ vi)&P\left ( y\le X<z \right ) =F \left ( z^- \right ) -F(y^-) \end{array}$$
  • Demuestra que toda función de distribución tiene a lo más una cantidad numerable de discontinuidades.
  • Una variable aleatoria $X$ tiene función de distribución $F$, Si $a$ y $b$ son números reales ¿Cuál es la función de distribución de $Y=aX+b$?
  • Demuestra que si $F$ y $G$ funciones de distribución y sea $0\le a\le1$ entonces $aF+(1-a)G$ es una función de distribución.

Más adelante…

Gran parte del estudio de las variables aleatorias se dedica a las funciones de distribución, el estudio de estas funciones y sus aplicaciones se vuelve mucho más fácil si concentramos nuestra atención a ciertas subclases de variables aleatorias; estas son las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas, que estudiaremos en los próximos videos.

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