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Teoría de los Conjuntos I: Conjuntos infinitos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada definiremos qué es un conjunto infinito. Después, probaremos algunos resultados sobre la cantidad de elementos que poseen los conjuntos infinitos.

Conjuntos infinitos

Recordemos que para conjuntos $X$ y $Y$ decimos que $|X|\leq |Y|$ si existe una función inyectiva $f:X\to Y$.

Definición. Sea $A$ un conjunto. Decimos que $A$ es un conjunto infinito si no es finito, es decir, para todo $n\in \mathbb{N}$, no existe una función $f:A\to n$ que sea biyectiva.

Ejemplo.

El conjunto de los números naturales no es finito. En efecto, sea $n\in\mathbb{N}$ cualquier elemento. Ahora, si existiera una función biyectiva $f:n\to\mathbb{N}$, en particular, debería existir $B\subseteq n$ tal que $f[B]=s(n)$. Luego, podemos particionar a $n$ como $n=B\cup(n\setminus B)$, por lo que $s(n)=n\cup\set{n}=B\cup(n\setminus B)\cup\set{n}$ y, por la regla de la suma, tendríamos que $|s(n)|=|B|+|n\setminus B|+1$. Dado que $g:B\to s(n)$ definida por medio de $g(m)=f(m)$ es una biyección, entonces $|B|=|s(n)|$. De este modo, $|s(n)|=|s(n)|+|n\setminus B|+1$, por lo que $0=|n\setminus B|+1$ y esto último es imposible, pues el sucesor de cualquier número natural es distinto de $0$. Así pues, no existe función biyectiva de $n$ en $\mathbb{N}$ y, consecuentemente, $\mathbb{N}$ no es finito.

$\square$

A continuación mostraremos que dado cualquier número natural $n$, existe una función inyectiva de $n$ en cualquier conjunto infinito. Veamos la demostración.

Teorema. Si $X$ es infinito, entonces $|X|\geq n$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$.

Demostración. (Por inducción sobre $n$).

Base de inducción. Si $n=0$, por vacuidad la función $\emptyset:n\to X$ es inyectiva.

Hipótesis de inducción. Supongamos que $n\leq |X|$ para algún $n\in \mathbb{N}$.

Paso inductivo. Veamos que $n+1\leq|X|$.

Dado que $n\leq|X|$, entonces existe $f:n\to X$ tal que $f$ es inyectiva. Luego, como $X$ es infinito, $f$ no puede ser suprayectiva y por lo tanto existe $y\in X$ tal que $y\notin Im(f)$.

Definimos $g: n+1\to X$ como $g=f\cup \set{(n,y)}$. Resulta que $g$ es inyectiva. En efecto, sean $n_1, n_2\in n+1$ tales que $g(n_1)=g(n_2)$.

Caso 1: Si $n_1, n_2\in n$, entonces $f(n_1)=g(n_1)=g(n_2)=f(n_2)$ y como $f$ es inyectiva se tiene que $n_1=n_2$.

Caso 2: Si $n_1,n_2=n$, entonces $n_1=n_2$.

No puede ocurrir que $n_1\in n$ y $n_2=n$, pues de ser así tendríamos que $g(n_1)=f(n_1)\not=y$ pues $y\notin Im(f)$, mientras que $g(n_2)=y$, lo cual contradice que $g(n_1)=g(n_2)$. Análogamente, no puede ocurrir que $n_2\in n$ y $n_1=n$.

Por lo tanto $g$ es inyectiva y así, $n+1\leq|X|$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada:

  • Muestra que si $X$ es un conjunto infinito, entonces para cada subconjunto finito $A$ de $X$, el conjunto $X\setminus A$ es infinito.
  • Sea $A\subseteq\mathbb{N}$ un conjunto finito. Demuestra que existe una función biyectiva entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}\setminus A$.
  • Muestra que si $A$ y $B$ son conjuntos tales que $A\cup B$ es infinito, entonces alguno de los conjuntos $A$ o $B$ es infinito.

Más adelante…

El primer conjunto infinito que vimos fue el de los números naturales. En la siguiente entrada hablaremos acerca de conjuntos numerables. El primero de ellos será el de los naturales y veremos que existen muchos conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos que el conjunto de números naturales.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»