«En el Análisis tropezamos, casi siempre, con espacios provistos tanto de una topología como de operaciones de adición de elementos y multiplicación de éstos por números, es decir, tropezamos con los así llamados espacios topológicos lineales. Entre estos espacios, constituyen una clase importante los espacios normados. La teoría fue desarrollada en los trabajos de S. Banach y de otros autores». (Kolmogorov,1975).
Probablemente recuerdes de tus cursos de Geometría Analítica y Álgebra Lineal, el concepto de espacio vectorial (puedes revisarlo en Álgebra Lineal I: Espacios vectoriales). En esta entrada retomaremos la noción que representa la «medida» de cada vector para asociar ese valor a una distancia.
Definición. Norma. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb R$. Se dice que una aplicación $\| \cdot \| : V \rightarrow \mathbb R$ es una norma si para todo $x,y \in V$ y para todo $\lambda \in \mathbb R$ se satisface:
$\| x \|=0 \iff x=0$
$\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$
$\|x + y\| \leq \|x\|+\|y\|$
El espacio vectorial $(V,\|\cdot\|)$ es llamado espacio normado.
A continuación ilustramos dichos axiomas en el espacio vectorial $\mathbb{R}^2,$ donde los vectores suelen representarse con flechas que inician en el origen y terminan en el punto del plano a representar.
Usaremos la norma euclidiana, donde para $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ $$\|(x,y)\| := \sqrt{x^2 + y^2}.$$
Nota que la norma de un vector $\vec{u} = (x,y) \in \mathbb{R}^2$ equivale a la distancia euclidiana que hay entre el origen y el punto $(x,y).$
Representación de un vector $\vec{u} = (x,y) \in \mathbb{R}^2.$
De acuerdo con el primer axioma, la norma de un vector es cero si y solo si, el vector es cero. En este caso, el vector cero es $(0,0).$
Representación de la propiedad $1$ en $\mathbb{R}^2:$ $\| \vec{u} \|=0 \iff \vec{u}= \vec{0}.$
El segundo axioma habla del producto de un vector por un escalar. Sea $\vec{u}$ un vector en $\mathbb{R}^2,$ la igualdad $\|\lambda \vec{u}\| = |\lambda| \|\vec{u}\|$ indica que el tamaño de la flecha de $\vec{u}$ cambia en proporción con el valor de $\lambda.$ En el siguiente gráfico, el vector en verde, muestra a $\, \vec{u} \,$ luego de ser multiplicado por un escalar en el intervalo $(-3,3).$
Representación de la propiedad $2$ en $\mathbb{R}^2:$ $\|\lambda \vec{u}\| = |\lambda| \|\vec{u}\|.$
El tercer axioma dice que la norma de la suma de dos vectores es menor igual que la suma de la norma de cada uno. La siguiente imagen visualiza que, si $\vec{u}$ y $\vec{w}$ son vectores en $\mathbb{R}^2,$ la magnitud de la flecha que representa $\vec{u}+\vec{w}$ es menor igual que la suma de las magnitudes de las flechas de $\vec{u}$ y $\vec{w}.$ Esta propiedad, en el caso de las normas, también se conoce como desigualdad del triángulo.
Representación de la propiedad $3$ en $\mathbb{R}^2:$ $\|\vec{u}+\vec{w}\| \leq \|\vec{u}\|+\|\vec{w}\|.$
Ahora veremos que un espacio normado $V$ es también un espacio métrico, si para dos puntos $x,y \, \in V \,$se define la distancia como:
Ya que sabemos que un espacio normado induce un espacio métrico, notemos que el recíproco no siempre es válido, es decir:
Proposición. No todos los espacios métricos son inducidos por espacios normados.
Demostración: Considera $X \subset \mathbb{R} \,$ tal que $\, X \neq \{0\} \,$ con $\, d \,$ la métrica discreta definida en Espacios métricos, entonces si tomamos $x\in \mathbb{R} \,$ con $\, x \neq 0$ y suponemos que existe una norma para este espacio, se tienen que cumplir las siguientes igualdades: $\|2x\|=|2|\|x\|=|2|\|x-0\|=|2|d(x,0)=2(1)=2$ Lo cual no puede ser, pues la distancia únicamente asigna valores en $\{0,1\}.$
Ejemplos de normas en espacios vectoriales:
La norma $\mathbf{p.}$ Sea $\, p \,$ $\in [1, \infty)$ y $x \in \mathbb {R}^n$. Si $x=(x_1,…, x_n)$, definimos: $\| x \|_p := (\sum_{i=1}^n |x_i|^p ) ^ {1/p}.$
La norma infinito en $\mathbf{\mathbb {R}^n}.$ Sea $x \in \mathbb {R}^n.$ Definimos: $\|x\|_\infty := max \{|x_1|,…,|x_n|\}.$
La norma infinito enel espacio de funciones reales continuas en el intervalo $\mathbf{[a,b].}$ En el espacio vectorial $C^0[a,b],$ para $f \in C^0[a,b]$ definimos: $\norm{f}_\infty :=\underset{a \leq t \leq b}{max} \, |f(t)|.$
La norma infinito en el conjunto de sucesiones reales acotadas. Sea $\ell_\infty$ el conjunto de sucesiones acotadas de números reales. Si $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \ell_\infty,$ definimos: $\norm{(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}}_\infty :=\underset{n \in \mathbb{N}}{sup} \, |x_{n}|.$
Más adelante…
Ya que reconocemos la distancia entre dos puntos procederemos a identificar todos los puntos que están «cerca» de un punto específico. ¿Te suena familiar? Vamos a ver si el conjunto formado por estos puntos es diferente al que estamos acostumbrados a representar como una bola redonda de radio $\epsilon > 0$.
Tarea moral
Demuestra que si $(V,\|\cdot \|)$ es un espacio normado, entonces $\forall \, x \in V, \norm{x} \geq 0$.
Demuestra que la norma $p$ con $p=2,$ es decir, $\| x \|_2$ induce la métrica euclidiana.
Demuestra que la norma del ejemplo $3$ induce la métrica en el espacio de funciones continuas vista en Espacios métricos.
Demuestra que en el conjunto de números complejos $\mathbb{C}$ pueden definirse las normas de los ejemplos $1$ y $2.$
En la sección anterior hablamos sobre la métrica que se asigna entre dos puntos de un conjunto. Estamos tan acostumbrados a unir, automáticamente, dos puntos con el segmento que los une, que es natural que asumamos que la longitud de este segmento definirá la distancia entre ellos. No obstante, puede haber situaciones donde sea necesario considerar factores que nos hagan modificar la manera en que definimos esa distancia. Veamos algunos ejemplos.
Métrica del taxista
Supongamos que nos encontramos en un poblado y nos interesa partir del punto $A$ para llegar al punto $B$ usando el camino más corto. No nos es posible caminar sobre la recta que, en la geometría euclideana une a los dos puntos, pues esto implicaría tener que atravesar las casas y las construcciones que se ubiquen sobre ella. En estas circunstancias lo que resta es desplazarse sobre las calles, en la manera en que lo haría un taxista (suponiendo que no hay restricciones adicionales al recorrido, como el tráfico o el sentido de la vialidad).
En la imagen se pueden visualizar algunas posibles rutas.
Si definimos la distancia como el menor número de cuadras que separan al punto $A$ del punto $B$, podemos observar que los caminos verde, azul y naranja representan rutas de distancia mínima. Cada una de estas cuadras se puede proyectar de manera horizontal y vertical sobre la recta horizontal que tiene a $A$ y la recta vertical que tiene a $B$. En consecuencia, definimos la métrica para dos puntos $A=(a_1,a_2)$ y $B=(b_1,b_2)$ en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:
$$d(A,B):=|b_1-a_1|+|b_2-a_2| $$
Métrica del ascensor
Ahora nos encontramos en cierta planta de un edificio y nos interesa movernos a otra planta. Si el punto al que vamos se encuentra en el mismo edificio, simplemente nos dirigimos al ascensor, en la misma planta, hasta recorrer la cantidad de pisos deseados. Esta situación se representa en la siguiente imagen:
Por otra parte, si nos interesa llegar a un piso de otro edificio que está sobre la misma calle, debemos tomar el ascensor del edificio en que nos ubicamos hasta llegar a la planta baja, caminar hasta el otro edificio y, posteriormente, tomar el ascensor ahí hasta llegar a nuestro destino. Este movimiento puede visualizarse a continuación:
A partir de esto se define la métrica para dos puntos $A=(a_1,a_2) \,$ y $\, B=(b_1,b_2)$ en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:
En el ámbito de la Teoría de la Información interesa contar el número de cambios que se requieren para que una palabra se convierta en otra. Por ejemplo:
Para convertir «casa» en «pasa» se requiere cambiar una letra. Para convertir «casa» en «taza» se requiere el cambio en dos letras. Para convertir «roca» en «flor» se requiere cambiar cuatro letras.
Este número de cambios define la distancia de Hamming.
Para conocer más al respecto puedes consultar el libro:
Metcalf, L., Casey, W., Cybersecurity and Applied Mathematics. USA: Editorial ELSEVIER, 2016, págs 16 y 17.
El tablero de ajedrez
Consideremos las piezas Rey, Reina, Alfil, Caballo y Torre en el juego de ajedrez. De acuerdo a las reglas, cada una de estas piezas tiene un movimiento particular definido. Una pieza ubicada en la casilla $A$ requiere una mínima cantidad de movimientos para llegar a la casilla $B.$ Te dejaremos como ejercicio probar que cada pieza define una métrica (determinada por el número de cambios de posición) en el conjunto de puntos dado por las casillas del tablero de ajedrez. Una representación de estas distancias entre casillas se verá al final de la entrada La bola abierta en un espacio métrico.
Más adelante…
Recordaremos el concepto de espacio normado. Probablemente ya lo has visto en cursos de cálculo o álgebra lineal. Estos espacios inducen también una métrica entre sus puntos. ¿Será que todos los espacios métricos son inducidos por una norma?
Tarea moral
Demuestra que cada uno de los ejemplos anteriores es una métrica.
Define la métrica del taxista para puntos en $\mathbb{R}^n$.
Define la métrica del ascensor para edificios que no necesariamente estén sobre la misma calle. Combina con la métrica del taxista.
«Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente, un conjunto en donde podemos hablar de la distancia entre sus elementos, lo que nos permitirá precisar la noción de «proximidad», una idea que está presente implícitamente en todos los conceptos fundamentales de la Topología y el Análisis.
Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M.Fréchet en 1906. Probó que las ideas de Cantor de subconjuntos abiertos y cerrados podían extenderse de manera natural a los espacios métricos. Más tarde, el concepto fue desarrollado por F. Hausdorff en su Mengenlehre. En parte, su importancia radica en que constituye una interesante generalización de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarrollo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes». (Díaz, 1998).
Pensemos en un conjunto de elementos que representamos como puntos. Supongamos que cada vez que tomamos dos puntos cualesquiera del conjunto podemos hablar de la distancia que hay entre ellos (como un valor numérico específico), entonces tenemos un espacio métrico cuando se cumplen ciertas condiciones.
Como representación de la idea de distancia observa el siguiente esquema. Aunque en él se muestran solo algunas de las distancias entre dos puntos, esta debe estar definida entre cualquier par del conjunto. Nota que la distancia del punto $E$ a sí mismo es $0$. Así lo será también la distancia de cualquier otro punto a sí mismo.
Ejemplo intuitivo de espacio métrico con representación de algunas distancias.
La distancia cumplirá lo siguiente:
La distancia de un punto a sí mismo será $0$. La distancia entre puntos distintos será distinta de $0$.
En un espacio métrico la distancia entre dos puntos es simétrica. Esto significa que la distancia entre el punto $x$ y $y$ coincide con la distancia entre el punto $y$ y $x$. Aunque esto parezca difícil de contradecir, ¿puedes mencionar un ejemplo en tu vida cotidiana en el que el camino que sigues para llegar a un lugar no coincida con el de regreso? Probablemente esto marcará diferencias en los metros recorridos y quizá también en el tiempo o el costo del traslado.
Entre cualesquiera tres puntos se satisface la desigualdad del triángulo. Decimos que la suma de dos de las distancias entre los vértices de un triángulo es mayor o igual que la distancia restante.
De manera formal, tenemos lo siguiente:
Definición. Espacio métrico. Un espacio métrico $(X,d)$ es un par ordenado donde $X$ es un conjunto no vacío, (cuyos elementos llamaremos puntos) y $d$ es la métrica asociada a este.
Definición. Métrica. Llamaremos métrica o distancia en $X$ a una relación $d: X \times X \to \mathbb{R}$ que satisface los siguientes tres axiomas para cualesquiera $x$, $y$, $z$ $\in X$:
\[ \begin{align} & d(x,y)=0 \quad\text{si y solo si}\quad x = y \\ & d(x,y) = d(y,x) \\ & d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \end{align} \]
Nota: La distancia nunca es negativa. De estos axiomas se deduce que si $x \neq y$ entonces $0<d(x,y)$ pues: \begin{align*} 0 &= d(x,x)\\ &\leq d(x,y) + d(y,x)\\ &= d(x,y) + d(x,y)\\ &= 2d(x,y) \end{align*}
Luego de multiplicar por $\dfrac{1}{2}$ ambos lados, se deduce que $0 \leq d(x,y)$. Como $x \neq y$ concluimos a partir del axioma $(1)$ que $0<d(x,y)$.
Naturalmente estaremos pensando en la forma en que usualmente medimos las distancias a nuestro alrededor. ¿Sí satisfacen la definición de métrica estos métodos convencionales? ¿Habrá otras maneras de asignar distancias?
Ejemplos de espacios métricos
La métrica discreta
Sea $X$ un conjunto no vacío. Si para cualesquiera $x, y \in X$ definimos $d:X \times X \to \mathbb{R}$ como:
\[ d(x,y):= \left\{\begin{array}{lcc} 0 & si & x = y \\ \\ 1 & si & x \neq y \end {array} \right. \]
Entonces $d$ es una métrica en $X. \, $ En este caso $(X,d)$ recibe el nombre de espacio discreto. Denotaremos este espacio como $(X,d_{disc}).$
La distancia entre dos puntos distintos siempre es $1$.
Demostración: Sean $x, y, z \in X$. El axioma $(1)$ se cumple por definición.
Para demostrar el axioma $(2)$ veamos que si $x = y$ entonces $d(x,y) = 0 = d(y,x)$. Por otro lado, si $x \neq y$ entonces $d(x,y) = 1 = d(y,x)$. En cualquier caso $d(x,y) = d(y,x)$.
Para demostrar $(3)$ veamos que si $x=y$ entonces $d(x,y)=0$. Como las distancias siempre son mayores o iguales a cero se sigue que $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$. Por otro lado, si $x \neq y$ entonces $d(x,y) = 1$ y tenemos los siguientes casos:
Notemos que $d(x,z) = 1$ o $d(z,y) = 1$, pues de lo contrario tendríamos que $d(x,z) = 0$ y $d(z,y)=0$, lo cual implica que $x = z = y$. Por lo tanto $x = y$, lo cual es una contradicción. De lo anterior se concluye que $d(x,y)=1 \leq d(x,z) + d(z,y)$.
El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ con la métrica usual
Sean $x,y \in \mathbb{R}$. Entonces $d$ definida (y denotada) como
\[ d(x,y) := |x-y| := \left\{ \begin{array}{lcc} x-y & si & x \geq y \\ \\ y-x & si & x < y \end{array} \right. \]
es una métrica en $\mathbb{R}.$
Demostración: $(1) \, $ Sean $x,y,z \in \mathbb{R}$ entonces $d(x,y)=0 \text{ si y solo si } |x-y|=0 \text{ si y solo si } x=y$.
$(2)$ Para cada $\, i=1,…,n, (x_{i}-y_{i})^2= (y_{i}-x_{i})^2$ entonces: \begin{align*} \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2}&=\sqrt{(y_{1}-x_{1})^2+…+(y_{n}-x_{n})^2}\\ \text{ Por lo tanto } \quad d(x,y)&=d(y,x) \end{align*}
Considera $f,g \in C^0 [a,b]$. Para cada $t \in [a,b]$ identifiquemos la medida del segmento que une a los puntos$ (t,f(t))$ y $(t,g(t))$. El segmento más grande representará la distancia entre ambas funciones.
$(2)$ Como $\forall t \in [a,b], f(t)$ y $g(t) \in \mathbb{R} $, entonces $|f(t)-g(t)| = |g(t)-f(t)|$. Así: \begin{align*} d(f,g) &= \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-g(t)|\\ &= \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |g(t)-f(t)|\\ &= d(g,f)\\ \text{Por lo tanto }\quad d(f,g) &= d(g,f). \end{align*}
$(3)$ Dado que existe $t_1 \in [a,b]$ tal que $\underset{a \leq t \leq b}{max}\,|f(t)-g(t)| = |f(t_{1}) – g(t_{1})|$ Como \begin{align*}|f(t_{1}) – g(t_{1})| &= |f(t_{1})-h(t_{1})+h(t_{1})-g(t_{1})|\\ &\leq |f(t_{1}) – h(t_{1})| + |h(t_{1} – g(t_{1}))|\\ & \leq \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-h(t)| + \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |h(t)-g(t)| \end{align*} concluimos $d(f,g) \leq d(f,h) + d(h,g)$.
El conjunto $\mathcal{B}(A,\mathbb{R}):= \{ f:A \to \mathbb{R}: f\text{ es acotada}\}$
Antes de definir una métrica en el espacio anunciado, recordemos un concepto que probablemente conoces:
Definición. Función acotada. Sea $A$ un conjunto no vacío. Decimos que una función $f:A \to \mathbb{R}$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x_0 \in \mathbb{R}$ tales que para cada $ \, a \in A$ ocurre que $|x_0-f(a)| \leq M$.
Nuestra distancia será entre funciones que satisfacen la siguiente:
Definición. Espacio de funciones acotadas. El conjunto $$\mathcal{B}(A,\mathbb{R}):= \{ f:A \to \mathbb{R}: f\text{ es acotada}\}$$ es un espacio métrico pues si dos funciones $f,g \in \mathcal{B}(A, \mathbb{R})$ entonces la función $f-g \,$ también es acotada, por lo tanto existe el $\underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|$. Esto permite definir la distancia entre ellas como $$d_\infty (f,g):= \underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|$$ y recibe el nombre de métrica uniforme.
La siguiente imagen representa la distancia entre dos funciones acotadas $f$ y $g.$ Como ejemplo, la función $f$ es la función de Dirichlet, que vale $1$ si se evalúa en los racionales ($\mathbb{Q}$) y vale $0$ en caso contrario.
Ejemplo de funciones $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ acotadas.
Veamos que $d_\infty$ en efecto, es métrica.
Demostración: Sean $f,g,h \in \mathcal{B}(A,\mathbb{R})$ entonces: $(1)$ \begin{align*} d_\infty(f,g)&=0 \\ \Leftrightarrow \underset{z\in A}{sup}\,|(f(z)-g(z)|&=0 \\ \Leftrightarrow \forall \, z \in A, |f(z)-g(z)|&=0 \\ \Leftrightarrow \forall \, z \in A, f(z)&=g(z) \\ \Leftrightarrow f&=g. \\ \text{Por lo tanto: } d_\infty (f,g)=0 &\Leftrightarrow f=g \end{align*}
Ya aprendimos qué es un espacio métrico y comprobamos que las distancias vistas en otros cursos satisfacen la definición. En la siguiente entrada conoceremos algunos ejemplos más con la finalidad de hacer consciente que hay otras maneras de medir la separación entre dos objetos.
Tarea moral
¡Es tu turno de practicar!
Sean $x,y \in \mathbb R^2$ con $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}).$ Demuestra que $d(x,y) := \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2 + 4(x_{2}-y_{2})^2}$ es métrica para $\mathbb{R}^2.$
Sean $x,y \in \mathbb R^n$ con $x=(x_{1},…,x_{n})$ y $y=(y_{1},…,y_{n}).$ Demuestra que $d(x,y) := |x_{1}-y_{1}|+…+|x_{n}-y_{n}|$ es métrica para $\mathbb{R}^n.$
Sean $x,y \in \mathbb R^n$ con $x=(x_{1},…,x_{n})$ y $y=(y_{1},…,y_{n}).$ Demuestra que $d(x,y) := max \{|x_{1}-y_{1}|,…,|x_{n}-y_{n}|\}$ es métrica para $\mathbb{R}^n.$
