Introducción

En las entradas pasadas vimos una gran variedad de resultados relacionados con la medida de Lebesgue y los conjuntos medibles, principalmente con la intención de aplicarlos más adelante a desarrollar una noción de integral más general. En las próximas entradas prepararemos el terreno para definir la integral de Lebesgue. Definiremos clases de conjuntos con una estructura muy particular sobre los cuales construiremos la noción de integración.

Definiciones

Notación. Como es usual, dado un conjunto $X$, denotaremos como $2^X$ a la colección de todos los subconjuntos de $X$.

Definición. Un álgebra de subconjuntos de $X$ (o sobre $X$) es una colección de conjuntos $\mathcal{M}\subseteq 2^X$ que satisface:

• $\emptyset \in \mathcal{M}$
• $A,B\in \mathcal{M}$ $\implies$ $A\cup B\in \mathcal{M}$
• $A\in \mathcal{M}$ $\implies$ $A^c\in \mathcal{M}$.

Observación. Es consecuencia inmediata que:

• $X\in \mathcal{M}$ pues $X=\emptyset^c$.
• $A,B\in \mathcal{M}$ $\implies$ $A\cap B \in \mathcal{M}$ pues $A\cap B=(A^c\cup B^c)^c$.
• $A,B$ $\implies$ $A\setminus B\in \mathcal{M}$ pues $A\setminus B =A\cap B^c$.

Definición. Decimos que un álgebra $\mathcal{M}\subseteq 2^X$ es una $\sigma$-álgebra si además es cerrada bajo uniones numerables, es decir:

• $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{M}$ $\implies$ $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in \mathcal{M}$.

Observación. Similarmente al caso anterior, se sigue de las leyes de De Morgan que $A_1,A_2,\dots\in \mathcal{M}$ $\implies$ $\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k\in \mathcal{M}$.

Algunos Ejemplos de $\sigma$-álgebras

Ejemplo. Si $X=\mathbb{R}^n$, la colección de conjuntos Lebesgue medibles, $\mathcal{L_n}$, es una $\sigma$-álgebra sobre $\mathbb{R}^n$. Esto es consecuencia de las propiedades de los conjuntos medibles. Para nuestros objetivos, éste es posiblemente el ejemplo más importante.

Ejemplo. Para cualquier conjunto $X$; $\mathcal{M}=2^X$ es una $\sigma$-álgebra sobre $X$.

Ejemplo. Para cualquier conjunto $X$, $\{ \emptyset, X \}$ es una $\sigma$-álgebra (usualmente se le llama la $\sigma$-álgebra trivial).

Ejemplo. Para cualquier álgebra (o $\sigma$-álgebra) $\mathcal{M}$ sobre $X$ se tiene que $$\{ \emptyset, X \}\subseteq \mathcal{M} \subseteq 2^X.$$

Ejemplo (un álgebra que no es $\sigma$-álgebra). Sea $X$ un conjunto infinito. Definamos $\mathcal{M}_0$ como:

$$A\in \mathcal{M}_0 \iff A \text{ es finito ó } A^c \text{ es finito. }$$

Veamos que $\mathcal{M}_0$ es un álgebra pero no una $\sigma$-álgebra. Observemos que:

• $\emptyset$ es finito, de modo que $\emptyset\in \mathcal{M}_0$.
• Notemos que si $A,B\in \mathcal{M}_0$ $\implies$ $A\cup B\in \mathcal{M}_0$ pues:
  
  • Si $A,B$ son finitos entonces $A\cup B$ es finito.
  • Si $A^c$ es finito, sin importar que ocurra con $B$, se tiene que $(A\cup B)^c\subseteq A^c$, de donde $(A\cup B)^c$ es finito. Algo similar ocurre cuando $B^c$ es finito.
• Si $A\in \mathcal{M}_0$, entonces alguno de $A^c$ y $(A^c)^c=A$ es finito, de modo que $A^c\in \mathcal{M}_0$.

Por todo lo anterior, se sigue que $\mathcal{M}_o$ es un álgebra.

Como $X$ es infinito, podemos escoger un subconjunto numerable $$S=\{x_0,x_1,x_2,x_3\dots \}.$$ Definamos $$A= \{ x_0,x_2,x_4\dots \}.$$ Ni $A$ ni su complemento son finitos asi que $A\notin \mathcal{M}_0$. Sin embargo, $A$ se puede expresar como unión numerables de elementos en $\mathcal{M}_0$, a saber: $$\{x_0 \},\{x_2 \} , \{x_4 \}, \dots$$

Así que $\mathcal{M}_0$ NO es una $\sigma$-álgebra.

$\triangle$

Ejemplo. Sea $X$ un conjunto. Definimos $\mathcal{M}_1\subseteq 2^X$ como:
$$A\in \mathcal{M}_1 \iff A \text{ es numerable ó } A^c \text{ es numerable}.$$ Veamos que $\mathcal{M}_1$ es una $\sigma$-álgebra.

• $\emptyset\in \mathcal{M}_1$ es finito, en particular numerable.
• Sean $A,B\in \mathcal{M}_1$. Veamos que $A\cup B\in \mathcal{M}_1$:
  • Si $A,B$ son numerables, entonces $A\cup B$ es numerable.
  • Si $A^c$ es numerable, entonces $(A\cup B)^c\subseteq A^c$, de donde $(A\cup B)^c$ es también numerable. Algo similar ocurre si $B^c$ es numerable.
• Si $A\in \mathcal{M}_1$, entonces alguno de $A^c$ y $(A^c)^c=A$ es numerable, de modo que $A^c\in \mathcal{M}_1$.

Lo anterior garantiza que $\mathcal{M}_1$ es un álgebra. Más aún, si $\{ A_k \}_{k=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{M}_1$, entonces:

• Si $A_k$ es numerable para todo $k\in \mathbb{N}$, entonces $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$ es numerable (la unión numerable de conjuntos numerables es numerable).
• Si $A_j^c$ es numerable para al menos un $j\in \mathbb{N}$, entonces $(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)^c\subseteq A_j^c$, de donde $(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)^c$ es numerable.

En todo caso $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in \mathcal{M}_1$. Concluimos que $\mathcal{M}_1$ es una $\sigma$-álgebra.

$\triangle$

Ejemplo. Si $X= \mathbb{R}$, definimos $\mathcal{M}$ como: $A\in \mathcal{M}$ $\iff$ $A=\emptyset$ ó $A$ es una unión finita de intervalos de la forma $[a,b)$ ó $(-\infty,b)$ con $-\infty<a<b\leq \infty$. Es fácil ver que $\mathcal{M}$ es un álgebra. Sin embargo, NO es una $\sigma$-álgebra. Los intervalos finitos y cerrados por la derecha se pueden expresar como unión numerable de elementos en $\mathcal{M}$ (por ejemplo $[a,b]=\bigcup_{k=r}^{\infty}[a,b-\frac{1}{k})$ con $\frac{1}{r}<b-a$), pero no son elementos de $\mathcal{M}$, pues ningún conjunto de $\mathcal{M}$ contiene a su supremo.

$\triangle$

Ejemplo. Cualquier álgebra finita (es decir, que solo contiene una cantidad finita de conjuntos) es en particular una $\sigma$-álgebra.

$\triangle$

Ejemplo ($\sigma$-álgebra restringida sobre un subconjunto). Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$. Sea $E\in \mathcal{M}$. Definimos la $\sigma$-álgebra restringida sobre $E$ como: $$\mathcal{M}_E=\{ F\cap E \ | \ F\in \mathcal{M}\}.$$ Es fácil ver que $\mathcal{M}_E$ es una $\sigma$-álgebra sobre $E$ con $\mathcal{M}_E\subseteq \mathcal{M}$.

$\triangle$

$\sigma$-álgebras a partir de otras clases de conjuntos

Proposición. La intersección (no necesariamente numerable) de $\sigma$-álgebras es una $\sigma$-álgebra.

Demostración. Sea $\{ \mathcal{M}_i \}_{i\in \mathcal{I} }$ una familia de $\sigma$-álgebras sobre $X$. Veamos que $\mathcal{M}=\bigcap_{i\in \mathcal{I}}\mathcal{M}_i$ es una $\sigma$-álgebra.

• Como $\emptyset \in \mathcal{M}_i$ para toda $i\in \mathcal{I}$, entonces $\emptyset\in \mathcal{M}$.
• Si $A,B\in \mathcal{M}$, por definición $A,B\in \mathcal{M}_i$ $\forall$ $i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $A\cup B \in \mathcal{M}_i$ $\forall i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $A\cup B\in \mathcal{M}$.
• Si $A\in \mathcal{M}$ $\implies$ $A\in \mathcal{M}_i$ $\forall$ $i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $A^c\in \mathcal{M}_i$ $\forall i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $A^c\in \mathcal{M}$.
• Si $\{ A_k\}_{k=1}^{\infty}\subseteq \mathcal{M}$ $\implies$ $\{ A_k\}_{k=1}^{\infty}\subseteq \mathcal{M}_i$ $\forall i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \in \mathcal{M}_i$ $\forall i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \in \mathcal{M}$.

Por lo que en efecto, $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra.

$\square$

En general, la unión de $\sigma$-álgebras no es una $\sigma$-álgebra. Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Sea $X=\{ a,b,c\}$. Podemos verificar directamente que $\mathcal{M}_1=\{ \{a \},\{ b,c\}, \emptyset, X \}$ y $\mathcal{M}_1=\{ \{b \},\{ a,c\}, \emptyset, X \}$ son $\sigma$-álgebras, sin embargo $\mathcal{M}_1\cup \mathcal{M}_2$ no lo es pues $\{ a\}, \{b\}\in \mathcal{M}_1\cup \mathcal{M}_2$ pero $\{ a\} \cup \{b\}\notin \mathcal{M}_1\cup \mathcal{M}_2$.

$\triangle$

El siguiente ejemplo nos permite construir $\sigma$-álgebras a partir de colecciones arbitrarias de conjuntos. Será esencial en la siguiente entrada, en la que definimos los conjuntos de Borel.

Definición. Dada $N$ una familia de subconjuntos de $X$, definimos la $\sigma$-álgebra generada por $N$, $\sigma(N)$ , como la intersección de todas las $\sigma$-álgebras que contienen a $N$.

Observación. La definición anterior tiene sentido: por la proposición anterior, la intersección de tales $\sigma$-álgebras es una $\sigma$-álgebra. Además, existe al menos una $\sigma$-álgebra que contiene a $N$ (a saber, $2^X$).

Observación. La $\sigma$-álgebra generada por $N$ claramente contiene a $N$. Más aún, es la $\sigma$-álgebra más pequeña con tal propiedad: cualquier otra $\sigma$-álgebra $\mathcal{M}$ con $N\subseteq \mathcal{M}$ cumple que $\sigma(N)\subseteq \mathcal{M}$ por definición.

Más adelante…

Definiremos la clase de conjuntos de Borel. Una $\sigma$-álgebra importante que será útil para definir la integral de Lebesgue más adelante.

Tarea moral

• Prueba que la intersección arbitraria de álgebras es un álgebra.
• Sean $\mathcal{M}$ y $\mathcal{N}$ $\sigma$-álgebras sobre $X$. Demuestra que si $\mathcal{M}\cup \mathcal{N}$ es un álgebra, entonces $\mathcal{M}\cup \mathcal{N}$ es una $\sigma$-álgebra.
• Sean $X,Y$ conjuntos y $f:X\to Y$ una función. Sea $\mathcal{N}$ una $\sigma$-álgebra sobre $Y$. Demuestra que $$\mathcal{M}=\{f^{-1}(A) \ | \ A\in \mathcal{N} \}$$ Es una $\sigma$-álgebra sobre $X$.
• Sean $N_1,N_2$ colecciones de subconjuntos de $X$.
  • Prueba que si $N_1\subseteq N_2$ $\implies$ $\sigma(N_1)\subseteq \sigma(N_2)$.
  • Prueba que si $N_1\subseteq \sigma(N_2)$ $\implies$ $\sigma(N_1)\subseteq \sigma(N_2)$.
• Siguiendo estos pasos, prueba que no exista una $\sigma$-álgebra infinita numerable: supón que $\mathcal{M}=\{B_1,B_2,\dots \}$ es una $\sigma$-álgebra infinita numerable sobre $X$.
  • Para cada $x\in X$, considera $A_x=\bigcap\{ B_k \ | \ x\in B_k \}$. Prueba que si $x,y\in X$, o bien $A_x\cap A_y=\emptyset$, o bien $A_x=A_y$.
  • Concluye que existen conjuntos no vacíos y disjuntos $C_1,C_2,\dots\in \mathcal{M}$ tales que $X=\bigcup_{k=1}^{\infty}C_k$.
  • Para cada subconjunto $I \subseteq \mathbb{N}$, sea $D_I=\bigcup_{i\in I}C_i$. Demuestra que $D_I\in \mathcal{M}$ para cada $I\in 2^{\mathbb{N}}$ y que $D_I\neq D_J$ si $I\neq J$. ¿Qué cardinalidad tiene $2^{\mathbb{N}}$?