Propiedades de los Conjuntos abiertos y cerrados

Proposición:Si A y B son subconjuntos abiertos de ${\mathbb{R}}^n$, entonces $A\bigcup B$ es un conjunto abierto de ${\mathbb{R}}^n$.
Demostración.
Sea $\bar{x}\in A\cup B$. Se tiene entonces que $\bar{x}\in A$ ó $\bar{x}\in B$. Si $\bar{x}\in A$, entonces, puesto que A es abierto existe $r>0$ tal que $B_r(\bar{x})\subset A$, luego $B_r(\bar{x})\subset A\cup B$ Si $\bar{x}\in B$, entonces, puesto que B es abierto existe $r>0$ tal que $B_r(\bar{x})\subset B$, luego $B_r(\bar{x})\subset A\cup B$. En cualquiera de los casos, existe una bola abierta $B_r$ contenida en $A\cup B$. $\therefore$ $A\cup B$ es abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Proposición. Si A y B son subconjuntos abiertos de ${\mathbb{R}}^n$, entonces $A\bigcap B$ es un conjunto abierto de ${\mathbb{R}}^n$.
Demostración. Sea $\bar{x}\in A\cup B$. Se tiene entonces que $\bar{x}\in A$ y $\bar{x}\in B$. Puesto que A es abierto $\mathrm{\exists }{r}_1>0$ tal que $B(\bar{x},r_1)\subset A$. Puesto que b es abierto $\mathrm{\exists }{r}_2>0$ tal que $B(\bar{x},r_2)\subset B$.\Sea $r=min{r}_1,r_2$, entonces se tiene que
$$\begin{array}{rl}B(\bar{x},r)& \subset B(\bar{x},r_1)\\ B(\bar{x},r)& \subset B(\bar{x},r_2)\end{array}$$
Por lo tanto $B(\bar{x},r)\subset A$ y $B(\bar{x},r)\subset B$, o sea $B(\bar{x},r)\subset A\cap B$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Proposición. Si A y B son subconjuntos cerrados de ${\mathbb{R}}^n$, entonces $A\bigcup B$ es un conjunto cerrado de ${\mathbb{R}}^n$.
Demostración. Para mostrar que $A\bigcup B$ es un conjunto cerrado, tenemos que mostrar que $(A\bigcup B{)}^c$ es un conjunto abierto, al ser A, B conjuntos cerrados entonces $A^c,B^c$ son conjuntos abiertos y por leyes de D’morgan
$$(A\bigcup B{)}^c=A^c\bigcap B^c$$
ahora bien por el resultado anterior se tiene que la intersección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, esto prueba que $(A\bigcup B{)}^c$ es un conjunto abierto, por lo tanto $A\bigcup B$ es un conjunto cerrado.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Proposición. Si A y B son subconjuntos cerrados de ${\mathbb{R}}^n$, entonces $A\bigcap B$ es un conjunto cerrado de ${\mathbb{R}}^n$.
Demostración. Para mostrar que $A\bigcap B$ es un conjunto cerrado, tenemos que mostrar que $(A\bigcap B{)}^c$ es un conjunto abierto, al ser A, B conjuntos cerrados entonces $A^c,B^c$ son conjuntos abiertos y por leyes de D’morgan
$$(A\bigcap B{)}^c=A^c\bigcup B^c$$
ahora bien por el resultado anterior se tiene que la unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, esto prueba que $(A\bigcap B{)}^c$ es un conjunto abierto, por lo tanto $A\bigcap B$ es un conjunto cerrado.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Generalizaciones de la proposiciones anteriores de la familias de conjuntos.

Proposición. La unión arbitraria de conjuntos abiertos en ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto abierto en ${\mathbb{R}}^n$.
Demostración.
Sea $A_{\alpha }$ una colección de subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$ tal que $A_{\alpha }$ es un conjunto abierto en ${\mathbb{R}}^n$. Sea ${\displaystyle A=\bigcup A_{\alpha }}$.
Sea ${\bar{x}}_0\in A$. Entonces existe $\alpha$ tal que ${\bar{x}}_0\in A_{\alpha }$ y como $A_{\alpha }$ es un conjunto abierto, existe $r>0$ tal que
$$B({\bar{x}}_0,r)\subset A\alpha \subset \bigcup A_{\alpha }=A$$
Por lo tanto A es abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Propposición. La intersección finita de conjuntos abiertos en ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto abierto en ${\mathbb{R}}^n$.
Demostración. Sean $A_1,A_2,\dots ,A_k$ subconjutos abiertos de ${\mathbb{R}}^n$. Sea ${\displaystyle B=\bigcap _{i=1}^k{A}_i=A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_k}$.
Sea ${\bar{x}}_0\in B$. Entonces ${\bar{x}}_0\in A_i$ para toda $1\le i\le k$. Cada $A_i$ es un conjunto abierto. Por lo tanto existe $r_i>0$ tal que $B({\bar{x}}_0,ri)\subset A_i$ para toda $1\le i\le k$. Sea $r=min{r}_1,r_2,\dots ,r_n>0$. Entonces
$$B({\bar{x}}_0,r)\subset B({\bar{x}}_0,r_i)\subset A_i\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n$$
Por lo tanto
$$B({\bar{x}}_0,r)\subset \bigcap _{i=1}^k{A}_i=B$$
y por lo tanto B es un conjunto abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Proposición. La unión finita de conjuntos cerrados en ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto cerrado en ${\mathbb{R}}^n$.
Demostración. Sean $A_1,\dots ,A_k\subset {\mathbb{R}}^n$ conjuntos cerrados y sea ${\displaystyle B=\bigcup _{i=1}^n{A}_i}$. Entonces
$$B^c={\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)}^c=\bigcap _{i=1}^n{A}_i^c$$
el cual es un conjunto abierto de ${\mathbb{R}}^n$. Por lo tanto B es un conjunto cerrado de ${\mathbb{R}}^n$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Proposición. La intersección finita de conjuntos cerrados en ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto cerrado en ${\mathbb{R}}^n$.
Demostración. Sea $A_{\alpha }$ una colección de subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$ tales que cada $A_{\alpha }$ es cerrado en ${\mathbb{R}}^n$. Por lo tanto para cada $\alpha$, $A^c\alpha$ es un conjunto abierto en ${\mathbb{R}}^n$. Sea ${\displaystyle A=\bigcap \alpha A_{\alpha }}$ tal que
$$A^c={\left(\bigcap _{\alpha }{A}_{\alpha }\right)}^c=\bigcup _{\alpha }{A}_{\alpha }^c$$
es un conjunto abierto en ${\mathbb{R}}^n$. Por lo tanto A es un conjunto cerrado en ${\mathbb{R}}^n$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Definición. Un elemento $\overline{x}\in A$ se dice que es un $\mathbf{\text{punto interior}}$ de $A$, si existe una bola abierta con centro en $\overline{x}$ contenida en $A$ es decir si $\mathrm{\exists }$ $r>0$ tal que $B(\overline{a},r)\subset A$. Denotamos por $int(A)$ al conjunto formado por todos estos puntos, es decir $$int(A)=\{\bar{x}\in {\mathbb{R}}^n|\bar{x}espuntointeriordeA\}$$
y diremos que este conjunto es el interior de A.

Ejemplo. Determinar el $int(A),Fr(A),ext(A)$ con
$$A=[0,1]\times [0,1]\cap (\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|(x,y)\in \mathbb{Q}y0\le x\le 10\le y\le 1\}.$$

Solución. Primero analicemos la figura, ¿qué pasa si tomamos un $(x,y)$ en $A$ y un $r>0$?, ¿qué podemos observar?. Si recordamos la densidad de los irracionales sabemos que podemos encontrar un $x^{\prime }$ irracional entre $x$ y $x+r$, entonces si tomamos el punto $(x^{\prime },y)$ podemos ver que esta dentro de $B_r(x,y)$, pero $(x^{\prime },y)$ no es un punto de $A$. Esto pasa para toda $r>0$ y todo $(x,y)$ en $A$. Entonces, podemos afirmar que el $int(A)=\mathrm{\varnothing }$.
Ademas, podemos decir que para todo $(x,y)$ en $A$ y todo $r>0$ se tiene que $B_r(x,y)\cap A^c\ne \mathrm{\varnothing }$. Usando el mismo argumento, pero ahora para los racionales, podemos decir que para cualquier $(x,y)$ y $r>0$ se tiene que $B_r(x,y)\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$.
Todo esto dentro del cuadrado $[0,1]\times [0,1]$. Entonces, podemos afirmar que $Fr(A)=[0,1]\times [0,1]$.

¿Que podemos decir del exterior? De lo anterior podemos deducir que
$ext(A)=\mathbb{R}{}^2-[0,1]\times [0,1]$.
Entonces, demostremos la siguiente afirmación:

Afirmación: $int(A)=\mathrm{\varnothing }$
Demostración. Sean $(x,y)\in A$ y $r>0$. Mostraremos que $B_r(x,y)\cap A^c\ne \mathrm{\varnothing }$, es decir, que para cualquier punto $(x,y)$ de $A$ y cualquier radio $r>0$, la bola $B_r(x,y)$ siempre contiene puntos de $A^c$, es decir, que $A$ no tiene puntos interiores.
Como $(x,y)\in A$, entonces $x\in \mathbb{Q}$ y por la densidad de los irracionales sabemos que siempre existe un $x^{\prime }\notin \mathbb{Q}$ tal que $x<x^{\prime }<x+r$……$★$
Tomemos el punto $(x^{\prime },y)$ y calculemos su distancia con $(x,y)$:
$$\Vert (x,y)-(x^{\prime },y)\Vert =\Vert (x-x^{\prime },0)\Vert =\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2}=\underset{\ast \ast }{\underbrace{|x-x^{\prime }|<r}}\text{ esta ultima desigualdad se cumple por }★$$ Veamos por que se cumple $\ast \ast$. De $★$ tenemos que $x<x^{\prime }<x+r$, restando $x$ tenemos $x-x<x^{\prime }-x<x+r-x$ $⟹0<x^{\prime }-x<r$ como esto es positivo, le podemos sacar el valor absouto y se mantiene la desigualdad $0<|x^{\prime }-x|<r$ y sabemos que $|a-b|=|b-a|$. Por lo tanto, $|x-x^{\prime }|<r$.
Entonces, como $\Vert (x,y)-(x^{\prime },y)\Vert <r$, tenemos que $(x^{\prime },y)\in B_r(x,y)$, pero como $x^{\prime }\notin \mathbb{Q}$ esto implica que $(x^{\prime },y)\notin \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$. Por lo tanto, $B_r(x,y)\cap ({\mathbb{R}}^2-\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})\ne \mathrm{\varnothing }$.
Podemos observar que $A\subset \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ $⟹$ $B_r(x,y)\cap ({\mathbb{R}}^2-A)=B_r(x,y)\cap A^c\ne \mathrm{\varnothing }$,
es decir, que para todo $r>0$ se tiene que $B_r(x,y)$ siempre interseca a $A^c$. Por lo tanto, $int(A)=\mathrm{\varnothing }$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Afirmación: $Fr(A)=[0,1]\times [0,1]$
Demostración. Primero mostraremos que $[0,1]\times [0,1]\subset Fr(A)$. Sea $(x,y)\in [0,1]\times [0,1]$ y $r>0$. Ya probamos que $B_r(x^{\prime },y^{\prime })\cap A^c\ne \mathrm{\varnothing }$, falta probar que $B_r(x,y)\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$. (Para que se cumpla la definición de frontera). Tenemos varios casos para $x$ y $y$:
$(1)$ Supongamos que $0\le x<1$ y $0\le y<1$. Por la densidad de los números racionales, sabemos que existen $x^{\prime },y^{\prime }\in \mathbb{Q}$ tal que:
$$x<x^{\prime }<min\{1,x+\frac{r}{\sqrt{2}}\},\text{y }y<y^{\prime }<min\{1,y+\frac{r}{\sqrt{2}}\}\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \mathrm{♣}$$
Entonces, $\underset{\mathrm{♠}}{\underbrace{(x^{\prime },y^{\prime })\in A}}$ y además ${\displaystyle |x-x^{\prime }|<\frac{r}{\sqrt{2}}}$ y ${\displaystyle |y-y^{\prime }|<\frac{r}{\sqrt{2}}}$. Así podemos ver lo siguiente:
$$||(x,y)-(x^{\prime },y^{\prime })||=\sqrt{(x-x^{\prime })+(y-y^{\prime })}<\sqrt{{\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)}^2}=r,$$
lo que nos dice que el punto $(x^{\prime },y^{\prime })\in B_r(x,y)$, y por $\mathrm{♠}$ tenemos que $B_r(x,y)\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$.
$(2)$ En este caso juntaremos los casos que faltan. Escogiendo a $x^{\prime },y^{\prime }$ como en $\mathrm{♣}$, tenemos lo siguiente:
(a) Si $x=1$ y $y<1$ nos fijamos en la pareja $(1,y^{\prime })$,
(b) Si $x<1$ y $y=1$ nos fijamos en la pareja $(x^{\prime },1)$, y
(c) Si $x=1$ y $y=1$nos fijamos en la pareja $(1,1)$.
Podemos observar que estos puntos están en $A$, pues sus entradas pertenecen a los racionales. Por lo tanto, $B_r(x,y)\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$. Por lo tanto, $[0,1]\times [0,1]\subset Fr(A)$.

Afirmación: $ext(A)={\mathbb{R}}^2-[0,1]\times [0,1]$
Demostración. Primero mostremos que ${\mathbb{R}}^2-\{[0,1]\times [0,1]\}\subset ext(A)$. Sea $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2-\{[0,1]\times [0,1]\}$
y supongamos que $x<0$ ó $1<x$, (la otra posibilidad es que $y<0$ ó $y>1$, pero se hace de manera análoga).
(1) Si $x<0$, entonces tomamos $r=|x|>0$. Vamos a mostrar que $B_r(x,y)\subset {\mathbb{R}}^2-\{[0,1]\times [0,1]\}$. Observemos que ${\mathbb{R}}^2\{[0,1]\times [0,1]\}\subset A^c\dots \dots \dots \dots ..\mathrm{♠}$.
Sea $(x^{\prime },y^{\prime })\in B_r(x,y)$, sabemos que
$$|x-x|\le \Vert (x,y)-(x^{\prime },y^{\prime })\Vert <r$$
pero $|x|=r$, entonces
$$|x-x^{\prime }|<|x|=-x\text{ pues }x<0$$
entonces
$$x<x-x^{\prime }<-x⟹-x+x<-x+x-x^{\prime }<-x-x⟹0<-x^{\prime }<-2x$$
multiplicando por $(-1)$, tenemos que $x^{\prime }<0$, lo cual implica que
$(x^{\prime },y^{\prime })\notin [0,1]\times [0,1]$. Así tenemos que $(x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^n-[0,1]\times [0,1]$.
Entonces, $B_r(x,y)\subset {\mathbb{R}}^n-[0,1]\times [0,1]$.
Por lo tanto, por $\mathrm{♠}$, $B_r(x,y)\subset A^c$, lo cual implica que $(x,y)\in ext(A)$.
(2) Si $x>1$, entonces tomamos $r=x-1>0$.
Vamos a mostrar que $B_r(x,y)\subset {\mathbb{R}}^2-\{[0,1]\times [0,1]\}$. Observemos que ${\mathbb{R}}^2\{[0,1]\times [0,1]\}\subset A^c\dots \dots \dots \dots ..\mathrm{♠}$.
Sea $(x^{\prime },y^{\prime })\in B_r(x,y)$, sabemos que

Vamos a mostrar que $B_r(x,y)\subset \mathbb{R}{}^2-[0,1]\times [0,1]$.
Observemos que $\mathbb{R}{}^2[0,1]\times [0,1]\subset A^c\dots \dots \dots \dots ..\mathrm{♠}$.\
Sea $(x^{\prime },y^{\prime })\in B_r(x,y)$, sabemos que
$$|x-x^{\prime }|\le \Vert (x,y)-(x^{\prime },y^{\prime })\Vert <r=x-1$$

$$|x-x^{\prime }|<x-1⟹1-x<x-x^{\prime }<x-1⟹1-2x<x-x-x^{\prime }<x-x-1$$

$$1-2x<-x^{\prime }<-1⟹1<x^{\prime }<2x-1$$

entonces tenemos que $x^{\prime }>1$, lo cual nos dice que $(x^{\prime },y^{\prime })\notin [0,1]\times [0,1]$.
Así tenemos que $(x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^n-\{[0,1]\times [0,1]\}$.
Entonces, $B_r(x,y)\subset {\mathbb{R}}^n-\{[0,1]\times [0,1]\}$.
Por lo tanto, por $\mathrm{♠}$, $B_r(x,y)\subset A^c$, lo cual
implica que $(x,y)\in ext(A)$. Por lo tanto, ${\mathbb{R}}^2-\{[0,1]\times [0,1]\}\subset ext(A)$.
De la proposición tenemos que ${\mathbb{R}}^n=int(A)\cup ext(A)\cup Fr(A)$,
en nuestro caso obtuvimos que $int(A)=\mathrm{\varnothing }$. Entonces,

$$\mathbb{R}{}^2=ext(A)\cup Fr(A)$$
y de esto obtenemos las siguientes igualdades
$$\mathbb{R}{}^2-ext(A)=Fr(A)\dots \dots \dots \mathrm{♣}\text{ y }\mathbb{R}{}^2-Fr(A)=ext(A)\dots \dots \dots \mathrm{♣}\mathrm{♣}.$$
De $\mathrm{♣}$ tenemos $Fr(A)\subset \mathbb{R}{}^2-ext(A)$ y de $(2)$ tenemos $[0,1]\times [0,1]\subset Fr(A)$, entonces $[0,1]\times [0,1]\subset Fr(A)\subset \mathbb{R}{}^2-ext(A)\dots \dots \dots \dots .✠$
De $(3)$ tenemos ${\mathbb{R}}^2-[0,1]\times [0,1]\subset ext(A)$,
entonces

$$({\mathbb{R}}^2-[0,1]\times [0,1])\cup [0,1]\times [0,1]\subset ext(A)\cup [0,1]\times [0,1]$$

entonces
$${\mathbb{R}}^2\subset ext(A)\cup [0,1]\times [0,1]⟹{\mathbb{R}}^2-ext(A)\subset (ext(A)\cup [0,1]\times [0,1])-ext(A)$$

así tenemos
$${\mathbb{R}}^2-ext(A)\subset [0,1]\times [0,1]\dots \dots \dots \dots ..✠✠$$

Entonces, por $✠$ y $✠✠$ tenemos que $Fr(A)=[0,1]\times [0,1]$. Y de esta igualdad y de $\mathrm{♣}\mathrm{♣}$ tenemos que $ext(A)={\mathbb{R}}^2-[0,1]\times [0,1]$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Proposición:
Si $A\subset {\mathbb{R}}^n$, entonces:
(1) $int(A)\subset A$
(2) $ext(A)\subset A^c$
(3) (a) $int(A)\cap ext(A)=\mathrm{\varnothing }$, (b) $int(A)\cap Fr(A)=\mathrm{\varnothing }$ y (c) $Fr(A)\cap ext(A)=\mathrm{\varnothing }$
(4) ${\mathbb{R}}^n=int(A)\cup ext(A)\cup Fr(A)$
(5) $int(A^c)=ext(A)$ y $Fr(A)=Fr(A^c)$.

Demostración.
(1) Por demostrar que $int(A)\subset A$. Sea $\hat{x}\in int(A)$ $⟹$ por definición que existe $r>0$ tal que $B_r(\hat{x})\subset A$. Como $\hat{x}\in B_r(\hat{x})$ (por definición de bola), entonces $\hat{x}\in A$. Por lo tanto, $int(A)\subset A$.

(2) Por demostrar que $ext(A)\subset A^c$. Sea $\hat{x}\in ext(A)$ $⟹$ por definición que existe $r>0$ tal que $B_r(\hat{x})\subset A^c$. Como $\hat{x}\in B_r(\hat{x})$ (por definición de bola), entonces $\hat{x}\in A^c$. Por lo tanto, $ext(A)\subset A$.

3_aPor demostrar que $int(A)\cap ext(A)=\mathrm{\varnothing }$. Supongamos por contadicción que $int(A)\cap ext(A)\ne \mathrm{\varnothing }$, esto implica que existe $\hat{x}\in int(A)\cap ext(A)$ $⟹$ $\hat{x}\in int(A)$ y $\hat{x}\in ext(A)$, esto implica por (1) y (2) que $\hat{x}\in A$ y $\hat{x}\in A^c$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $int(A)\cap ext(A)=\mathrm{\varnothing }$.

3_b Por demostrar que $int(A)\cap Fr(A)=\mathrm{\varnothing }$. Supongamos por contadicción que $int(A)\cap Fr(A)\ne \mathrm{\varnothing }$, esto implica que existe $\hat{x}\in int(A)\cap Fr(A)$ $⟹$
$\hat{x}\in int(A)$ y $\hat{x}\in Fr(A)$. Así, tenemos lo siguiente: $(a).$ Existe $r>0$ tal que $B_r(\hat{x})\subset A$, y $(b).$ Para todo $r^{\prime }>0$ se tiene que $B_{r^{\prime }}(\hat{x})\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$ y $B_{r^{\prime }}(\hat{x})\cap A^c\ne \mathrm{\varnothing }$. En particular, por $(a)$, para $r>0$ tenemos que $B_r(\hat{x})\cap A^c=\mathrm{\varnothing }$, lo cual contradice la hipótesis $(b)$. Por lo tanto, $int(A)\cap Fr(A)=\mathrm{\varnothing }$.

3_c Por demostrar que $Fr(A)\cap ext(A)=\mathrm{\varnothing }$.
Supongamos por contradicción que $Fr(A)\cap ext(A)\ne \mathrm{\varnothing }$,
esto implica que existe $\hat{x}\in Fr(A)\cap ext(A)$ $⟹$
$\hat{x}\in Fr(A)$ y $\hat{x}\in ext(A)$. Así, tenemos lo siguiente:
$(a).$ Para todo $r>0$ se tiene que $B_{r^{\prime }}(\hat{x})\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$
y $B_{r^{\prime }}(\hat{x})\cap A^c\ne \mathrm{\varnothing }$, y
$(b).$ Existe $r^{\prime }>0$ tal que $B_{r^{\prime }}(\hat{x})\subset A^c$.
Así, por $(b)$tenemos que existe $r^{\prime }>0$ tal que $B_{r^{\prime }}(\hat{x})\cap A=\mathrm{\varnothing }$,
lo cual contradice la hipótesis $(a)$. Por lo tanto, $Fr(A)\cap ext(A)=\mathrm{\varnothing }$.

(4) Por demostrar que ${\mathbb{R}}^n=int(A)\cup Fr(A)\cup ext(A)$.
Como $A\subset {\mathbb{R}}^n$, se tiene que $int(A)\cup Fr(A)\cup ext(A)\subset {\mathbb{R}}^n$. Falta ver que ${\mathbb{R}}^n\subset int(A)\cup Fr(A)\cup ext(A)$. Sea $\hat{x}\in {\mathbb{R}}^n$, como $A\subset {\mathbb{R}}^n$entonces tenemos tres casos:

$(a)$ Existe $r>0$ tal que $B_r(\hat{x})\subset A$, entonces por
definición tenemos que $\hat{x}\in int(A)$,

$(b)$ existe $r>0$ tal que $B_r(\hat{x})\subset A^c$, entonces por defición tenemos que $\hat{x}\in ext(A)$, o
$(c)$ para todo $r>0$ se tiene que $B_r(\hat{x})\cap A^c\ne \mathrm{\varnothing }$
y $B_r(\hat{x})\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$, entonces por definición $\hat{x}\in Fr(A)$. Así tenemos que, ${\mathbb{R}}^n\subset int(A)\cup Fr(A)\cup ext(A)$. Por lo tanto, ${\mathbb{R}}^n=int(A)\cup Fr(A)\cup ext(A)$.

$(5)$ (a) Por demostrar que $int(A^c)=ext(A)$.
$\subset \rfloor$ $int(A^c)\subset ext(A)$ Sea $\hat{x}\in int(A^c)$, por definición se tiene que existe $r>0$ tal que $B_r(\hat{x})\subset A^c$, pero esta es la definición de un punto exterior de $A$. Por lo tanto, $\hat{x}\in ext(A)$. $\supset \rfloor$ $ext(A)\subset int(A^c)$. Sea $\hat{x}\in ext(A)$, por definición se tiene que existe $r>0$ tal que $B_r(\hat{x})\subset A^c$, pero esta es la definición de un punto interior de $A^c$. Por lo tanto, $\hat{x}\in int(A^c)$. Por lo tanto, $int(A^c)=ext(A)$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Definición. Sea $A\subset {\mathbb{R}}^n$. Definimos la cerradura de A, que denotamos por $\bar{A}$, como $$\bar{A}=int(A)\cup Fr(A)$$

Proposición. Sea $A\subset {\mathbb{R}}^n$. Las siguientes afirmaciones son ciertas:
(1) $Int(A)$ es un conjunto abierto
(2) $Ext(A)$ es un conjunto abierto
(3) $Fr(A)$ es un conjunto cerrado
(4) $\bar{A}$ es un conjunto cerrado.
Demostración.
(1) Sea $\bar{x}\in Int(A)$, entonces existe $r>0$ tal que $B(\bar{x},r)\subset A$. Sea $\bar{y}\in B(\bar{x},r)$, existe $r^{\prime }>0$ tal que $B(\bar{y},r^{\prime })\subset B(\bar{x},r)\subset A$ por lo que $\bar{y}\in Int(A)$ y por tanto $B(\bar{x},r)\subset Int(A)$.
(2) Como $Ext(A)=Int(A^c)$ y de acuerdo al inciso anterior este conjunto es abierto.
(3) Tenemos que $$(Fr(A){)}^c={\mathbb{R}}^n-Fr(A)=int(A)\cup Ext(A)$$
ambos conjuntos son conjuntos abiertos y la unión de conjuntos abiertos es abierta, entonces este conjunto es abierto y por tanto $Fr(A)$ es cerrado.
(4) Se tiene que
$$({\bar{A}}^c)={\mathbb{R}}^n-(int(A)\cup Fr(A))=ext(A)$$
el cual es conjunto abierto, por lo tanto $\bar{A}$ es un conjunto cerrado.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Punto de Acumulación

Definición. Sea $A\subset {\mathbb{R}}^n$ y $\bar{x}\in {\mathbb{R}}^n$. Se dice que
(1) $\bar{x}$ es un punto de acumulación de A, si toda bola abierta con centro en $\bar{x}$ contiene un punto de A distinto de $\bar{x}$ es decir $$\mathrm{\forall }r>0,(B(\bar{x},r)-\bar{x})\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$$
Al conjunto de puntos de acumulación de A se le denomina el $\mathbf{\text{conjunto derivado}}$ de A y se le denota $A^{\prime }$.
(2) $\bar{x}\in A$ es un punto aislado de A si $\bar{x}$ no es un punto de acumulación de A, es decir, si existe $r>0$ tal que
$$(B(\bar{x},r)-\bar{x})\cap A=\mathrm{\varnothing }.$$

Ejemplo. Sea
$$A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2<1\}$$
Muestre que ${\displaystyle {\bar{x}}_0=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})}$ es un punto de acumulación de A.
Solución. Vamos a considerar el punto ${\displaystyle \bar{x}=(\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)})}$, para $r>0$.
Tenemos entonces que

(1) $\bar{x}\in A$ pues
$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}\right)}^2& =\frac{1}{2(r+1{)}^2}+\frac{1}{2(r+1{)}^2}\\ & <\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\end{array}$$

(2) Tenemos que
$$\begin{array}{rl}\Vert \bar{x}-{\bar{x}}_0\Vert & =|(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})-(\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)})|\\ & =\left|(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)})\right|\\ & =|\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}|\\ & =\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}\Vert (1,1)\Vert \\ & =\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}\sqrt{2}\\ & =\frac{r}{r+1}<r\end{array}$$

Tenemos entonces que ${\displaystyle \bar{x}\in B((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}),r)}$. Por lo tanto
$$[B((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}),r)-\left\{(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\right\}]\bigcap A\ne \mathrm{\varnothing }$$
Por lo tanto ${\displaystyle {\bar{x}}_0=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})}$ es un punto de acumulación de A.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Más adelante

En la siguiente sección continuaremos estudiando topológicamente los conjuntos importantes obtenidos a partir de la caracterización de puntos de ${\mathbb{R}}^n$

Tarea Moral

1.- Si $A\subset {\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$ es un conjunto arbitrario demuestra que $int(A)\subset A´\subset int(A)\cup Fr(A)$

2.- Sea $A\in {\mathbb{R}}^n$ prueba que: $A$ no puede ser cerrado y abierto a la vez.

3.- Sea $A\in {\mathbb{R}}^n$ prueba que: $Fr(A)\ne \varphi$

4.-Sean $A$ y $B$ subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$. Indica y prueba si las siguientes afirmaciónes son ciertas.

a) Si $A\subset B$ entonces $A^{\prime }\subset B^{\prime }$

b) $(A\cup B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cap B^{\prime }$

c) $(A\cap B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }$

5.- Sea $A$ un subconjunto de ${\mathbb{R}}^n$ Prueba que: Si $B\subset A$ y $B$ es abierto, entonces $B\subset int(A)$ (es decir, de los conjuntos abiertos que están contenidos en $A$, $int(A)$ es el más «grande»).