¡Hola de nuevo!

Si estás leyendo esto, ya recorriste un buen tramo en el camino de Modelos Biomatemáticos I. En este segundo módulo encontrarás herramientas que te ayudarán a comprender conceptos más complejos, pero igual de interesantes, y así ampliar tu capacidad para modelar, interpretar y comprender fenómenos biológicos.

En este segundo módulo exploraremos contenidos esenciales como ecuaciones, logaritmos, desigualdades, iteraciones, funciones, sistemas de ecuaciones, matrices y más. Aunque algunos de estos temas pueden parecer desafiantes, no estás solo en este proceso: encontrarás aquí explicaciones claras, ejemplos aplicados y ejercicios pensados para ayudarte a conectar estos conceptos con situaciones reales en biología.

Tómate tu tiempo, explora, equivócate sin miedo y vuelve a intentar. Este es un espacio para aprender y seguir construyendo confianza.

Espero que este material te siga acompañando y ayudando a ver las matemáticas no solo como una asignatura más, sino como una herramienta para seguir navegando en el mundo biomatemático. Vamos paso a paso… pero ya estás mucho más cerca de dominarlo.

¡Ánimo!

Módulo 2

8. Ecuaciones y factorización

a. Definición de ecuación

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más variables, y representa una condición que debe cumplirse.

Ejemplo: $2x + 3 = 7$

Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad.

b. Ecuaciones lineales (primer grado)

Las ecuaciones lineales de primer grado tienen la forma general: $ax + b = c$.

Para resolver:
Paso 1. Agrupar términos semejantes.
Paso 2. Aislar la variable.
Paso 3. Despejar.

Ejemplo: $5(x + 2)-3 = 2x + 4 \Rightarrow 5x + 10-3 = 2x + 4 \Rightarrow 5x + 7 = 2x + 4 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$

c. Resolución de ecuaciones cuadráticas (segundo grado)

Las ecuaciones de segundo grado tienen la forma general: $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a \neq 0$, b y c son constantes.

• Factorización
  Factorizar una expresión algebraica es reescribirla como un producto de factores más simples. Esto es muy útil para resolver ecuaciones y simplificar expresiones.

Casos comunes:

■ Factor común: $abx^2 + acx = ax(bx + c)$

Se saca el mayor factor que todos los términos tienen en común.

Ejemplo: $4x^4 + 8x^3 = 4x^3(x + 2)$

■ Diferencia de cuadrados: $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$

Ejemplo: $9x^2 – 16 = (3x – 4)(3x + 4)$

■ Trinomio cuadrado perfecto: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Ejemplo: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

■ Trinomio general: $ax^2 + bx + c = (dx + e)(fx + g)$

Buscamos dos números que multiplicados den $a \cdot c$ y que sumen b.
Luego se reescribe y agrupa.

Ejemplo: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

■ Suma o diferencia de cubos: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$

■ Agrupación: Se agrupan en pares y se factoriza dos veces.

Ejemplo: $x^3 – 6x^2 – 4x + 24 = (x^2 – 6x) – (4x – 24) = x(x – 6) -4(x – 6) = (x – 4)(x – 6)$

• Fórmula general
  La fórmula general permite resolver cualquier ecuación cuadrática:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a},$$ donde a, b, y c son los coeficientes de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$.
El término $b^2 – 4ac$ se llama discriminante, y nos indica que:

○ si $b^2-4ac > 0$, hay dos soluciones reales distintas,
○ si $b^2-4ac = 0$, hay una solución real doble,
○ si $b^2-4ac < 0$, no hay soluciones reales (son complejas).

Ejemplo: $2x^2-4x-6 = 0$

Identificamos que a = 2, b = −4, c = −6

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4}$$

$$x = \frac{4 \pm 8}{4} \Rightarrow x = \frac{12}{4} = 3, \quad x = \frac{-4}{4} = -1$$

• Completando el cuadrado
  Este método transforma un trinomio cuadrático en el cuadrado de un binomio, útil en geometría analítica, física y más.

Se procede de la siguiente manera:

Paso 1. Asegúrate de que el coeficiente de $x^2$ sea 1. Si no lo es, divide toda la ecuación.
Paso 2. Toma la mitad del coeficiente de x, elévalo al cuadrado.
Paso 3. Súmalo y réstalo en la expresión.
Paso 4. Agrupa el trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo:

$x^2 + 6x + 5$

Tomamos la mitad de 6 → $\frac{6}{2} = 3$, al cuadrado: 9

$x^2 + 6x + 9 – 4 = (x + 3)^2 – 4$

Otro ejemplo con coeficiente diferente de 1:

$2x^2 + 8x + 3$

Factor común en los dos primeros términos:

$2(x^2 + 4x) + 3$

Completo cuadrado dentro del paréntesis:

$2(x^2 + 4x + 4 – 4) + 3 = 2((x + 2)^2 – 4) + 3 = 2(x + 2)^2 – 8 + 3 = 2(x + 2)^2 – 5$

9. Desigualdades

a. Definición de desigualdad

Una desigualdad es una relación matemática que compara dos expresiones usando los símbolos de menor que (<), mayor que (>), menor o igual que (≤) y mayor o igual que (≥).

Ejemplos:
• $3 < 5$
• $x + 2 \geq 10$
A diferencia de las ecuaciones, que tienen soluciones exactas, las desigualdades representan conjuntos de soluciones que satisfacen una condición.

b. Propiedades de las desigualdades

Suma y resta:
Si $a < b$, entonces $a + c < b + c$.
Es análogo para la resta: Si $a < b$, entonces $a – c < b – c$.

Multiplicación o división por un número positivo:
Si $a < b$ y $c > 0$, entonces $ac < bc$.

Multiplicación o división por un número negativo:
Si $a < b$ y $c < 0$, entonces $ac > bc$. 
Ojo: ¡El signo de desigualdad se invierte!


Ejemplo 1. Desigualdad lineal simple

Resolviendo: $2x – 3 < 5$
Paso 1. Sumar 3 a ambos lados: $2x < 8$
Paso 2. Dividir entre 2: $x < 4$
Solución: Todos los x menores que 4.

Representación gráfica: 
Una línea numérica con un círculo abierto en 4 y una flecha hacia la izquierda.

Ejemplo 2. Desigualdad con cambio de signo

Representación gráfica: 
Una línea numérica con un círculo cerrado en 1 y una flecha hacia la izquierda.

c. Desigualdades cuadráticas

Para resolver desigualdades del tipo $x^2 – 5x + 6 > 0$ se procede:

Paso 1. Factorizamos: $(x – 2)(x – 3) > 0$
Paso 2. Identificamos los ceros: $x = 2$ y $x = 3$
Paso 3. Probamos los intervalos:
• $x < 2$ → positivo
• $2 < x < 3$ → negativo
• $x > 3$ → positivo
Solución: $x < 2$ o $x > 3$

Representación gráfica: 

d. Formas de escribir las soluciones

Las soluciones de desigualdades se pueden expresar en:

• Forma verbal: Todos los números mayores que 5.
• Notación con desigualdades: $x > 5$
• Notación de intervalo: $(5, \infty)$
Recuerda: Si usas aréntesis ( ), se excluye el número y se llama intervalo cerrado; y si usas corchetes [ ], se incluye el número y se llama intervalo abierto.

10. Logaritmos

a. Definición de logaritmo

Un logaritmo es el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número dado. Se expresa como:

$\log_b a = x$ si y solo si $b^x = a$, 

donde b es la base del logaritmo (debe ser positiva y distinta de 1), a es el argumento (el número del que tomamos el logaritmo), x es el resultado, es decir, el exponente que buscamos.

Ejemplos:

• $\log_2 8 = 3$, porque $2^3 = 8$
• $\log_{10} 1000 = 3$, porque $10^3 = 1000$

b. Logaritmos comunes y naturales

• Logaritmo común

Si la base es 10 $\Longrightarrow \log a = \log_{10} a$

• Logaritmo natural

Si la base es e (número de Euler, aprox. 2.718) $\Longrightarrow \ln a = \log_e a$

c. Propiedades de los logaritmos

• Producto: $$\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$$

• Cociente: $$\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y$$

• Potencia: $$\log_b (x^r) = r \cdot \log_b x$$

• Logaritmo de 1:

$\log_b 1 = 0$ cualquier número elevado a 0 da 1.

• Logaritmo de la base: $$\log_b b = 1$$

d. Cambio de base

A veces necesitamos calcular un logaritmo con una base distinta a la que tenemos disponible (por ejemplo, en una calculadora). La fórmula es:

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$

Usualmente se usa la base 10 o e (logaritmo común o natural).

Ejemplo:

$$\log_2 100 = \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2} \approx \frac{2}{0.3010} \approx 6.64$$

e. Aplicaciones de logaritmos en biología

Los logaritmos aparecen en muchos modelos de crecimiento, poblaciones, reacciones químicas y escalas biológicas.

Ejemplo. Crecimiento poblacional

El modelo exponencial: $P(t) = P_0 e^{kt}$

Si queremos encontrar el tiempo que tarda en alcanzarse cierta población P(t), usamos logaritmos:

$$t = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{P(t)}{P_0}\right)$$

Ejemplo. Escala logarítmica en el pH

La fórmula del pH es: $\text{pH} = -\log_{10} [\text{H}^+]$

Si la concentración de iones hidrógeno $1 \times 10^{-7}$, entonces:

$\text{pH} = -\log_{10}(10^{-7}) = 7$

11. Iteración

a. Definición de iteración

Una iteración es un proceso que consiste en aplicar repetidamente una misma regla o fórmula, donde el valor siguiente depende del valor anterior. Se representa generalmente como:

$$x_{n+1} = f(x_n)$$

Ejemplo:
Comienza con el número 1 y suma 2 en cada paso: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$
Aquí cada número se obtiene sumando 2 al anterior. La regla es: $x_{n+1} = x_n + 2$

b. Propiedades de las iteraciones

• Condición inicial: toda iteración necesita un valor de partida. A partir de él, se generan los siguientes valores. Por ejemplo $x_0 = 1$.
• Regla de cambio: es la fórmula o relación que se aplica en cada paso. Por ejemplo $x_{n+1} = 2x_n$.
• Dependencia del tiempo o pasos: iterar es como avanzar en el tiempo, en cada paso, el sistema cambia según la regla dada.

Ejemplo:
Si $x_0 = 1$ y la regla es $x_{n+1} = 2x_n$​, la secuencia será: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$

Ejemplo aplicado:
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si al inicio hay 100 bacterias:

$P_0 = 100$, se tiene que $P_{n+1} = 2P_n$​

Los primeros valores son:

$$P_1 = 2(100) = 200 \quad P_2 = 2(200) = 400 \quad P_3 = 2(400) = 800 \dots$$

c. Crecimiento lineal vs. crecimiento exponencial

(agregar grafs)

Paso	Crecimiento lineal (suma 100)	Crecimiento exponencial (duplica)
0	100	100
1	200	200
2	300	400
3	400	800

---

d. Iteraciones con fórmulas más complejas:

Algunas iteraciones incluyen otros elementos, como tasas de crecimiento, disminución, o límites. Por ejemplo:

$$x_{n+1} = x_n + r x_n (1 – \frac{x_n}{K})$$

Esta es una forma iterativa del modelo logístico, usado para describir poblaciones con límite ambiental.

12. Funciones y sus gráficas

a. Definición de función

Una función es una relación matemática entre dos variables, donde a cada elemento del conjunto variables independientes (dominio) le corresponde exactamente un elemento del conjunto de variables dependientes (rango). 

Se representa generalmente como: $f(x) = y$, donde x es la variable independiente (entrada), y es la variable dependiente (salida), f es la regla que asigna a cada x un único valor y.

Ejemplo:
Si $f(x) = 2x + 1$, entonces: $f(1) = 2(1) + 1 = 3,\quad f(2) = 2(2) + 1 = 5$.

b. Función lineal

Una función lineal tiene la forma general $f(x) = mx + b$, donde m es la pendiente (indica el crecimiento), b es la ordenada al origen (el valor de y cuando $x = 0$). 

Análisis gráfico:
• La gráfica de una función lineal es una línea recta.
• La pendiente m determina si la recta sube (m > 0) o baja (m < 0).
• El valor b indica el punto donde la recta corta al eje Y.

Ejemplo:
Una planta crece 2 cm por día, con una altura inicial de 5 cm:

$f(x) = 2x + 5$ (5 cm de altura inicial) Graficar

c. Funciones no lineales

No todas las relaciones son lineales. Muchas veces en biología hay curvas, aceleraciones o desaceleraciones.

￭ Cuadrática
Tiene la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$

Análisis gráfico:
• La gráfica es una parábola tal que si a > 0, se abre hacia arriba, si a < 0, se abre hacia abajo.
• El vértice es el punto de mínimo (si a > 0) o máximo (si a < 0).
• Las raíces (o ceros) de la función son los valores de x donde $f(x) = 0$, y se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.

Puntos importantes:
• Vértice: punto máximo o mínimo.
• Raíces: valores de x que hacen que $f(x) = 0$ (pueden calcularse con la fórmula cuadrática).

Ejemplo:

$f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ Esta parábola se abre hacia abajo. El vértice y las raíces permiten analizar cómo varía la función con el tiempo, por ejemplo en procesos de crecimiento que luego disminuyen.

￭ Exponencial
Tiene la forma general $f(x) = a \cdot b^x$, donde a es el valor inicial, si b > 1 hay crecimiento exponencial, si 0 < b < 1 hay decaimiento exponencial.

Análisis gráfico:
• Crece o decrece rápidamente.
• Siempre es positiva si a > 0.
• A medida que $x \to \infty$, f(x) crece si b > 1; si b < 1, decrece hacia 0.

Ejemplo:
Crecimiento bacteriano: $f(x) = 100 \cdot 2^x$

￭ Logarítmica
Tiene la forma general $f(x) = a \cdot \log(x)$, donde se define sólo para x > 0, y a ajusta la escala.

Análisis gráfico:
• Crece, pero muy lentamente conforme x aumenta.
• Tiene una asíntota vertical en x = 0 (no puede tomar valores negativos).

Ejemplo:
Respuesta fisiológica a un estímulo, como percepción del sonido o intensidad de luz.

￭ Racionales
Su forma general es $f(x) = \frac{1}{x}$. 

Análisis gráfico:
• Tiene dos ramas (una en cada lado del eje y),
• No está definida en x = 0,
• Tiene una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota horizontal en y = 0.

Ejemplo:
Relaciones inversas como velocidad y tiempo: a mayor velocidad, menor tiempo.

￭ Potencial o alométrica
Su forma general es $y = a \cdot x^k$, donde a es una constante de proporcionalidad, k puede ser positivo o negativo, entero o fraccionario.

Análisis gráfico:
• Si k > 1: crecimiento acelerado.
• Si 0 < k < 1: crecimiento desacelerado.
• Si k < 0: decrecimiento.

Ejemplo:
Relación entre masa corporal y tasa metabólica: $f(x) = 70 \cdot x^{0.75}$
Este tipo de función describe cómo cambia una variable fisiológica en función del tamaño corporal.

d. Dominio y codominio

• Dominio: conjunto de todos los posibles valores de entrada x que hacen que la función esté bien definida.

• Codominio: conjunto de todos los posibles valores de salida y.

Ejemplo:
Para $f(x) = \sqrt{x}$, el dominio es $x \geq 0$, porque no se puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo (en los reales).

e. Coeficientes de correlación

Cuando se tiene un conjunto de datos empíricos o experimentales (por ejemplo, mediciones de dos variables en una muestra), es útil saber qué tan fuertemente están relacionadas.

El coeficiente de correlación (r) mide la intensidad y dirección de una relación lineal entre dos variables, es decir, permite cuantificar qué tan bien se ajustan a una función lineal.

$-1 \leq r \leq 1$

• $r \approx 1$: correlación positiva fuerte (ambas variables aumentan juntas).
• $r \approx -1$: correlación negativa fuerte (una aumenta mientras la otra disminuye).
• $r \approx 0$: no hay relación lineal.

Ejemplo:
Si midieras la longitud del ala y el peso de aves, podrías obtener un r cercano a 0.8, indicando una fuerte relación positiva.

Otro ejemplo:
Una investigadora mide la concentración de glucosa en sangre en función del tiempo después de una comida. Si los datos tienen r = −0.92, se puede decir que la concentración de glucosa disminuye de forma lineal conforme pasa el tiempo.

Importante recordar: Correlación no implica causalidad. Que dos variables estén relacionadas no significa que una cause la otra.

13. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Resolver un sistema significa encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

a. Solución de un sistema

Una solución puede ser un par ordenado $(x, y)$ que satisfaga todas las ecuaciones del sistema.

Tipos de soluciones:

• Una única solución (sistema compatible determinado)
Las rectas se cortan en un único punto, por lo que el sistema tiene solución única.

• Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)
Las rectas son la misma recta (coinciden totalmente), entonces todas las soluciones de una son soluciones de la otra.

• Ninguna solución (sistema incompatible)
Las rectas son paralelas y no se cortan, entonces no hay valores que satisfagan las ecuaciones a la vez.

b. Métodos de resolución

￭ Método gráfico
Consiste en graficar ambas ecuaciones en el plano cartesiano y observar el punto (si existe) donde se cruzan las rectas.

Ejemplo:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

• Primera recta: $y = -x + 4$
• Segunda recta: $y = x – 2$
Graficando, se cruzan en el punto (3, 1). Esa es la solución del sistema.

￭ Método de sustitución

Paso 1. Se despeja una variable en una de las ecuaciones.
Paso 2. Se sustituye en la otra ecuación.
Paso 3. Se resuelve y luego se reemplaza para encontrar la otra variable.

Ejemplo:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

Paso 1. De la primera ecuación, despejamos $x = 4 – y$
Paso 2. Sustituimos en la segunda

$(4 – y) – y = 2 \Rightarrow 4 – 2y = 2 \Rightarrow y = 1$

Paso 3. Reemplazamos en $x = 4 – y$

$x = 4 – 1 = 3$

Solución: (3, 1)

￭ Método de igualación

Paso 1. De despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
Paso 2. De igualan las expresiones.
Paso 3. De resuelve la ecuación resultante.

Ejemplo:

$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$$

Paso 1. Como ya están ambas ecuaciones igualadas a y, se continúa al siguiente paso.
Paso 2. Se igualan ambas ecuaciones

$2x + 1 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$

Paso 3: se resuelve que $y = 2(1) + 1 = 3$
Solución: (1, 3)

￭ Método de reducción (o suma y resta)

Paso 1. Se multiplican las ecuaciones (si es necesario) para que, al sumarlas o restarlas, una variable se elimine.
Paso 2. Se resuelve la variable restante y luego se reemplaza.

Ejemplo:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

Paso 1. $(2x + y) + (x – y) = 5 + 1 \Longrightarrow 3x = 6 \Longrightarrow x = 2$
Paso 2. $2 – y = 1 \Longrightarrow y = 1$
Solución: (2, 1)

14. Matrices y determinantes

a. Definición de matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, ordenados en filas y columnas.

Se denota por una letra mayúscula (como A, B, M…), y sus elementos se representan con subíndices:

$A = a_{ij}​$, donde i es el número de la fila y j el de la columna.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

Esta es una matriz de 2 filas y 3 columnas, o matriz $2 \times 3$ (se dice “dos por tres”).
En este caso se puede observar que $a_{11} = 1$ y $a_{23} = 6$.

b. Tipos de matrices

Las matrices se pueden clasificar según su forma y contenido. 

Tipo de matriz	Descripción	Ejemplo
Matriz fila	Solo tiene una fila.	$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$
Matriz columna	Solo tiene una columna.	$\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}​$​​
Matriz rectangular	Número de filas distinto al de columnas.	$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
Matriz cuadrada	Mismo número de filas y columnas (n × n). Sólo las matrices cuadradas tienen determinante e inversa.	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Matriz diagonal	Cuadrada, sólo tiene elementos no nulos en la diagonal principal.	$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
Matriz identidad	Diagonal con unos en la diagonal principal	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Matriz nula	Todos sus elementos son cero	$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

c. Operaciones con matrices

Las matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse, siempre que cumplan ciertas condiciones.

• Suma y resta de matrices
Sólo pueden sumarse o restarse matrices del mismo tamaño, es decir, con igual número de filas y de columnas.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$, $$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

$$A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

• Multiplicación por un escalar
Se multiplica cada elemento de la matriz por ese número.

Ejemplo:

$$2 \cdot A = 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$$

• Multiplicación de matrices
Solo se puede multiplicar una matriz $A_{m \times n}$​ por una matriz $B_{n \times p}$​: las columnas de la primera deben coincidir con las filas de la segunda. El resultado será una matriz $C_{m \times p}$​.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \Rightarrow AB = (1)(3) + (2)(4) = 11$$

d. Determinantes

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Es importante para saber si un sistema de ecuaciones tiene solución única, calcular la inversa de una matriz.

Se denota como $\det(A)$ o $|A|$.

• Determinante de una matriz 2×2

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) = ad – bc$$

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) = (3)(4) – (2)(1) = 12 – 2 = 10$$

• Determinante de una matriz 3×3 (Regla de Sarrus)
La regla de Sarrus permite calcular de forma rápida el determinante de una matriz 3×3.
Dada una matriz

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$

Paso 1. Repite las dos primeras columnas a la derecha

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}​$$

Paso 2. Suma los productos de las diagonales principales

$$a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$$

Paso 3. Resta los productos de las diagonales secundarias

$$a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}$$

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

Paso 1.

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 \\ 7 & 8 & 9 & 7 & 8 \end{bmatrix}​$$

Paso 2.

$1 \times 5 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8 = 45 + 84 + 96 = 225$

Paso 3.

$3 \times 5 \times 7 + 1 \times 6 \times 8 + 2 \times 4 \times 9 = 105 + 48 + 72 = 225$

Determinante: 225 – 225 = 0

e. Matriz inversa
La inversa de una matriz A (si existe), denotada $A^{-1}$, es aquella tal que:

$$A \cdot A^{-1} = I$$

Solo existen inversas para matrices cuadradas y no singulares (es decir, cuyo determinante no es cero).

f. Resolución de sistemas de ecuaciones con matrices
Un sistema lineal puede escribirse como $AX = B$, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna de incógnitas y B es la matriz de resultados.
Si A es invertible, se cumple que $X = A^{-1} \cdot B$.

Ejemplo:
Sea el sistema

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x – y = 4 \end{cases}$$

Se tiene que

• Matriz de coeficientes: $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$
• Incógnitas: $X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
• Resultados: $B = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$
• $A \cdot X=B$

Luego se calcula la inversa de A
Determinante: $det(A) = (2)(−1) − (3)(1) = − 2 − 3 = −5$
Inversa de A:

$$A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.6 & -0.4 \end{bmatrix}$$

Después se multiplica $A^{-1} \cdot B = X$

$$X = A^{-1} \cdot B = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.6 & -0.4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$$

Multiplicamos:

• Primera fila: $0.2 \times 5 + 0.2 \times 4 = 1 + 0.8 = 1.8$
• Segunda fila: $0.6 \times 5 + (-0.4) \times 4 = 3 – 1.6 = 1.4$
Se obtiene que $X = \begin{bmatrix} 1.8 \\ 1.4 \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad x = 1.8,\ y = 1.4$