¡Hola! Si estás leyendo esto, probablemente te estás preparando para cursar Modelos Biomatemáticos I, una asignatura que puede parecer desafiante si no sientes familiaridad con los números.
Este material fue diseñado pensando en ti. Aquí encontrarás explicaciones claras y concisas, acompañadas de ejemplos y ejercicios prácticos que te ayudarán a repasar y fortalecer conceptos fundamentales como fracciones, porcentajes, proporciones, potencias, sucesiones y más.
El objetivo con estas notas es que descubras cómo las matemáticas son un lenguaje que te permitirá describir y analizar fenómenos biológicos de forma precisa.
Tómate tu tiempo, resuelve los ejercicios, equivócate, vuelve a intentar. Este es un espacio seguro para aprender, repasar y ganar confianza.
Espero que estas páginas te acompañen como una herramienta útil en tu camino hacia una comprensión más sólida, no solo de la asignatura, sino también del papel que tienen las matemáticas en tu formación como estudiante de biología.
¡Ánimo y adelante!
Módulo 1
1. Fracciones
a. Definición de una fracción
Una fracción es una forma de representar una parte de un todo. Se representa como
$$\frac{a}{b},$$
donde a es el numerador, que indica cuántas partes tomamos; b es el denominador, que indica en cuántas partes se divide el todo.
b. Cómo simplificar fracciones
Para simplificar una fracción, la sugerencia siempre es buscar el máximo común divisor (MCD) entre el numerador y el denominador. En algunos casos, esto implica descomponer ambos números en sus factores primos. Una vez que se tiene el MCD, se dividen ambas partes de la fracción entre ese número.
Ejemplo: para simplificar $\frac{18}{24}$
- Los factores primos de 18 son 2 × 3 × 3.
- Los factores primos de 24 son 2 × 2 × 2 × 3.
- El MCD es 2 × 3 = 6.
Entonces, $\frac{18}{24}$ se simplifica dividiendo ambos números entre 6:
$$\frac{18÷6}{24÷6} = \frac{3}{4}$$
c. Operaciones con fracciones
Suma y Resta
Si los denominadores son iguales, simplemente se realiza la suma o resta de los numeradores.
Ejemplos:
$$\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$$ $$\frac{4}{7} − \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$$
Si los denominadores son diferentes, necesitas un denominador común.
Ejemplo:
Para sumar $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ un denominador común es 12. Convertimos las fracciones: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$; por lo tanto $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.
Multiplicación
Se multiplican numerador por numerador y denominador por denominador.
Ejemplo:
$$\frac{2}{3} × \frac{4}{5} = \frac{2×4}{3×5} = \frac{8}{15}$$
División
Multiplicamos la primera fracción por el inverso de la segunda.
Ejemplo:
$$\frac{2}{3} ÷ \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$
d. Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. Para encontrar fracciones equivalentes se multiplica o divide el numerador y el denominador por el mismo número.
Ejemplo:
$\frac{1}{2}$ es equivalente a $\frac{2}{4}, \frac{3}{6}, \frac{5}{10}$
e. Conversión de fracciones a decimales
Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador.
Ejemplo:
$$\frac{3}{4} = 3 ÷ 4 = 0.75$$
f. Reconocer decimales exactos y periódicos
Decimal exacto: es un decimal que termina después de un número finito de decimales, por ejemplo 0.5 o 0.75.
Decimal periódico: es un decimal que tiene una parte decimal que se repite infinitamente, por ejemplo $\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$, donde el 3 se repite indefinidamente.
g. Cómo expresar un decimal en fracción
Para convertir un decimal a fracción, si el decimal tiene una cantidad finita de dígitos, se escribe el número como fracción sobre 10, 100, 1000, etc., dependiendo de la cantidad de decimales.
Ejemplo:
Para convertir 0.75 a fracción se sigue que $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
h. Para convertir un número decimal infinito periódico a fracción
Paso 1. Identificar el período: sea x un número decimal periódico $x = 0.\overline{a}$, donde a es el dígito o grupo de dígitos que se repite, es decir, el período.
Por ejemplo, si tenemos $x = 0.\overline{3}$, entonces a = 3.
Paso 2. Multiplicar por una potencia de 10: se multiplican ambos lados de la ecuación por la potencia de 10 que corresponda a la cantidad de dígitos del período para desplazar el punto decimal.
Si el período tiene un solo dígito (como en el caso del ejemplo), se multiplica por 10: $10x = 10(0.\overline{3}) = 3.\overline{3}$.
Paso 3. Restar la ecuación original de la ecuación multiplicada: ahora se resta la ecuación original de la ecuación recién obtenida. Esto eliminará la parte decimal periódica.
En el caso del ejemplo se resta: $10x-x = 3.\overline{3} – 0.\overline{3} \Longrightarrow 9x = 3$.
Paso 4. Resolver para x: finalmente se resuelve la ecuación para x.
En el caso del ejemplo, dividiendo ambos lados entre 9:
$$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$.
Por lo tanto, $0.\overline{3}$ es igual a $\frac{1}{3}$.
Ejemplo: con un número decimal periódico más largo
Sea un número decimal $x= 0.\overline{142857}$.
Se identifica el período: el grupo de dígitos que se repite, o período de
$x= 0.\overline{142857}$ es 142 857.
Se multiplica por una potencia de 10: como el período tiene seis dígitos, se multiplica ambos lados de la ecuación por $10^6 = 1000000$:
$$1000000x= 1000000(0.\overline{142857}) = 142857.\overline{142857}$$.
Restar la ecuación original: se resta la ecuación original:
$$1000000x-x = 142857.\overline{142857} – 0.\overline{142857}$$.
Esto da como resultado: $999999x= 142857$.
Resolver para x: se resuelve para x dividiendo ambos lados entre 999 999:
$$x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$$.
Así, $0.\overline{142857}$ es igual a $\frac{1}{7}$.
2. Porcentajes
a. Definición de porcentajes
El porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100.
$$\text{Porcentaje} = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100$$
b. Conversión de fracciones y decimales a porcentajes
• Fracción a porcentaje: multiplicar la fracción por 100.
Ejemplo:
$$\frac{1}{4} \times 100 = 25 %$$
• Decimal a porcentaje: multiplicar el número decimal por 100.
Ejemplo:
$$0.75 \times 100 = 75 %$$
c. Conversión de porcentajes a decimales o fracciones
• Porcentaje a decimal: dividir entre 100.
Ejemplo:
$$25\% = \frac{25}{100} = 0.25$$
• Porcentaje a fracción: escribir el porcentaje como fracción y simplificar.
Ejemplo:
$$75 \% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$$
d. Operaciones con porcentajes
Porcentaje de una cantidad: multiplicar la cantidad por el porcentaje expresado como decimal.
Ejemplo:
El 20 % de 50 es: 50 × 0.20 = 10
3. Proporciones y razones
a. Cálculo de proporciones
Una proporción es una igualdad entre dos razones: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Para resolver proporciones, se puede usar el producto cruzado: a × d = b × c.
Ejemplo:
$$\frac{2}{3} = \frac{4}{x} \Rightarrow 2 \times x = 3 × 4 \Longrightarrow x = 6$$
b. Proporciones directas e inversas
• Proporción directa: si una cantidad aumenta, la otra también aumenta necesariamente, por ejemplo y = k × x.
• Proporción inversa: si una cantidad aumenta, la otra disminuye, por ejemplo $y = \frac{k}{x}$.
4. Medidas de tendencia central
a. Media (promedio)
La media se obtiene sumando todos los valores de un conjunto de datos y dividiendo entre la cantidad total de elementos en dicho conjunto.
Fórmula::
$$\text{Media} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}$$
donde $x_i$ son los valores de los datos y n es la cantidad de datos.
Ejemplo:
Supongamos que medimos el número de hojas en 5 plantas: 8, 10, 12, 10, 10.
La media es: $\frac{8 + 10 + 12 + 10 + 10}{5} = \frac{50}{5} = 10$.
b. Mediana
La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto de datos ordenados. Si hay un número impar de datos, es el valor central. Si hay un número par, es el promedio de los dos valores centrales.
Ejemplo: con número impar de datos
Datos: 7, 9, 10, 13, 15
Ordenados: 7, 9, 10, 13, 15
→ La mediana es 10 (el del medio)
Ejemplo: con número par de datos
Datos: 5, 7, 8, 9
→ Mediana = $\frac{7 + 8}{2}$ = $\frac{15}{2}$ = 7.5
c. Moda
La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
Ejemplo:
Datos: 3, 4, 4, 5, 6, 4, 7
→ La moda es 4, porque se repite tres veces.
Importante recordar: Puede haber más de una moda (moda bimodal o multimodal), o ninguna si todos los datos aparecen solo una vez.
5. Sucesiones
Una sucesión es una lista ordenada de números, llamados términos, que siguen una regla o patrón. Estos números pueden representar fenómenos naturales que cambian con el tiempo, como el crecimiento de una población, la cantidad de bacterias en una placa, o la altura de una planta en distintas semanas.
a. Definición de sucesión
Una sucesión es una secuencia de números dispuestos en un orden específico. Cada número tiene una posición que se indica con un subíndice:
$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$, donde $a_1$ es el primer término, $a_2$ el segundo, y así sucesivamente hasta $a_n$ para cualquier n en los naturales.
b. Fórmulas generales de sucesiones
Algunas sucesiones siguen reglas simples que nos permiten encontrar cualquier término sin tener que listar todos los anteriores.
• Sucesión aritmética: se forma sumando una cantidad fija llamada razón.
Fórmula general:
$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$, donde d es la diferencia común.
Ejemplo:
$2, 5, 8, 11, \dots$ tiene $a_1 = 2$, $d = 3$, entonces $a_5 = 2 + (5 – 1)\cdot3 = 14$
• Sucesión geométrica: se forma multiplicando por una cantidad fija, es decir, la razón geométrica.
Fórmula general:
$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, donde r es la razón multiplicativa.
Ejemplo:
$3, 6, 12, 24, \dots$ tiene $a_1 = 3$, $r = 2$, entonces $a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 24$
c. Algunas sucesiones conocidas
• Sucesión de Fibonacci: cada término es la suma de los dos anteriores
$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 \dots$
Esta sucesión aparece en la naturaleza: por ejemplo en la distribución de hojas, en el crecimiento de conchas, bifurcación de ramas, etcétera.
• Sucesión de cuadrados: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ representa el área de cuadrados de lado $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.
6. Potencias y exponentes
a. Definición de potencia
Una potencia es una forma abreviada de representar una multiplicación repetida de un mismo número:
$a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a \quad \text{(n veces)}$, donde a es la base, n es el exponente o índice.
Ejemplo:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
Importante: signos y paréntesis
Hay una diferencia fundamental entre:
$(-2)^5 = -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 = -32$ y $-(2^5) = -32$
Regla clave:
Si el signo negativo está dentro de paréntesis, la base es negativa. De lo contrario, solo el número es base y el signo queda afuera.
b. Propiedades de las potencias
• Producto con la misma base: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
• Cociente con la misma base: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
• Potencia de una potencia: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
• Potencia de un producto: $$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$
• Potencia de un cociente: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$
c. Exponentes especiales
• Exponente cero:
$a^0 = 1$ para $a \neq 0$
• Exponente uno: $$a^1 = a$$
• Exponente negativo: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Ejemplo: $$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$$
d. Potencias con fracciones
• Si la base es una fracción: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$
• Y si el exponente es negativo: $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$
Ejemplo:
$$\left( \frac{3}{5} \right) ^{-2}= \left( \frac{5}{3} \right) ^2 = \frac{25}{9}$$
e. Exponentes fraccionarios
Un exponente fraccionario representa una raíz:
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
Ejemplos:
• $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$
• $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$
También se puede hacer en dos pasos:
$$27^{\frac{2}{3}} = \left(27^{1/3}\right)^2 = (3)^2 = 9$$
7. Radicales y racionalización
a. Definición de raíz
Una raíz es la operación inversa de una potencia. La raíz cuadrada de un número a es aquel número que al elevarlo al cuadrado da a:
$\sqrt{a} = b \Longleftrightarrow b^2 = a$
Para raíces cúbicas: $\sqrt[3]{a} = b \Longrightarrow b^3 = a$
b. Propiedades de las raíces
• $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
• $\sqrt{a^2} = |a|$
• $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$
Estas propiedades son válidas sólo si los números involucrados están definidos en el conjunto de los números reales (por ejemplo, no se puede extraer raíz par de un número negativo en los reales).
c. Simplificación de raíces cuadradas
Para simplificar una raíz cuadrada, se busca el mayor cuadrado perfecto que divida al radicando.
Ejemplo:
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
Otros ejemplos:
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
• $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$
d. Racionalización
Racionalizar es el proceso de eliminar raíces del denominador de una fracción.
• Caso básico
$$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$$
Ejemplo:
$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6} – 3}$ se racionaliza multiplicando por el conjugado: $\frac{\sqrt{6} + 3}{\sqrt{6} + 3}$
• Binomios con radicales
Cuando el denominador es un binomio con una raíz, se multiplica por su conjugado:
$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{\sqrt{a} – \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{a – b}$$
Ejemplo:
$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2}$$