¡Ahora nos encontramos en la sección práctica!
Ahora que ya has revisado la teoría, es momento de ejercitar para entender los nuevos conceptos. En esta sección encontrarás ejercicios para ayudarte a reforzar lo aprendido y, sobre todo, para que ganes confianza resolviendo problemas paso a paso. Cada conjunto de ejercicios está organizado para que vaya aumentando de dificultad progresivamente.
La idea no es que sepas todo desde el principio, sino que practiques, cometas errores, aprendas de ellos y sigas avanzando. También encontrarás problemas aplicados a la biología para que veas cómo estos conceptos matemáticos se conectan con las ciencias aplicadas.
Tú decides el ritmo: puedes resolver un par de ejercicios por día, retomar aquellos que se te dificulten o revisar las respuestas modelo cuando lo necesites. Este material está hecho para apoyarte en tu proceso de aprendizaje, no para evaluarte.
Recuerda: cada problema resuelto es un paso más hacia una mejor comprensión de los modelos que dan sentido a los fenómenos biológicos.
¡Sigue adelante, estás haciendo un gran trabajo!
Módulo 1
1. Fracciones
Ejercicios
a. Definición de fracción
Indica en cada caso cuál es el numerador y cuál es el denominador.
1. En la fracción $\frac{3}{7}$:
2. En la fracción $\frac{9}{2}$:
3. En la fracción $\frac{5}{5}$:
b. Simplificación de fracciones
Simplifica cada una de las siguientes fracciones:
1. $\frac{8}{12}$
2. $\frac{15}{25}$
3. $\frac{30}{45}$
4. $\frac{21}{49}$
5. $\frac{18}{27}$
c. Operaciones con fracciones
• Suma y resta con distinto denominador
1. $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
2. $\frac{5}{12} – \frac{1}{8}$
3. $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$
4. $\frac{7}{15} – \frac{2}{9}$
5. $\frac{3}{8} + \frac{1}{3}$
• Multiplicación
1. $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}$
2. $\frac{7}{8} \times \frac{1}{2}$
3. $\frac{5}{6} \times \frac{6}{10}$
4. $\frac{4}{9} \times \frac{3}{7}$
5. $\frac{1}{3} \times \frac{9}{2}$
• División
1. $\frac{3}{5} \div \frac{2}{3}$
2. $\frac{7}{9} \div \frac{1}{6}$
3. $\frac{8}{11} \div \frac{4}{11}$
4. $\frac{6}{7} \div \frac{3}{2}$
5. $\frac{10}{13} \div \frac{5}{13}$
d. Fracciones equivalentes
Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes:
1. $\frac{1}{3}$
2. $\frac{2}{5}$
3. $\frac{4}{7}$
4. $\frac{3}{8}$
5. $\frac{5}{6}$
e. Conversión de fracciones a decimales
Convierte cada fracción a su forma decimal.
1. $\frac{1}{2}$
2. $\frac{3}{4}$
3. $\frac{2}{5}$
4. $\frac{7}{8}$
5. $\frac{5}{6}$
f. Decimales exactos y periódicos
Clasifica cada uno de los siguientes decimales como exacto o periódico:
1. 0.25
2. $0.\overline{6}$
3. 0.125
4. $0.\overline{1}$
5. 0.75
g. Convertir decimales a fracciones
Convierte los siguientes decimales finitos a fracción:
1. 0.4
2. 0.05
3. 0.125
4. 0.2
5. 0.375
h. Convertir decimales periódicos a fracciones
Convierte los siguientes decimales periódicos a fracción:
1. $0.\overline{3}$
2. $0.\overline{6}$
3. $0.\overline{12}$
4. $0.\overline{45}$
5. $0.\overline{142857}$
Respuestas modelo
a. Definición de fracción
1. Numerador: 3, Denominador: 7
2. Numerador: 9, Denominador: 2
3. Numerador: 5, Denominador: 5
b. Simplificación
1. $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
2. $\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$
3. $\frac{30}{45} = \frac{2}{3}$
4. $\frac{21}{49} = \frac{3}{7}$
5. $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
c. Operaciones
• Suma/resta con igual denominador
1. $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
2. $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
3. $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
4. $\frac{5}{11}$
5. $\frac{5}{7}$
• Suma/resta con diferente denominador
1. $\frac{5}{12}$
2. $\frac{10}{96} = \frac{5}{48}$
3. $\frac{7}{10}$
4. $\frac{21}{45} – \frac{10}{45} = \frac{11}{45}$
5. $\frac{17}{24}$
• Multiplicación
1. $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
2. $\frac{7}{16}$
3. $\frac{30}{60} = \frac{1}{2}$
4. $\frac{12}{63} = \frac{4}{21}$
5. $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
• División
1. $\frac{9}{10}$
2. $\frac{42}{9} = \frac{14}{3}$
3. $\frac{8}{4} = 2$
4. $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$
5. $\frac{10}{5} = 2$
d. Fracciones equivalentes
1. $\frac{2}{6}, \frac{3}{9}, \frac{4}{12}$
2. $\frac{4}{10}, \frac{6}{15}, \frac{8}{20}$
3. $\frac{8}{14}, \frac{12}{21}, \frac{16}{28}$
4. $\frac{6}{16}, \frac{9}{24}, \frac{12}{32}$
5. $\frac{10}{12}, \frac{15}{18}, \frac{20}{24}$
e. Fracción a decimal
1. 0.5
2. 0.75
3. 0.4
4. 0.875
5. ≈ 0.833
f. Decimales exactos/periódicos
1. Exacto
2. Periódico
3. Exacto
4. Periódico
5. Exacto
g. Decimal a fracción
1. $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
2. $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$
3. $\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$
4. $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
5. $\frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$
h. Decimal periódico a fracción
1. $\frac{1}{3}$
2. $\frac{2}{3}$
3. $\frac{12}{99} = \frac{4}{33}$
4. $\frac{45}{99} = \frac{5}{11}$
5. $\frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$
Problemas
Problema 1. Conteo de células en una muestra
En una muestra de tejido observada en microscopio se encuentra que $\frac{3}{8}$ de las células están en división activa, $\frac{1}{4}$ están en reposo, y el resto están muriendo o muertas.
a. ¿Qué fracción del total representan las células muertas?
b. ¿Qué porcentaje del total representan las células en reposo?
c. Si hay 800 células en total, ¿cuántas están en cada estado?
Problema 2. Dilución de una sustancia
Se necesita preparar una dilución de un antibiótico en un laboratorio. Se mezcla $\frac{2}{5}$ de solución con $\frac{3}{5}$ de agua destilada.
a. Si se preparan 100 mL de la mezcla, ¿cuántos mL corresponden a agua y cuántos a antibiótico?
b. Si la solución original tiene una concentración de 50 mg/mL, ¿cuál es la concentración final de antibiótico en la dilución?
Respuestas modelo
Problema 1. Conteo de células
a. Total = 1 (unidad).
Células en división: $\frac{3}{8}$
Células en reposo: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$
Células muertas: $1 – \left( \frac{3}{8} + \frac{2}{8} \right) = \frac{3}{8}$
b. $\frac{1}{4} = 25%$
c. Total: 800 células
En división: $\frac{3}{8}$ × 800 = 300 células
En reposo: $\frac{1}{4}$ × 800 = 200 células
Muertas: 800 – (300 + 200) = 300 células
Problema 2. Dilución
a. 100 mL totales:
Agua: $\frac{3}{5} \times 100 = 60$ mL
Antibiótico: $\frac{2}{5} \times 100 = 40$ mL
b. Solución madre: 50 mg/mL
En los 40 mL: 50 × 40 = 2000 mg totales
Disueltos en 100 mL → concentración final: $\frac{2000\ \text{mg}}{100\ \text{mL}} = 20\ \text{mg/mL}$
Recursos digitales
• https://polypad.amplify.com/p#fraction-circles
• https://phet.colorado.edu/sims/html/fractions-intro/latest/fractions-intro_es.html
2. Porcentajes
Ejercicios
a. Definición de porcentajes
Completa las siguientes oraciones con la fracción equivalente al porcentaje dado:
1. El 25 % de una cantidad es equivalente a $\frac{\quad}{100}$.
2. El 40 % de una muestra se puede expresar como $\frac{\quad}{100}$.
3. El 10 % de algo equivale a dividir entre ________.
4. El 100 % de una cantidad representa $\frac{\quad}{100} =$ ________.
5. Si tienes el 5 % de una población, eso representa una fracción de: ________.
b. Conversión de fracciones y decimales a porcentajes
Convierte las siguientes fracciones y decimales a porcentajes:
1. $\frac{1}{5}$
2. $\frac{2}{3}$
3. $\frac{3}{8}$
4. 0.45
5. 0.125
c. Conversión de porcentajes a decimales o fracciones
Convierte los siguientes porcentajes a decimales y fracciones simplificadas:
1. 60 %
2. 25 %
3. 12.5 %
4. 75 %
5. 5 %
d. Operaciones con porcentajes
Calcula el porcentaje indicado de la cantidad dada:
1. ¿Cuánto es el 20 % de 80?
2. ¿Cuánto es el 15 % de 200?
3. ¿Cuánto es el 60 % de 150?
4. ¿Cuánto es el 7.5 % de 400?
5. ¿Cuánto es el 2.5 % de 320?
Respuestas modelo
a. Definición
1. $\frac{25}{100}$
2. $\frac{40}{100}$
3. 10
4. $\frac{100}{100} = 1$
5. $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$
b. Fracciones y decimales a porcentaje
1. $\frac{1}{5} = 0.2 \Rightarrow 20%$
2. $\frac{2}{3} \approx 0.666 \Rightarrow 66.6%$
3. $\frac{3}{8} = 0.375 \Rightarrow 37.5%$
4. $0.45 \times 100 = 45%$
5. $0.125 \times 100 = 12.5%$
c. Porcentajes a decimal y fracción
1. 60 % = $\frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ = 0.6
2. 25 % = $\frac{1}{4}$ = 0.25
3. 12.5 % = $\frac{1}{8}$ = 0.125
4. 75 % = $\frac{3}{4}$ = 0.75
5. 5 % = $\frac{1}{20}$ = 0.05
d. Porcentaje de una cantidad
1. 20 % de 80 = 0.20 × 80 = 16
2. 15 % de 200 = 0.15 × 200 = 30
3. 60 % de 150 = 0.60 × 150 = 90
4. 7.5 % de 400 = 0.075 × 400 = 30
5. 2.5 % de 320 = 0.025 × 320 = 8
Problemas
Problema 1. Porcentaje de germinación
Una investigadora siembra 240 semillas de una especie vegetal en condiciones controladas. Después de una semana, observa que el 62.5 % ha germinado.
a. ¿Cuántas semillas han germinado?
b. ¿Qué fracción del total representa este porcentaje?
c. ¿Qué porcentaje de semillas no ha germinado?
Problema 2. Porcentaje de proteína en la dieta
Una estudiante de biología analiza la dieta de un animal en cautiverio. Detecta que el 18 % del alimento es proteína, el 25 % grasa y el resto carbohidratos.
a. ¿Qué porcentaje de la dieta corresponde a carbohidratos?
b. Si el animal consume 500 gramos de alimento al día, ¿cuántos gramos de proteína consume?
c. ¿Cuál es la fracción que representa la grasa en la dieta?
Respuestas modelo
Problema 1. Porcentaje de germinación
a. 62.5 % de 240 = 0.625 × 240 = 150 semillas germinadas
b. 62.5 % = $\frac{5}{8}$
c. 100 % – 62.5 % = 37.5 % no germinadas → 0.375 × 240 = 90 semillas
Problema 2. Porcentaje de proteína en la dieta
a. 100% – (18 % + 25 %) = 57 % → carbohidratos
b. 18% de 500 = 0.18 × 500 = 90 gramos de proteína
c. 25 = $\frac{1}{4}$
Recursos digitales
• https://www.mathsisfun.com/percentage.html
• https://polypad.amplify.com/p#fraction-circles
3. Proporciones y razones
Ejercicios
a. Cálculo de proporciones
Resuelve las siguientes proporciones utilizando el producto cruzado:
1. $\frac{3}{4} = \frac{6}{x}$
2. $\frac{x}{5} = \frac{8}{10}$
3. $\frac{7}{x} = \frac{21}{9}$
4. $\frac{2}{x} = \frac{10}{25}$
5. $\frac{x}{12} = \frac{6}{18}$
b. Proporciones directas e inversas
Relaciona cada situación con proporción directa o inversa, y resuélvela si es posible:
1. Si 4 trabajadores construyen una cerca en 6 días, ¿cuántos días tomarán 2 trabajadores?
2. Una receta requiere 200 g de harina para 4 porciones. ¿Cuánta harina se necesita para 10 porciones?
3. Si un automóvil recorre 120 km en 2 horas, ¿cuántos km recorrerá en 5 horas a la misma velocidad?
4. Si 3 bombas vacían un tanque en 8 horas, ¿cuánto tardarán 6 bombas?
5. Si 6 estudiantes necesitan 12 libros, ¿cuántos libros necesitarán 9 estudiantes?
Respuestas modelo
a. Cálculo de proporciones
1. $3 × x = 4 × 6 \Rightarrow x = 8$
2. $x = \frac{5 × 8}{10} = 4$
3. $7 × 9 = 63 \Rightarrow x = 3$
4. $2 × 25 = 10 × x \Rightarrow x = 5$
5. $x = \frac{12 × 6}{18} = 4$
b. Proporciones directas e inversas
1. Inversa: $4 × 6 = 2 × x \Rightarrow x = 12$ días
2. Directa: $200 × \frac{10}{4} = 500$ g
3. Directa: $120 ÷ 2 = 60$ km/h × 5 = 300 km
4. Inversa: $3 × 8 = 6 × x \Rightarrow x = 4$ horas
5. Directa: $12 ÷ 6 = 2$ libros/estudiante → $2 × 9 = 18$ libros
Problemas
Problema 1. Cultivo de bacterias
En un experimento de laboratorio, se cultivan bacterias en un medio durante 5 horas, observándose una relación directa entre el tiempo de cultivo y la población de bacterias. Si en 5 horas se observan 1 200 bacterias, ¿cuántas se esperan en 8 horas, suponiendo el mismo ritmo de crecimiento?
Problema 2. Dosis proporcional de medicamento
Una veterinaria prescribe 15 mg de un fármaco por cada kg de peso corporal. ¿Cuántos mg necesita administrar a un animal que pesa 12 kg?
Problema 3. Proporción inversa en filtración
Un filtro puede purificar un volumen de agua en 10 horas. Si se utilizan 4 filtros trabajando a la vez, ¿en cuántas horas se hará el mismo trabajo?
Respuestas modelo
Problema 1. Cutivo de bacterias
Proporción directa: $\frac{1200}{5} = x / 8 \Rightarrow x = \frac{1200 \times 8}{5} = 1920$ bacterias
Problema 2. Dosis proporcional de medicamento
15 mg por kg → 15 × 12 = 180 mg necesarios
Problema 3. Proporción inversa en filtración
Proporción inversa:
1 filtro → 10 horas
4 filtros: $1 \times 10 = 4 \times x \Rightarrow x = \frac{10}{4} = 2.5$ horas
Recursos digitales
• https://phet.colorado.edu/sims/html/ratio-and-proportion/latest/ratio-and-proportion_es.html
4. Medidas de tendencia central
Ejercicios
a. Calcular la media
1. 6, 8, 10, 12, 14
2. 3, 7, 7, 9, 11, 13
3. 1.2, 2.5, 3.0, 2.8
4. 10, 10, 10, 10
5. 5, 10, 15, 20, 25
b. Calcular la mediana
1. 4, 8, 10, 12, 14
2. 3, 7, 7, 9, 11, 13
3. 2.5, 1.0, 3.0, 2.0
4. 15, 10, 20, 5, 25
5. 4, 6, 6, 6, 8, 10
c. Calcular la moda
1. 4, 6, 4, 7, 4, 8
2. 2, 3, 3, 4, 4, 5
3. 5, 5, 3, 5, 5
4. 1, 2, 3, 4, 5
5. 3, 3, 6, 6, 6, 3
Respuestas modelo
a. Media
1. $(6 + 8 + 10 + 12 + 14)/5 = 50/5 = 10$
2. $50/6 ≈ 8.33$
3. $1.2 + 2.5 + 3.0 + 2.8 = 9.5 \Rightarrow 9.5/4 = 2.375$
4. $40/4 = 10$
5. $75/5 = 15$
b. Mediana
1. Datos ordenados: 4, 8, 10, 12, 14 → Mediana = 10
2. Ordenados: 3, 7, 7, 9, 11, 13 → Mediana = $(7 + 9)/2 = 8$
3. Ordenados: 1.0, 2.0, 2.5, 3.0 → Mediana = $(2.0 + 2.5)/2 = 2.25$
4. Ordenados: 5, 10, 15, 20, 25 → Mediana = 15
5. Ordenados: 4, 6, 6, 6, 8, 10 → Mediana = $(6 + 6)/2 = 6$
c. Moda
1. Moda = 4
2. Modas = 3 y 4 (bimodal)
3. Moda = 5
4. No hay moda
5. Modas = 3 y 6 (ambas se repiten 3 veces)
Problemas
Problema 1. Longitud de hojas
Una bióloga mide la longitud (en cm) de las hojas de una planta: 8.5, 9.0, 10.2, 9.5, 9.0
a. ¿Cuál es la media de las longitudes?
b. ¿Cuál es la mediana?
c. ¿Cuál es la moda?
Problema 2. Conteo de semillas
En un estudio de campo, se cuenta el número de semillas por fruto en una muestra de 7 frutos: 15, 18, 15, 19, 20, 15, 17
a. ¿Cuál es la media de semillas por fruto?
b. ¿Cuál es la moda?
c. ¿Cuál es la mediana?
Respuestas modelo
Problema 1. Longitud de hojas
Datos: 8.5, 9.0, 10.2, 9.5, 9.0
a. Media: $(8.5 + 9.0 + 10.2 + 9.5 + 9.0)/5 = 46.2/5 = 9.24$ cm
b. Mediana: Datos ordenados → 8.5, 9.0, 9.0, 9.5, 10.2 → Mediana = 9.0 cm
c. Moda: 9.0 (aparece 2 veces)
Problema 2. Conteo de semillas
Datos: 15, 18, 15, 19, 20, 15, 17
a. Media: $(15 + 18 + 15 + 19 + 20 + 15 + 17)/7 = 119/7 = 17$
b. Moda: 15 (aparece 3 veces)
c. Mediana: Ordenados → 15, 15, 15, 17, 18, 19, 20 → Mediana = 17
Recursos digitales
• https://www.geogebra.org/m/VwrBs6Pd
• https://www.geogebra.org/m/DHd6tXbh
• https://phet.colorado.edu/es/simulations/center-and-variability/activities
5. Sucesiones
Ejercicios
a. Sucesiones aritméticas
1. Encuentra el término número 10 de la sucesión $4, 7, 10, 13, \dots$
2. ¿Cuál es la razón y el término 15 de la sucesión $-3, 0, 3, 6, \dots$?
3. Si $a_1 = 12$ y $d = -4$, encuentra $a_6$.
4. Encuentra el valor de $n$ tal que $a_n = 31$ en la sucesión $1, 5, 9, 13, \dots$
5. Determina los cinco primeros términos de una sucesión aritmética con $a_1 = 2$ y $d = 5$.
b. Sucesiones geométricas
1. Calcula el término número 6 de la sucesión $1, 2, 4, 8, \dots$
2. Si $a_1 = 5$ y $r = 3$, encuentra $a_4$.
3. ¿Cuál es la razón y el valor de $a_7$ para la sucesión $729, 243, 81, \dots$?
4. Encuentra los cinco primeros términos de la sucesión geométrica con $a_1 = 2$ y $r = -2$.
5. Si $a_3 = 36$, $a_1 = 4$, encuentra la razón $r$.
c. Sucesiones especiales
1. Escribe los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci.
2. Escribe los primeros 6 términos de la sucesión de cuadrados.
3. Determina si la sucesión $1, 2, 4, 7, 11, 16, \dots$ sigue un patrón. ¿Cuál es?
4. Escribe una sucesión que representa el doble de los números naturales.
5. En la sucesión de cubos $1, 8, 27, 64, \dots$, encuentra el término número 5.
Respuestas modelo
a. Sucesiones aritméticas
1. $a_{10} = 4 + (10 – 1) \cdot 3 = 4 + 27 = 31$
2. $d = 3$; $a_{15} = -3 + (15 – 1) \cdot 3 = -3 + 42 = 39$
3. $a_6 = 12 + (6 – 1)(-4) = 12 – 20 = -8$
4. $a_n = 1 + (n – 1) \cdot 4 = 31 \Rightarrow 4(n – 1) = 30 \Rightarrow n = 9$
5. Términos: 2, 7, 12, 17, 22
b. Sucesiones geométricas
1. $a_6 = 1 \cdot 2^5 = 32$
2. $a_4 = 5 \cdot 3^3 = 135$
3. $r = \frac{243}{729} = \frac{1}{3}$; $a_7 = 729 \cdot (\frac{1}{3})^6 = 1$
4. Términos: 2, -4, 8, -16, 32
5. $a_3 = a_1 \cdot r^2 \Rightarrow 36 = 4 \cdot r^2 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3$ o $r = -3$
c. Sucesiones especiales
1. Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
2. Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36
3. La diferencia entre términos crece en +1: $+1, +2, +3, +4, +5 \dots$
→ Sucesión con incremento creciente
4. Sucesión: $2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots$
5. $a_5 = 5^3 = 125$
Problemas
Problema 1. División celular
Una bacteria se divide en dos cada hora. Si comenzamos con una sola célula, ¿cuántas habrá después de 10 horas?
Problema 2. Longitud de una planta
Una planta crece 3 cm por semana. Si mide 10 cm en la semana 1, ¿cuánto medirá en la semana 12?
Problema 3. Semillas en espiral
Una flor presenta una espiral de semillas que sigue la sucesión de Fibonacci. Si el número de semillas en cada fila sigue esa regla, ¿cuántas semillas habrá en la 9ª fila?
Respuestas modelo
Problema 1. División celular
Sucesión: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ (geométrica, $a_1 = 1$, $r = 2$)
$a_{11} = 1 \cdot 2^{10} = 1024$ células
Problema 2. Longitud de una planta
Sucesión: aritmética con $a_1 = 10$, $d = 3$
$a_{12} = 10 + (12 – 1) \cdot 3 = 10 + 33 = 43$ cm
Problema 3. Semillas en espiral
Fibonacci: $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$
→ 9ª fila: 34 semillas
6. Potencias y exponentes
Ejercicios
a. Definición de potencia
1. $(-2)^5$
2. $-2^5$
3. $3^4$
4. $5^{-3}$
5. $2^{-5}$
b. Propiedades de las potencias
1. $\frac{4^7}{4^4}$
2. $\frac{3^8}{3^5}$
3. $(2^6)^2$
4. $(2a^2b^3)(3a^4b^2)$
5. $\left(\frac{2x^{3/4}y^2}{x^{1/2}y^{1/3}}\right)^2$
c. Exponentes especiales
1. $7^0$
2. $\frac{4^7}{4^7}$
3. $\left(\frac{8}{15}\right)^{-3}$
4. $\left(\frac{5}{9}\right)^{-1}$
5. $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}$
d. Potencias con fracciones
1. $\left(\frac{3}{5}\right)^{-4}$
2. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}$
3. $\left(\frac{5}{11}\right)^{-6}$
4. $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}$
5. $\left(\frac{2}{3}\right)^{-5}$
e. Exponentes fraccionarios
1. $27^{2/3}$
2. $8^{3/2}$
3. $16^{1/4}$
4. $32^{-4/5}$
5. $16^{-5/4}$
Respuestas modelo
a. Evaluación de potencias
1. $(-2)^5 = -32$
2. $-2^5 = -(2^5) = -32$
3. $3^4 = 81$
4. $5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
5. $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
b. Propiedades de las potencias
1. $\frac{4^7}{4^4} = 4^{7-4} = 4^3 = 64$
2. $\frac{3^8}{3^5} = 3^{8-5} = 3^3 = 27$
3. $(2^6)^2 = 2^{6 \cdot 2} = 2^{12} = 4096$
4. $(2a^2b^3)(3a^4b^2) = 6a^{2+4}b^{3+2} = 6a^6b^5$
5. $\left( \frac{2x^{3/4}y^2}{x^{1/2}y^{1/3}} \right)^2 = \left( 2x^{3/4 – 1/2}y^{2 – 1/3} \right)^2 = \left( 2x^{1/4}y^{5/3} \right)^2 = 4x^{1/2}y^{10/3}$
c. Exponentes especiales
1. $7^0 = 1$
2. $\frac{4^7}{4^7} = 4^{7 – 7} = 4^0 = 1$
3. $\left(\frac{8}{15}\right)^{-3} = \left(\frac{15}{8}\right)^3 = \frac{3375}{512}$
4. $\left(\frac{5}{9}\right)^{-1} = \frac{9}{5}$
5. $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 16$
d. Potencias con fracciones
1. $\left(\frac{3}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$
2. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16$
3. $\left(\frac{5}{11}\right)^{-6} = \left(\frac{11}{5}\right)^6 = \frac{1771561}{15625}$
4. $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$
5. $\left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{243}{32}$
e. Exponentes fraccionarios
1. $27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
2. $8^{3/2} = (\sqrt{8})^3 = (2\sqrt{2})^3 = 8\sqrt{2} \approx 11.31$
3. $16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$
4. $32^{-4/5} = \left( \sqrt[5]{32} \right)^{-4} = (2)^{-4} = \frac{1}{16}$
5. $16^{-5/4} = \left( \sqrt[4]{16} \right)^{-5} = (2)^{-5} = \frac{1}{32}$
Problemas
Problema 1. Crecimiento bacteriano
En un cultivo de laboratorio, una cepa bacteriana se reproduce por mitosis, duplicando su cantidad cada hora. Si se empieza con 1 bacteria:
a. ¿Cuántas bacterias habrá después de 6 horas?
b. ¿Y después de 10 horas?
c. ¿Después de cuántas horas habrá más de 1 000 bacterias?
Pista: Usa la fórmula $N = 2^t$, donde $N$ es el número de bacterias y $t$ el tiempo en horas.
Problema 2. Concentración de una sustancia
Una sustancia radiactiva utilizada en un experimento biológico se desintegra siguiendo la ley: $C(t) = C_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$, donde: $C_0$ es la concentración inicial, $t$ es el tiempo en horas. Si $C_0 = 80$ mg/L, responde:
a. ¿Cuál es la concentración después de 3 horas?
b. ¿Y después de 6 horas?
c. ¿Después de cuánto tiempo la concentración será menor a $10\ \text{mg/L}$?
Respuestas modelo
Problema 1. Crecimiento bacteriano
a. $2^6 = 64$ bacterias
b. $2^{10} = 1024$ bacterias
c. Buscamos $t$ tal que $2^t > 1000$.
Como $2^{10} = 1024$, la respuesta es después de 10 horas.
Problema 2. Sustancia radioactiva
Dada la fórmula: $C(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
a. $C(3) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40\ \text{mg/L}$
b. $C(6) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20\ \text{mg/L}$
c. Buscamos $t$ tal que:
$80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3} < 10 \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3} < \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{t}{3} > 3 \Rightarrow t > 9$
Entonces, la concentración será menor a $10\ \text{mg/L}$ después de 9 horas.
Recursos digitales
• https://www.geogebra.org/m/gVCB8NH5
• https://www.geogebra.org/m/MVHA2rAU
• https://www.geogebra.org/m/RF9x43uA
7. Radicales y racionalización
Ejercicios
a. Simplifica las raíces
1. $\sqrt{72}$
2. $\sqrt{50}$
3. $\sqrt{98}$
4. $\sqrt{200}$
5. $\sqrt{432}$
b. Aplica las propiedades de raíces y simplifica
1. $\sqrt{8 \cdot 2}$
2. $\sqrt{\frac{9}{16}}$
3. $\sqrt{49x^2}$
4. $\sqrt[3]{27x^3}$
5. Escribe como potencia de exponente fraccionario y simplifica: $\sqrt[4]{16x^8}$
c. Racionaliza
1. $\frac{1}{\sqrt{5}}$
2. $\frac{3}{\sqrt{2}}$
3. $\frac{5}{2\sqrt{3}}$
4. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$
5. $\frac{7}{\sqrt{11}}$
d. Racionaliza con conjugados (binomios)
1. $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$
2. $\frac{3}{\sqrt{5} – 2}$
3. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1}$
4. $\frac{2}{3 + \sqrt{7}}$
5. $\frac{4}{\sqrt{2} – \sqrt{3}}$
Respuestas modelo
a. Simplifica las raíces
1. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
2. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
3. $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$
4. $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$
5. $\sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$
b. Aplica las propiedades de raíces y simplifica
1. $\sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$
2. $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$
3. $\sqrt{49x^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{x^2} = 7|x|$
4. $\sqrt[3]{27x^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{x^3} = 3x$
5. $\sqrt[4]{16x^8} = (16x^8)^{1/4} = 2x^2$
c. Racionaliza
1. $\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
2. $\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
3. $\frac{5}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$
4. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$
5. $\frac{7}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{7\sqrt{11}}{11}$
d. Racionaliza con conjugados (binomios)
1. $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2} – 1} = \frac{\sqrt{2} – 1}{2 – 1} = \sqrt{2} – 1$
2. $\frac{3}{\sqrt{5} – 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{5 – 4} = 3(\sqrt{5} + 2) = 3\sqrt{5} + 6$
3. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$
4. $\frac{2}{3 + \sqrt{7}} \cdot \frac{3 – \sqrt{7}}{3 – \sqrt{7}} = \frac{2(3 – \sqrt{7})}{9 – 7} = \frac{6 – 2\sqrt{7}}{2} = 3 – \sqrt{7}$
5. $\frac{4}{\sqrt{2} – \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 – 3} = \frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -4\sqrt{2} – 4\sqrt{3}$
Problemas
Problema 1. Transporte de nutrientes
Un estudio calcula que la velocidad de absorción de nutrientes en una raíz sigue una relación proporcional a $\sqrt{t}$, donde $t$ es el tiempo en horas.
Si después de 4 horas la velocidad es de 2 cm/h, ¿cuál sería la velocidad después de 9 horas?
Problema 2. Células bajo el microscopio
La superficie visible de una célula vista al microscopio se modela con $\sqrt{A}$, donde $A$ es el área proyectada en $\mu m^2$. Si un biólogo observa dos células con áreas de 72 y 50 $\mu m^2$, ¿cuál es la diferencia entre sus superficies visibles simplificadas?
Respuestas modelo
Problema 1. Transporte de nutrientes
La relación es proporcional a $\sqrt{t}$.
Después de 4 horas: $\sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2$ cm/h
Después de 9 horas: $\sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3$ cm/h
Respuesta: La velocidad después de 9 horas es de 3 cm/h
Problema 2. Células bajo el microscopio
Área 1: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
Área 2: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
Diferencia: $6\sqrt{2} – 5\sqrt{2} = \sqrt{2}$
Respuesta: La diferencia entre las superficies visibles es de $\sqrt{2} , \mu m$