Introducción
La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta que nos proporciona una fórmula análoga a la de la distribución binomial, válida para el muestreo sin remplazo, en cuyo caso los ensayos no son independientes.
Distribución hipergeométrica
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Demuestra que la función de probabilidad de la distribución hipergeométrica cumple las condiciones de una función de probabilidad.
- Sea $X$ es una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Verifica que si $n=1$, la variable $X∼ Bernoulli\left(\frac{K}{N}\right)$.
- Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Demuestra que $f_X\left(x+1\right)=\frac{\left(k-x\right)\left(n-x\right)}{\left(x+1\right)\left(N-k-n+x-1\right)}f\left(x\right)$ para $x=0, 1, 2, …, n$.
- Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Demuestra que la función de probabilidad de $X$, converge a la función de probabilidad $binomial(n,p)$, cuando $N\rightarrow\infty$ y $k\rightarrow\infty$ de tal manera que $\frac{k}{N}\rightarrow p$.
- Supongamos que una caja contiene 19 fresas, 3 de las cuales son de plástico y en consecuencia no se pueden comer. ¿Cuál es el número mínimo de fresas que deben ser seleccionadas, si requerimos que $P(al\ menos\ 1\ sea\ de\ plástico) ≥ .79$?
Más adelante…
La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de éxito si se extrae, sin reemplazo una serie de objetos de una población que contiene algunos objetos que representan el «fracaso» mientras que otros representan el «éxito». Es común encontrar esta distribución en el control de calidad.
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