Introducción
Toca el turno de estudiar la distribución binomial negativa, otra distribución discreta que se origina de un contexto semejante al que da la distribución geométrica. Esta distribución, se aplica a la variable aleatoria X que determina el número del ensayo en el que ocurre el k–ésimo éxito (k= 2, 3, 4, etc.).
Distribución binomial negativa
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Demuestre que la función de probabilidad de la distribución binomial negativa efectivamente es una función de probabilidad.
- Sea $X$ una variable aleatoria, tal que $X\sim binomial\ negativa\left ( k,p\right ) $.Determina una relación repetitiva entre probabilidades binomiales negativas sucesivas.
- Supongamos, se realizan ensayos Bernoulli independientes tal que, $P(E) = p$. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $x$ intentos ocurran antes que se presente el $k– ésimo$ éxito?
- Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim binomial\ negativa(k,p)$ y sea $Y = X – k$. La variable aleatoria $Y$, se puede interpretar como el número de fracasos antes del $k-ésimo$ éxito. Demuestra que $P(Y= y)=\begin{cases} {y+r-1 \choose r-1}p^kq^y & \mbox{para y=0,1,2,…} \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{cases}$.
- Supongamos, se realizan ensayos Bernoulli independientes tal que, $P(E) = p$. Si $X\sim binomial\ negativa(k,p)$ y observamos el $k-ésimo$ éxito en el intento $y_0$. Encuentra el valor de $p$ que maximice $P(Y = y_0)$.
Más adelante…
La distribución binomial negativa es una generalización de la distribución geométrica, pues esta última se obtiene haciendo coincidir el parámetro k con 1. Esta distribución se ha aplicado en campos como la estadística, las ciencias biológicas, la ecología, también se ha utilizado en estudios de mercado, en la psicología y en investigaciones médicas.
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