Introducción

Toca el turno de estudiar la distribución binomial negativa, otra distribución discreta que se origina de un contexto semejante al que da la distribución geométrica. Esta distribución, se aplica a la variable aleatoria X que determina el número del ensayo en el que ocurre el k–ésimo éxito (k= 2, 3, 4, etc.).

Distribución binomial negativa

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

• Demuestre que la función de probabilidad de la distribución binomial negativa efectivamente es una función de probabilidad.

• Sea $X$ una variable aleatoria, tal que $X\sim binomialnegativa(k,p)$.Determina una relación repetitiva entre probabilidades binomiales negativas sucesivas.

• Supongamos, se realizan ensayos Bernoulli independientes tal que, $P(E)=p$. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $x$ intentos ocurran antes que se presente el $k–ésimo$ éxito?

• Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim binomialnegativa(k,p)$ y sea $Y=X–k$. La variable aleatoria $Y$, se puede interpretar como el número de fracasos antes del $k-ésimo$ éxito. Demuestra que $P(Y=y)=\{\begin{array}{ll}(\genfrac{}{}{0ex}{}{y+r-1}{r-1})p^k{q}^y& \text{para y=0,1,2,…}\\ 0& \text{en otro caso}\end{array}$.

• Supongamos, se realizan ensayos Bernoulli independientes tal que, $P(E)=p$. Si $X\sim binomialnegativa(k,p)$ y observamos el $k-ésimo$ éxito en el intento $y_0$. Encuentra el valor de $p$ que maximice $P(Y=y_0)$.

Más adelante…

La distribución binomial negativa es una generalización de la distribución geométrica, pues esta última se obtiene haciendo coincidir el parámetro k con 1. Esta distribución se ha aplicado en campos como la estadística, las ciencias biológicas, la ecología, también se ha utilizado en estudios de mercado, en la psicología y en investigaciones médicas.

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