Introducción
Es sabido que existen funciones que no es tan sencillo evaluar en todos los puntos de su dominio. Sin embargo, cuando la función
es continua en

Las funciones con las que nos vamos a aproximar son conocidas como polinomios de Bernstein. Una forma de entenderlos es a través de la probabilidad. A continuación presentamos ideas tomadas del artículo de la Dra. Ana Meda cuya lectura sugerimos:
Meda A. (2005) Interpolar con volados, o los Polinomios de Bernstein. Miscelánea Matemática, 41, 1-12.
Sea
Definimos
Con
Corresponde a la probabilidad de que
Con (1) y (2) definimos
que es la esperanza de la variable aleatoria que acabamos de describir, debido a que corresponde a la suma de los valores que toma esta variable ponderada por la probabilidad de que los tome.
A lo largo de esta entrada mostraremos formalmente que esta estimación funciona. Comenzamos diciendo qué es «acercarse mucho» a una función continua. Presentamos la definición con polinomios, pues son funciones continuas y derivables, lo cual facilita su manejo.
Definición. Función continua aproximada por polinomios. Sea
diremos que la función
Definición. El
Que es la igualdad (3) definida arriba.
Mostremos el
El ésimo polinomio de Bernstein para la función constante,
Del teorema del binomio sabemos que
Haciendo
Si consideramos
Por lo tanto
El ésimo polinomio de Bernstein para la función identidad,
Partiendo de
Reemplacemos
El siguiente resultado será usado en el cálculo del polinomio:
Por lo tanto
Multipliquemos por
Haciendo
Por lo tanto
El ésimo polinomio de Bernstein para la función identidad,
Partiendo de
Reemplacemos
El siguiente resultado será usado en el cálculo del polinomio:
Por lo tanto
Multipliquemos por
Haciendo
Entonces
Al dividir ambos lados de la igualdad por
De modo que
Por lo tanto
Ahora daremos paso al
Teorema de aproximación de Bernstein. Sea
Demostración:
Partimos de
Al multiplicar ambos lados de la igualdad por
Por lo tanto
Usando la desigualdad del triángulo y el hecho de que
Nuestra intención ahora será mostrar que cuando
Sea
Sea
Separemos los elementos de
Como
De modo que si
En cuanto a los
Si
Usaremos la última desigualdad al final del siguiente grupo de ecuaciones.
Ahora, partiendo de
Por la igualdad (9) tenemos:
Partiendo de (6) se sigue:
Y también que
Sumando (17) con (19).
Ahora sumemos (16), (18) y (20) para obtener:
Dado que
Ya que
Ahora, de (14) y (23) tenemos, finalmente que
Lo cual demuestra que la sucesión de polinomios de Bernstein converge uniformemente a
Si bien, el teorema anterior aplica para funciones con dominio en
Teorema. De aproximación de Weierstrass. Sea
Demostración:
Definimos
Ahora definimos
Por lo tanto se da la convergencia uniforme
Más adelante…
Conoceremos condiciones bajo las que es posible acercarnos a funciones continuas que tienen su dominio en conjuntos más generales que un intervalo cerrado: los espacios compactos. Lo haremos a través del teorema de Stone-Weierstrass que enunciaremos en la siguiente sección.
Tarea moral
- Considera la función
definida en (2). Demuestra que alcanza su máximo en el punto - Desarrolla las funciones
para para - Considera la función
dada por Grafica los polinomios de Bernstein de para Visualiza la gráfica para
Enlaces
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