Funciones de ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ (parte dos)

Ejemplo. Encontrar el dominio y la imagen de la región ${\displaystyle R=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le x\le 1,0\le y\le 1\}}$ para la función $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ dada por $${\displaystyle f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)}$$

Solución. En este caso $$f_1=(x^2-y^2)\Rightarrow Do{m}_{f_1}={\mathbb{R}}^2$$
$$f_2=\left(2xy\right)\Rightarrow Do{m}_{f_2}={\mathbb{R}}^2$$
por lo tanto
$$Do{m}_f=Do{m}_{f_1}\bigcap Do{m}_{f_{}}={\mathbb{R}}^2\bigcap {\mathbb{R}}^2={\mathbb{R}}^2$$
Para la imagen de la región ${\displaystyle R=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le x\le 1,0\le y\le 1\}}$ procedemos de la siguiente manera:
Definimos los siguientes conjuntos que limitan la región

$$A_1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le x\le 1,y=0\}$$
$$A_2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le y\le 1,x=1\}$$
$$A_3=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le x\le 1,y=1\}$$
$$A_1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le y\le 1,x=0\}$$

ahora procedemos a encontrar las imagenes de cada uno de los conjuntos definidos

Para $A_1$ se tiene
$$A_1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le x\le 1,y=0\}f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)=(x^{\prime },y^{\prime })$$ $$x^{\prime }=x^2-y^2\underset{y=0}{\underbrace{\Rightarrow }}{x}^{\prime }=x^{2}ysi0\le x\le \le 1\Rightarrow 0\le x^2\le 1\Rightarrow 0\le x^{\prime }\le 1$$
$$y^{\prime }=2xy\underset{y=0}{\underbrace{\Rightarrow }}{y}^{\prime }=0$$ por lo tanto $$f(A_1)=\{(x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^2|0\le x^{\prime }\le 1,y^{\prime }=0\}$$ Para $A_2$ se tiene $$A_2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le y\le 1,x=1\}f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)=(x^{\prime },y^{\prime })$$
$$x^{\prime }=x^2-y^2\underset{x=1}{\underbrace{\Rightarrow }}{x}^{\prime }=1-y^2\Rightarrow y=\sqrt{1-x^{\prime }}$$ $$y^{\prime }=2xy\underset{x=1}{\underbrace{\Rightarrow }}{y}^{\prime }=2y\Rightarrow y^{\prime }=2\sqrt{1-x^{\prime }}\Rightarrow y^{\prime 2}=4(1-x^{\prime })$$
por lo tanto
$$f(A_2)=\{(x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^2|y^{\prime 2}=4(1-x^{\prime }),0\le y^{\prime }\le 2\}$$
Para $A_3$ se tiene
$$A_3=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le x\le 1,y=1\}f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)=(x^{\prime },y^{\prime })$$
$$x^{\prime }=x^2-y^2\underset{y=1}{\underbrace{\Rightarrow }}{x}^{\prime }=x^2-1\Rightarrow x^{\prime }+1=x^2\Rightarrow x=\sqrt{x^{\prime }+1}$$ $$y^{\prime }=2xy\underset{y=1}{\underbrace{\Rightarrow }}{y}^{\prime }=2x\Rightarrow y^{\prime }=2\sqrt{x^{\prime }+1}\Rightarrow y^{\prime 2}=4(x^{\prime }+1)$$
por lo tanto
$$f(A_3)=\{(x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^2|y^{\prime 2}=4(x^{\prime }+1),0\le y^{\prime }\le 2\}$$
Para $A_4$ se tiene
$$A_4=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le y\le 1,x=0\}f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)=(x^{\prime },y^{\prime })$$
$$x^{\prime }=x^2-y^2\underset{x=0}{\underbrace{\Rightarrow }}{x}^{\prime }=-y^{2}ysi0\le y\le 1\Rightarrow 0\le y^2\le 1\Rightarrow -1\le y^2\le 0$$ $$y^{\prime }=2xy\underset{x=0}{\underbrace{\Rightarrow }}{y}^{\prime }=0$$
por lo tanto
$$f(A_4)=\{(x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^2|-1\le x^{\prime }\le 0,y^{\prime }=0\}$$

Operaciones con Funciones de ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$

Definición 1. Sean $f,g:A\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m,\alpha \in \mathbb{R}yh:D\subset {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^k$. Definimos

1. La suma de f y g que denotamos por f+g como
   $$(f+g)(x)=f(x)+g(x),x\in A$$
2. El producto del escalar $\alpha$ por la función f que denotamos $\alpha f$ como
   $$(\alpha f)(x)=\alpha f(x),x\in A$$
3. El producto punto de f por g que denotamos $f\cdot g$ como
   $$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in A$$
4. Si $m=3$ el producto cruz de f por g que denotamos $f\times g$ como
   $$(f\times g)(x)=f(x)\times g(x),x\in A$$
5. Si $m=1$ el cociente de f por g que denotamos ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ como
   $$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x\in A$$
6. La composición de h con f, que denotamos como $h\circ f$ como
   $$(h\circ f)(x)=h(f(x))paracada\{x\in A|f(x)\in D\}$$

Gráficas de Funciones de ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$

Definición 2. Dada la función $f(f_1,\dots ,f_m):A\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, definimos su gráfica como el subconjunto
$$g_f=(x_1,\dots ,x_n,f_1(x_1,\dots ,x_n),f_2(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n))\in {\mathbb{R}}^{n+m}|(x_1,\dots ,x_n)\in A$$

{Límite de Funciones de $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$

Definición 3. $\mathbf{\text{Por sucesiones}}$ Sean $f:A\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ y $x_0\in A^{\prime }$. Decimos que f tiene límite en $x_0$ y que su límite es $\ell \in {\mathbb{R}}^m$, si para toda sucesión $x_k$ contenida en $A-x_0$ que converge a $x_0$ se tiene que la sucesión $f(x_k)$ converge a $\ell$. En este caso escribimos
$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\ell$$
y decimos que $\ell$ es el límite de f en $x_0$.

Definición 4. $(ϵ-\delta )$ Sea $f:A\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, y sea $x_0$ un punto de acumulación de A.
Se dice que $\ell \in {\mathbb{R}}^m$ es el límite de $f$ en
$x_0$, y se denota por:\ $${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\ell }$$ Si dado $\mathrm{\forall }ϵ>0$, existe $\delta >0$ tal
que $$|f(x)-\ell |<ϵcuando0<|x-x_0|<\delta$$

Continuidad de Funciones de Varias Variables

Definición 5. Sean $f:\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ y
$x_0\in \mathrm{\Omega }$. Se dice que $f$ es continua en $x_0$ si dado $ϵ>0$, $\mathrm{\exists }$ $\delta >0$ tal que $|f(x)-f(x_0)|<ϵ$ siempre que $x\in \mathrm{\Omega }$ y $0<|x-x_0|<\delta$

Definición 6. Se dice que un subconjunto $V\subset {\mathbb{R}}^n$ es un entorno del punto $x$, si exite $ϵ>0$ tal que $B(x,ϵ)\subset V.$

Definición 7. Sean $f:\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ y $x_0\in \mathrm{\Omega }$. Se dice que $f$ es continua en $x_0$ cuando $\mathrm{\forall }$ entorno V de $f(x_0)$ existe un entorno U de $x_0$ tal que $f(U)\subset V$ es decir para cualquier $x\in U$ se cunple $f(x)\in V$

Proposición 1. Una función $f:D\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ es continua si y solo si
$$f^{-1}(v)=\{x\in D\mid f(x)\in v\}$$
es un abierto (contenido en $D$) para cada abierto $v\subset {\mathbb{R}}^m$.

Demostración. $\Rightarrow$ Sea $v$ un abierto en ${\mathbb{R}}^m$ y sea $\bar{x}\in f^{-1}(v)$; tenemos por definición $f(\bar{x})\in v$. Como $v$ es un
conjunto abierto $\mathrm{\exists }r>0$ tal que $B(f(\bar{x}),r)\subset v$ como $f$ es continua $\mathrm{\exists }$ $\rho >0$ tal que $f(B(x,\rho ))\subset B(f(x),r)$ pero esto significa que $B(x,\rho )\subset f^{-1}(B(f(x),r))\subset f^{-1}(v)$ por lo que cada punto $x\in f^{-1}(v)$ es punto interior lo que prueba que $v$ es abierto.
$\Leftarrow$ Supongamos que $f^{-1}(v)$ es un abierto, para cada conjunto abierto $v\subset {\mathbb{R}}^m$\Sea $ϵ>0$ y $x\in {\mathbb{R}}^n$, hacemos:
$B(f(x),ϵ)=V$ por lo que$f^{-1}(V)$ es abierto, esto quiere decir que $\mathrm{\exists }\delta >0$ tal que $B(x,\delta )\subset f^{-1}(V)$ esto implica $f(B(x,\delta ))\subset V$ esto es $f(B(x,\delta ))\subset B(f(x),ϵ)$ esto muestra que $f$ es continua en $x$.

Proposición 2.

(1) $$f^{-1}(v)=\{x\in D\mid f(x)\in v\}$$
es un abierto (contenido en $D$) para cada abierto
$v\subset {\mathbb{R}}^m$.
(2) $$f^{-1}(v)=\{x\in D\mid f(x)\in v\}$$
es un cerradoo (contenido en $D$) para cada cerradoo
$v\subset {\mathbb{R}}^m$.

Vamos a probar que $1\Rightarrow 2$

Demostración. Si $V=\bar{V}\subset {\mathbb{R}}^m$, consideremos el conjunto $V^c$ el cual es abierto y por hipotesis $f^{-1}(V^c)$ es abierto, pero
$$f^{-1}(V^c)={(f^{-1}(V))}^c$$
por lo que ${(f^{-1}(V))}^c$ es abierto, en consecuencia $f^{-1}(V)$ es cerrado\
Vamos a probar que \textcolor{Red}{$2\Rightarrow 1$}
Si $V=int(V)\subset {\mathbb{R}}^m$ entonces $V^c$ es cerrado y por hipotesis $f^{-1}(V^c)$ es cerrado, pero
$$f^{-1}(V^c)={(f^{-1}(V))}^c$$
por lo que ${(f^{-1}(V))}^c$ es cerradoo, en consecuencia $f^{-1}(V)$ es abierto $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$