(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

La propiedad multiplicativa del determinante establece que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada matriz. En otras palabras, si $A$ y $B$ son dos matrices cuadradas de igual tamaño, entonces el determinante de su producto $AB$ es igual al producto de los determinantes de $A$ y $B$, es decir:

$det\,AB = det\,A\, det\,B.$

La propiedad multiplicativa del determinante es muy útil en muchos problemas de álgebra lineal, ya que permite calcular el determinante de una matriz grande dividiéndola en submatrices más pequeñas, calculando los determinantes de cada submatriz y utilizando esta propiedad para calcular entonces el determinante de la matriz completa.

Vamos a probar la propiedad multiplicativa del determinante primero cuando una de las matrices es elemental, es decir, probaremos que si $E$ es una matriz elemental, entonces:

$det\,EB = det\,E\, det\,B.$

Después veremos que si $R$ es una matriz escalonada reducida por renglones se tiene que:

$det\,RB = det\,R\, det\,B,$

para finalmente justificar con ello el caso general.

Observación 1

Si $E$ es una matriz elemental:

• El determinante de $E$ es $-1$ si $E$ se obtiene de $I_n$ intercambiando dos renglones.
• El determinante de $E$ es $\lambda$ si $E$ se obtiene de $I_n$ multiplicando un renglón por un escalar $\lambda$ no nulo.
• El determinante de $E$ es $+1$ si $E$ se obtiene de $I_n$ sumando a un renglón un múltiplo de otro.

Lema 3

Sean $E,B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $E$ una matriz elemental, entonces $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

Demostración

$E,B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $E$ una matriz elemental.

Caso 1

Si $E$ se obtiene de $I_n$ intercambiando los renglones $t$ y $s$, entonces $EB$ se obtiene de $B$ intercambiando los renglones $t$ y $s$, por la propiedad $3$ de determinantes vista en la nota 41 tenemos que:

$det\,EB=-det\,B=(-1)det\,B $

y por la observación 1 $(-1)det\,B =det\,E\,det\,B$. Por lo tanto $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

Caso 2

Si $E$ se obtiene de $I_n$ multiplicando el renglón $s$ por $\lambda\in \mathbb R\setminus\set{0}$, entonces $EB$ se obtiene de $B$ multplicando el renglón $s$ por $\lambda\in \mathbb R\setminus\set{0}.$ Por la propiedad $2$ de determinantes tenemos que $det\,EB=\lambda\,detB$ y por la observación 1 $det\,E=\lambda$, así $det\,EB=det\,E\,det\,B.$

Caso 3

Si $E$ se obtiene de $I_n$ sumando al renglón $t$ $\lambda$ veces el renglón $s$, entonces $EB$ se obtiene de $B$ sumando al renglón $t$ $\lambda$ veces el renglón $s$, así por la propiedad $5$ de determinantes $det\,EB=+1\,det\,B$ y por la observación $1$ tenemos que $det\,E=+1$ y así $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

$\square$

Observación 2

Si $R\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ es escalonada reducida, entonces $R=I_n$ o bien $R$ tiene al menos un renglón nulo.

Lema 4

Sean $R,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ escalonada reducida, se tiene que $det\,RB=det\,R\,det\,B.$

Demostración

$R,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ escalonada reducida

Caso 1

Si $R=I_n$ entonces:

$det\,RB=det\,I_nB=det\,B=det\,I_n\,det\,B=det\,R\,det\,B.$

Caso 2

Si $R$ tiene al menos un renglón nulo, tenemos que $RB$ tiene al menos un renglón nulo, y por la propiedad $6$ $det\,R=0=det\,RB$, así:

$det\,RB=0=0\,det\,B=det\,R\,det\,B.$

Teorema

Sean $A,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Se tiene que $det\,AB=det\,A\,det\,B.$

Demostración

$A,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R).$ Sabemos que $A\sim R$ con $R$ escalonada reducida, entonces $A=E_t\cdots E_1 R$, con $E_1,\dotsc,E_t$ matrices elementales. Así:

$det\,AB=det\,E_t\cdots E_1 R B$

Por el lema $3$ tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1 det\,R B$

y por el lema $4$ tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1\,det\,R\,det\,B.$

Por el lema $3$ tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1 R\,det\,B$

y aplicando sucesivamente el lema $3$ obtenemos:

$det\,AB=det\,E_t E_{t-1}\cdots E_1 R\, det\, B.$

Concluimos que:

$det\,AB=det\,A\,det\,B$

$\square$

Observación 3

Sea $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)\,\,A\sim R$, con $R$ escalonada reducida. Tenemos que $det\,A\neq 0$ si y sólo si $det\,R\neq 0$.

Demostración

Las operaciones elementales sólo afectan el signo del determinante o lo modifican por un factor $\lambda\neq 0$, así $det A$ y $det R$ sólo difiere por un factor $\lambda\neq 0$, es decir $det R=\lambda det R$ con $\lambda\neq 0$, por lo cual $det\,R\neq 0$ si y sólo si $det\,A\neq 0$.

$\square$

Teorema

Sea $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$1.$ Los renglones de $A$ forman un conjunto linealmente independiente en $\mathbb R^n$.

$2.$ $rk\,A=n$.

$3.$ $A\sim I_n$.

$4.$ $A$ tiene inversa.

$5.$ $det\,A\neq 0$

Demostración

Sea $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R).$

$1\Longrightarrow2$ Supongamos que los renglones de $A$ forman un conjunto $l.i$ en $\mathbb R^n$. Entonces como son $n$ vectores $l.i$ en $\mathbb R^n$ son una base de $\mathbb R^n$ y así el espacio de renglones de $A$ es $\mathbb R^n$ que tiene dimensión $n$ y por lo tanto $rk\,A=n.$

$2\Longrightarrow3$ Supongamos $rk\,A=n$. Entonces al escalonar $A$ se obtiene una matriz reducida $R \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $n$ renglones no nulos. Por la observación $2$ sabemos que $R=I_n$, y así $A\sim I_n$.

$3\Longrightarrow4$ Supongamos que $A\sim I_n$ entonces $A=E_t\cdots E_1 I_n$ con $E_1,\dotsc,E_t$ matrices elementales (que son invertibles). Así $A$ es producto de matrices invertibles y es por lo tanto invertible con $A^{-1}=E_1^{-1}\cdots E_t^{-1}.$

$4\Longrightarrow5$ Supongamos que $A$ es invertible, entonces existe $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=I_n$, así $1=det\,I_n=det\,AA^{-1}=det\,A\,det\,A^{-1}$. En particular $det\,A\neq 0$.

$5\Longrightarrow1$ Supongamos que $det\,A\neq 0$. Sea $R$ la matriz escalonada tal que $A\sim R$. Por la observación $3$ tenemos que $det\,R\neq 0$ y entonces $R$ no puede tener renglones nulos, usando la observación $2$ tenemos que $R=I_n$. Dado que $rk \,A=rk \,R=rk \,I_n,$ entonces el rango de $A$ es $n$, y así la dimensión del espacio de renglones de $A$ es $n$. Concluimos entonces que los $n$ renglones de $A$ deben formar un conjunto $l.i.$

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Analiza si las matrices diagonales y triangulares superiores son invertibles.

$2.$ ¿Para que valores de $k$, si es que existen la matriz $C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} k & -3 & 9\\ 2 & 4 & k+1\\ 1 & k^2 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$ es invertible?

$3.$ ¿Qué condiciones se deben pedir a $a,b,c$ para que la matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right) \end{equation*}$ sea invertible?

Más adelante

Con esta entrada se terminan las notas del curso de Álgebra Superior I impartido por la Dra. Diana Avella Alaminos.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 42. Formula para obtener el determinante.