(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

La propiedad multiplicativa del determinante establece que si $A$ y $B$ son dos matrices cuadradas de igual tamaño, entonces el determinante de su producto $AB$ es igual al producto de los determinantes de $A$ y $B$, es decir:

$det\,AB = det\,A\, det\,B.$

La propiedad multiplicativa del determinante es muy útil en muchos problemas de álgebra lineal, ya que permite calcular el determinante de una matriz grande descomponiéndola como producto de matrices cuyos determinantes sean más sencillos de calcular.

En esta última entrada vamos a probar la propiedad multiplicativa del determinante, primero cuando una de las matrices es elemental, después probaremos la propiedad multiplicativa cuando una de las matrices es una matriz escalonada reducida por renglones para finalmente justificar con ello el caso general.

Observación 1

Sea $E$ es una matriz elemental:

• El determinante de $E$ es $-1$ si $E$ se obtiene de $I_n$ intercambiando dos renglones.
• El determinante de $E$ es $\lambda$ si $E$ se obtiene de $I_n$ multiplicando un renglón por un escalar $\lambda$ no nulo.
• El determinante de $E$ es $+1$ si $E$ se obtiene de $I_n$ sumando a un renglón un múltiplo de otro.

Demostración

Es consecuencia directa de cómo cambia el determinante cuando aplicamos a la matriz una operación elemental. Se deja la prueba al lector.

Lema 3

Sean $n$ un natural positivo, $E,B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $E$ una matriz elemental. Tenemos que $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $E,B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $E$ una matriz elemental, $t,s\in\{1,\dots ,n\}$, $\lambda\in \mathbb R$.

Caso 1

Si $E$ se obtiene de $I_n$ intercambiando los renglones $t$ y $s$, entonces, gracias a la observación $1$ de la nota 35, $EB$ se obtiene de $B$ intercambiando los renglones $t$ y $s$. Por la propiedad $3$ de determinantes vista en la nota 41 tenemos que:

$det\,EB=-det\,B=(-1)det\,B $

y por la observación 1 $(-1)det\,B =det\,E\,det\,B$. Por lo tanto $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

Caso 2

Si $E$ se obtiene de $I_n$ multiplicando el renglón $s$ por $\lambda\in \mathbb R\setminus\set{0}$, entonces, gracias a la observación $1$ de la nota 35, $EB$ se obtiene de $B$ multplicando el renglón $s$ por $\lambda\in \mathbb R\setminus\set{0}.$ Por la propiedad $2$ de determinantes vista en la nota 41 tenemos que $det\,EB=\lambda\,detB$ y por la observación 1 $det\,E=\lambda$, así $det\,EB=det\,E\,det\,B.$

Caso 3

Si $E$ se obtiene de $I_n$ sumando al renglón $t$ $\lambda$ veces el renglón $s$, entonces, gracias a la observación $1$ de la nota 35, $EB$ se obtiene de $B$ sumando al renglón $t$ $\lambda$ veces el renglón $s$, así por la propiedad $5$ de determinantes vista en la nota 41 $det\,EB=+1\,det\,B$ y por la observación $1$ tenemos que $det\,E=+1$ y así $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

$\square$

Observación 2

Sean $n$ un natural positivo, $R\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ una matriz escalonada reducida. Tenemos que $R=I_n$ o bien $R$ tiene al menos un renglón nulo.

Demostración

Se deja la prueba al lector.

Lema 4

Sean $n$ un natural positivo, $R,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ escalonada reducida, se tiene que $det\,RB=det\,R\,det\,B.$

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $R,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ escalonada reducida.

Por la observación $2$ sabemos que $R=I_n$ o bien $R$ tiene al menos un renglón nulo. Analicemos cada uno de estos dos casos.

Caso 1

Si $R=I_n$ entonces:

$det\,RB=det\,I_nB=det\,B=det\,I_n\,det\,B=det\,R\,det\,B.$

Caso 2

Si $R$ tiene al menos un renglón nulo, tenemos que $RB$ tiene al menos un renglón nulo y por la propiedad $6$ de determinantes vista en la nota 41 $det\,R=0=det\,RB$, así:

$det\,RB=0=0\,det\,B=det\,R\,det\,B.$

Teorema

Sean $n$ un natural positivo, $A,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Se tiene que $det\,AB=det\,A\,det\,B.$

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R).$

Sabemos, gracias a lo que se vio en la nota 36, que $A\sim R$ para alguna $R \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ matriz escalonada reducida, entonces, por la observación 2 de la nota 35 sabemos que $A=E_t\cdots E_1 R$, con $t$ un natural positivo y $E_1,\dotsc,E_t$ matrices elementales. Así:

$det\,AB=det\,E_t\cdots E_1 R B$

Por el lema $3$ aplicado varias veces tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1 det\,R B$

y por el lema $4$ tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1\,det\,R\,det\,B.$

Por el lema $3$ tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1 R\,det\,B$

y aplicando sucesivamente el lema $3$ obtenemos:

$det\,AB=det\,E_t E_{t-1}\cdots E_1 R\, det\, B.$

Concluimos que:

$det\,AB=det\,A\,det\,B.$

$\square$

Observación 3

Sean $n$ un natural positivo, $A,R \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ una matriz escalonada reducida tal que $A\sim R$. Tenemos que $det\,A\neq 0$ si y sólo si $det\,R\neq 0$.

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A,R \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ una matriz escalonada reducida tal que $A\sim R$.

Dado que las operaciones elementales sólo afectan el signo del determinante o lo modifican por un factor $\lambda\neq 0$, se tiene que $det A$ y $det R$ sólo difieren por un factor $\lambda\neq 0$, es decir $det R=\lambda det R$ con $\lambda\neq 0$, por lo cual $det\,R\neq 0$ si y sólo si $det\,A\neq 0$.

$\square$

Teorema

Sean $n$ un natural positivo, $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$1.$ Los renglones de $A$ forman un conjunto linealmente independiente en $\mathbb R^n$.

$2.$ $rk\,A=n$.

$3.$ $A\sim I_n$.

$4.$ $A$ tiene inversa.

$5.$ $det\,A\neq 0.$

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R).$

$1\Longrightarrow2$ Supongamos que los renglones de $A$ forman un conjunto $l.i$ en $\mathbb R^n$. Entonces como son $n$ vectores $l.i$ en $\mathbb R^n$ son una base de $\mathbb R^n$ y así el espacio de renglones de $A$ es $\mathbb R^n$ que tiene dimensión $n$ y por lo tanto $rk\,A=n.$

$2\Longrightarrow3$ Supongamos $rk\,A=n$. Entonces al escalonar $A$ se obtiene una matriz reducida $R \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $n$ renglones no nulos. Por la observación $2$ sabemos que $R=I_n$ y así $A\sim I_n$.

$3\Longrightarrow4$ Supongamos que $A\sim I_n$ entonces $A=E_t\cdots E_1 I_n$ con $t$ un natural positivo y $E_1,\dotsc,E_t$ matrices elementales (que son invertibles). Así, $A$ es producto de matrices invertibles y es por lo tanto invertible con $A^{-1}=E_1^{-1}\cdots E_t^{-1}.$

$4\Longrightarrow5$ Supongamos que $A$ es invertible, entonces existe $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=I_n$. Así, $1=det\,I_n=det\,AA^{-1}=det\,A\,det\,A^{-1}$. En particular $det\,A\neq 0$.

$5\Longrightarrow1$ Supongamos que $det\,A\neq 0$. Sea $R$ la matriz escalonada tal que $A\sim R$. Por la observación $3$ tenemos que $det\,R\neq 0$ y entonces $R$ no puede tener renglones nulos, entonces, usando la observación $2$, tenemos que $R=I_n$. Dado que $rk \,A=rk \,R=rk \,I_n,$ se tiene que el rango de $A$ es $n$ y así la dimensión del espacio de renglones de $A$ es $n$. Concluimos finalmente que los $n$ renglones de $A$ deben formar un conjunto $l.i.$

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Analiza qué condiciones debe cumplir una matriz diagonal para que sea invertible.

$2.$ Analiza qué condiciones debe cumplir una matriz triangular superior (o inferior) para que sea invertible.

$3.$ ¿Para que valores reales de $k$, si es que existen, la matriz $C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} k & -3 & 9\\ 2 & 4 & k+1\\ 1 & k^2 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$ es invertible?

$4.$ ¿Qué condiciones se deben pedir a $a,b,c$ para que la matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right) \end{equation*}$ sea invertible?

Más adelante

Con esta entrada se terminan las notas del curso de Álgebra Superior I impartido por la Dra. Diana Avella Alaminos.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 42. Formula para obtener el determinante.