(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la nota anterior comenzamos el estudio de los sistemas de ecuaciones, ahora veremos cómo determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene o no solución. y cómo encontrar sus soluciones en caso de que existan.

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es un problema fundamental en matemáticas y en diversas áreas de la ingeniería y las ciencias aplicadas. Una técnica comúnmente utilizada para resolver estos sistemas es la eliminación de Gauss-Jordan, que consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz aumentada asociada al sistema, que como vimos en la nota anterior no modifica las soluciones del sistema, para obtener una matriz equivalente que sea escalonada reducida por renglones. En esta nueva matriz la solución del sistema asociado se puede obtener fácilmente. En esta nota se explicará paso a paso cómo realizar este proceso, a partir de ejemplos concretos.

Ejemplos

$1.$

Expresión	Explicación
$\begin{array}{rl} 4x-8y &=12\\ 3x-6y &=9\\-2x+4y &=-6 \end{array}$	Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr|r} 4 & -8 & 12 \\ 3 & -6 & 9 \\ -2 & 4 & -6 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales: $\frac{1}{4}R_1,\,\frac{1}{3}R_2,\,\frac{1}{2}R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -2 & 3 \\ 1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_2\to R_2-R_1$ $R_3\to R_3+R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{equation*}$

El sistema se reduce a la ecuación $x-2y=3$ y dos ecuaciones iguales a $0x+0y=0$, pero esto último se cumple para todas $x,y\in\mathbb{R}$, así que debemos analizar sólo qué valores $x$ y $y$ cumplen la ecuación $x-2y=3$.

Observemos que $x-2y=3$ si y sólo si $x=3+2y$. En este caso podemos dar a $y$ cualquier valor real $\lambda$ y entonces $x$ queda determinado por el valor que dimos a $y$. Decimos entonces que $y$ está funcionando como un parámetro.

Las soluciones son:

$x=3+2\lambda,\,y=\lambda$ con $\lambda\in \mathbb R .$

El conjunto de soluciones es :

$\begin{array}{l}\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x=3+2\lambda,y=\lambda,\,\lambda\in\mathbb R} \\ = \set{(3+2\lambda,\lambda) \mid \lambda\in\mathbb R)} \\ =\set{(2\lambda,\lambda)+(3,0) \mid \lambda\in\mathbb R)} \\ = \set{\lambda(2,1)+(3,0) \mid \lambda\in\mathbb R)} \end{array}$

$2.$

Expresión	Explicación
$\begin{array}{rlr}5x+2y-19z+0w-32t &=&-24\\ 6x+30y-21z+30w-21t &=&-21 \\x+5y-4z+0w-7t &=&5 \\ 3x+15y-11z+w-14t &=&-12 \end{array}$	Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 5 & 25 & -19 & 0 & -32 & -24\\ 6 & 30 & -21 & 3 & -21 & -21 \\ 1 & 5 & -4 & 0 & -7 & -5 \\ 3 & 15 & -11 & 1 & -14 &-12 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales: $R_1\leftrightarrow R_3$ $\frac{1}{3}R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 1 & 5 & -4 & 0 & -7 & -5\\ 2 & 10 & -7 & 1 & -7 & -7 \\ 5 & 25 & -19 & 0 & -32 & -24 \\ 3 & 15 & -11 & 1 & -14 &-12 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_2\to R_2-2R_1$ $R_3\to R_3-5R_1$ $R_4\to R_4-3R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 1 & 5 & -4 & 0 & -7 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 &3 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_3\to R_3-2R_2$ $R_4\to R_4-R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 1 & 5 & -4 & 0 & -7 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa la operación elemental: $R_2\to R_2+R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 1 & 5 & -4 & 0 & -7 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_1\to R_1+4R_2$ $(-1)R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 1 & 5 & 0 & 0 & 5 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{array}\right) \end{equation*}$
$\begin{array}{rlr}x+5y+0z+0w+5t &=&-1\\ 0x+0y+z+0w+3t &=&1 \\0x+0y+0z+w+4t &=&2 \end{array}$	Este sistema es equivalente al sistema con el que empezamos, por lo tanto sus soluciones son las mismas.
$\begin{array}{llllllr}x&+5y+&&&+5t &=&-1\\ &&+z&&+3t &=&1 \\&&&w&+4t &=&2 \end{array}$	El sistema se puede simplificar omitiendo los términos con coeficiente cero.

Observemos que en el sistema anterior, debido a la forma que tiene, es muy sencillo despejar a $x$, a $z$ y a $w$, y al hacerlo quedan en términos de $y$ y de $t$ (las indeterminadas que no tienen como coeficiente al primer elemento no nulo de algún renglón en la matriz escalonada reducida por renglones). Éstas nos servirán entonces como parámetros, ya que eligiendo $y$ y $t$ como cualesquiera números reales, $x$, $z$ y $w$ quedan determinados por ellos.

Sean entonces $\alpha,\beta\in \mathbb R$, si $t=\alpha$ y $y=\beta$, tenemos que:

$x=-5\beta-5\alpha-1$

$z=1-3\alpha$

$w=-4\alpha +2.$

Así, el conjunto solución es:

$\begin{align*}\phantom{=}&\set{(-5\beta-5\alpha-1,\beta,-3\alpha+1,-4\alpha+2,\alpha)\mid \alpha,\beta \in\mathbb R} \\ =& \set{\beta(-5,1,0,0,0)+\alpha(-5,0,-3,-4,1)+(-1,0,1,2,0)\mid \alpha,\beta \in\mathbb R } .\end{align*}$

$3.$

Expresión	Explicación
$\begin{array}{rlr} x+y+z &=-3\\ 2x-3y+4z &=1 \\3x+2y+5z &=8 \end{array}$	Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\ 2 & -3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 8 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales: $R_2\to R_2-2R_1$ $R_3\to R_3-3R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -5 & 2 & -5 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa la operación elemental: $R_2\leftrightarrow R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -1 & 2 & -1\\ 0 & -5 & 2 & -5 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_1\to R_1+R_2$ $R_3\to R_3-5R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -8 & 0 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $\frac{1}{8} R_3$ $(-1) R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_1\to R_1-3R_3$ $R_2\to R_2+2 R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{equation*}$
$\begin{array}{rrrr} x& &&=2\\&y &&=1 \\&&z &=0 \end{array}$	Este sistema es equivalente al inicial, por tanto su solución es la misma. Hay una única solución: $\set{(2,1,0)}.$

$4.$

Expresión	Explicación
$\begin{array}{rlr}6x+12y-6z &=24\\ 3x+9y-2z &=14 \\5x+4y-7z &=21 \end{array}$	Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 6 & 12 & -6 & 24\\ 3 & 9 & -2 & 14 \\ 5 & 4 & -7 & 21 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa la operación elemental: $\frac{1}{6}R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4\\ 3 & 9 & -2 & 14 \\ 5 & 4 & -7 & 21 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa la operaciones elementales: $R_2\to R_2-3R_1$ $R_3\to R_3-5R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4\\ 0 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -6 & -2 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa la operación elemental: $R_3\to R_3+2 R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4\\ 0 & 3 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	La última ecuación es: $0x+0y+0z=5$ que no tiene solución. Por lo tanto el sistema no tiene solución.

Definición

Decimos que un sistema es incompatible si no tiene solución. Decimos que un sistema es compatible si tiene solución; en este caso decimos que es compatible determinado si tiene una única solución, si hay más de una solución decimos que es compatible indeterminado.

Como se comentó en la nota anterior, el rango de una matriz es la dimensión del espacio generado por sus renglones, pero también coincide con la dimensión del espacio generado por sus columnas. No probaremos este resultado porque va más allá de los objetivos de este curso pero lo enunciaremos y usaremos:

Nota

Sean $n$ y $m$ naturales positivos y $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ con $A^1,\dotsc,A^n$ sus columnas. Tenemos que $rk\, A=dim\langle A^1,\dotsc,A^n \rangle = rk\,A^t.$

Teorema

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz aumentada.

Demostración

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $B\in \mathscr M_{m\times 1}(\mathbb R)$.

$AX=B$ tiene solución $\Longleftrightarrow $ $\exists S\in \mathbb R^n$ tal que $AS=B$

$\Longleftrightarrow $ $B\in \langle A^1,\dotsc,A^n \rangle$

$\Longleftrightarrow $ $\langle B,A^1,\dotsc,A^n \rangle=\langle A^1,\dotsc,A^n \rangle$

$\Longleftrightarrow $ $dim\langle B,A^1,\dotsc,A^n \rangle=dim\langle A^1,\dotsc,A^n \rangle$

$\Longleftrightarrow $ El rango de la matriz aumentada es igual al rango de la matriz de coeficientes.

Tarea Moral

$1.$ En cada inciso encuentra el conjunto solución del sistema

$i)$

$\begin{align*} 5x+2y-3z &=-25\\ 3x+y+4z &=7 \\2x+3y+2z &=16 \end{align*}$

$ii)$

$\begin{align*} 3x+2y+4z &=-1\\ 2x-y+5z &=8 \\5x+y+9z &=11 \end{align*}$

$iii)$

$\begin{align*} 2x_1+x_2+x_3+x_4 &=0\\x_1+2x_2+x_3+x_4&=0 \\x_1+x_2+2x_3+x_4 &=16\\ x_1+x_2+x_3+2x_4&=0 \end{align*}$

$iv)$

$\begin{align*} x+2y-z+3w &=7\\ 3x+6y-14z+11w &=20 \end{align*}$

$2.$ ¿Qué ocurre con la última columna de la matriz aumentada de un sistema homogéneo al escalonar la matriz? ¿Es necesario escribir esa última columna al realizar el procedimiento que estudiamos para resolver un sistema homogéneo?

$3.$ En una tienda se venden $23$ baterías eléctricas por un total de $\$79.2$. Si el tipo $A$ cuesta $\$5$ el tipo $B$ $\$2.80$ y el tipo $C$ $\$1.60$ por pieza. ¿Cuántas baterías de cada tipo se vendieron?

Más adelante

En la siguiente nota definiremos lo que es el determinante de una matriz.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 38. Sistemas de ecuaciones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 40. Determinantes.