(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada empezaremos a estudiar los sistemas de ecuaciones lineales con cierto número de incógnitas. El objetivo de este tipo de sistemas es encontrar los valores adecuados que se deben colocar en el lugar de las incógnitas para que se satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Cada una de las ecuaciones en el sistema representa una restricción en las posibles soluciones del mismo, por lo que la solución del sistema debe cumplir con todas las restricciones impuestas por las ecuaciones. Las soluciones de este tipo de sistemas pueden no existir, ser únicas o puede haber múltiples soluciones.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales puede ser útil en diferentes áreas como en la física, la ingeniería, la economía, entre otras. Existen diferentes métodos para resolver este tipo de sistemas como el método de eliminación de Gauss, el método de eliminación de Gauss-Jordan y el método de la matriz inversa, entre otros.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos. Un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas con coeficientes en los reales es una colección de ecuaciones de la siguiente forma:

$\begin{array}{cccc}& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ & & ⋮& \\ & a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n& =& b_n\end{array}$

con $a_{ij},b_j\in \mathbb{R}$ para todo $i\in \{1,\dots ,m\}$ y para todo $j\in \{1,\dots ,n\}$. Los números $a_{ij}$ son llamados los coeficientes del sistema, mientras que $x_1,\dots ,x_n$ son llamadas las incógnitas del sistema.

Si $b_1=b_2=\cdots =b_m=0$ decimos que es un sistema homogéneo.

Ejemplo

$\begin{array}{ccccc}3x_1& -2x_2& +\frac{1}{4}{x}_3& +x_4& =0\\ -2x_1& +x_2& & +5x_4& =0\\ 7x_1& +8x_2& & & =0\end{array}$

Éste es un sistema de $3$ ecuaciones lineales con $4$ incógnitas.

Podemos reescribir el sistema en forma matricial:

$\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\dots +a_{mn}{x}_n\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

o bien,

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right).$

Si $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$, el sistema quedaria abreviado como:

$AX=B.$

A la matriz $A$ se le llama la matriz de coeficientes del sistema.

La matriz aumentada del sistema es:

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$={(A|B)}_{m\times (n+1)}$

Decimos que un vector $S=(s_1,\dots ,s_n)\in {\mathbb{R}}^n$, que identificamos con la matriz columna formada por las entradas $s_1,\dots ,s_n$, es solución del sistema si $AS=B$.

Observación 1

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $B\in {\mathcal{M}}_{m\times 1}(\mathbb{R})$ y $S=(s_1,\dots ,s_n)\in {\mathbb{R}}^n$. Sean $A^1,\dots ,A^n\in {\mathbb{R}}^m$ son las columnas de $A$. Tenemos que $S$ es una solución del sistema si y sólo si $s_1{A}^1+s_2{A}^2+\cdots +s_n{A}^n=B.$

Demostración

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $B\in {\mathcal{M}}_{m\times 1}(\mathbb{R})$ y $S=(s_1,\dots ,s_n)\in {\mathbb{R}}^n$. Sean $A^1,\dots ,A^n\in {\mathbb{R}}^m$ son las columnas de $A$.

$S$ es solución del sistema $AX=B⟺AS=B$

$⟺$ $\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{s}_1+\dots +a_{1n}{s}_n\\ ⋮\\ a_{m1}{s}_1+\dots +a_{mn}{s}_n\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

$⟺$ $s_1\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right)$ $+$ $\cdots$ $+$ $s_n\left(\begin{array}{r}{a}_{1n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

$⟺$ $s_1{A}^1+s_2{A}^2+\cdots +s_n{A}^n=B.$

Observación 2

Todo sistema homogéneo tiene al menos la solución $S=(0,\dots ,0)\in {\mathbb{R}}^n$, llamada la solución trivial.

Teorema.

Al realizar operaciones elementales en la matriz aumentada de un sistema, el sistema asociado puede cambiar, pero las soluciones son las mismas.

Demostración

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$ y $B\in {\mathcal{M}}_{m\times 1}(\mathbb{R})$

Consideremos el sistema $AX=B$ y $(A|B)$ su matriz aumentada. Basta probar que al aplicar una operación elemental $e$ a $(A|B)$ el sistema asociado tiene las mismas soluciones.

$1)$ Sea $e$ la operación que intercambia los renglones $r$ y $t$. Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original sólo que en otro orden, así que las soluciones son las mismas.

$2)$ Sea $e$ la operación que multipica el renglón $r$ por un real $\lambda$, con $\lambda \ne 0.$

Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original salvo por la ecuación $r$ que queda multiplicada por $\lambda$. Pero todo $S=(s_1,\dots ,s_n)\in {\mathbb{R}}^n$ cumple que

$\begin{array}{rrr}{a}_{r1}{s}_1+\cdots +a_{rn}{s}_n=b_r& ⟺& \lambda (a_{r1}{s}_1+\cdots +a_{rn}{s}_n)=\lambda b_r\\ & ⟺& (\lambda a_{r1})s_1+\cdots +(\lambda a_{rn})s_n=\lambda b_r.\end{array}$

Así, las soluciones de ambos sistemas coinciden.

$3)$ Sea $e$ la operación que suma al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $t$, con $\lambda \in \mathbb{R}.$

Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original salvo por la ecuación $r.$ Pero todo $S=(s_1,\dots ,s_n)\in {\mathbb{R}}^n$ cumple que:

$\begin{array}{ll}{a}_{r1}{s}_1+\cdots +a_{rn}{s}_n& =b_r\\ a_{t1}{s}_1+\cdots +a_{tn}{s}_n& =b_t\end{array}$

si y sólo si

$\begin{array}{ll}(a_{r1}{s}_1+\cdots +a_{rn}{s}_n)+\lambda (a_{t1}{s}_1+\cdots +a_{tn}{s}_n)& =b_r+\lambda b_t\\ a_{t1}{s}_1+\cdots +a_{tn}{s}_n& =b_t\end{array}$

si y sólo si

$\begin{array}{ll}(a_{r1}+\lambda a_{t1})s_1+\cdots +(a_{rn}+\lambda a_{tn})s_n& =b_r+\lambda b_t\\ a_{t1}{s}_1+\cdots +a_{tn}{s}_n& =b_t\end{array}$

y por lo tanto las soluciones son las mismas.

Tarea Moral

$1.$ Determina si los siguientes sistemas son lineales. Para aquellos que lo sean expresa al sistema en forma matricial $AX=B$, encuentra una solución y expresa a $B$ como combinación lineal de las columnas de $A$.

$i)$

$\begin{array}{rl}3x+y& =1\\ -5x+y& =0\end{array}$

$ii)$

$\begin{array}{rl}-7\frac{1}{x}-\frac{1}{y}& =1\\ -\frac{1}{x}+6\frac{1}{y}& =0\end{array}$

$iii)$

$\begin{array}{rl}x-3yz-2xz& =8\end{array}$

$iv)$

$\begin{array}{rl}2x+3y-4z+w& =9\\ y+5z& =1\end{array}$

$2.$ Considera a un sistema de ecuaciones en forma matricial $AX=B$. Sea $S_p$ una solución particular del sistema y $S_o$ una solución al sistema $AX=0$.

$i)$ ¿Qué puedes decir de $S_o+S_p$?

$ii)$ ¿Cualquier solución de $AX=B$ será la suma de $S_p$ con alguna solución del sistema $AX=0$?

Más adelante

En la siguiente nota veremos ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones, los caracterizaremos de acuerdo a si tiene o no solución y al número de soluciones.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 37. El rango de una matriz.

Enlace a la nota siguiente. Nota 39. Ejemplos de sistemas de ecuaciones