(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Recordemos que las matrices pueden ser pensadas como tablas de datos, así que es conveniente encontrar la forma de guardar información en ellas pero procurando que las matrices que usemos sean lo más sencillas posibles. Con esa idea en mente, en esta nota daremos la definición de lo que es una matriz escalonada reducida por renglones y veremos que toda matriz es equivalente a una matriz de este tipo.
Definición
Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Decimos que $A$ es una matriz escalonada reducida por renglones si $A$ es la matriz de ceros o existe $r\in \set{1,\dotsc, m}$ tal que:
$i)$ Los primeros $r$ renglones de $A$ son los renglones no nulos, debajo de ellos sólo hay ceros.
$ii)$ Si un renglón es no nulo, su primer elemento distinto de cero es $1$ y en la columna donde se encuentra este $1$ todos los otros elementos son cero.
$iii)$ Para cada $i\in \set{1,\dotsc, r}$ sea $k_i$ la columna donde se encuentra el primer elemento no nulo del renglón $i$, entonces $k_1< k_2<\cdots <k_r$.
Ejemplo
$R=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrrrrr} \colorbox{cyan}{1} & \colorbox{cyan}{7} &\colorbox{cyan}{0} & \colorbox{cyan}{0} &\colorbox{cyan}{ $-1$}& \colorbox{cyan}{0} & \colorbox{cyan}{2} & \colorbox{cyan}{4}\\ 0 & 0 & \colorbox{cyan}{1} & \colorbox{cyan}{0} & \colorbox{cyan}{3} & \colorbox{cyan}{3} & \colorbox{cyan}{1} & \colorbox{cyan}{2} \\0 & 0 & 0 & \colorbox{cyan}{1} & \colorbox{cyan}{7} & \colorbox{cyan}{5} & \colorbox{cyan}{3} & \colorbox{cyan}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}.$
Hemos marcado en azul el primer elemento no nulo de cada renglón y los elementos que se encuentran a su derecha, para observar como éstos dan lugar a una forma escalonada. De ahí el nombre dado a las matrices que acabamos de definir.
Veamos que $R$ cumple la definición de ser escalonada reducida por renglones:
$i)$ Los primeros $3$ renglones de $A$ son los renglones no nulos, debajo de ellos sólo hay ceros, así, en este caso $r=3$.
$ii)$ Todo renglón no nulo tiene como primer elemento distinto de cero al $1$ y en la columna donde se encuentra este $1$ todos los otros elementos son cero.
$iii)$ Para cada $i\in \set{1,2, 3}$ sea $k_i$ la columna donde se encuentra el primer elemento no nulo del renglón $i$, entonces
$k_1$ es la columna donde se encuentra el primer elemento no nulo del renglón $1$, $k_1=1$.
$k_2$ es la columna donde se encuentra el primer elemento no nulo del renglón $2$, $k_2=3$.
$k_3$ es la columna donde se encuentra el primer elemento no nulo del renglón $3$, $k_3=4$.
Así, $k_1<k_2<k_3$.
Teorema
Sean $n$ y $m$ naturales positivos. Toda matriz $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es equivalente por renglones a una matriz escalonada reducida por renglones.
Observación
Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Toda columna no nula de $A$ se puede transformar en cualquier vector canónico de $\mathbb R^m$ con operaciones elementales.
La demostración se deja al lector.
Demostración del teorema
Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Dado que por definición la matriz nula es escalonada reducida por renglones, basta probar el resultado para las matrices no nulas. La prueba sea hará por inducción sobre $n.$
Base de inducción
Para $n=1$ el resultado se cumple por la observación.
Paso inductivo
Supongamos que toda matriz $m\times n$ es equivalente a una matriz escalonada reducida por renglones.
Ésta es la hipótesis de inducción.
Demostración de que se cumple para $n+1$ usando la HI
Sea $A\in \mathscr M_{m\times (n+1)}(\mathbb R)$, consideremos la matriz $\tilde {A}$, que se obtiene de $A$ quitando la última columna. Como $\tilde{A} \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, por la hipotesis de inducción $\tilde{A}$ es equivalente a una matriz $\tilde {R}$ escalonada reducida por renglones.
Sea $B$ la matriz que se obtiene de $A$ aplicando las operaciones que llevan a $\tilde {A}$ en $\tilde{R}$. Veamos cómo es $B$:
Si $\tilde{R}$ es nula, en $B$ sólo la ultima columna es no nula, entonces, como consecuencia de la observación, $B$ es equivalente a una matriz escalonada reducida por renglones.
Si $\tilde {R}$ es no nula, sea $r$ el número de renglones no nulos de $\tilde{R}$. En el caso en que $b_{r+1\,n+1}=\cdots =b_{m\,n+1}=0$, $B$ es escalonada reducida por renglones. En caso contrario, por la observación, la última columna de $B$ se puede transformar mediante operaciones elementales en el $(r+1)$-ésimo vector canónico, y aplicando dichas operaciones elementales a $B$ obtenemos una matriz $R$. Además, observemos que estas últimas operaciones elementales no modifican las primeras $n$ columnas, por lo que $R$ es una matriz escalonada reducida por renglones. Así $A\sim B$ y $B\sim R$, entonces $A\sim R$, con $R$ una matriz escalonada reducida por renglones.
Ejemplo
| Matrices equivalentes | Operaciones elementales |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 2 & 8 & 1 & 3\\0 & 1 & 4 & 1 & 1\\ 0 & -3 & -12 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 8 & -1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $R_1\leftrightarrow R_2$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 1 & 1\\0 & 2 & 8 & 1 & 3\\ 0 & -3 & -12 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 8 & -1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $R_2\rightarrow R_2+(-2)R_1$ $R_3\rightarrow R_3+(3)R_1$ $R_4\rightarrow R_4+(-2)R_1$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $R_2\leftrightarrow R_3$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $\frac{1}{3}R_2$ $\frac{1}{3}R_4$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $R_3\rightarrow R_3+R_2$ $R_4\rightarrow R_4+R_2$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $R_1\rightarrow R_1-R_2$ $R_1\rightarrow R_1-R_3$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$ | Que es una matriz escalonada reducida por renglones. |
Tarea Moral
$1.$ Escalona la matriz $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 5 & 13\\ -2 & -4 & -9 & 23 \\ 5 & 10 & 24 & 62 \end{array} \right) \end{equation*}$ y expresa el resultado como producto de matrices elementales.
$2.$ Describe la forma de todas las posibles matrices $2\times 2$ escalonadas reducida por renglones. Ahora considera el mismo problema para matrices $3\times 3$.
$3.$ Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. ¿Cómo puedes transformar una columna no nula de $A$ en cualquier vector canónico de $\mathbb R^m$ con operaciones elementales?
$4.$ Escalona la matriz hasta llevarla a una matriz escalonada reducida por renglones.
$A= \begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & -10\\ 3 & -1 & -1 \\ 4 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 2 \end{array} \right) .\end{equation*}$
Más adelante
En la siguiente nota daremos la definición de lo que es el rango de una matriz y veremos que el rango de una matriz $A$ y el rango de una matriz $R$ escalonada reducida por renglones equivalente a $A$ es el mismo.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales.
Enlace a la nota siguiente. Nota 37. El rango de una matriz.