(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Una matriz es una estructura de datos matemática que se compone de una colección ordenada de números, llamados elementos, dispuestos en filas y columnas. Las matrices se utilizan en numerosas áreas de las matemáticas, la física, la informática, la ingeniería y otras disciplinas para representar datos, realizar cálculos y resolver problemas. Las matrices pueden ser sumadas, multiplicadas, invertidas y transformadas mediante operaciones matriciales para obtener información relevante. Las matrices también se utilizan en la representación de sistemas lineales de ecuaciones y en el análisis de datos en forma de tablas o conjuntos de variables.
Ve el siguiente video:
Definición
Una matriz $A$ con $m$ renglones y $n$ columnas y entradas en un conjunto $K$; es una función:
$A:\set{1,2,\dotsc,m}\times \set{1,2,\dotsc,n}\to K.$
Decimos en este caso que $A$ es una matriz de tamaño $m\times n$ o simplemente una matriz $m\times n$.
A $A(i,j)$ se le llama la entrada $i\,j$ de $A$.
Decimos que $A$ es una matriz cuadrada si $m=n$, que es una matriz renglón si $m=1$, y que es una matriz columna si $n=1.$
Notación
$A(i,j)$ se denotará por $A_{ij}$ o por $a_{ij}$
$A$ se describira mediante una tabla con $m$ renglones y $n$ columnas.
$A=\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \end{equation*}=(a_{ij})$
Nota: Usualmente consideraremos $K=\mathbb R$, o de modo más general $K$ un campo.
Ejemplos
$1.$ Considera la siguiente matriz:
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 0 & \frac{1}{2}\\ 4 & \pi \\ -7 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$.
Es una matrix de tamaño $3\times 2$.
$A_{11}=0,\,A_{12}=\frac{1}{2},\,A_{21}=4,\,A_{22}=\pi,\,A_{31}=-7,\,A_{32}=0.$
$2.$ Considera la siguiente matriz:
$B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 5\\ 5 & -2 \\ \end{array} \right)\end{equation*}$.
Es una matriz de $2\times 2$, es decir una matriz cuadrada .
$B_{11}=1,\,B_{12}=5,\,B_{21}=5,\,B_{22}=-2.$
$3.$ Considera la siguiente matriz:
$C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{r} 3 \\ 9 \\ -5\\ \end{array} \right)\end{equation*}$.
Es una matriz de $3\times 1$, es decir una matriz columna .
$C_{11}=3,\,C_{21}=9,\,C_{31}=-5.$
$4.$ Considera la siguiente matriz:
$D=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -3 & 4\\ \end{array} \right) \end{equation*}$.
Es una matriz de $1\times 4$, es decir una matriz renglón.
$D_{11}=1,\,D_{12}=2,\,D_{13}=-3,\,D_{14}=4.$
Definición
Sea $A$ una matriz $m\times n$, $B$ una matriz $r\times s.$
Decimos que $A$ es igual a $B$ si: $m=r,\,n=s$ y $A_{ij}=B_{ij}\,\,\, \forall i\in \set{1,\dotsc, n},\,\,\,\forall j\in \set{1,\dotsc, n}.$
Es decir dos matrices son iguales si tienen la misma cantidad de renglones, la misma cantidad de columnas, y coinciden entrada a entrada.
Definición
Sean $A$ y $B$ matrices $m\times n$ con entradas en $\mathbb R$. La suma de $A$ y $B$ es la matriz $A+B$ de $m\times n$ tal que $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.$
Dado $\lambda\in \mathbb R$ el producto escalar de $\lambda$ por $A$ es la matriz $\lambda A$ de $m\times n$ tal que $(\lambda A)_{ij}=\lambda A_{ij}.$
Notación.
$\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)=\set{A\mid A\,\,es\,\,una\,\,matriz\,\,m\times n\,\,con\,\,entradas\,\,reales}.$
Ejemplos
$1.$ $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 4\\ 3 & \frac{1}{2} & 1 & -5 \end{array} \right) \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & -3 & -5\\ 7 & 1 & \frac{1}{4} & 2 \end{array} \right) \end{equation*}$.
$A+B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 3 & -2 & -3 & -1\\ 10 & \frac{3}{2} & \frac{5}{4} & -3 \end{array} \right) \end{equation*}.$
Si $\lambda =2$
$\lambda A=2 A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 2 & -4 & 0 & 8\\ 6 & 1 & 2 & -10 \end{array} \right) \end{equation*}.$
$2.$ $A=\begin{equation*}\left(\begin{array}{rr} 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{3} \end{array} \right) \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 2 & 0\\ 4 & 8 \end{array} \right) \end{equation*}.$
$A+B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 3 & \frac{1}{2}\\ 4 & \frac{25}{3} \\ \end{array} \right) \end{equation*}.$
Si $\lambda =\frac{1}{4}$
$\lambda B=\frac{1}{4} B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & 0\\ 1 & 2 \end{array} \right) \end{equation*}.$
Proposición
Sean $A,B,C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\,\lambda,\mu \in \mathbb R .$
Se cumplen las siguientes propiedades:
$1.$ $(A+B)+C=A+(B+C)$
$2.$ $A+B=B+A$
$3.$ Existe $\theta \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que:
$A+\theta=\theta+A=A\,\,\,\forall A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.
$4.$ Para cada $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ existe $\tilde{A}\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que:
$A+\tilde{A}=\tilde{A}+A=\theta$
$5.$ $1A=A\,\,\forall A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$
$6.$ $\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A$
$7.$ $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$
$8.$ $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$
Con estas propiedades satisfechas$\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, es un $\mathbb R$-espacio vectorial.
El neutro aditivo $\theta$ es único y es la matriz de ceros. La prueba de la unicidad se deja de tarea moral.
El inverso aditivo de $A$ es único y es $(-1)A$, se denota por $-A$. Esta prueba se deja de tarea moral.
Vamos a probar las propiedades 1,3,7. Las demás son también directas. Recuerda no confundir las operaciones entre matrices, con las operaciones en los números reales.
Demostración de la propiedad $1$
Sean $A,B,C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\,\lambda, \mu \in \mathbb R .$
Por demostrar que $(A+B)+C=A+(B+C).$
Como $A+B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ entonces $(A+B)+C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.
Como $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $B+C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ entonces $A+(B+C)\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$
Considera a $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}$
| Explicación de las igualdades | |
| $(A+(B+C))_{ij}=$ | Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $A+(B+C).$ |
| $=A_{ij}+(B+C)_{ij}$ | Por definición de suma de matrices. |
| $=A_{ij}+(B_{ij}+C_{ij})$ | Por definición de suma de matrices. |
| $=(A_{ij}+B_{ij})+C_{ij}$ | Por asociatividad en $\mathbb R.$ |
| $=(A+B)_{ij}+C_{ij}$ | Por definición de suma de matrices. |
| $=((A+B)+C)_{ij}$ | Por definición de suma de matrices. |
Por lo tanto $A+(B+C)$ y $(A+B)+C$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $(A+(B+C))_{ij}=((A+B)+C)_{ij}$. Así $A+(B+C)=(A+B)+C.$
Demostración de la propiedad $3$
Sea $\theta\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que $\theta_{ij}=0\,\,\forall i,j$. Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$
Por demostrar que $A+\theta=\theta +A=A.$
Sabemos que $A+\theta\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sean $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}.$
| Explicación de las igualdades | |
| $(A+\theta)_{ij}=$ | Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $A+\theta .$ |
| $=A_{ij}+\theta_{ij}$ | Por definición de suma de matrices. |
| $=A_{ij}+0$ | Por definición de $\theta$: $\theta_{ij}=0,\,\,\,\forall i,j.$ |
| $=A_{ij}$ | $0$ es el neutro en $\mathbb R .$ |
Por lo tanto $A+\theta$ y $A$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $(A+\theta)_{ij}=A_{ij}$. Así, $A+\theta=A$. Análogamente $\theta +A=A.$
Demostración de la propiedad $7$
Por demostrar que $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.$
Sabemos que $(\lambda+\mu)A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sean $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}.$
| Explicación de las igualdades | |
| $((\lambda+\mu)A)_{ij}=$ | Partimos un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(\lambda+\mu)A.$ |
| $=(\lambda+\mu)A_{ij}$ | Por definición del producto de matrices. |
| $=\lambda A_{ij}+\mu A_{ij}$ | Por la distributividad en $\mathbb R.$ |
| $=(\lambda A)_{ij}+(\mu A)_{ij}$ | Por definición del producto de matrices. |
| $=(\lambda A+\mu A)_{ij}$ | Por definición de suma de matrices. |
Por lo tanto $(\lambda+\mu)A$ y $\lambda A+\mu A$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $((\lambda+\mu)A)_{ij}=(\lambda A+\mu A)_{ij}$. Así, $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.$
$\square$
Tarea Moral
$1.$ Considera la matriz:
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} \frac{4}{3} & -9 & 7 & -1 \\ -\frac{2}{3} & -3 & 4 & 0 \\ 1 & 22 & -11 & \pi \\ \end{array} \right)\end{equation*}$
$i)$ Encuentra el tamaño de $A.$
$ii)$ Determina cuál es la entrada $A_{24}.$
$iii)$ Expresa al primer renglón de $A$ como una matriz renglón y a la tercera columna de $A$ como una matriz columna, indicando en cada caso el tamaño de ambas matrices.
$2.$ Considera las siguientes matrices:
$A=\begin{equation*}\left(\begin{array}{rrr} -3 & 5 & 2 \\ 7 & -4 & 11 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$ y $B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 6 & -\frac{3}{4} & 0 \\ 4 & 1 & -5 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$
Obtén $-7A+B$ y encuentra la matriz $X$ tal que $\frac{1}{5}B+4X=-A.$
$3.$ Compara las propiedades de suma y producto por escalar de matrices con las de $\mathbb R^n.$
$4.$ Prueba que el neutro aditivo de $\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es único.
$5.$ Prueba que cada $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tiene un único inverso aditivo.
$6.$ Sean $A,B,C \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $\lambda\in \mathbb R$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones.
$i)$ Si $A+C=B+C$, entonces $A=B.$
$ii)$ Si $\lambda A$ es la matriz nula, entonces $\lambda=0.$
$iii)$ Si $\lambda A=A$, entonces $\lambda=1.$
$iv)$ $(-1)A$ es el inverso aditivo de $A.$
$7.$Sea $n\in \mathbb N$. ¿Podremos sumar $A\,\,\,n\,\,\,veces$, sin importar qué tan grande sea $n$?, ¿podremos sumar $A$ una infinidad de veces?
Más adelante
En la siguiente nota definiremos la multiplicación de matrices, así como la matriz identidad, las matrices inversas y las transpuestas.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$espacio vectorial
Enlace a la nota siguiente. Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.