(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Con esta nota empezamos la unidad 3, haremos el estudio de un tipo particular de estructura algebraica llamada espacio vectorial, el plano y el espacio cartesiano tienen esta estructura de espacio vectorial, seguramente en este momento de tu educación ya los has utilizado; ahí los vectores son representados con flechas dirigidas a un punto. Podemos sumar esos vectores o flechas, y multiplicarlos por números reales para cambiarles su tamaño o sentido.

Veremos que no sólo $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^3$ son espacios vectoriales, si no que $\forall n\in \mathbb N$, se cumple que $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial. Primero estableceremos dos operaciones llamadas suma y producto por escalar, y luego veremos que estas operaciones cumplen ciertas propiedades.

No será objeto de estudio de este curso, la construcción y propiedades de los números reales, pero es importante aclarar que el conjunto $\mathbb R$ también tiene una estructura particular denominada campo. Mencionemos, sin profundizar más en ello, las propiedades que cumplen los números reales con las operaciones de suma y producto, debido a las cuales se le llama un campo.

Empecemos entonces por esta importante nota.

Nota

$\mathbb R$ es un conjunto con dos operaciones binarias, $+$ y $\cdot$, en el que se cumplen las siguientes propiedades:

Con estas propiedades satisfechas decimos que $\mathbb R$ es un campo y a sus elementos les llamamos escalares.

El siguiente teorema nos hará evidente que $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial, pues se verán satisfechas $8$ propiedades de sus dos operaciones, que hacen que un conjunto $V$, en este caso, $V=\mathbb R^n$ cumpla con ser un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb R$.

Teorema

El conjunto $\mathbb R^n$ con las operaciones de suma $\oplus$ y producto por escalar $\odot$ definidas como:

La suma de dos vectores se suma coordenada a coordenada.

$(x_1,\dotsc,x_n)\oplus (y_1,\dotsc,y_n)=(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n)$

En el siguiente recurso de geogebra puedes jugar moviendo $u$ y el vector $v$, y obteniendo su suma geométricamente en $\mathbb R^2$.

La multiplicación por escalares multiplica cada una de las coordenadas.

$\lambda \odot (x_1,\dotsc,x_n)=(\lambda x_1,\dotsc,\lambda x_n)$

$\forall (x_1,\dotsc,x_n),(y_1,\dotsc,y_n)\in \mathbb R^n\,\;y\,\;\forall \lambda \in \mathbb R$

Con estas dos operaciones $\mathbb R^n$ cumple la siguiente lista de propiedades y por lo tanto será llamado un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb R$ o un $\mathbb R$-espacio vectorial:

1. $(u\oplus v)\oplus w=u\oplus (v\oplus w)\,\,\,\,\forall u,v,w\in \mathbb R^n$, es decir la suma es asociativa.

2. $u\oplus v=v\oplus u\,\,\,\forall u,v\in \mathbb R^n$, es decir la suma es conmutativa.

3. $\exists \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n$, a $\bar{0}$ se le llama un neutro aditivo de $\mathbb R^n$.

4. Para todo $u\in \mathbb R^n$ existe $\tilde{u}\in \mathbb R^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\bar{0}$, a $\tilde{u}$ se le llama un inverso aditivo de $u$.

Estas primeras $4$ propiedades refieren únicamente a la suma $\oplus$, tendremos otras dos que se refieren sólo al producto por escalar:

5. $1\odot v=v\,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n$, existencia del neutro multiplicativo.

6. $\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v \,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R$, asociatívidad del producto.

Y por último dos propiedades que son la distributividad del producto sobre la suma, tanto de escalares como de $n-$adas.

7. $(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R\,\;\forall v\in \mathbb R^n$.

8. $\lambda\odot(v\oplus u)=\lambda\odot v\oplus\lambda\odot u\,\;\forall \lambda\in \mathbb R\,\;\forall v,u\in \mathbb R^n$.

Como veremos inmediatamente $\mathbb R^n$ satisface esas propiedades y se dice entonces que $\mathbb R^n,\oplus,\odot$ es un espacio vectorial sobre el campo$\mathbb R$, o un $\mathbb R$-espacio vectorial, a los elementos de $\mathbb R^n$ les llamaremos vectores.

Demostración de que $\mathbb R^n$ con sus operaciones $\oplus$ y $\odot$, cumple las $8$ propiedades dadas anteriormente.

Mostraremos las propiedades 2,3,4,6,7 y las propiedades 1,5 y 8 se dejan como tarea moral.

Demostración de 2

Sean $u=(x_1,\dotsc, x_n),v=(y_1,\dotsc, y_n)\in \mathbb R^n,\,\,\,\,\lambda,\mu\in \mathbb R$.

Por demostrar que $u\oplus v=v\oplus u.$

Por definición de la suma tenemos que:

$u\oplus v=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(y_1,\dotsc, y_n)=(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n).$

Las sumas que aparecen en cada entrada son sumas en $\mathbb R$, y dado que la suma en $\mathbb R$ es conmutativa se tiene que $x_i+y_i=y_i+x_i$ para todo $1\leq i\leq n$, de forma que:

$(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n)=(y_1+x_1,\dotsc,y_n+x_n).$

Y de nuevo por la definición de suma en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(y_1+x_1,\dotsc,y_n+x_n)=(y_1,\dotsc, y_n)\oplus(x_1,\dotsc, x_n)=v\oplus u.$

Por lo tanto concluimos que:

$u\oplus v=v\oplus u$.

Y así mostramos que la operación $\oplus$ es conmutativa.

Demostración de 3

Por demostrar que $\exists \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n.$

Propongamos al vector con sus $n$ entradas cero como neutro, es decir, consideremos $\bar{0}=(0,\dotsc,0)\in \mathbb R^n$.

Dado $u=(x_1,\dotsc, x_n)\in \mathbb R^n$ tenemos que:

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)$

y por la definición de suma en $\mathbb R^n$

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)=(x_1+0,\dotsc, x_n+0).$

Como $0$ es el neutro de $\mathbb R$ tenemos que $x_i+0=x_i$ para todo $1\leq i\leq n$, por lo tanto:

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)=(x_1+0,\dotsc, x_n+0)=(x_1,\dotsc, x_n)=u.$

Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\bar{0}\oplus u=u\oplus \bar{0}=u$.

Demostración de 4

Sea $u=(x_1,\dotsc,x_n).$

Por demostrar que existe $\tilde{u}\in \mathbb R^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\bar{0}.$

Proponemos $\tilde{u}=(-x_1,\dotsc,-x_n).$ Tenemos que

$u\oplus \tilde{u}=(x_1,\dotsc,x_n)\oplus \left(-x_1,\dotsc,-x_n)=(x_1+(-x_1),\dotsc,x_n+(-x_n)\right).$

Como $-x_i$ es el inverso aditivo de $x_i$ en $\mathbb R$ para todo $1\leq i\leq n$, tenenemos que $x_i+(-x_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$. Concluimos que:

$u\oplus \tilde{u}=(x_1,\dotsc,x_n)\oplus \left(-x_1,\dotsc,-x_n)=(x_1+(-x_1),\dotsc,x_n+(-x_n)\right)=(0,\dotsc,0).$

Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\tilde{u}\oplus u=u\oplus \tilde{u}=\bar{0}$.

Por lo tanto cada $u\in \mathbb R^n$ tiene un inverso aditivo.

Demostración de 6

Por demostrar que $\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v \,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R$.

Como $\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))$, por definición del producto en $\mathbb R^n$ tenemos que

$\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))=\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n).$

Aplicando de nuevo la definición de producto en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))=\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)=(\lambda(\mu y_1),\dotsc,\lambda(\mu y_1))$.

En virtud de la asociatividad del producto en $\mathbb R$ tenemos que $\lambda(\mu y_i)=(\lambda\mu) y_i$ para todo $1\leq i\leq n$, y así:

$\begin{align*} \lambda\odot (\mu\odot v)&=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))=\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)=(\lambda(\mu y_1),\dotsc,\lambda(\mu y_1))\\&=((\lambda\mu )y_1),\dotsc,(\lambda\mu) y_n).\end{align*}.$

Y por la definición del producto en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$((\lambda\mu )y_1,\dotsc,(\lambda\mu) y_n)=(\lambda\mu)\odot(y_1,\dotsc,y_n)=(\lambda\mu)\odot v$.

Siguiendo la cadena de igualdades concluimos que:

$\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v$.

Demostración de 7

Por demostrar que $(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R\,\;\forall v\in \mathbb R^n$.

Por definición del producto por escalar en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(\lambda+\mu)\odot v=(\lambda+\mu)\odot (y_1,\dotsc,y_n)=((\lambda+\mu)y_1,\dotsc,(\lambda+\mu)y_n).$

Gracias a la distributividad en el campo $\mathbb R$ tenemos que $(\lambda+\mu)y_i=\lambda y_i+\mu y_i$ para todo $1\leq i\leq n$ y así:

$((\lambda+\mu)y_1,\dotsc,(\lambda+\mu)y_n)=(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n).$

Por la definición de la suma en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n)=(\lambda y_1,\dotsc,\lambda y_n)\oplus (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n).$

Usando la definición del producto en $\mathbb R^n$:

$\begin{align*}(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n)&=(\lambda y_1,\dotsc,\lambda y_n)\oplus (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)\\ &=\lambda\odot (y_1,\dotsc, y_n)\oplus\mu\odot (y_1,\dotsc, y_n)=\lambda\odot v\oplus \lambda\odot v .\end{align*}$

Podemos concluir entonces que:

$(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v$

que es lo que queríamos demostrar.

$\square$

Tarea Moral

1. Demostrar los puntos $1,5,8$ del teorema.

2. Consideremos$\mathbb R^2$, con la operación suma $\boxplus$ y producto por escalar $\boxdot$ definidos como sigue:

i) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x+z,y+w)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(\lambda x,y)$

ii) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x-z,y-w)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(-\lambda x,\lambda y)$

iii) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x+z,0)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(\lambda x,0)$

para $(x,y),(z,w)\in \mathbb R^2$ y $\lambda\in \mathbb R$.

En cada caso analiza cuáles de las $8$ propiedades del espacio vectorial $\mathbb R^2$ con las operaciones usuales, se cumplen para $\mathbb R^2$ con estas nuevas operaciones.

3. Ve el siguiente vídeo para ampliar tu idea de lo que es un vector.

Más adelante

En la siguiente nota veremos algunas propiedades de estos $\mathbb R$-espacios vectoriales $\mathbb R^n$.

Enlaces relacionados.

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Nota anterior. Nota 24. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

Nota siguiente. Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.