(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Con esta nota empezamos la unidad 3, en la que estudiaremos un tipo particular de estructura algebraica llamada espacio vectorial. El plano y el espacio cartesiano tienen esta estructura de espacio vectorial, seguramente en este momento de tu educación ya los has utilizado; ahí los vectores son representados con flechas dirigidas a un punto. Podemos sumar esos vectores o flechas, y multiplicarlos por números reales para cambiarles su tamaño o sentido.

Veremos que no sólo ${\mathbb{R}}^2$ y ${\mathbb{R}}^3$ son espacios vectoriales, si no que para todo $n$ un natural positivo se cumple que ${\mathbb{R}}^n$ es un espacio vectorial. Primero estableceremos dos operaciones llamadas suma y producto por escalar, luego veremos que estas operaciones cumplen ciertas propiedades.

La construcción y las propiedades de los números reales no serán objeto de estudio de este curso, pero es importante aclarar que el conjunto $\mathbb{R}$ también tiene una estructura particular denominada campo. Mencionemos, sin profundizar más en ello, las propiedades que cumplen los números reales con las operaciones de suma y producto (debido a las cuales se le llama un campo) ya que las necesitaremos para poder estudiar los espacios vectoriales sobre los reales.

Nota

$\mathbb{R}$ es un conjunto con dos operaciones binarias, $+$ y $\cdot$, en el que se cumplen las siguientes propiedades:

Con estas propiedades satisfechas decimos que $\mathbb{R}$ es un campo y a sus elementos les llamamos escalares.

Ahora definiremos una suma y un producto por escalar en ${\mathbb{R}}^n$.

Definición

Sea $n\in \mathbb{R}$ con $n>0$. En el conjunto ${\mathbb{R}}^n$ definimos la suma $\oplus$ del siguiente modo:

$(x_1,\dots ,x_n)\oplus (y_1,\dots ,y_n)=(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n),\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n$.

Notemos que esta operación se realiza sumando coordenada a coordenada.

Definimos ahora un producto por escalar $\odot$ como:

$\lambda \odot (x_1,\dots ,x_n)=(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n),\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^{n}y\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}.$

Notemos que en el producto por escalar se multiplica un escalar real por una $n$-ada de reales, para obtener de nuevo una $n$-ada de reales, multiplicando cada una de las entradas por el escalar.

En el siguiente recurso de geogebra puedes jugar moviendo $u,v\in {\mathbb{R}}^2$, y obteniendo su suma geométricamente en ${\mathbb{R}}^2$.

Veamos ahora que ${\mathbb{R}}^n$ con las operaciones anteriores, satisface ocho propiedades básicas gracias a las cuales se le llamará un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$.

Teorema

Sea $n\in \mathbb{R}$ con $n>0$. El conjunto ${\mathbb{R}}^n$ con las operaciones antes definidas cumple la siguiente lista de propiedades:

1. $(u\oplus v)\oplus w=u\oplus (v\oplus w)\mathrm{\forall }u,v,w\in {\mathbb{R}}^n$, es decir la suma es asociativa.

2. $u\oplus v=v\oplus u\mathrm{\forall }u,v\in {\mathbb{R}}^n$, es decir la suma es conmutativa.

3. Existe $\overline{0}\in {\mathbb{R}}^n$ tal que $u\oplus \overline{0}=\overline{0}\oplus u=u\mathrm{\forall }u\in {\mathbb{R}}^n$, a $\overline{0}$ se le llama un neutro aditivo de ${\mathbb{R}}^n$.

4. Para todo $u\in {\mathbb{R}}^n$ existe $\tilde{u}\in {\mathbb{R}}^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\overline{0}$, a $\tilde{u}$ se le llama un inverso aditivo de $u$.

Estas primeras cuatro propiedades se refieren únicamente a la suma $\oplus$, tendremos otras dos que se refieren sólo al producto por escalar:

5. $1\odot v=v\mathrm{\forall }v\in {\mathbb{R}}^n$.

6. $\lambda \odot (\mu \odot v)=(\lambda \mu )\odot v\mathrm{\forall }v\in {\mathbb{R}}^n\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$.

Por último se cumplen dos propiedades que son la distributividad del producto sobre la suma, tanto de escalares como de $n-$adas:

7. $(\lambda +\mu )\odot v=\lambda \odot v\oplus \mu \odot v\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\mathrm{\forall }v\in {\mathbb{R}}^n$.

8. $\lambda \odot (v\oplus u)=\lambda \odot v\oplus \lambda \odot u\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}\mathrm{\forall }v,u\in {\mathbb{R}}^n$.

Se dice entonces que ${\mathbb{R}}^n$, con las operaciones $\oplus ,\odot$ es un espacio vectorial sobre el campo$\mathbb{R}$, o un $\mathbb{R}$-espacio vectorial y a los elementos de ${\mathbb{R}}^n$ les llamaremos vectores.

Demostración

Veamos que ${\mathbb{R}}^n$ con las operaciones $\oplus$ y $\odot$, cumple las ocho propiedades dadas anteriormente. Mostraremos las propiedades 2,3,4,6,7 y las propiedades 1,5 y 8 se dejan como tarea moral.

Demostración de 2

Sean $u=(x_1,\dots ,x_n),v=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n,\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$.

Por demostrar que $u\oplus v=v\oplus u.$

Por definición de la suma tenemos que:

$u\oplus v=(x_1,\dots ,x_n)\oplus (y_1,\dots ,y_n)=(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n).$

Las sumas que aparecen en cada entrada son sumas en $\mathbb{R}$, y dado que la suma en $\mathbb{R}$ es conmutativa se tiene que $x_i+y_i=y_i+x_i$ para todo $1\le i\le n$, de forma que:

$(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n)=(y_1+x_1,\dots ,y_n+x_n).$

De nuevo por la definición de suma en ${\mathbb{R}}^n$ tenemos que:

$(y_1+x_1,\dots ,y_n+x_n)=(y_1,\dots ,y_n)\oplus (x_1,\dots ,x_n)=v\oplus u.$

Por lo tanto concluimos que:

$u\oplus v=v\oplus u$.

Demostración de 3

Por demostrar que $\mathrm{\exists }\overline{0}\in {\mathbb{R}}^n$ tal que $u\oplus \overline{0}=\overline{0}\oplus u=u\mathrm{\forall }u\in {\mathbb{R}}^n.$

Propongamos como $\overline{0}$ a la $n$-ada con sus $n$ entradas iguales al cero de los reales, es decir, consideremos $\overline{0}=(0,\dots ,0)\in {\mathbb{R}}^n$.

Dado $u=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ tenemos que:

$u\oplus \overline{0}=(x_1,\dots ,x_n)\oplus (0,\dots ,0)$

y por la definición de suma en ${\mathbb{R}}^n$

$u\oplus \overline{0}=(x_1,\dots ,x_n)\oplus (0,\dots ,0)=(x_1+0,\dots ,x_n+0).$

Como $0$ es el neutro de $\mathbb{R}$ tenemos que $x_i+0=x_i$ para todo $1\le i\le n$, por lo tanto:

$u\oplus \overline{0}=(x_1,\dots ,x_n)\oplus (0,\dots ,0)=(x_1+0,\dots ,x_n+0)=(x_1,\dots ,x_n)=u.$

Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\overline{0}\oplus u=u\oplus \overline{0}=u$.

Demostración de 4

Sea $u=(x_1,\dots ,x_n).$

Por demostrar que existe $\tilde{u}\in {\mathbb{R}}^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\overline{0}.$

Proponemos $\tilde{u}$ la $n$-ada formada por los inversos aditivos de las entradas de $u$, es decir, $\tilde{u}=(-x_1,\dots ,-x_n).$ Tenemos que

$u\oplus \tilde{u}=(x_1,\dots ,x_n)\oplus (-x_1,\dots ,-x_n)=(x_1+(-x_1),\dots ,x_n+(-x_n)).$

Como $-x_i$ es el inverso aditivo de $x_i$ en $\mathbb{R}$ para todo $1\le i\le n$, tenenemos que $x_i+(-x_i)=0$ para todo $1\le i\le n$. Concluimos que:

$u\oplus \tilde{u}=(x_1,\dots ,x_n)\oplus (-x_1,\dots ,-x_n)=(x_1+(-x_1),\dots ,x_n+(-x_n))=(0,\dots ,0).$

Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\tilde{u}\oplus u=u\oplus \tilde{u}=\overline{0}$.

Por lo tanto cada $u\in {\mathbb{R}}^n$ tiene un inverso aditivo.

Demostración de 6

Por demostrar que $\lambda \odot (\mu \odot v)=(\lambda \mu )\odot v\mathrm{\forall }v\in {\mathbb{R}}^n\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$.

Sean $v=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n$, $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. Como $\lambda \odot (\mu \odot v)=\lambda \odot (\mu \odot (y_1,\dots ,y_n))$, por definición del producto en ${\mathbb{R}}^n$ tenemos que

$\lambda \odot (\mu \odot v)=\lambda \odot (\mu \odot (y_1,\dots ,y_n))=\lambda \odot (\mu y_1,\dots ,\mu y_n).$

Aplicando de nuevo la definición de producto en ${\mathbb{R}}^n$ tenemos que:

$\lambda \odot (\mu y_1,\dots ,\mu y_n)=(\lambda (\mu y_1),\dots ,\lambda (\mu y_1))$.

En virtud de la asociatividad del producto en $\mathbb{R}$ tenemos que $\lambda (\mu y_i)=(\lambda \mu )y_i$ para todo $1\le i\le n$, así:

$(\lambda (\mu y_1),\dots ,\lambda (\mu y_1))=((\lambda \mu )y_1),\dots ,(\lambda \mu )y_n),$

y por la definición del producto en ${\mathbb{R}}^n$ tenemos que:

$((\lambda \mu )y_1,\dots ,(\lambda \mu )y_n)=(\lambda \mu )\odot (y_1,\dots ,y_n)=(\lambda \mu )\odot v$.

Siguiendo la cadena de igualdades concluimos que:

$\lambda \odot (\mu \odot v)=(\lambda \mu )\odot v$.

Demostración de 7

Por demostrar que $(\lambda +\mu )\odot v=\lambda \odot v\oplus \mu \odot v\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\mathrm{\forall }v\in {\mathbb{R}}^n$.

Sean $v=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n$, $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. Por definición del producto por escalar en ${\mathbb{R}}^n$ tenemos que:

$(\lambda +\mu )\odot v=(\lambda +\mu )\odot (y_1,\dots ,y_n)=((\lambda +\mu )y_1,\dots ,(\lambda +\mu )y_n).$

Gracias a la distributividad en el campo $\mathbb{R}$ tenemos que $(\lambda +\mu )y_i=\lambda y_i+\mu y_i$ para todo $1\le i\le n$ y así:

$((\lambda +\mu )y_1,\dots ,(\lambda +\mu )y_n)=(\lambda y_1+\mu y_1,\dots ,\lambda y_n+\mu y_n).$

Por la definición de la suma en ${\mathbb{R}}^n$ tenemos que:

$(\lambda y_1+\mu y_1,\dots ,\lambda y_n+\mu y_n)=(\lambda y_1,\dots ,\lambda y_n)\oplus (\mu y_1,\dots ,\mu y_n).$

Usando la definición del producto en ${\mathbb{R}}^n$:

$\begin{array}{rl}(\lambda y_1+\mu y_1,\dots ,\lambda y_n+\mu y_n)& =(\lambda y_1,\dots ,\lambda y_n)\oplus (\mu y_1,\dots ,\mu y_n)\\ & =\lambda \odot (y_1,\dots ,y_n)\oplus \mu \odot (y_1,\dots ,y_n)=\lambda \odot v\oplus \lambda \odot v.\end{array}$

Podemos concluir entonces que:

$(\lambda +\mu )\odot v=\lambda \odot v\oplus \mu \odot v$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Tarea Moral

1. Demostrar los incisos $1,5,8$ del teorema.

2. Consideremos${\mathbb{R}}^2$, con la operación suma $⊞$ y producto por escalar $⊡$ definidos como sigue:

i) $(x,y)⊞(z,w)=(x+z,y+w)$ y $\lambda ⊡(x,y)=(\lambda x,y)$, $\mathrm{\forall }(x,y),(z,w)\in {\mathbb{R}}^2,\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}$.

ii) $(x,y)⊞(z,w)=(x-z,y-w)$ y $\lambda ⊡(x,y)=(-\lambda x,\lambda y)$, $\mathrm{\forall }(x,y),(z,w)\in {\mathbb{R}}^2,\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}$.

iii) $(x,y)⊞(z,w)=(x+z,0)$ y $\lambda ⊡(x,y)=(\lambda x,0)$, $\mathrm{\forall }(x,y),(z,w)\in {\mathbb{R}}^2,\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}$.

En cada caso analiza cuáles de las ocho propiedades mencionadas en el teorema, se cumplen para ${\mathbb{R}}^2$ con estas nuevas operaciones.

3. Ve el siguiente vídeo para ampliar tu idea de lo que es un vector.

Más adelante

En la siguiente nota veremos algunas propiedades de estos $\mathbb{R}$-espacios vectoriales ${\mathbb{R}}^n$.

Enlaces relacionados.

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Nota anterior. Nota 24. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

Nota siguiente. Nota 26. Propiedades de ${\mathbb{R}}^n$.