Curvatura de una curva

La curvatura de una curva $\alpha :[a,b]\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ en un punto $\alpha (t_0)$ es la curvatura de la circunferencia osculatriz (osculadora), «la que más se parece a la curva cerca del punto».

• ¿Cuál es la curvatura de una circunferencia?

• De todas las circunferencias que pasan por el punto, ¿cuál es la que más se parece a la curva?

Definamos la curvatura de una circunferencia de radio $r$ como el número $\mathcal{K}=\frac{1}{r}$

Observación «física»:

Supongamos que tenemos una circunferencia parametrizada con rapidez constante 1.

$\alpha (s)$ nos da la posición.

${\alpha }^{\prime }(s)$ nos da la velocidad.

${\alpha }^{\prime \prime }(s)$ nos da la aceleración.

$\Vert {\alpha }^{\prime }(s)\Vert =1$

$\Vert {\alpha }^{\prime }(s){\Vert }^2=1$ constante.

Como la aceleración es perpendicular a la velocidad, se cumple que $⟨{\alpha }^{\prime }(s),{\alpha }^{\prime \prime }(s)⟩=0$

$⟨{\alpha }^{\prime }(s),{\alpha }^{\prime }(s)⟩\equiv 1$ derivando $⟨{\alpha }^{\prime \prime }(s),{\alpha }^{\prime }(s)⟩+⟨{\alpha }^{\prime }(s),{\alpha }^{\prime \prime }(s)⟩\equiv 0$

¿Cuál es la relación que hay entre $\mathcal{K}$ y ${\alpha }^{\prime \prime }(s)$ ?

Circunferencia de radio $1$ parametrizada con rapidez unitaria

$\alpha (t)=(\cos (t),\sin (t))$

${\alpha }^{\prime }(t)=(–\sin (t),\cos (t))$

$\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert =1$

Circunferencia de radio $2$ parametrizada con rapidez unitaria

$\alpha (t)=2(\cos (t),\sin (t))$

${\alpha }^{\prime }(t)=2(–\sin (t),\cos (t))$

$\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert =2$

Reparametricemos

$t=h(s)$ inyectiva, creciente, derivable.

$\beta (s)=\alpha (h(s))$

Tal que $\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert =1$

Como $\beta (s)=\alpha (h(s))$ entonces, ${\beta }^{\prime }(s)={\alpha }^{\prime }(h(s))h^{\prime }(s).$

Luego, $\Vert {\alpha }^{\prime }(h(s))\Vert h^{\prime }(s)=1$

$2h^{\prime }(s)=1$

$h^{\prime }(s)=\frac{1}{2}$

Entonces, nos sirve la función $h(s)=\frac{1}{2}s$

$\beta (s)=2(\cos (\frac{1}{2}s),\sin (\frac{1}{2}s))$

${\beta }^{\prime }(s)=2(–\frac{1}{2}\sin (\frac{1}{2}s),\frac{1}{2}\cos (\frac{1}{2}s))$

${\beta }^{\prime }(s)=(–\sin (\frac{1}{2}s),\cos (\frac{1}{2}s))$

$\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert =1$

${\beta }^{\prime \prime }(s)=2(–\frac{1}{2}\cos (\frac{1}{2}s),–\frac{1}{2}\sin (\frac{1}{2}s))$

$\Vert {\beta }^{\prime \prime }(s)\Vert =\frac{1}{2}$

Circunferencia de radio $r>0$

$\alpha (s)=r(\cos (\frac{1}{r}s),r\sin (\frac{1}{r}s))$

${\alpha }^{\prime }(s)=(-\sin (\frac{1}{r}s),\cos (\frac{1}{r}s))$

${\alpha }^{\prime \prime }(s)=(–\frac{1}{r}\cos (\frac{1}{r}s),–\frac{1}{r}\sin (\frac{1}{r}s))$

$\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s)\Vert =\frac{1}{r}$ es la «curvatura».

En general, dada una curva $\alpha :I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ si ${\alpha }^{\prime }(t_0)\ne \overrightarrow{0}$, podemos definir «el» vector tangente unitario como $$\overrightarrow{T}(t_0)=\frac{{\alpha }^{\prime }(t_0)}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t_0)\Vert }$$

Si la curva está parametrizada con rapidez unitaria $\alpha (s)$ tal que existe ${\alpha }^{\prime }(s)$ con $\Vert {\alpha }^{\prime }(s)\Vert =1$ para toda $s$, se tiene que $$T(s)={\alpha }^{\prime }(s)$$

Dada una curva $\alpha (t)$, de clase ${\mathcal{C}}^1$, podemos reparametrizarla con rapidez unitaria.

Si ${\alpha }^{\prime }(t)\ne \overrightarrow{0}\mathrm{\forall }t$; decimos que la curva es «regular».

Buscamos una función $t=h(s)$ tal que $\beta =\alpha \circ h$ y ${\beta }^{\prime }(s)={\alpha }^{\prime }(h(s))h^{\prime }(s)$ y que cumple que $\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert =1$ entonces $\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert =\Vert {\alpha }^{\prime }(h(s))\Vert h^{\prime }(s)$, con $h$ una función creciente.

Por lo que $$h^{\prime }(s)=\frac{1}{\Vert {\alpha }^{\prime }(h(s))\Vert }$$

Si además podemos que ${\alpha }^{\prime \prime }(s)\ne \overrightarrow{0}$ entonces, definimos «el» vector normal $N(s)$ como $$N(s)=\frac{{\alpha }^{\prime \prime }(s)}{\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s)\Vert }$$

Dada una curva $\alpha (t)$, si ${\alpha }^{\prime }(t)\ne 0$ y existe ${\alpha }^{\prime \prime }(t)$ entonces $${\alpha }^{\prime \prime }(t)=\lambda {\alpha }^{\prime }(t)+\beta (t)$$

donde ${\alpha }^{\prime \prime }(t)$ es la aceleración,

${\alpha }^{\prime }(t)$ es la aceleración tangencial, y

$\beta (t)$ es la aceleración normal.

Es decir $${\alpha }^{\prime \prime }(t)=\lambda T(t)+N(t)$$

¿Cuál es la circunferencia osculatriz?

El radio está dado por $$\frac{1}{\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s_0)\Vert }$$

El centro de la circunferencia osculatriz es $$\alpha (s_0)+\frac{1}{\Vert {{\alpha }^{\prime }}^{\prime }(s_0)\Vert }.N(s_0)$$ $$\alpha (s_0)+\frac{1}{\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s_0)\Vert }.\frac{{\alpha }^{\prime \prime }(s_0)}{\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s_0)\Vert }$$ $$\text{Centro}=\alpha (s_0)+\frac{{\alpha }^{\prime \prime }(s_0)}{\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s_0){\Vert }^2}$$

En conclusión, la curvatura mide el cambio en la dirección comparado con el cambio en la longitud de arco recorrida.

IMAGEN INTERACTIVA EN REVISIÓN

https://www.geogebra.org/classic/atjan5cd