Curvatura de una curva

La curvatura de una curva $\alpha : [a,b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ en un punto $\alpha(t_0)$ es la curvatura de la circunferencia osculatriz (osculadora), «la que más se parece a la curva cerca del punto».

• ¿Cuál es la curvatura de una circunferencia?

• De todas las circunferencias que pasan por el punto, ¿cuál es la que más se parece a la curva?

Definamos la curvatura de una circunferencia de radio $r$ como el número $\textcolor{RoyalBlue}{\mathcal{K} = \frac{1}{r}}$

Observación «física»:

Supongamos que tenemos una circunferencia parametrizada con rapidez constante 1.

$\alpha (s)$ nos da la posición.

${\alpha}’ (s)$ nos da la velocidad.

${{\alpha}’}’ (s)$ nos da la aceleración.

$\big\| {\alpha}’ (s) \big\| = 1$

$\big\| {\alpha}’ (s) \big\|^2 = 1$ constante.

Como la aceleración es perpendicular a la velocidad, se cumple que $ \langle {\alpha}’ (s) , {{\alpha}’}’ (s) \rangle = 0$

$ \langle {\alpha}’ (s) , {\alpha}’ (s) \rangle \equiv 1$ derivando $ \langle {{\alpha}’}’ (s) , {\alpha}’ (s) \rangle + \langle {\alpha}’ (s) , {{\alpha}’}’ (s) \rangle \equiv 0$

¿Cuál es la relación que hay entre $\mathcal{K}$ y ${{\alpha}’}’ (s)$ ?

Circunferencia de radio $1$ parametrizada con rapidez unitaria

$\alpha (t) = (\cos (t), \sin (t))$

${\alpha}’ (t) = ( – \sin (t) , \cos (t))$

$\big\| {\alpha}’ (t) \big\| = 1$

Circunferencia de radio $2$ parametrizada con rapidez unitaria

$\alpha (t) = 2 (\cos (t), \sin (t))$

${\alpha}’ (t) = 2 ( – \sin (t) , \cos (t))$

$\big\| {\alpha}’ (t) \big\| = 2$

Reparametricemos

$t = h(s)$ inyectiva, creciente, derivable.

$\beta (s) = \alpha (h(s))$

Tal que $\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$

Como $\beta (s) = \alpha (h(s))$ entonces, ${\beta \, }’ (s) = {\alpha}’ (h(s)) h’ (s).$

Luego, $ \big\| {\alpha}’ (h(s)) \big\| h’ (s) = 1 $

$2 h’ (s) = 1$

$h’ (s) = \frac{1}{2}$

Entonces, nos sirve la función $h(s) = \frac{1}{2}s $

$\beta (s) = 2 \big(\cos \big(\frac{1}{2} s \big), \sin \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

${\beta \, }’ (s) = 2 \big( – \frac{1}{2} \sin \big(\frac{1}{2} s \big), \frac{1}{2} \cos \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

${\beta \, }’ (s) = \big( – \sin \big(\frac{1}{2} s \big), \cos \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

$\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$

${{\beta \, }’ \, }’ (s) = 2 \big( – \frac{1}{2} \cos \big(\frac{1}{2} s \big), – \frac{1}{2} \sin \big(\frac{1}{2} s \big) \big)$

$\big\| {{\beta \, }’\, }’ (s) \big\| = \frac{1}{2}$

Circunferencia de radio $r > 0$

$\alpha (s) = r \big(\cos \big(\frac{1}{r}s \big), r \sin \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

${\alpha}’ (s) = \big(- \sin \big(\frac{1}{r}s \big), \cos \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

${{\alpha \, }’ \, }’ (s) = \big( – \frac{1}{r} \cos \big(\frac{1}{r}s \big), – \frac{1}{r} \sin \big(\frac{1}{r}s \big) \big)$

$\big\| {{\alpha \, }’ \, }’ (s) \big\| = \frac{1}{r}$ es la «curvatura».

En general, dada una curva $\alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ si ${\alpha \, }’ (t_0) \neq \vec{0}$, podemos definir «el» vector tangente unitario como $$\textcolor{ForestGreen}{\vec{T} (t_0) = \frac{{\alpha \, }’ (t_0) }{ \big\| {\alpha \, }’ (t_0) \big\|}}$$

Si la curva está parametrizada con rapidez unitaria $\alpha (s) $ tal que existe ${\alpha}’ (s)$ con $\big\|{\alpha \, }'(s) \big\| = 1$ para toda $s$, se tiene que $$T(s) = {\alpha \, }’ (s)$$

Dada una curva $\alpha (t)$, de clase $\mathcal{C}^1$, podemos reparametrizarla con rapidez unitaria.

Si ${\alpha \, }’ (t) \neq \vec{0} \; \; \forall \, t$; decimos que la curva es «regular».

Buscamos una función $t = h(s)$ tal que $\beta = \alpha \circ h$ y ${\beta \, }’ (s) = {\alpha \, }’ (h(s)) h’ (s)$ y que cumple que $\big\| {\beta \, }’ (s) \big\| = 1$ entonces $\big\|{\beta\, }’ (s) \big\| = \big\|{\alpha \, }’ (h(s)) \big\| h’ (s)$, con $h$ una función creciente.

Por lo que $$h’ (s) = \frac{1}{ \big\|{\alpha \, }’ (h(s)) \big\|}$$

Si además podemos que ${{\alpha \, }’ \, }’ (s) \neq \vec{0}$ entonces, definimos «el» vector normal $N (s)$ como $$\textcolor{NavyBlue}{N (s) = \frac{{{\alpha \, }’ \, }’ (s)}{\big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s) \big\|}}$$

Dada una curva $\alpha (t)$, si ${\alpha \, }’ (t) \neq 0$ y existe ${{\alpha \, }’ \, }’ (t)$ entonces $${{\alpha\, }’ \, }’ (t) = \lambda {\alpha \, }’ (t) + \beta (t) $$

donde ${{\alpha \, }’ \, }’ (t)$ es la aceleración,

${\alpha \, }’ (t)$ es la aceleración tangencial, y

$\beta (t)$ es la aceleración normal.

Es decir $${{\alpha \, }’ \, }’ (t) = \lambda T (t) + N (t) $$

¿Cuál es la circunferencia osculatriz?

El radio está dado por $$\textcolor{BrickRed}{\frac{1}{\big\|{{\alpha \, }’ \, }'(s_0) \big\|}}$$

El centro de la circunferencia osculatriz es $$\alpha (s_0) + \frac{1}{\big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0) \big\|}.N(s_0) $$ $$\alpha (s_0) + \frac{1}{\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0) \big\|}. \frac{{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0)}{ \big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0) \big\|}$$ $$ \textcolor{BrickRed}{\text{Centro} = \alpha (s_0) + \frac{{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0)}{{\big\|{{\alpha \, }’ \, }’ (s_0)} \big\|^2}}$$

En conclusión, la curvatura mide el cambio en la dirección comparado con el cambio en la longitud de arco recorrida.