Introducción

Ahora echemos un vistazo al límite de una función con valores vectoriales. Esto es importante de entender para estudiar el cálculo de funciones vectoriales.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ una función vectorial definida para todos los valores de
$t$ en alguna vecindad de un punto $t_0$, excepto quiza en $t_0$.
Entonces se dice que el límite de la función f cuando $t$ se acerca a $t_0$ es $L\in {\mathbb{R}}^n$ y se expresa como
$$\underset{t\to t_0}{lim}f(t)=L$$
si y solo si $\mathrm{\forall }$ $ϵ>0$ $\mathrm{\exists }\delta >0$ tal que $|f(t)-L|<ϵ$, siempre que $|t-t_0|<\delta$

Teorema. Si $f:I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ es una función vectorial, entonces
$$\underset{t\to t_0}{lim}f(t)=L=(l_1,\cdots ,l_n)\in {\mathbb{R}}^n\iff \underset{t\to t_0}{lim}{x}_i(t)=l_i\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n$$
Donde $f(t)=(x_1(t),\cdots ,x_n(t))$

Demostración. Si
$$\underset{t\to t_0}{lim}f(t)=L$$
entonces $\mathrm{\forall }$ $ϵ>0$ $\mathrm{\exists }$ $\delta >0$ tal que si
$0<|t-t_0|<\delta$, entonces $|f(t)-L|<ϵ$. Pero como $$|f(t)-L|=|x_1(t)-l_1,\cdots ,x_n(t)-l_n|={(\sum _{i=1}^n(x_i(t)-l_i{)}^2)}^{\frac{1}{2}}<ϵ$$ se tiene que $$|x_i(t)-l_i|\le {(\sum _{i=1}^n(x_i(t)-l_i{)}^2)}^{\frac{1}{2}}<ϵ$$ Por lo tanto dado $ϵ>0$ existe $\delta >0$ tal que
$0<|t-t_0|<\delta \Rightarrow |x_i(t)-l_i|<ϵ$ por lo tanto
$$\underset{t\to t_0}{lim}{x}_i(t)=l_i$$
Reciprocamente supongamos ahora que
$$\underset{t\to t_0}{lim}{x}_i(t)=l_{i}i=1,\cdots ,n.$$
Esto quiere decir que $\mathrm{\forall }$ ${ϵ}_i>0$ $\mathrm{\exists }$ ${\delta }_i>0$ tal que $0<|t-t_0|<{\delta }_i\Rightarrow |x_i(t)-l_i|<{ϵ}_i$.

Sea $ϵ>0$ y sea ${\displaystyle {ϵ}_i=\frac{ϵ}{\sqrt{n}}}$ tomamos $\delta =\mathbf{\text{min}}({\delta }_1,\cdots ,{\delta }_n)$.

Para esta $\delta$ se tiene que si $0<|t-t_0|<\delta \Rightarrow |x_i(t)-l_i|<\frac{ϵ}{\sqrt{n}}$ $\mathrm{\forall }$ $i=1,\cdots ,n$, entonces
$$|f(t)-L|={(\sum _{i=1}^n(x_i(t)-l_i{)}^2)}^{\frac{1}{2}}<{\left(\sum _{i=1}^n{\left(\frac{ϵ}{\sqrt{n}}\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}=ϵ$$
Por lo tanto
$$\underset{t\to t_0}{lim}f(t)=L\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

Ejemplo. Se sabe que
$$\underset{t\to 2}{lim}(t,t)=(2,2)$$
Dado $ϵ>0$, determine $\delta >0$ que verifique la
validez del límite.

Tenemos que
$$\underset{t\to 2}{lim}(t,t)=(\underset{t\to 2}{lim}t,\underset{t\to 2}{lim}t)=(2,2)$$

$\therefore$ Según la definición
$$|(t,t)-(2,2)|=\sqrt{(t-2{)}^2+(t-2{)}^2}=\sqrt{2(t-2{)}^2}=\sqrt{2}|t-2|$$
$$\therefore si\sqrt{2}|t-2|<ϵ$$ podemos definir a ${\displaystyle \delta =\frac{ϵ}{\sqrt{2}}}$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Se sabe que
$$\underset{t\to 2}{lim}(t,t^3)=(2,8)$$
Dado $ϵ>0$, determine $\delta >0$ que verifique la
validez del límite.

Tenemos que
$$\underset{t\to 2}{lim}(t,t^3)=(\underset{t\to 2}{lim}t,\underset{t\to 2}{lim}{t}^3)=(2,8)$$
Ahora bien para ${\displaystyle {\delta }_1=\frac{ϵ}{\sqrt{2}}}$ se tiene
$$0<|t-2|<{\delta }_1\Rightarrow |t-2|<\frac{ϵ}{\sqrt{2}}$$

y para ${\displaystyle {\delta }_2=\frac{ϵ}{\sqrt{2}}}$ se tiene
$$0<|t-2|<{\delta }_2\Rightarrow |t^3-8|<\frac{ϵ}{\sqrt{2}}$$
Por lo tanto si consideramos $\delta =min{\delta }_1,{\delta }_2$ se tiene
$$|(t,t^3)-(2,8)|=\sqrt{(t-2{)}^2+(t^3-8{)}^2}<\sqrt{{\left(\frac{ϵ}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{ϵ}{\sqrt{2}}\right)}^2}=\sqrt{2\frac{{ϵ}^2}{2}}=ϵ$$
$$\therefore \underset{t\to 2}{lim}(t,t^3)=(2,8).\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

Continuidad de Funciones Vectoriales

Ahora que sabemos cómo calcular el límite de una función vectorial, podemos definir la continuidad en un punto para tal función.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ una función vectorial. Se dice que $f$ es continua en $t_0$ si y solo si se cumple que
$$\underset{t\to t_0}{lim}f(t)=f(t_0)$$

Teorema. La función vectorial
$f(t)=(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t))$ es continua en $t_0$ si y
solo si $x_1,x_2,\dots ,x_n$ son continuas en $t_0$.

Demostración. Como $f(t)$ es continua en $t=t_0$, tenemos que se cumple $$\underset{t\to t_0}{lim}f(t)=f(t_0)$$
Por otro lado se tiene que $$\underset{t\to t_0}{lim}f(t)=\underset{t\to t_0}{lim}(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t))=(\underset{t\to t_0}{lim}{x}_1(t),\underset{t\to t_0}{lim}{x}_2(t),\dots ,\underset{t\to t_0}{lim}{x}_n(t))$$
y como $f(t_0)=(x_1(t_0),x_2(t_0),\dots ,x_n(t_0))$ entonces
$$(\underset{t\to t_0}{lim}{x}_1(t),\underset{t\to t_0}{lim}{x}_2(t),\dots ,\underset{t\to t_0}{lim}{x}_n(t))=(x_1(t_0),x_2(t_0),\dots ,x_n(t_0))$$
$$\therefore \underset{t\to t_0}{lim}{x}_1(t)=x_1(t_0),\underset{t\to t_0}{lim}{x}_2(t)=x_2(t_0),\dots ,\underset{t\to t_0}{lim}{x}_n(t)=x_n(t_0)$$
$\therefore$ $x_1(t),x_2(t),\dots x_n(t)$ son continuas en $t=t_0$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Definir la función
$$f(t)=\frac{\sin t}{t}\hat{i}+\cos (t)\hat{j}$$
en $t=0$ de manera que $f(t)$ sea continua en $t=0$.

Tenemos que
$$\underset{t\to 0}{lim}f(t)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{\sin t}{t}\hat{i}+\cos t\hat{j}=\hat{i}+\hat{j}$$
Por lo tanto si definimos $f(0)=\hat{i}+\hat{j}$, entonces
$$\underset{t\to t_0}{lim}f(t)=f(t_0).\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

Teorema. Si f es continua en $A\subset \mathbb{R}$ entonces para toda sucesión $x_k$ en A tal que $x_k\to x_0$ se tiene que $f(x_k)\to f(x_0)$

Demostración. $\left(\Rightarrow \right)$ Supongamos que $x_k\to x$ para mostar que $f(x_k)\to f(x)$ sea $ϵ>0$ como f es continua en $x_0\in A$ se tiene que $$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<ϵ$$ elegimos entonces $k>N$ tal que

$$|x_k-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x_k)-f(x_0)|<ϵ$$

$\left(\Leftarrow \right)$ Supongamos que para cada $x_k\in A$ tal que $x_k\to x$ se tiene que $|f(x_k)-f(x)|<ϵ$ y queremos demostrar que f es continua en $x_0$. Si $x_k\to x_0$ entonces $|x_k-x_0|<ϵ$ si $k>N_0$ tomemos $\delta ={ϵ}_1$ y tenemos que $$|x_k-x_0|<{ϵ}_1\Rightarrow |x_k-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x_k)-f(x_0)|<ϵ\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

Más adelante

Ya que se definieron las funciones vectoriales y se abordó el tema límites y continuidad en estas, a continuación veremos el cálculo subyacente a este tipo de funciones como lo son la derivabilidad y la integrabilidad.

Tarea Moral

1.- Determina el siguiente límite:

$$\underset{x\to 1}{lim}({\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}},\sqrt{(}x+8),\frac{sen\pi x}{lnx})$$

2.- Analiza la continuidad de la siguiente función

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}(x,{\displaystyle \frac{senx}{x}}),\text{si}x\ne 0\\ (0,1)\text{si}x=0\end{array}$$

3.- Si $$\underset{x\to a}{lim}f(x)=b$$ pruebe que $$\underset{x\to a}{lim}|f(x)|=|b|$$

5.- Si $$\underset{x\to a}{lim}f(x)=b$$ pruebe que $$\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{|f(x)|}}={\displaystyle \frac{b}{|b|}}$$

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