Introducción
En las entradas pasadas desarrollamos una gran cantidad de resultados asociados a la integral de Lebesgue que demuestran que ésta tiene propiedades analíticas muy interesantes. Sin embargo, quedan dos preguntas importantes por responder: ¿Cuál es la relación que existe entre la noción «clásica» de integración (i.e. la integral de Riemann) y la integral de Lebesgue? ¿Cómo podemos evaluar integrales de funciones «sencillas»? (por ejemplo polinomios, funciones trigonométricas y exponenciales).
En esta entrada responderemos esa pregunta. Veremos que una función Riemann integrable es automáticamente $L^1$ y que las dos nociones de integral coinciden. Esto tiene una consecuencia importante: Si la función es Riemann integrable, podemos reducir el cálculo de la integral de Lebesgue a una integral de Riemann y usar todas las herramientas que ya conocemos de estas para calcular integrales (por ejemplo el teorema fundamental del cálculo, cambios de variable, etc.).
Breve repaso de la integral de Riemann
Una partición $P$ de un intervalo cerrado $[a,b]$ es una secuencia de puntos $a=t_0<t_1<\dots< t_k=b$. Una partición de un rectángulo cerrado $A=[a_1,b_1]\times\dots\times [a_n,b_n]$ es una colección $P=(P_1,\dots,P_n)$ donde cada $P_i$ es una partición del intervalo $[a_i,b_i]$. Si $P_i$ divide a $[a_i,b_i]$ en $l_i$ intervalos consecutivos, entonces $P=(P_1,\dots,P_n)$ divide a $A$ en $l_1\cdot l_2\cdot \dots \cdot l_n$ subrectángulos (formados por productos de subintervalos inducidos por la partición). Denotaremos a la colección de dichos subrectángulos como $R_P$.
Definimos el diámetro de una partición $P=(P_1,\dots,P_n)$ como el supremo de los diámetros de los rectángulos inducidos: $$diam(P)=\sup_{S\in R_P} \{ diam(S) \}. $$
Sea $f:A\to \mathbb{R}$ una función acotada sobre un rectángulo $A$ y $P$ una partición de $A$. Para cada subrectángulo $S\in \mathcal{R}_P$ definimos
\begin{align*}
m_S &= \inf \{ f(x) \ | \ x\in S \} \\
M_S &= \sup \{f(x) \ | \ x\in S \}.
\end{align*}
Definimos las sumas inferiores y superiores de $f$ asociadas a la partición $P$ como:
$$L(f,P)=\sum_{S\in R_P}m_s|S|; \ \ \ U(f,P)=\sum_{S\in R_P}M_s|S|.$$
Donde $|S|=\lambda(S)$ es el volúmen (o equivalentemente medida) del rectángulo $S$.
Decimos que una partición $P’=(P_1′,\dots, P_n’)$ refina a $P=(P_1,\dots, P_n)$ si $P_k\subseteq P_k’$ para cada $k=1,2,\dots,n$. (Esto es, cada subrectángulo de $P’$ está contenido en un subrectángulo de $P$).
El siguiente Lema es estándar. Omitimos la demostración, ésta puede ser consultada en la mayoría de textos.
Lema. Si $P’$ refina a $P$, entonces $$L(f,P)\leq L(f,P’)\leq U(f,P’)\leq U(f,P).$$
Decimos que una función acotada $f:A\to \mathbb{R}$ es Riemann integrable si $$\sup_P \{ L(f,P) \}=\inf_P\{ U(f,P) \}.$$
El valor común $\sup_P \{ L(f,P) \}=\inf_P\{ U(f,P) \}$ es llamado la integral de Riemann de $f$ sobre $A$ y lo denotaremos provisionalmente como $$ \int_{\mathcal{R},A} f(x) \ \mathrm{d}x.$$
Una clase importante de funciones Riemann integrables son las funciones continuas:
Proposición. Si $f$ es una función continua sobre un rectángulo $A$ entonces $f$ es Riemann integrable.
Omitimos la demostración.
Las integrales de Riemann y Lebesgue
Teorema. Sea $f$ una función acotada sobre un rectángulo $A$.
- Si $f$ es Riemann integrable, entonces $f\in L^1(A)$. Además $$\int_{\mathcal{R},A} f(x) \ \mathrm{d}x=\int_A f \ \mathrm{d}\lambda .$$
- $f$ es Riemann integrable sobre $A$ si y sólo si $D=\{ x\ | \ f \ \text{es discontinua en } x\} $ tiene medida de Lebesgue cero.
Demostración. Supongamos que $f$ es Riemann integrable. Para cada partición $P$ definamos:
$$g_P=\sum_{S\in R_P}m_S \chi_{S}; \ \ \ G_P=\sum_{S\in R_P}M_S \chi_{S}.$$
Si bien los rectángulos $S\in R_P$ no son ajenos, sólo se intersectan en conjuntos de medida cero (sus fronteras). Usando que $\lambda(S)=|S|$, concluimos facilmente:
\begin{equation} \int_A g_P \ \mathrm{d}\lambda=L(f,P); \ \ \ \int_A G_P \ \mathrm{d}\lambda= U(f,P). \end{equation}
Como $\sup_P \{ L(f,P) \}=\inf_P\{ U(f,P) \}=\int_{\mathcal{R},A} f(x) \ \mathrm{d}x$, podemos encontrar una sucesión de particiones $P_1,P_2,\dots$ tales que $L(f,P_k),U(f,P_k)\longrightarrow \int_{\mathcal{R},A} f(x) \ \mathrm{d}x$ cuando $k\longrightarrow \infty$. Por el Lema podemos suponer sin pérdida de generalidad que para cada $k=1,2,\dots$, $P_{k+1}$ refina a $P_k$ y el diámetro de $P_k$ es menor a $\frac{1}{k}$.
Consideremos $$N_k=\bigcup_{S\in R_{P_k}}\partial S, $$ (Donde $\partial A$ denota la frontera del conjunto $A$ ).
Definamos $$N=\bigcup_{k\in \mathbb{N}}N_k.$$ Es decir, $N$ es el conjunto de puntos que está en la frontera de alguno de los rectángulos inducidos por $P_k$ para algún $k$. Cada $N_k$ es un conjunto nulo (pues está contenido en una cantidad finita de hiperplanos) $\implies$ $N$ es un conjunto nulo. $(2)$
Observemos que cualquier punto $x\notin N$ está estrictamente en el interior de cada rectángulo $S\in R_{P_k}$ al que pertenece. Esto nos garantiza que $g_{P_1}(x)\leq g_{P_2}(x)\leq \dots f$ y $G_{P_1}(x)\geq G_{P_2}(x)\geq \dots f$. Pues si $x\in T\subseteq S$ con $S\in R_{P_k}; T\in R_{P_{k+1}}$, entonces $g_{P_k}(x)=m_S\leq m_T=g_{P_{k+1}}(x)\leq f(x)$ y $G_{P_k}(x)=M_S\geq M_T=G_{P_{k+1}}(x)\geq f(x)$. Además $|g_{P_k}(x)|,|G_{P_k}(x)|\leq \sup_{ A} |f|$. $(3)$
Por lo anterior, deducimos que $g_{P_k}$ es una sucesión crecieciente y acotada en c.t.p. mientras que $G_{P_k}$ es una sucesión decreciente y acotada en c.t.p. Esto garantiza que $g_{P_k}$ y $G_{P_k}$ convergen a ciertas funciones $g$ y $G$ con $g\leq f \leq G$ en c.t.p. Además, ambas sucesiones están acotadas en norma por $\sup_{A} |f|$. Se sigue del teorema de la convergencia dominada y (1) que:
$$\int_{\mathcal{R},A} f(x) \ \mathrm{d}x=\lim_{k\to \infty}L(f,P_k)=\lim_{k\to \infty} \int_A g_{P_k} \ \mathrm{d}\lambda=\int_A g \ \mathrm{d}\lambda.$$ $$\int_{\mathcal{R},A} f(x) \ \mathrm{d}x=\lim_{k\to \infty}U(f,P_k)=\lim_{k\to \infty} \int_A G_{P_k} \ \mathrm{d}\lambda=\int_A G \ \mathrm{d}\lambda.$$
Como $G-g\geq 0$ (en c.t.p.) y $\int (G-g) \ \mathrm{d}\lambda=0$, se sigue que $G=g$ en c.t.p. $\implies$ $G=f=g$ en c.t.p. $\implies$ $f$ es medible. Más aún, $f\in L^1(A)$ pues es una función medible y acotada (en c.t.p.) de $A$. Por monotonía la única posibilidad es:
\begin{equation*}
\int f \ \mathrm{d}\lambda=\int g \ \mathrm{d}\lambda=\int G \ \mathrm{d}\lambda=\int_{\mathcal{R},A} f(x) \ \mathrm{d}x.
\end{equation*}
Se sigue 1.
Veamos la dirección ($\implies$) en 2. Supongamos que $f$ es Riemann integrable. Consideremos las funciones: $$h(x)=\lim_{\delta\to 0} \inf_{|y-x|\leq \delta}f(y); \ \ \ H(x)=\lim_{\delta\to 0} \sup_{|y-x|\leq \delta}f(y).$$
$h$ y $H$ están bien definidas pues $f$ es acotada. Desentrañando las definiciones es fácil ver que $H(x)=h(x)$ si y sólo si $f$ es continua en $x$.
Usando la notación del inciso anterior, definamos $N’=N\cup \{ x \ | \ g(x)\neq G(x) \}$. Anteriormente probamos que los dos uniendos son nulos, de modo que $N’$ es nulo.
Probaremos que si $x\notin N’$ $\implies$ $H(x)=h(x)$. Esto en particular prueba que $f$ es continua en c.t.p. Sea entonces $x\in A\setminus N’$.
Sea $\varepsilon>0$. Como $\lim_{k\to \infty} g_k(x)=g(x)=G(x)=\lim_{k\to \infty} G_k(x)$, podemos encontrar una $M\in \mathbb{N}$ suficientemente grande tal que $$G_M(x)-g_M(x)<\frac{\varepsilon}{2}.$$
Sea $S$ el rectángulo inducido por $P_M$ tal que $x\in S$. Como observamos anteriormente, $x$ está en el interior de $S$, de modo que podemos encontrar $\eta>0$ suficientemente pequeño tal que $$\{y \ | \ |x-y|<\eta \}\subseteq S.$$ Luego, $\forall \delta$ con $0<\delta\leq \eta$:
$$G_M(x)= \sup_{y\in S} f(y)\geq \sup_{|y-x|\leq \delta} f(y)\geq \inf_{|y-x|\leq \delta}f(y) \geq \inf_{y\in S} f(y) = g_M(x)$$ $$\implies \sup_{|y-x|\leq \delta} f(y)- \inf_{|y-x|\leq \delta}f(y)\leq G_M(x)-g_M(x)<\varepsilon.$$ Como esto se satisface para cualquier $\varepsilon>0$, necesariamente $$h(x)=\lim_{\delta\to 0} \inf_{|y-x|\leq \delta}f(y)=\lim_{\delta\to 0} \sup_{|y-x|\leq \delta}f(y)=H(x).$$ Esto prueba la implicación ($\implies$) de 2.
La implicación ($\impliedby$) es esencialmente revertir los pasos anteriores: Tomemos una sucesión de particiones $P_1\subseteq P_2\subseteq\dots$ cuyo diámetro se haga arbitrariamente pequeño y definamos $g_k,G_k,g,G,N,h,H$ como antes (notemos que las observaciones (2) y (3) siguen siendo ciertas). En este caso como $f$ es continua en c.t.p. $\implies$ $h=H$ en c.t.p.
Afirmamos que si $H(x)=h(x)$ con $x\notin N$ $\implies$ $g(x)=G(x)$: $\ \ \ (4)$
Dado $\varepsilon>0$, por la definición de $h,H$, podemos encontrar $\delta>0$ suficientemente pequeño tal que $\sup_{|y-x|\leq \delta} f(y)-\inf_{|y-x|\leq \delta} f(y)<\varepsilon$. Como el diámetro de las particiones se vuelve arbitrariamente pequeño, podemos encontrar $P_N$ con $N$ suficientemente grande tal que $x\in S \in R_{P_N}$ y $S\subseteq \{ y \ | \ |y-x|\leq \delta \}$.
Como $x\notin N$, sabemos que $g_{P_N}(x)=m_S$, $G_{P_N}(x)=M_S$. Luego, para $k\geq N$: \begin{align*}
G_{P_k}(x)-g_{P_k}(x) &\leq G_{P_N}(x)-g_{P_N}(x) \\
&= M_S-m_S \\
&= \sup_{S} f-\inf_{S} f\\
&\leq \sup_{|y-x|\leq \delta} f(y)-\inf_{|y-x|\leq \delta} f(y) \\
&< \varepsilon.
\end{align*} Como $x\notin N$, tenemos que $g_{P_k}(x)\uparrow g(x)$; $G_{P_k}(x)\downarrow G(x)$ (ver (3) ). Esto y la desigualdad anterior implican que $g(x)=G(x)$.
Como $h=H$ en c.t.p. y $N$ es nulo, se sigue de (4) que $g=G$ en c.t.p.
Finalmente, aplicando el teorema de la convergencia dominada y (1): \begin{align*}
\lim_{k\to \infty}L(f,P_k) &= \lim_{k\to \infty} \int_A g_{P_k} \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \int_A g \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \int_A G \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \lim_{k\to \infty} \int_A G_{P_k} \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \lim_{k\to \infty}U(f,P_k)
\end{align*}(Podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada pues todas las funciones en cuestión están dominadas por $\sup |f|$).
Por lo anterior, concluimos que $f$ es Riemann integrable.
$\square$
Cálculo de integrales
El teorema de la sección anterior nos permite reducir el cálculo de integrales de Lebesgue al cálculo de integrales de Riemann mientras las funciones sean Riemann integrables. Esto puede simplificar en gran medida los cálculos pues nos posibilita usar las herramientas conocidas para la integral de Riemann, como el teorema fundamental del cálculo, la integración por partes, los cambios de variable, entre otros.
Esto se aprecia mejor con un ejemplo.
Ejercicio. Calcular la integral de Lebesgue $$\int_0^{\infty} e^{-x} \ \mathrm{d}x.$$
Solución. La sucesión $g_N(x)=e^{-x}\chi_{[0,N]}$ es una sucesión creciente de funciones medibles positivas. Claramente $\lim_{N\to \infty} g_N(x)=e^{-x}\chi_{[0,\infty)}$. Luego, por el teorema de la convergencia monótona:
$$\int_0^{\infty}e^{-x} \ \mathrm{d}x=\lim_{N\to \infty}\int_{\mathbb{R}}g_N(x) \ \mathrm{d}x=\lim_{N\to \infty}\int_0^Ne^{-x} \ \mathrm{d}x.$$
Al ser continuas, las funciones del lado derecho son Riemann integrables sobre $[0,N]$. Por el teorema anterior, el cálculo de estas integrales (de Lebesgue) se reduce al cálculo de las integrales de Riemann, por lo que podemos usar el teorema fundamental del cálculo:
\begin{align*}
\int_0^{\infty}e^{-x} \ \mathrm{d}x &= \lim_{N\to \infty}\int_0^Ne^{-x} \ \mathrm{d}x \\ &= \lim_{N\to \infty}\int_0^N (-e^{-x})’ \ \mathrm{d}x \\ &= \lim_{N\to \infty} \left[-e^{-x} \right]_{x=0}^{x=N} \\ &= \lim_{N\to \infty} [-e^{-N}+e^0] \\ &=1-\lim_{N\to \infty} e^{-N} \\ &=1.
\end{align*}
$\triangle$
Observación. El argumento usado en el ejercicio anterior para calcular integrales sobre intervalos no acotados mediante T.F.C. es bastante común: Por ejemplo si $g’\geq 0$ (ó $g’\in L^1(\mathbb{R})$), entonces por el Teorema de la convergencia monótona (o dominada) tenemos $$\int_{-\infty}^{\infty} g'(x) \ \mathrm{d}x=\lim_{N\to \infty} \int_{-N}^{N}g'(x) \ \mathrm{d}x=\lim_{N\to \infty} [g(N)-g(-N)]=\lim_{x\to \infty}g(x)-\lim_{x\to -\infty}g(x).$$
Por brevedad, abreviaremos el argumento anterior diciendo simplemente que $$\int_{-\infty}^{\infty} g'(x) \ \mathrm{d}x= [g(x)]_{x=-\infty}^{x=\infty}=g(\infty)-g(-\infty). $$
Haremos consideraciones similares para los demás tipos de intervalos no acotados.
$\square$
El criterio del teorema anterior nos da otro argumento para ver que la función de Dirichlet no es Riemann integrable.
Ejemplo. La función de Dirichlet $\chi_{\mathbb{Q}}$ no es Riemann integrable en $[0,1]$, pues no es continua en ningún punto de este intervalo.
Ejercicio. Probar que la función $f(x)=\frac{x}{(x^2+x+1)\ln(1+x)^2}\in L^1([1,\infty))$.
Solución. Observemos primero que $f\geq 0$ en $[1,\infty)$. En vez de calcular directamente $\int_1^{\infty}f(x) \ \mathrm{d}x$, es suficiente encontrar alguna función $g\in L^1([1,\infty))$ tal que $0\leq f\leq g$. Consideremos entonces $$g(x)=\frac{1}{(x+1)(\ln (x+1))^2}.$$ Como $x+1\leq \frac{x^2+x+1}{x}$ para $x\in [0,\infty)$ $\implies$ $f\leq g$ en $[0,\infty)$. Por el teorema fundamental del cálculo:
\begin{align*}
\int_1^{\infty} g(x) \ \mathrm{d}x &= \int_1^{\infty} \frac{1}{(x+1)(\ln (x+1))^2} \ \mathrm{d}x \\
&= \int_1^{\infty} \left( -\frac{1}{\ln(x+1)} \right)’ \ \mathrm{d}x \\
&= \left[ -\frac{1}{\ln(x+1)} \right]_{x=1}^{x=\infty} \\ &= \frac{1}{\ln(2)} -\lim_{x\to \infty} \frac{1}{\ln(x+1)} \\
&= \frac{1}{\ln(2)}-0\\
&= \frac{1}{\ln(2)}<\infty.\\
\end{align*}
(En las igualdades anteriores abreviamos la aplicación del teorema de la convergencia monótona como en la observación). Finalmente $$\int_1^{\infty} f(x) \ \mathrm{d}x=\int_1^{\infty} g(x) \ \mathrm{d}x=\frac{1}{\ln(2)}<\infty.$$
$\triangle$
Más adelante…
Veremos el teorema de cambio de variable para integrales de Lebesgue. Análoga al de las integrales de Riemann, nos permite «cambiar coordenadas» en las integrales para reescribirlas de manera conveniente.
Tarea moral
- Calcula $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2} \ \mathrm{d}x.$$
- Calcula $$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x.$$
- Sea $f(x)=x^{\alpha}$.
- Demuestra que $f\in L^1((0,1))$ $\iff$ $\alpha<1$.
- Demuestra que $f\in L^1([1,\infty))$ $\iff$ $\alpha>1$.
- ¿Si una función es continua en casi todo punto de $\mathbb{R}$, podemos asegurar que $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$?
- Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función monótona. Demuestra que $f$ es discontinua en a lo más una cantidad numerable de puntos. Deduce que $f$ es Riemann integrable. [SUGERENCIA: Si $f$ es discontinua en $x_0$, la única posibilidad es que $s(x_0)=\inf_{x>x_0}\{ f(x)\}-\sup_{x<x_0}\{ f(x) \}>0$. Si hay una cantidad no numerable de discontinuidades, entonces existe algún $N\in \mathbb{N}$ tal que $\{y \ | \ s(y)>\frac{1}{N} \}$ es infinito. ¿Porqué esto es imposible? ].