Dada una función de dos variables que está
definida sobre el rectángulo cerrado
$R = [a, b] \times [c, d] = (x, y) \in R^{2} ∣ a \leq x \leq b, c \leq y \leq d$ suponiendo que $f (x, y) \geq 0$ . La gráfica de f es
una superfície con ecuación $z = f (x, y)$ . Sea S el sólido que esta
encima de R y debajo de la gráfica de f, es decir
$S = (x, y, z) \in R^{3} ∣ 0 \leq z \leq f (x, y), (x, y) \in R$

Si cortamos nuestra región por un plano paralelo al plano YZ

a la altura del punto $x_{0} \in [a, b]$ del eje X, la figura que se obtiene es la misma que obtenemos al considerar aquella que está por debajo de la gráfica de la función $f_{x_{0}} : [c, d] \to R$ definida como
$f_{x_{0}} (y) = f (x_{0}, y)$
de esta forma, el área de la figura correspondiente al corte realizado a la altura $x_{0}$ que podemos denotar $α (x_{0})$ coincide con ser
$α (x_{0}) = \int_{c}^{d} f (x_{0}) (y) d y = \int_{c}^{d} f (x_{0}, y) d y$
También podemos hacer cortes con planos paralelos al plano XZ; así si cortamos a la altura del punto $y_{0} \in [c, d]$ del eje Y

se obtiene es la misma que obtenemos al considerar aquella que está por debajo de la gráfica de la función $f_{y_{0}} : [a, b] \to R$ definida como
$f_{y_{0}} (x) = f (x, y_{0})$
de esta forma, el área de la figura correspondiente al corte realizado a la altura $y_{0}$ que podemos denotar $β (y_{0})$ coincide con ser
$β (y_{0}) = \int_{a}^{b} f_{y_{0}} (x) d x = \int_{a}^{b} f (x, y_{0}) d x$
En este caso $β$ es una función definida sobre el intervalo $[c, d]$ .
Por tanto el volumen del sólido entre la superfície y el rectángulo R estará dado por
$\int_{R} α (x) d x = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x$
o por
$\int_{R} β (x) d y = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y$
$\textcolor r e d T e o r e m a d e F u b i n i$
El teorema de Fubini nos va a dar una técnica para el cálculo de integrales de funciones de varias variables mediante el cálculo de varias integrales de funciones de una variable. A partir de ahí se podrán utilizar todas las técnicas conocidas del Análisis de una variable para el cálculo de integrales mediante cálculo de primitivas y el teorema fundamental del cálculo (Regla de Barrow): cambios de variables, integración por partes, etc.
$\textcolor r e d T e o r e m a :$
Sean $[a, b] \subset R$ y $[c, d] \subset R$ dos intervalos tal que, $R = [a, b] \times [c, d]$ , y $f : R \subset R \to R^{2}$ una función integrable.

Para cada $\hat{y}$ fijo en $[c, d]$ definimos $f_{\hat{y}} : [t_{i - 1}, t_{i}] \subset R \to R$ como
$f_{\hat{y}} = f (x, \hat{y})$
y definimos
$ϕ (\hat{y}) = \underset{―}{\int_{t_{i - 1}}^{t_{i}}} f_{\hat{y}} (x) d x$
$ψ (\hat{y}) = \overset{―}{\int_{t_{i - 1}}^{t_{i}}} f_{\hat{y}} (x) d x$
Si f es integrable sobre R entonces $ϕ, ψ$ son integrables sobre $[c, d]$ y además
$\int_{R} f = \int_{c}^{d} ϕ (y) d y = \int_{c}^{d} ψ (y) d y$
$\textcolor r e d D e m o s t r a c i ó n :$
Observemos en primer lugar que una partición de $R = [a, b] \times [c, d]$ esta formada por una partición de $[a, b]$ y otra de $[c, d]$ . Sea $P_{1} \in P_{[a, b]} = {a = t_{0}, t_{1}, \dots, t_{n} = b}$ y sea
$P_{2} \in P_{[c, d]} = {c = t_{0}, t_{1}, \dots, t_{m} = d}$
$P = P_{1} \times P_{2} \in P_{R}$
Y cualquier rectángulo de la partición P tiene área $| t_{i} - t_{i - 1} | \cdot | t_{j} - t_{j - 1} |$ ,

Para cada $\hat{y}$ fijo en $[c, d]$ definimos
$\begin{aligned} m_{j} (ϕ) & = inf {ϕ (\hat{y}) | \hat{y} \in [t_{j - 1}, t_{j}]} \\ M_{j} (ϕ) & = sup {ϕ (\hat{y}) | \hat{y} \in [t_{j - 1}, t_{j}]} \\ m_{j} (ψ) & = inf {ψ (\hat{y}) | \hat{y} \in [t_{j - 1}, t_{j}]} \\ M_{j} (ψ) & = sup {ψ (\hat{y}) | \hat{y} \in [t_{j - 1}, t_{j}]} \\ m_{i} (f_{\hat{y}}) & = inf {f_{\hat{y}} (x) | x \in [t_{i - 1}, t_{i}]} \\ M_{i} (f_{\hat{y}}) & = sup {f_{\hat{y}} (x) | x \in [t_{i - 1}, t_{i}]} \\ m_{i j} (f) & = inf {f (x, y) | (x, y) \in R_{i j}} \\ M_{i j} (f) & = sup {f (x, y) | (x, y) \in R_{i j}} \end{aligned}$
De lo anterior tenemos que se cumple
$m_{i j} (f) \leq m_{i} (f_{\hat{y}}) \leq M_{i} (f_{\hat{y}}) \leq M_{i j} (f)$
Multiplicando por $(t_{i} - t_{i - 1}) > 0$ se tiene
$m_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) \leq m_{i} (f_{\hat{y}}) (t_{i} - t_{i - 1}) \leq M_{i} (f_{\hat{y}}) (t_{i} - t_{i - 1}) \leq M_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1})$
Sumando sobre i
$\sum_{i = 1}^{n} m_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{n} m_{i} (f_{\hat{y}}) (t_{i} - t_{i - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{n} M_{i} (f_{\hat{y}}) (t_{i} - t_{i - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{n} M_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1})$
se tiene entonces
$\sum_{i = 1}^{n} m_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) \leq \underset{―}{S} (f_{\hat{y}}, P) \leq \overset{―}{S} (f_{\hat{y}}, P) \leq \sum_{i = 1}^{n} M_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1})$
Sabemos que
$\sum_{i = 1}^{n} m_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) \leq \underset{―}{S} (f_{\hat{y}}, P) \leq ϕ (\hat{y}) \leq ψ (\hat{y}) \leq \overset{―}{S} (f_{\hat{y}}, P) \leq \sum_{i = 1}^{n} M_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1})$
Esto pasa para toda $\hat{y} \in [c, d]$ esto prueba que los extremos de estas desigualdades son cota inferior y superior (respectivamente) tanto de $ψ$ como de $ϕ$ en el subrectángulo $R_{i j}$ y por lo tanto tendremos que
$\sum_{i = 1}^{n} m_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) \leq m_{j} (ϕ) \leq M_{j} (ϕ) \leq \sum_{i = 1}^{n} M_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1})$
y también
$\sum_{i = 1}^{n} m_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) \leq m_{j} (ψ) \leq M_{j} (ψ) \leq \sum_{i = 1}^{n} M_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1})$
Multiplicando por $(t_{j} - t_{j - 1}) > 0$ se tiene
$\sum_{i = 1}^{n} m_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq m_{j} (ϕ) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq M_{j} (ϕ) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{n} M_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) (t_{j} - t_{j - 1})$
y también
$\sum_{i = 1}^{n} m_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq m_{j} (ψ) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq M_{j} (ψ) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{n} M_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) (t_{j} - t_{j - 1})$
Sumando sobre j
$\sum_{i = 1}^{m} \sum_{i = 1}^{n} m_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{m} m_{j} (ϕ) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{m} M_{j} (ϕ) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{m} \sum_{i = 1}^{n} M_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) (t_{j} - t_{j - 1})$
y también
$\sum_{i = 1}^{m} \sum_{i = 1}^{n} m_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{m} m_{j} (ψ) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{m} M_{j} (ψ) (t_{j} - t_{j - 1}) \leq \sum_{i = 1}^{m} \sum_{i = 1}^{n} M_{i j} (f) (t_{i} - t_{i - 1}) (t_{j} - t_{j - 1})$
se tiene entonces
$\underset{―}{S} (f, P) \leq \underset{―}{S} (ϕ, P) \leq \overset{―}{S} (ϕ, P) \leq \overset{―}{S} (f, P)$
y también
$\underset{―}{S} (f, P) \leq \underset{―}{S} (ψ, P) \leq \overset{―}{S} (ψ, P) \leq \overset{―}{S} (f, P)$
como f es integrable sobre R, entonces las funciones $ψ$ y $ϕ$ son integrables sobre $[c, d]$ y además
$\int_{R} f = \int_{c}^{d} ϕ (y) d y = \int_{c}^{d} ψ (y) d y$
Es decir
$\int_{R} = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y$
siguiendo estos pasos pero considerando ahora un $x_{o}$ fijo en [a, b] y haciendo variar la y se tendría
$\int_{R} = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x$
Es decir
$\int_{R} = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y$
$\textcolor g r e e n E j e m p l o$
Si $R = [- 1, 1] \times [0, \frac{π}{2}]$ , calcular
$\int_{R} (x \sin (y) - y e^{x}) d x d y$
$\textcolor g r e e n S o l u c i ó n$
Integrando primero respecto a x tenemos
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\int_{- 1}^{1} (x \sin (y) - y e^{x}) d x) d y = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{x^{2}}{2} \sin (y) - y e^{x} |_{- 1}^{1}) d y = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (- e y + \frac{y}{e}) d y$
$= (\frac{1}{e} - e) \int_{0}^{\frac{π}{2}} y d y = (\frac{1}{e} - e) \frac{π^{2}}{8}$
en el otro orden de integración
$\int_{- 1}^{1} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} (x \sin (y) - y e^{x}) d y) d x = \int_{- 1}^{1} (x \cos (y) - \frac{y^{2} e^{x}}{2} |_{0}^{\frac{π}{2}}) d x = \int_{- 1}^{1} (- \frac{π^{} e^{x}}{8} + x) d x$
$= (\frac{1}{e} - e) \frac{π^{2}}{8}$