Dada una función de dos variables que está definida sobre el rectángulo cerrado
$$R=[a,b]\times [c,d]=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid a\le x\le b,c\le y\le d$$

suponiendo que $f(x,y)\ge 0$. La gráfica de f es
una superfície con ecuación $z=f(x,y)$. Sea S el sólido que esta
encima de R y debajo de la gráfica de f, es decir
$$S=(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid 0\le z\le f(x,y),(x,y)\in R$$

El volumen en esta caso de S es una aproximación al volumen por debajo de la superficie. Ahora bien si dividimos el rectángulo R en subrectángulos. Para el intervalo [a,b] tenemos m subintervalos $[x_{i-1},x_i]$ con una longitud de ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_x=\frac{b-a}{m}}$. Para el intervalo [c,d] tenemos n
subintervalos $[y_{j-1},y_j]$ con una longitud de ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_y=\frac{d-c}{n}}$. Al trazar rectas paralelas a los ejes coordenados a través de los puntos extremos de las particiones formamos los subrectángulos
$$R_{ij}=[x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x_{i-1}\le x\le x_i,y_{j-1}\le y\le y_j$$ cada uno con un área igual a ${\mathrm{\Delta }}_A={\mathrm{\Delta }}_x{\mathrm{\Delta }}_y$. Si elegimos un punto muestra $$(x_i^{\ast },y_j^{\ast })\in R_{ij}$$, entonces podemos aproximar la parte de S que esta encima de cada $R_{ij}$ mediante una caja rectangular delgada con base $R_{ij}$ y altura $$f(x_i^{\ast },y_j^{\ast })$$

El volumen de la caja es el producto del área de su base por su
altura, por lo tanto una aproximación al volumen de S es:

$$V\approx \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}f(x_i^{\ast },y_j^{\ast }){\mathrm{\Delta }}_x{\mathrm{\Delta }}_y$$

Con un desarrollo análogo para un conjunto S el sólido que esta
encima de R y encima de la gráfica de f, es decir
$$S=(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid 0\le f(x,y)\le z|(x,y)\in R$$

Obtenemos también una aproximación al volumen que se encuentra por debajo de la superficie.
Si consideramos ahora $M_{ij}=supf(x_i,y_j)$ y
$m_{ij}=\acute{i}nff(x_i,y_j)$ con $(x_i,y_j)\in R_{ij}$ podemos deducir que
$$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{m}_{ij}\mathrm{\Delta }{R}_{ij}\le V(S)\le \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{M}_{ij}\mathrm{\Delta }{R}_{ij}$$
Definición.-Sean f una función (de valores reales) definida y
acotada sobre un rectángulo R contenido en ${\mathbb{R}}^n$ y P una
partición de R. Si $R_1,R_2,\dots ,R_k$ son los subrectángulos de
R inducidos por la partición P, definimos la suma inferior de f
correspondiente a la partición P denotada por $\underset{―}{S}(f,p)$
como $$\underset{―}{S}(f,p)=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{m}_{ij}\mathrm{\Delta }{R}_{ij}$$ Analogamente definimos la suma superior de f
correspondiente a la partición P denotada por $\bar{S}(f,p)$
como
$$\bar{S}(f,p)=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{M}_{ij}\mathrm{\Delta }{R}_{ij}$$

Estas sumas tienen una serie de propiedades
Proposición 1: Si P es cualquier partición de R, entonces $$\underset{―}{S}(f,p)\le \bar{S}(f,p)$$
Demostración: Como $m_{ij}=\acute{i}nff(x_i,y_j)$ y $M_{ij}=supf(x_i,y_j)$ se tiene que $$m_{ij}\le M_{ij}\Rightarrow m_{ij}\mathrm{\Delta }{R}_{ij}\le M_{ij}\mathrm{\Delta }{R}_{ij}\Rightarrow \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{m}_{ij}\mathrm{\Delta }{R}_{ij}\le \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{M}_{ij}\mathrm{\Delta }{R}_{ij}\Rightarrow \underset{―}{S}(f,p)\le \bar{S}(f,p)\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$
Proposición 2: Si $P,Q\in P_R$. Si Q refina a P entonces
$$\underset{―}{S}(f,P)\le \underset{―}{S}(f,Q)y\bar{S}(f,Q)\le \bar{S}(f,P)$$
Demostración: Sean $R_1,\dots ,R_k$ los subrectángulos inducidos por
P y $R_1^i,\dots ,R_k^i$ los subrectángulos inducidos por Q.
Dado que cada $R_j^i$ está contenido en $R_i$, tenemos que
$f(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_j^i\subset f(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_i$ y por lo tanto
$inff(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_i\le inff(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_i^j$ y
$supf(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_j^i\le supf(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_i$ $\therefore$
$$inff(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_i\times \mathrm{\Delta }{R}_{ij}\le inff(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_i^j\times \mathrm{\Delta }{R}_{ij}$$
$$supf(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_j^i\times \mathrm{\Delta }{R}_{ij}\le supf(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_i\times \mathrm{\Delta }{R}_{ij}$$ Si ahora sumamos ambas desigualdades corriendo los índices
i,j se tiene que
$$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}inff(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_i\le \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}inff(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_i^j$$
$$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}supf(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_j^i\le \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}supf(\bar{x})\mid \bar{x}\in R_i$$
Recordando la definición de suma inferior y suma superior se tiene
que$$\underset{―}{S}(f,P)\le \underset{―}{S}(f,Q)y\bar{S}(f,Q)\le \bar{S}(f,P)\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$
Proposición 3: Si P y Q son cualesquiera dos particiones del
rectángulo R entonces se cumple $$\underset{―}{S}(f,P)\le \bar{S}(f,Q)$$
Demostración: Consideremos la partición $P\bigcup Q$. Esta partición
refina tanto a P como a Q de tal forma que, por la proposición 2 se
tiene $$\underset{―}{S}(f,P)\le \underset{―}{S}(f,P\bigcup Q)$$ y
también
$$\bar{S}(f,P\bigcup Q)\le \bar{S}(f,Q)$$ Como $$\underset{―}{S}(f,P\bigcup Q)\le \bar{S}(f,P\bigcup Q)$$ por la proposición 1, se tiene que
$$\underset{―}{S}(f,P)\le \bar{S}(f,Q)\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$
Ejemplo: Estimar el volúmen de la superfície delimitada por el
rectángulo $[0,\pi ]\times [0,\pi ]$ y la superfície
$f(x,y)=\sin (x+y)$

Vamos a subdividir el rectángulo $[0,\pi ]\times [0,\pi ]$ como se
muestra en la figura

Tenemos por tanto que $$V\approx \sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^{2}f(x_i,y_j)\mathrm{△}A=f(0,0)\mathrm{△}A+f(0,\frac{\pi }{2})\mathrm{△}A+f(\frac{\pi }{2},0)\mathrm{△}A+f(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\mathrm{△}A$$
$$=0\times \left(\frac{{\pi }^2}{2}\right)+1\times \left(\frac{{\pi }^2}{2}\right)+1\times \left(\frac{{\pi }^2}{2}\right)+0\times \left(\frac{{\pi }^2}{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{2}\approx 4.935$$
Definición: Al supremo del conjunto $\underset{―}{S}(f)$ lo
llamamos integral inferior de f sobre R y se puede denotar

$$\underset{―}{\int }{R}_f$$
Y al ínfimo del conjunto $\bar{S}(f)$ lo llamamos integral superior de f sobre R y podemos denotar

$$\bar{\int }{R}_f$$

Definición: Sea
$f:R\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ acotada sobre el
rectángulo R. Decimos que f es integrable según Riemann sobre R si
se tiene que la integral inferior y la integral superior de f sobre
R son iguales. Es decir

$$\underset{―}{\int }{R}_f=\bar{\int }{R}_f$$

En este caso, a este número lo llamaremos la integral de f y lo denotaremos por
${\displaystyle \int {\int }_{R_f}}$

Ejemplo: Calcular ${\displaystyle \underset{―}{\int }{R}_{f}y{\displaystyle \bar{\int }{R}_f}}$ para $f(x,y)=x+4y$ en el rectángulo $R=[0,2]\times [0,1]$

Solución: Tenemos que para $[0,2]$
consideramos una partición $P=x_0,x_1,\dots ,x_n$ con
longitud ${\displaystyle \frac{2-0}{2n}=\frac{1}{n}}$

de esta manera se tiene que ${\displaystyle x_i=\frac{i}{n}}$ y
${\displaystyle x_{i-1}=\frac{i-1}{n}}$. Mientras que para $[0,1]$ consideramos una
partición $P=y_0,y_1,\dots ,y_n$ con longitud
${\displaystyle \frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}}$ de esta manera se tiene que
${\displaystyle y_j=\frac{j}{n}}$ y ${\displaystyle y_{j-1}=\frac{j-1}{n}}$.

$\therefore$ Para todo rectángulo $R_{ij}$,
$M_{ij}=supf(x_{i,j})|x_{ij}\in [x_{i-1},x:i]\times [y_{j-1},y_j]=x_i+4y_j$ y
$m_{ij}=supf(x_{i,j})|x_{ij}\in [x_{i-1},x:i]\times [y_{j-1},y_j]=x_{i-1}+4y_{j-1}$
$\therefore$
$$\underset{―}{S}(f,P)=\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^n(x_{i-1}+4y_{j-1})\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)=\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^n(\frac{i-1}{n}+4\frac{j-1}{n})\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^2}\right)\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^n(\frac{i-1}{n}+4\frac{j-1}{n})=\left(\frac{1}{n^3}\right)\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{n}i+4j-5=\left(\frac{1}{n^3}\right)\sum _{i=1}^{2n}n(i-5)+4\left(n\left(\frac{n+1}{2}\right)\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^2}\right)\sum _{i=1}^{2n}(i-5)+2(n+1)=\left(\frac{1}{n^2}\right)\sum _{i=1}^{2n}i+2n-3=\left(\frac{1}{n^2}\right)(2n(2n-3)+\frac{2n(2n+1)}{2}))=$$
$$\left(\frac{1}{n}\right)(2(2n-3)+2n+1)=\left(\frac{1}{n}\right)(4n-6+2n+1)=\left(\frac{1}{n}\right)(6n-5)=6-\frac{5}{n}$$
$\therefore$
$$\underset{―}{\int }{R}_f=sup\underset{―}{S}(f,P)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{―}{S}(f,P)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}6-\frac{5}{n}=6$$

Ahora bien para ${\displaystyle \bar{S}{R}_f}$

$\therefore$
$$\bar{S}(f,P)=\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^n(x_i+4y_j)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)=\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^n(\frac{i}{n}+4\frac{j}{n})\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^3}\right)\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^n(i+4j)=\left(\frac{1}{n^3}\right)\sum _{i=1}^{2n}ni+4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)=\left(\frac{1}{n^3}\right)(n\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)+2n\left(\frac{4n(n+1)}{2}\right))$$
$$=\left(\frac{1}{n^3}\right)(2n^3+n^2+4n^3+4n^2)=2+\frac{1}{n}+4+\frac{4}{n}=6+\frac{5}{n}$$

$\therefore$
$$\bar{\int }{R}_f=sup\bar{S}(f,P)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\bar{S}(f,P)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}6+\frac{5}{n}=6$$