MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En la entrada pasada definimos el concepto de función simple y como es que estas se integran respecto a la medida de Lebesgue. En esta entrada definiremos la integral para funciones medibles más generales y veremos algunas de sus propiedades.

Integración de funciones no negativas

A modo de recordatorio, en la entrada pasada vimos un resultado interesante: Toda función medible no negativa se puede «aproximar» por una sucesión creciente de funciones simples. Es entonces natural definir la integral de una función medible (y no negativa) precisamente como una aproximación de integrales de funciones simples, que ya sabemos como integrar.

Definición. Supongamos que $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ es una función medible no negtaiva. Definimos la integral de $f$ respecto a la medida de Lebesgue como: $$\int f\mathrm{d}\lambda =sup\{\int s\mathrm{d}\lambda |s\le f,s\in S\}.$$

(Recuerda que $S$ denotaba el conjuntos de funciones simples medibles $s$ con $0\le s\le \mathrm{\infty }$). Observa que la integral está bien definida para cualquier función medible y no negativa al ser el supremo de un conjunto.

Otras notaciones que usaremos a menudo para denotar la integral (y que puedes encontrar en la bibliografía) son $$\int f,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f\mathrm{d}\lambda ,\int f\mathrm{d}x,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\mathrm{d}x$$

Entre otras. En algunos textos, también se puede denotar como:
$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{d}\lambda f,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{d}xf(x).$$

Proposición (Propiedades de la integral de una función no negativa).

1. $0\le \int f\mathrm{d}\lambda \le \mathrm{\infty }$
2. Si $0\le c<\mathrm{\infty }$ es una constante, $\int cf\mathrm{d}\lambda =c\int f\mathrm{d}\lambda .$
3. Si $f\le g$, entonces $\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda .$
4. Si $\int f\mathrm{d}\lambda =0$ $⟹$ $Z=x|f(x)>0$ es de medida cero.

Demostración. Todas son consecuencias sencillas de sus contrapartes para funciones simples y las propiedades del supremo.

es inmediato. Para 2. notemos simplemente que:

$$\begin{array}{rl}\int cf\mathrm{d}\lambda & =sup\{\int s\mathrm{d}\lambda |s\le cf,s\in S\}\\ & =sup\{\int ct\mathrm{d}\lambda |t\le f,t\in S\}\\ & =sup\{c\int t\mathrm{d}\lambda |t\le f,t\in S\}\\ & =csup\{\int t\mathrm{d}\lambda |t\le f,t\in S\}\\ & =c\int f\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

Si $f\le g$, claramente

$$\{\int s\mathrm{d}\lambda |s\le f,s\in S\}\subseteq \{\int t\mathrm{d}\lambda |t\le g,t\in S\}$$

Tomando supremos se sigue 3.

Para 4. procedamos por contradicción: Supongamos que $\lambda (Z)>0$. Para cada $k$, definamos $Z_k=x|f(x)>\frac{1}{k}$. Es fácil ver que $Z_1\subseteq Z_2\subseteq Z_3\subseteq \dots$ son conjuntos medibles y $$Z=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{Z}_k.$$
Así que por monotonía de la medida de Lebesgue: $$\lambda (Z_k)\uparrow \lambda (Z).$$
En particular, podemos encontrar un $N$ suficientemente grande tal que $\lambda (Z_N)>0$. Consideremos ahora la función $s=\frac{1}{N}{\chi }_{Z_N}\in S$. Notemos que $s\le f$, entonces por definición $$0<\frac{1}{N}\lambda (Z_N)=\int s\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda$$ Que es una contradicción.

Por analogía al caso para integrales simples, uno podría esperar que $$\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda$$ Esto es de hecho cierto. Por un análisis similar a los anteriores es sencillo probar que $\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda$, aunque no es difícil convencerse de que la desigualdad opuesta requiere mucho más trabajo.

Para afrontar dificultades como la anterior, introduciremos uno de los teoremas más fundamentales de la teoría de integración de Lebesgue: El teorema de La convergencia monótona. Este nos dice que, bajo ciertas condiciones, podemos intercambiar límites con integrales.

Más adelante…

Enunciaremos y probaremos el Teorema de la Convergencia Monótona, una de las herramientas más importantes en la teoría de integración y veremos algunas de sus consecuencias.

Tarea moral