Introducción
Anteriormente, ya vimos la definición de «clasificación», ahora, usaremos esta definición para clasificar a las cónicas.
Para realizar esta clasificación, lo primero que debemos observar es que podemos hablar de las curvas asociadas a los polinomios de la siguiente manera:
Considera a un polinomio cuadrático como una función $P: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ que a cada punto $x \in \mathbb R^2$, le asigna el número $P(x)$. Entonces, la curva asociada al polinomio P, o los ceros del polinomio P, son el siguiente subconjunto de $\mathbb R^2$:
\begin{equation} C(P)=\{x \in \mathbb R^2| P(x)=0\} \end{equation}
Además, vamos a decir que un subconjunto $C\subset \mathbb R^2$ es una curva cuadrática si, para algún polinomio cuadrático $P$, se tiene que $C=C(P)$
En conclusión, cualquier curva cuadrática, será equivalente a alguna de las cónicas que se muestran a continuación.
Las cónicas canónicas
- El círculo unitario
El polinomio $x^2+y^2-1$, tiene como ceros el círculo unitario.
- La hipérbola unitaria
El polinomio $x^2-y^2-1$, tiene como ceros a la hipérbola unitaria.
- La parábola canónica
El polinomio $x^2-y$, tiene como ceros a una parábola.
Estas transformaciones afines, pueden mandar a muchas otras, por ejemplo, las elipses se pueden obtener del círculo unitario.
Conjuntos formados por polinomios cuadráticos
- El círculo imaginario
El polinomio $x^2+y^2+1$, no tiene ningún cero en los reales, pero sí tiene solución en los números complejos, por lo que, a su curva cuadrática, la llamaremos «círculo imaginario».
- Par de rectas
El polinomio $x^2-y^2$ tiene como conjunto de ceros a la unión de las dos rectas $x+y=0$ y $x-y=0$
- El círculo de radio cero
El polinomio $x^2+y^2$ es el caso límite de círculos cuyos radios se hacen $0$. También las podemos llamar par rectas imaginarias, porque al factorizar el polinomio, resulta en valores complejos.
- Rectas paralelas
El polinomio $x^2-1$ da dos rectas paralelas en $x=1$ y $x=-1$
- Rectas paralelas imaginarias
El polinomio $x^2+1$ define dos rectas paralelas imaginarias en $x=i$ y $x=-i$
- Recta doble
El polinomio dado por $x^2$, aunque solo consiste de una recta en $x=0$, se le llama doble por el polinomio que la define.
Tarea moral
- Realiza un dibujo en el plano euclidiano (si es posible), para cada una de las cónicas canónicas y curvas que se obtienen con los polinomios cuadráticos que mencionamos en esta entrada.
- Muestra que, efectivamente, los ceros de cada uno de los polinomios mostrados en la entrada, son los que mencionamos.
Más adelante…
En las siguientes entradas, estudiaremos la equivalencia y reducción de polinomios para después continuar con el análisis de las cónicas.