Extremos Locales (parte 2)

Por Angélica Amellali Mercado Aguilar

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Extremos Locales parte 2 pequeño

Para el caso de funciones f:R3→R tenemos que recordando un poco de la expresión de taylor
f(x,y)=f(x0,y0)+(∂f∂x)p(x−x0)+(∂f∂y)p(y−y0)+(∂f∂z)p(z−z0)+

12!(∂2f∂x2p(x−x0)2+2∂2f∂x∂yp(x−x0)(y−y0)+∂2f∂y2p(y−y0)2+2∂2f∂x∂zp(z−z0)(x−x0)+2∂2f∂y∂zp(z−z0)(y−y0))
+∂2f∂z2p(z−z0)

Haciendo x−x0=h1,y−y0=h2,z−z0=h3 podemos escribir el término rojo de la siguiente manera
12!(∂2f∂x2h12+2∂2f∂x∂yh1h2+∂2f∂y2h22+2∂2f∂x∂zh3h1+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32)

y también se puede ver como producto de matrices
12!(h1 h2 h3)(∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2)p(h1h2h3)

Si (x0,y0,z0) es un punto critico de la función entonces en la expresión de Taylor
f(x,y)=f(x0,y0)+(∂f∂x)p(x−x0)+(∂f∂y)p(y−y0)+(∂f∂z)p(z−z0)
12!(∂2f∂x2p(x−x0)2+2∂2f∂x∂yp(x−x0)(y−y0)+∂2f∂y2p(y−y0)2+2∂2f∂x∂zp(z−z0)(x−x0)+2∂2f∂y∂zp(z−z0)(y−y0))
+∂2f∂z2p(z−z0)(x−x0)

El término
∂f∂xp(x−x0)+∂f∂yp(y−y0)+∂f∂zp(z−z0)=0
y por lo tanto
f(x,y)−f(x0,y0)=12!(h1 h2 h3)(∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2)p(h1h2h3)
vamos a determinar el signo de la forma
Q(h)=12!(h1 h2 h3)(∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2)p(h1h2h3)

vamos a trabajar sin el término 12! que no afectara al signo de la expresión, tenemos entonces

Q(h)=(h1 h2 h3)(∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2)p(h1h2h3)=∂2f∂x2h12+2∂2f∂x∂yh1h2+∂2f∂y2h22+2∂2f∂x∂zh3h1+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32


=∂2f∂x2(h1+∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2)2+(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2)h22+2∂2f∂x∂zh3h1+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32

=∂2f∂x2(h1+∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2)2+(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2)h22+2∂2f∂x∂zh3h1+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32

hacemos b1=∂2f∂x2,h1′=(h1+∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2),b2=∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2,  h2′=h2 y obtenemos
=b1h1′2+b2h2′2+2∂2f∂x∂zh3h1+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32
que podemos escribir

=b1h1′2+b2h2′2+2∂2f∂x∂z(h1+∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2−∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2)h3+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32
=b1h1′2+b2h2′2+2∂2f∂x∂z(h1′−∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2′)h3+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32
=b1h1′2+b2h2′2+2∂2f∂x∂zh1′h3+(2∂2f∂y∂z−2∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x∂2f∂x2)h2′h3+∂2f∂z2h32
hacemos

2b23=2∂2f∂y∂z−2∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x∂2f∂x2y obtenemos
=b1h1′2+b2h2′2+2∂2f∂x∂zh1′h3+2b23h2′h3+∂2f∂z2h32
que se puede escribir

=b1(h1′2+2∂2f∂x∂zb1h1′h3+(∂2f∂x∂zh3b1)2)+b2(h2′2+2b23b2h2′h3+(b23b2h3)2)+(∂2f∂z2−(∂2f∂x∂z)2b1−b232b2)h32
hacemos
b3=∂2f∂z2−(∂2f∂x∂z)2b1−b232b2
y obtenemos

=b1(h1′2+2∂2f∂x∂zb1h1′h3+(∂2f∂x∂zh3b1)2)+b2(h2′2+2b23b2h2′h3+(b23b2h3)2)+b3h32
=b1(h1′+∂2f∂x∂zb1h3)2+b2(h2′+b23b2h3)2+b3h32
esta última expresión será positiva si y solo si b1>0  b2>0 y b3>0 en clases pasadas vimos los dos primeros, veamos ahora que b3=∂2f∂z2−(∂2f∂x∂z)2b1−b232b2>0
tenemos entonces que

∂2f∂z2−(∂2f∂x∂z)2b1−b232b2=∂2f∂z2−(∂2f∂x∂z)2∂2f∂z2−(∂2f∂y∂z−2∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x∂2f∂x2)2∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2

=∂2f∂z2∂2f∂x2(∂2f∂x∂z)2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂z∂2f∂x2−∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x)2(∂2f∂x2)2∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2=∂2f∂z2∂2f∂x2(∂2f∂x∂z)2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂z∂2f∂x2−∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x)2(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2)∂2f∂x2

=(∂2f∂z2∂2f∂x2−(∂2f∂x∂z)2)(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2)−(∂2f∂y∂z∂2f∂x2−∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2)

=∂2f∂z2∂2f∂x2∂2f∂y2∂2f∂x2−∂2f∂z2∂2f∂x2(∂2f∂y∂x)2−∂2f∂y2∂2f∂x2(∂2f∂x∂z)2+(∂2f∂x∂z)2(∂2f∂y∂x)2−(∂2f∂y∂z)2(∂2f∂x2)2−∂2f∂x2(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2)

2(∂2f∂x2∂2f∂y∂z∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x)−(∂2f∂x∂z)2(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2)
=∂2f∂z2∂2f∂y2∂2f∂x2−∂2f∂z2(∂2f∂y∂x)2−∂2f∂y2(∂2f∂x∂z)2−(∂2f∂y∂z)2∂2f∂x2+2∂2f∂y∂z∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2
=|∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2|∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2

por lo tanto
b3>0 ⇔ |∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2|>0

Definición 1. La forma Q(x)=xAxt, que tiene asociada la matriz A (respecto a la base canónica de Rn) se dice:
Definida positiva, si Q(x)>0 ∀x∈ Rn
La forma Q(x)=xAxt, que tiene asociada la matriz A (respecto a la base canónica de Rn) se dice:
Definida negativa, si Q(x)<0 ∀x∈ Rn

Definición 2. Si la forma Q(x)=xAxt es definida positiva, entonces f tiene un mínimo local en en x.
Si la forma Q(x)=xAxt es definida negativa, entonces f tiene un máximo local en en x.

Hay criterios similares para una matriz simetrica A de n×n y consideramos las n submatrices cuadradas a lo largo de la diagonal, A es definida positiva si y solo si los determinantes de estas submatrices diagonales son todos mayores que cero. Para A definida negativa los signos deberan alternarse <0 y >0. En casi de que los determinantes de las submatrices diagonales sean todos diferentes de cero pero que la matrix no sea definida positiva o negativa, el punto crítico es tipo silla. Y por lo tanto el punto no es máximo ni mínimo. Asi tenemos el siguiente resultado.

Definición 3. Dada una matriz cuadrada A=aijj=1,…,ni=1,…,n se consideran las submatrices angulares Akk=1,…,n definidas como A1(a11) A2=(a11a12a21a22)  A3=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33),⋯,An=A
se define detAk=△k

Definición 4. Se tiene entonces que que la forma Q(x)=xAXt es definida positiva si y solo si todos los dterminantes △k  k=1,…,n son números positivos.

Definición 5. La forma Q(x)=xAXt es definida negativa si y solo si los dterminantes △kk=1,…,n tienen signos alternados comenzando por △1<0,△2>0,… respectivamente.

Ejemplo. Consideremos la función f:R3→R f(x,y,z)=sin⁡x+sin⁡y+sin⁡z−sin⁡(x+y+z), el punto P=(π2,π2,π2) es
un punto crítico de f y en ese punto la matriz hessiana de

f es H(p)=[−2−1−1−1−2−1−1−1−2 ]
los determinantes de las submatrices angulares son
Δ1=det(−2) Δ2=det[−2−1−1−2 ]

Δ3=detH(p)=−4 puesto que son signos alternantes con Δt<0 concluimos que la funcion f tiene en (π2,π2,π2) un máximo local. Este máximo local vale f(π2,π2,π2)=4

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