Introducción

Este apartado se presentara el concepto de tasa efectiva de interés, sus características y la forma en que se puede aplicar, tanto al modelo de interés simple como al compuesto, para evidenciar su uso.

Definición

Se entiende como tasa efectiva de interés o también tasa efectiva por periodo, a la proporción de intereses ganados por unidad de capital de tiempo. El llamarla efectivo mensual o efectiva, dentro de las matemáticas financieras, para especificar la tasa de la que se está hablando, esto es la tasa que corresponde a la que se pagará por unidad de capital y de tiempo.

Desarrollo

La periodicidad de la tasa es la que nos va a indicar cada cuando se tienen que pagar los intereses. Éstos pueden ser pagados con la periodicidad que se desee, esto es; en años, meses, días, semanas, etc. Bastará con hacer mención que la tasa es efectiva por día, por semana, por mes, etc. Es necesario hacer mención que la tasa de interés siempre tendrá que contar con el lapso o periodicidad con la que se esté trabajando, ya que con esto se da a conocer cada cuando se harán los pagos de los intereses.

El hecho de que éste tipo de tasas se les agregue la palabra «efectiva» hace posible que se eviten confusiones con otro tipo de tasas, como las nominales, las instantáneas, las cuales se verán más adelante.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. En el modelo de interés simple se nos pide que se calcule Los intereses generados por un capital de \$100 con una tasa efectiva mensual del 15% en un plazo de 5 meses

Ejercicio. Haciendo uso del modelo de interés simple, calcula los intereses generados por una tasa efectiva trimestral de 22%, en un plazo de 10 meses con un capital de \$500

Ejercicio. Usando el modelo de interés compuesto calcula los intereses generados por una tasa efectiva anual del 6.5%, luego de 2 años 6 meses, con un monto de \$300.

Más adelante…

Se estarán analizando los diferentes tipos de tasas con las que operan las matemáticas financieras, para conocer e identificar sus características así como sus diferencias.

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Introducción

En este apartado se abordará el tema de tasas equivalentes, el cual nos proporciona de una herramienta bastante útil, ya que nos permites poder obtener cualquier combinación posible de una tasas de interés efectiva a una nominal o a una instantánea. En pocas palabras, cualquier combinación posible

Definición de Tasa Equivalente

Una tasa equivalente es aquella que genera la misma cantidad de dinero, en el mismo tiempo, dicho con otras palabras, producen el mismo efecto de acumulación, después de un tiempo determinado, sin importar la periodicidad de pago, es decir, no importa que la periodicidad de pago no sea la misma.

Reglas de aplicación

Para poder aplicar éste concepto se hará sus de la triple igualdad, y en la siguiente imagen se muestra una descripción de todas las combinaciones posibles que se pueden realizar:

Para poder obtener tasa equivalentes hay que hacer uso del modelo de la triple igualdad

Debe cumplir que con una misma cantidad de dinero, se debe obtener el mismo monto acumulado, una vez transcurrido en el mismo tiempo, sin importar que la periodicidad de la tasa sea diferente.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Calcule la tasa efectiva mensual que sea equivalente a una tasa del 18% efectiva anual.

Ejercicio. Calcule la tasa nominal pagadera 4 veces al año, es decir trimestral, equivalente a una tasa efectiva anual, del 15%

Más adelante…

Se continuará abordando, temas de aplicación y combinación de herramientas como la que se vio en éste tema, para una mejor comprensión de la relevancia que van adquiriendo cada uno de los conceptos abordados.

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Entrada siguiente:

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \dfrac{2xy}{x^2+y^2}$$

* ¿Cuál es la gráfica de $f$?

* ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad?

Cortes con el plano $x = x_0$ constante.

$z = f(x_0, y) = \dfrac{2x_0 y}{x_0^2+y^2}$

Por ejemplo, si $x_0 = 1$

$f(1, y) = \dfrac{2y}{1 + y^2}$

si $x_0 = 2$

$f(2, y) = \dfrac{4y}{4 + y^2}$

si $x_0 = \dfrac{1}{2}$

$f(\frac{1}{2}, y) = \dfrac{y}{\frac{1}{4} + y^2}$

CASO ESPECIAL $x = x_0 = 0$

$$z = f(0, y) = \dfrac{2(0)y}{0+y^2}$$

$z = 0$

https://www.geogebra.org/classic/r5c2eu76

Curvas de nivel

$f(x, y)=c $ con $ c \neq 0$

$\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = c $

$2xy = c (x^2+y^2)$

$\dfrac{2}{c}xy = x^2+y^2$

$y^2 \, – \, \dfrac{2}{c}xy + x^2 = 0$

Calculamos los valores de $y$.

$$y = \dfrac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4}{c^2}x^2 \, – \, 4x^2}}{2}$$

$$y = \dfrac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4x^2}{c^2}(1-c^2)}}{2}$$

Simplificando obtenemos que:

$$y = \dfrac{x}{c} \pm \dfrac{x}{c} \sqrt{(1-c^2)}$$

Son dos rectas y solo hay curvas para el intervalo $c=[-1, 1].$

En el siguiente enlace puedes observar vistas simultáneas de las curvas de nivel y la gráfica de la función.

https://www.geogebra.org/classic/u8kxbxq5

Para cada constante $c \in \mathbb{R}$, el conjunto de nivel $c$ es $\Big\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, | f(x, y) = c \Big\} = f^{-1}(c)$.

$c= 0$

$f(x, y)=0$ lo cumplen los puntos de la forma $(0, y)$ con $y \in \mathbb{R}$ y los puntos de la forma $(x, 0)$ con $x \in \mathbb{R}$.

$c=1$

$f(x, y)=1$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x}=1$ es decir cuando $y=x$ pero $x \neq 0$.

$c=2$

$f(x, y)=2$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x} = 2$ es decir cuando $y=2x$ pero $x \neq 0$.

$c=\frac{1}{2}$

$f(x, y)=\frac{1}{2}$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x} = \frac{1}{2}$ es decir cuando $y=\frac{1}{2}x$ pero $x \neq 0$.

$c= -1$

$f(x, y)=-1$ se cumple cuando $\dfrac{y}{x}=-1$ es decir cuando $y= -x$ pero $x \neq 0$.

Sabemos que la ecuación de una recta está dada por $y=mx+b$ de donde $m=\dfrac{y}{x}$ entonces podemos observar que el plano se llena con rectas de diferentes pendientes, incluso la recta vertical, que es cuando $c=0$.

Por lo que podemos concluir que los puntos donde $f$ es discontinua son los de la forma $(0, y_0)$ que son los que forman la recta $x=0$ y el eje $y$.

En la siguiente animación puedes observar las curvas de nivel que se calcularon.

https://www.geogebra.org/classic/tgfk7smx

Probar que $\| \; \| : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua.

Demostración:

Sea $\vec{x_0} \in \mathbb{R}^n.$

$\big[$ por demostrar: $f(\vec{x}) = \big\| \vec{x} \big\|$ es continua en $\vec{x_0}$.$\big]$

Sea $\epsilon > 0$

$\big[$ por demostrar: existe $\delta > 0 $ tal que $\big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| < \delta \Rightarrow \big| f(\vec{x}) \, – \, f(\vec{x_0}) \big| < \epsilon $ $\big]$

¿Cuál es la $\delta$ que sirve? Proponemos $\delta = \epsilon.$

Continuando con la demostración:

Si $\big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| < \delta $ entonces $\big| f(\vec{x}) \, – \, f(\vec{x_0}) \big| = \big| \big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| \big| \leq \big\| \vec{x} \, – \, \vec{x_0} \big\| < \epsilon$ $_{\blacksquare}$

Ejercicio

Sea $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ continua con la definición topolígica.

Sea $\vec{x_0} \in \mathbb{R}^n$

$\big[$ por demostrar: $f$ es continua en $\vec{x_0}.$ $\big]$

Sea $ \epsilon > 0.$

$\big[$ por demostrar: existe $\delta > 0$ tal que $\vec{x} \in B_{\delta}(\vec{x_0}) \Rightarrow f(\vec{x}) \in B_{\epsilon}.$ $\big]$

Consideremos $\mathcal{V} = B_{\epsilon}\big( f(\vec{x_0}) \big) \subseteq \mathbb{R}^m$ abierto.

Por hipótesis, $f^{-1}\big( \mathcal{V} \big) \subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto entonces, todos sus puntos son puntos interiores, en particular $\vec{x_0} \in f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) $ es punto interior,

Existe $ B_{\delta} \big( \vec{x_0} \big) \subseteq f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) .$

$\mathcal{V} = B_{\epsilon} \big( f(\vec{x_0} \big)$

$f^{-1}\big( \mathcal{V} \big) \subseteq A $ es un abierto relativo.

$f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) = A \cap U $ para algún abierto $ U \subseteq \mathbb{R}^n.$

Entonces, $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A $ es una «vecindad relativa» de $\vec{x_0}$ y además $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A \subseteq f^{-1} \big( \mathcal{V} \big) .$

Entonces, $B_{\delta}(\vec{x_0}) \cap A \Longrightarrow f(\vec{x_0}) \in B_{\epsilon}\big( f(\vec{x_0}) \big).$ $_{\blacksquare}$