MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Estamos en condiciones de enunciar y demostrar otro de los teoremas más importantes en la teoría de integración de Lebesgue: El teorema de la convergnecia Dominada. Éste nos garantiza condiciones «relativamente débiles» bajo las cuales podemos intercambiar límites e integrales. La gracia de este teorema es que aplica para funciones medibles de todo tipo (no necesariamente positivas o crecientes) siempre que podamos encontrar alguna función en $L^1$ que «domine» en valor absoluto a todas las demás.

Teorema de la convergencia dominada. Sea $f_1,f_2,f_3,\dots$ una sucesión de funciones medibles en ${\mathbb{R}}^n$ tales que : $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$$ Existe para todo $x\in {\mathbb{R}}^n$, y existe una función $g\in L^1$ tal que $$|f_k(x)|\le g(x)$$ Para todo $x\in {\mathbb{R}}^n$ y $k\in \mathbb{N}$. Entonces $f\in L^1$ y $$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Sea $f=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k$. Ésta es medible. Más aún, tomando límites vemos que $0\le |f|\le g$ por lo que $|f|$ (y por tanto $f$) es integrable.

Observemos que la función $g+f_k$ es medible y no negativa para todo $k$. Aplicando el Lema de Fatou:

$$\int (g+f)\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int (g+f_k)\mathrm{d}\lambda$$
$$⟹\int g\mathrm{d}\lambda +\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda +\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$
Restando $\int g\mathrm{d}\lambda$ (que es un número real) de ambos lados de la desigualdad anterior obtenemos $$\int f\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Similarmente aplicando el Lema de Fatou a las funciones $g-f_k$ resulta $$\int (g-f)\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int (g-f_k)\mathrm{d}\lambda$$ $$⟹\int g\mathrm{d}\lambda –\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda –\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$
$$⟹\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda .$$

(Hemos usado $\underset{k}{lim inf}-a_k=-lim sup{a}_k$ en el segundo renglón. Esto es un ejercico de rutina). Combinando las desigualdades obtenidas concluimos que $\underset{k}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda =\underset{k}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda =\underset{k}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda$ existe y
$$\int f\mathrm{d}\lambda =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Algunos ejercicios resueltos

Para fijar ideas, veamos un par de ejercicios resueltos.

Ejercicio. Sea $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $A_1\subseteq A_2\subseteq \dots$ una sucesión creciente de conjuntos medibles tales que ${\mathbb{R}}^n=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k$. Demuestra que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f\cdot {\chi }_{A_k}\mathrm{d}\mu =\int f\mathrm{d}\mu$$

Solución. Las funciones $f\cdot {\chi }_{A_k}$ son medibles al ser producto de funciones medibles. Más aún, son integrables pues $$|f\cdot {\chi }_{A_k}|\le |f|\mathrm{\forall }k.$$ Como $f\in L^1$ $⟹$ $|f|\in L^1$, así que el estimado anterior nos dice que podemos «dominar» las funciones $f\cdot {\chi }_{A_k}$ por la función $|f|\in L^1$.
Ahora, como $\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k={\mathbb{R}}^n$, para cada $x\in {\mathbb{R}}^n$, existe algún entero $M_x$ suficientemente grande tal que $x\in A_k$ para todo $k\ge M_x$. Esto nos dice que $$f(x)\cdot {\chi }_{A_k}(x)=f(x)\cdot 1=f(x)\mathrm{\forall }k\ge M_x$$ Como lo anterior se satisface para cualquier $x\in {\mathbb{R}}^n$, concluimos que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(f\cdot {\chi }_{A_k})=f.$$ Finalmente, aplicando el teorema de la convergencia dominada a la sucesión de funciones $f\cdot {\chi }_{A_k}$ (tomando $|f|=g\in L^1$ como la función que «domina» a la sucesión), concluimos que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f\cdot {\chi }_{A_k}\mathrm{d}\mu =\int f\mathrm{d}\mu .$$

Observación. En el lenguaje de integración sobre subconjuntos [ENLACE], el resultado anterior se reescribe como: $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{A_k}f\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$

Ejercicio. Sea $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$. Demuestra que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f(x)e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x.$$

Solución. Consideremos la sucesión de funciones $f_k(x)=f(x)e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}$.

Como $e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}\le e^0=1$, entonces $|f_k(x)|\le |f(x)|$ para todo $k=1,2,\dots$. Es decir, la función $|f|\in L^1$ domina a cada una de las $f_k$. Además $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)=f(x)\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-\frac{|x{|}^2}{k}}=f(x)\cdot e^0=f(x)$$ Para todo $x\in {\mathbb{R}}^n$. Aplicando el teorema de la convergencia dominada:
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f(x)e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}\mathrm{d}x=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k(x)\mathrm{d}x=\int (\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x))\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x.$$

Más adelante…

Definiremos el concepto de casi donde sea, un concepto de gran utilidad en la teoría de integración. Daremos versiones más generales de los teoremas de convergencia que hemos probado hasta ahora aprovechando esta idea.

Tarea moral