Introducción

Bienvenidos a la última entrada del curso. En esta ocasión nos enfocaremos en demostrar y analizar el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano que dice lo siguiente:

Teorema (Poincaré – Bendixson): Sea $\mathrm{\Omega }$ un conjunto límite en un sistema de dos ecuaciones $\dot{\mathbf{\text{X}}}=\mathbf{\text{F}}(\mathbf{\text{X}})$. Si $\mathrm{\Omega }$ es no vacío, cerrado y acotado, y tal que no contiene puntos de equilibrio del sistema, entonces es una órbita cerrada (función periódica).

Durante las entradas anteriores revisamos una gran diversidad de ejemplos y vimos que existen sistemas que tienen curvas solución notables que vale la pena estudiar. Tales curvas son (casi siempre) periódicas, y las demás curvas solución del sistema tienden a esta de una manera asintótica. Un par de ejemplos son los siguientes:

• $$\begin{array}{rcl}\dot{x}& =& y\\ \dot{y}& =& -x+(1-x^2)y.\end{array}$$

• $$\begin{array}{rcl}\dot{x}& =& \lambda x-y-x(x^2+y^2)\\ \dot{y}& =& x+\lambda y-y(x^2+y^2)\end{array},\lambda >0.$$

Estudiar tales curvas es bastante complicado, y más aún, verificar que son órbitas cerradas. Afortunadamente el teorema de Poincaré – Bendixson nos ayudará a resolver este problema. El teorema es nombrado así debido al matemático francés Henri Poincaré, y al sueco Ivan Otto Bendixson. El primero de ellos fue el que sentó las bases para la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales.

Demostrar el teorema no es algo sencillo, por lo que iremos enunciando poco a poco las herramientas necesarias para la demostración. Definiremos los conceptos de $\omega$-punto límite, $\alpha$-punto límite, $\omega$-conjunto límite, $\alpha$-conjunto límite, sección local en un punto, caja de flujo para una sección local, el mapeo de primer retorno de Poincaré y enunciaremos sus propiedades básicas, necesarias para la demostración del teorema.

Finalmente demostraremos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano, y comentaremos brevemente las consecuencias de este resultado, uno de los más importantes en la teoría de ecuaciones diferenciales.

Breve introducción al teorema de Poincaré – Bendixson en el plano. Conjuntos límite

Enunciamos brevemente el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano. Posteriormente definimos los conceptos de $\omega$-punto límite, $\alpha$-punto límite, $\omega$-conjunto límite y $\alpha$-conjunto límite, revisamos algunos ejemplos y enunciamos las propiedades necesarias para la demostración del teorema.

Secciones locales

Definimos los conceptos de sección local en un punto ${\mathbf{\text{X}}}_0$ del plano tal que no es punto de equilibrio del sistema $\dot{\mathbf{\text{X}}}=\mathbf{\text{F}}(\mathbf{\text{X}})$. Además definimos una caja de flujos para ${\mathbf{\text{X}}}_0$ y analizamos el comportamiento de las soluciones al sistema en una vecindad de ${\mathbf{\text{X}}}_0$.

Mapeo de Poincaré

Definimos el mapeo de primer retorno de Poincaré y lo relacionamos con la sección local de un punto ${\mathbf{\text{X}}}_0$ que pertenece a una órbita cerrada $\gamma$ del sistema $\dot{\mathbf{\text{X}}}=\mathbf{\text{F}}(\mathbf{\text{X}})$ .

Teorema de Poincaré – Bendixson en el plano

Demostramos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano y enunciamos algunas consecuencias de este teorema.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

• Determina el $\omega$-conjunto límite de un punto ${\mathbf{\text{X}}}_0$ perteneciente a una solución periódica.

• Prueba que si $\gamma$ es una órbita cerrada para el sistema de ecuaciones $\dot{\mathbf{\text{X}}}=\mathbf{\text{F}}(\mathbf{\text{X}})$ y $S$ es una sección local en cualquier punto, entonces $\gamma$ intersecta a $S$ en a lo más un punto.

Los siguientes ejercicios muestran una estrategia para demostrar la existencia de soluciones periódicas no triviales a un sistema de ecuaciones.

Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{array}{rcl}\dot{x}& =& y\\ \dot{y}& =& -x+y(1-2x^2-3y^2).\end{array}$$

• Considera la función $L(x,y)=x^2+y^2$. Sea $(x(t),y(t))$ una solución no trivial al sistema. Prueba que $\dot{L}(x(t),y(t))>0$ en la región dada por $x^2+y^2<1/3$ y que $\dot{L}(x(t),y(t))<0$ en la región dada por $x^2+y^2>1/2$.

• Sea $A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|\frac{1}{3}<x^2+y^2<\frac{1}{2}\}$. Prueba que existe un $\omega$-conjunto límite contenido en $A$.

• Prueba que no existen puntos de equilibrio contenidos en $A$.

• Concluye que existe una órbita cerrada para el sistema.

• Esboza el plano fase del sistema.

Más adelante

Esta es la última entrada del curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Espero hayas disfrutado el curso tanto como nosotros al prepararlo. Por supuesto, existen muchos más temas referentes a las ecuaciones diferenciales que puedes buscar por tu cuenta, una vez que hemos mostrado el camino.

Además, puedes consultar más cursos contenidos en este blog que seguro serán de tu agrado.

¡Hasta la próxima!

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• Notas relacionadas con el tema: Teorema de Poincaré – Bendixson en el plano

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»