Introducción

En las últimas entradas hemos estudiado algunas ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden y hemos revisado algunos métodos para resolver este tipo de ecuaciones. En esta ocasión veremos dos tipos de ecuaciones no lineales, que mediante un cambio de variable apropiado pueden convertirse en una ecuación lineal, las cuales ya sabemos resolverlas. Nos referimos a las ecuaciones de Bernoulli y Riccati, que deben su nombre a Jakob Bernoulli (1655-1705) y Jacopo Francesco Riccati (1676-1754).

Ecuación de Bernoulli

En el video resolveremos la ecuación de Bernoulli en su forma general y posteriormente revisaremos un ejemplo de este tipo de ecuaciones.

Ecuación de Riccati

Resolvemos la ecuación de Riccati en su forma general haciendo un cambio de variable que lleva a una ecuación lineal de primer orden. Luego, resolvemos un ejemplo de una ecuación de Riccati.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

• Encuentra la expresión general para la solución $y(t)$ a la ecuación de Bernoulli $$\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t)y^{n}.$$

• Resuelve la ecuación de Bernoulli $$\frac{dy}{dt}-\frac{1}{3t}y=e^{t}y^{4}$$.

• Verifica que la ecuación logística $$\frac{dP}{dt}=k(1-\frac{P}{N})P$$ es una ecuación tipo Bernoulli y resuélvela.

• Verifica que $y_{1}(t)=t$ es una solución particular a la siguiente ecuación de Riccati y encuentra su solución general: $$\frac{dy}{dt}=1+t^{2}-2ty+y^{2}.$$

• Las ecuaciones de Bernoulli y Riccati se pueden relacionar mediante un cambio de variable. Sea $y_{1}(t)$ una solución particular a la ecuación de Riccati. Haz el cambio de variable $y(t)=y_{1}(t)+v(t)$ y transforma la ecuación de Riccati en una ecuación de Bernoulli.

Más adelante

Hemos terminado el análisis de diversos tipos de ecuaciones no lineales de primer orden. Es tiempo de justificar toda la teoría que desarrollamos mediante el teorema de existencia y unicidad, como lo hicimos con las ecuaciones lineales de primer orden.

Existen diversas versiones de este teorema; nosotros demostraremos el teorema de existencia y unicidad de Picard para ecuaciones de primer orden. Demostrarlo no es tan sencillo como para el caso lineal, por lo que tendremos que desarrollar algunas herramientas extra que iremos presentando a lo largo de la siguiente entrada, junto con la demostración del teorema de existencia y unicidad de Picard.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»