Introducción
Hola, bienvenidos a una nueva entrada del curso de Ecuaciones Diferenciales I. En la entrada anterior definimos a las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria. Así que ahora veremos un poco de la geometría de soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden, en particular de la forma \begin{align*}\frac{dy}{dt}=f(t,y(t)).\end{align*}
Comenzaremos asociando un campo de pendientes a una ecuación diferencial, definiremos posteriormente el concepto de curvas integrales, y estudiaremos la relación que existe con las soluciones a la ecuación asociada.
Posteriormente revisaremos el método de las isoclinas el cual sirve para encontrar y dibujar las soluciones a una ecuación diferencial usando las curvas de nivel de $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$, vista como una función $f:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$.
Manos a la obra!
Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial y relación con sus soluciones
En el primer video, vemos cómo asociar un campo de pendientes a una ecuación de la forma $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$ y revisamos un par de ejemplos.
Una vez que asociamos un campo de pendientes, en los siguientes dos videos definimos a las curvas integrales y estudiamos la relación que guardan con las soluciones a la ecuación diferencial.
Método de las isoclinas
Estudiamos un método bastante sencillo, llamado de las isoclinas, para conocer el comportamiento de las soluciones a una ecuación diferencial, mediante las curvas de nivel de la función $f:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ que define a la ecuación y el campo de pendientes asociado que definimos en los videos de la sección anterior.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Esboza el campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y$.
- Dibuja las curvas integrales del campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y$.
- Prueba que si $\phi: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ es una curva integral del campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$ entonces $\phi(t)$ es solución a la ecuación diferencial.
- Esboza las soluciones de la ecuación $\frac{dy}{dt}=-\frac{t}{y}$, con base en la información obtenida en el segundo ejemplo del último video. Analiza qué sucede con los puntos sobre el eje $t$, ¿forman parte de alguna solución a la ecuación?
- En el último video hablamos acerca de las ventajas del método de las isoclinas. ¿Cuáles son las desventajas de usar este método para encontrar las soluciones a una ecuación?
- Utiliza el método de las isoclinas para encontrar las soluciones a la ecuación $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$.
Más adelante
En la próxima entrada continuaremos analizando soluciones de una ecuación diferencial de primer orden desde un punto de vista geométrico. En esta ocasión nos enfocaremos en el caso particular de las ecuaciones del tipo $\frac{dy}{dt}=f(y)$.
Para esto analizaremos los puntos de equilibrio de la función $f(y)$ y haremos un diagrama bastante sencillo de dibujar que nos servirá para hacer un esbozo de las soluciones a la ecuación.
Nos vemos en la próxima ocasión.
Entradas relacionadas
- Ir a Ecuaciones Diferenciales I
- Entrada anterior del curso: Introducción al curso y definiciones básicas
- Siguiente entrada del curso: Ecuaciones autónomas, puntos de equilibrio, línea fase y esbozo de soluciones
- Notas escritas relacionadas con el tema: Campos de pendientes y su ecuación diferencial asociada
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»