Si $f:A\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$. Denotamos por $D_{fA}$ al conjunto de discontinuidades de f en A, es decir
$$D_{fA}=\{x\in A|fesdiscontinuaenx\}$$

$Proposición$: Sea $f:A\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ integrable sobre R. Entonces $D_{fR}$ tiene interior vacio $int{D}_{fR}=\mathrm{\varnothing }$
$Demostración$: Si $int{D}_{fR}\ne \mathrm{\varnothing }$ entonces existe $R^{\prime }$ tal que $R^{\prime }\subset int(D_{fR})\subset D_{fR}\subset R$
como f es integrable sobre R y $R^{\prime }\subset R$ entonces f es integrable sobre $R^{\prime }$ de modo que existe $x_0\in int(R^{\prime })$ tal que f es continua en $x_0$ lo cual contradice el hecho de que f es discontinua en todo $x\in D_{fR}$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Medida Cero y Contenido Cero
$Definición$: Un subconjunto $A\subset {\mathbb{R}}^n$ tiene medida cero si para cada $ϵ>0$ existe un recubrimiento $U_1,U_2,\dots$ de A por rectángulos tales que
$$A\subset \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_{i}y\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}v(U_i)<ϵ$$
Por ejemplo un conjunto formado por un número finito de puntos claramente tiene medida cero

Si A tiene infinitos puntos que pueden ordenarse formando una sucesión $a_1,a_2,\dots$ entonces A tiene medida cero, pues para cada $ϵ>0$ se puede elegir $U_i$ que sea rectángulo cerrado que contenga $a_i$ con ${\displaystyle v(U_i)<\frac{ϵ}{2^i}}$.
Entonces$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}v(U_i)<\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{ϵ}{2^i}=ϵ\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^i}=ϵ(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots )=\frac{ϵ}{2}(1+\frac{1}{2}+\dots )=$$
$$\frac{ϵ}{2}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\right)=\frac{ϵ}{2}(2)=ϵ$$

$Ejemplo$: $\mathbb{Q}$ es de medida cero.
$Demostración$: Como $\mathbb{Q}$ es numerable podemos formar ${\displaystyle {\left\{r_k\right\}}_1^{\mathrm{\infty }}}$ y dado $ϵ>0$, sea $$I_k=(r_k-\frac{ϵ}{2^{k+2}},r_k+\frac{ϵ}{2^{k+2}})$$Por lo que $$\mathbb{Q}\subset \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_{k}yv(I_k)=\frac{ϵ}{2^{k+1}}$$y para la suma de los volumenes se tiene
$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{ϵ}{2^{k+1}}=\frac{ϵ}{4}(1+\frac{1}{2}+\dots )=\frac{ϵ}{2}<ϵ$$
$\therefore$ $\mathbb{Q}$ tiene medida cero.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

$Ejemplo$: El conjunto de Cantor
$Demostración$: Tenemos que
$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\mathcal{C}}_0& =[0,1]\text{(2)}& {\mathcal{C}}_1& =[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]\text{(3)}& {\mathcal{C}}_2& =[0,\frac{1}{9}]\cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\cdot \cdot \cdot \mathcal{C}n=[0,\frac{1}{3^n}]\cup \cdot \cdot \cdot \cup [1-\frac{1}{3^n},1]\end{array}$$
Tenemos que ${\displaystyle \mathcal{C}=\bigcap _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{C}}_k}$ (Conjunto de Cantor).
Cada ${\mathcal{C}}_k$ es la unión de $2^k$ intervalos de longitud ${\displaystyle \frac{1}{3^k}}$ si los llamamos $I1,I_2,\dots ,I_{2^k}$ entonces
$$\mathcal{C}\subset {\mathcal{C}}_k=\bigcup {i=1}^{2^k}{I}_{i}y\sum _{i=1}^{2^k}vol(I_i)={\left(\frac{2}{3}\right)}^k$$
por lo que dado $ϵ>0$ podemos tomar $k$ tal que ${\displaystyle {\left(\frac{2}{3}\right)}^k<ϵ}$. Entonces $\mathcal{C}$ es de medida cero.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

$Ejemplo$: En ${\mathbb{R}}^2$ consideramos la recta $y=y_0$
$Demostración:Lasemirectaderecha$A={(x,y_{0})| x\in \mathbb{R}}$lacubrimoscon$$R_k=[k,k+1]\times [y_0-\frac{ϵ}{2^{k+3}},y_0+\frac{ϵ}{2^{k+3}}]$$con$k\in \mathbb{N}\cup {0}$y$$v(R_k)=1\cdot \left(\frac{ϵ}{2^{k+2}}\right)\Rightarrow \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{ϵ}{2^{k+2}}=\frac{ϵ}{2}<ϵ$$Mientrasqueparalasemirectaizquierdaconsideramos$$R_k=[-k-1,-k]\times [y_0-\frac{ϵ}{2^{k+3}},y_0+\frac{ϵ}{2^{k+3}}]$$$\therefore$$$v(R_k)=1\cdot \left(\frac{ϵ}{2^{k+2}}\right)\Rightarrow \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{ϵ}{2^{k+2}}=\frac{ϵ}{2}<ϵ$$$\therefore$larectaenterasepuedecubrirconunauniónnumerablederectánguloscuyasumaesmenora$\epsilon$.$\blacksquare$

$Ejemplo$: Los intervalos cerrados $[a,b]\subset \mathbb{R}$ con $a<b$ no tienen medida cero.
$Demostración$: Supongamos que $[a,b]\subset \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n$ con $U_n$ abierto, como $[a,b]$ es compacto existe una subcubierta finita $U_n$ con $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}v(U_k)<ϵpero\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}v(U_k)\ge b-a$$ lo cual nos dice que la suma de volumenes no se puede hacer tan pequeña como se desee, por lo que el conjunto dado no es de medida cero.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

$Teorema$: Si $A=A_1\bigcup A_2\bigcup \dots$ y cada $A_i$
tiene medida cero, entonces A tiene medida cero.
$Demostración$: Sea $ϵ>0$. Puesto que cada $A_i$ tiene medida cero
$\mathrm{\exists }$ un recubrimiento $U_{i1},U_{i2},\dots$ de $A_i$ por
rectángulos cerrados tales que la colección de todos los $U_{ij}$
cubren a A y formamos la sucesión numerable $$U_{11},U_{1,2},\dots$$
$\therefore$
$$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}v(U_{ij})<\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{ϵ}{2^i}<ϵ\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

$Definición$: Un subconjunto A de ${\mathbb{R}}^n$ tiene contenido cero si para cada $ϵ>0$ existe un recubrimiento finito $U_1,U_2,\dots ,U_n$ de A por rectángulos tales que $$\sum _{i=1}^{n}v(U_i)<ϵ$$

$Teorema$: Si A es compacto y tiene medida cero, entonces A
tiene contenido cero.
$Demostración$: Sea $ϵ>0$. Puesto que $A$ tiene medida cero,$\mathrm{\exists }$ un recubrimiento $U_1,U_2,\dots$ de $A$ por rectángulos tales que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}v(U_i)<ϵ}$. Dado que A es compacto, un
número finito de $U_1,U_2,\dots ,U_n$ recubren a A y ademas
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v(U_i)<ϵ\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$

$Teorema$: Sea $\varphi :[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua. Entonces la gráfica de $\varphi$ tiene contenido cero.
$Demostración$: Siendo $\varphi$ continua en el compacto $[a,b]$, es
uniformemente continua en dicho intervalo. Es decir dado $ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0$ tal que para $x,y\in [a,b]$ si
$|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\frac{ϵ}{b-a}$.
Sea $n\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{b-a}{n}<\delta$ y consideremos
la partición de $[a,b]$ en n partes iguales
$$a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$$ con $x_i=a+i\frac{b-a}{n}$ se tiene
entonces que para
$x,y\in [x_{i-1},x_i]\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\frac{ϵ}{b-a}$
$\therefore$
$$\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})\frac{ϵ}{b-a}=\frac{ϵ}{b-a}\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})=\frac{ϵ}{b-a}(b-a)=ϵ\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

$Teorema$: Sea R un rectángulo cerrado y $f:R\to \mathbb{R}$ una función acotada. Sea $B=\{x\in \mathbb{R}|fnoescontinuaenx\}$ entonces si B es un
conjunto de contenido cero f es integrable.
$Demostración$: Vamos a dividir los subrectángulos $R_{ij}$ en
$I)R_{ij}\bigcap B\ne \mathrm{\varnothing }$ y $II)R_{ij}\bigcap B=\mathrm{\varnothing }$
de manera que para los rectángulos I se tiene que B es de contenido cero $\therefore$
$$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}v(R_{ij})<ϵ$$ Mientras que para
los rectángulos II se tiene que f es continua y por tanto
$$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{M}_{ij}-m_{ij}A(R_{ij})<\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n\frac{ϵ}{2A(R)}A(R_{ij})$$
$\therefore$ Dada la partición P de R se tiene que
$$\bar{S}(f,P)-\underset{―}{S}(f,P)=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{M}_{ij}-m_{ij}A(R_{ij})+\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}v(R_{ij})<\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n\frac{ϵ}{2A(R)}A(R_{ij})+\frac{ϵ}{2}$$
$$=\frac{ϵ}{2A(R)}A(R_{ij})\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}A(R_{ij})+\frac{ϵ}{2}=\frac{ϵ}{2A(R)}A(R)+\frac{ϵ}{2}=\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

$Teorema$: Sea f una función definida en un rectángulo R. Si el conjunto S de puntos donde f es discontinua tiene contenido cero, entonces f es integrable sobre R.

$Demostración$: Sea $ϵ>0$ dado y sea $R_1,R_2,\dots ,R_k$ el conjunto de rectángulos que cubren a S

tal que
$$\sum _{i=1}^{k}A(R_i)<ϵ$$
si se colocan sobre cada $R_j$ un rectángulo $R_j^{\prime }$ con el mismo centro pero del doble de dimensiones

se tiene que
$$\sum_{i=1}^{k}A(\textcolor{Green}{R’{i}})=\sum{i=1}^{k}4A(\textcolor{Red}{R_{i}})<4\epsilon$$
Además, entre los rectángulos $R_j$ habrá un lado más corto. Denotemos su longitud por $2r$

si tomo el conjunto $R^{\prime }$ el resto de R después que se han eliminado los interiores de los $R_j$.

Se tiene que sobre $R^{\prime }$ f es continua y por tanto uniformemente continua por lo tanto
$$|f(p)-f(q)|<ϵsi|p-q|<\delta$$para cualesquiera p,q en $R^{\prime }$\Sea $P$ una partición de R tal que $|P|<\delta <r$

Vamos a estimar
$$\bar{S}(f,P)-\underset{―}{S}(f,P)$$
Para esto dividimos los rectángulos de la partición P en dos conjuntos
$$R^{\prime }j\bigcap Rj\ne \mathrm{\varnothing }{R}^{\prime }j\bigcap Rj=\mathrm{\varnothing }$$
se tiene entonces que
$$\bar{S}(f,P)-\underset{―}{S}(f,P)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(M_{ij}-m_{ij})A(R_{ij})=$$
$$(\sum \sum (M_{ij}-m_{ij})A(R_{ij}))R^{\prime }j\bigcap R_j\ne \mathrm{\varnothing }+(\sum \sum (M_{ij}-m_{ij})A(R_{ij}))R^{\prime }j\bigcap R_j=\mathrm{\varnothing }<4Mϵ+ϵA=ϵ(4M+A)$$
donde $M=supf(x)$ sobre R.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$