$\boxed{\text{Medida de Jordan}}$
$Definición$
Dado $A\subset {\mathbb{R}}^n$ acotado, definimos ${\chi }_A:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$, la $funcióncaracterística$ de A, de la siguiente forma
$$\boxed{{\displaystyle {\chi }_A=\{\begin{array}{ccc}1& si& x\in A\\ 0& si& x\notin A\end{array}}}$$

Dado $A\subset {\mathbb{R}}^n$ acotado, decimos que A es $\textcolor{Red}{Jordan Medible} si la función característica de A es integrable sobre algún rectángulo R que contenga a A. En este caso decimos que la medida de Jordan de A (que denotaremos J(A)) esta dada por
$$\boxed{{\displaystyle J(A)={\int }_R{\chi }_A}}$$
$Ejemplo:$
Sean a,b números positivos y $$A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le x\le a,0\le y\le \left(\frac{b}{a}x\right)\}$$ En este caso A es un triángulo de base a y altura b. Mostraremos que A es Jordan-Medible en ${\mathbb{R}}^2$, y que su medida es $\frac{ab}{2}$
$Demostración:$
Tomemos el rectángulo $R=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le x\le a,0\le y\le b\}=[0,a]\times [0,b]$ el cual contiene a A. De acuerdo con nuestra definición tenemos que mostar que la función característica ${\chi }_A$ es integrable sobre R y que $$\boxed{{\displaystyle {\int }_R{\chi }_A=\frac{ab}{2}}}$$
Sea ${\displaystyle P_1=\{\frac{ia}{n}|i=1,\dots ,n\}}$ y ${\displaystyle P_2=\{\frac{ib}{n}|i=1,\dots ,n\}}$ por tanto $P=P_1\times P_2$ es una partición del rectángulo R, donde cada subrectángulo tiene medida ${\displaystyle \frac{ab}{n^2}}$. Por lo que en este caso
$$\bar{S}({\chi }_A,P)=\sum _{R_i\cap A\ne \mathrm{\varnothing }}=2\cdot \frac{ab}{n^2}+3\cdot \frac{ab}{n^2}+\dots +n\cdot \frac{ab}{n^2}=\frac{ab}{n^2}(\frac{n(n+1)}{2}-1)=\frac{ab}{2}(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2})$$
$$\underset{―}{S}({\chi }_A,P)=\sum _{R_i\subset A\ne \mathrm{\varnothing }}=1\cdot \frac{ab}{n^2}+2\cdot \frac{ab}{n^2}+\dots +(n-1)\cdot \frac{ab}{n^2}=\frac{ab}{n^2}\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)=\frac{ab}{2}(1-\frac{1}{n})$$
$\therefore$
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\bar{S}({\chi }_A,P)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{―}{S}({\chi }_A,P)=\frac{ab}{2}$$
$$\boxed{{\displaystyle J(A)={\int }_R{\chi }_A=\frac{ab}{2}}}$$

$Ejemplo:$
Sea A el conjunto $$A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le x\le 1,0\le y\le x^2\}$$ En este caso A la región de base 1 y altura la función $x^2$. Mostraremos que A es Jordan-Medible en ${\mathbb{R}}^2$, y que su medida es ${\displaystyle \frac{1}{3}}$
$Demostración:$
Tomemos el rectángulo $R=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|0\le x\le 1,0\le y\le 1\}=[0,1]\times [0,1]$ el cual contiene a A. De acuerdo con nuestra definición tenemos que mostar que la función característica ${\chi }_A$ es integrable sobre R y que $$\boxed{{\displaystyle {\int }_R{\chi }_A=\frac{1}{3}}}$$
Sea ${\displaystyle P_1=\{\frac{ia}{n}|i=1,\dots ,n\}}$ y ${\displaystyle P_2=\{\frac{ib}{n}|i=1,\dots ,n\}}$ por tanto $P=P_1\times P_2$ es una partición del rectángulo R, donde cada subrectángulo tiene medida ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$. Por lo que en este caso
$$\bar{S}({\chi }_A,P)=\sum _{R_i\cap A\ne \mathrm{\varnothing }}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}\cdot \frac{2^2}{n^2}+\dots +\frac{1}{n}\cdot \frac{n^2}{n^2}=\frac{1}{n^3}(1+2^2+\cdots +n^2)=\frac{1}{n^3}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)=\frac{1}{6}(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$$
$$\underset{―}{S}({\chi }_A,P)=\sum _{R_i\subset A\ne \mathrm{\varnothing }}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}\cdot \frac{2^2}{n^2}+\dots +\frac{1}{n}\cdot \frac{(n-1{)}^2}{n^2}=\frac{1}{n^3}(1+2^2+\cdots +(n-1{)}^2)=\frac{1}{n^3}\left(\frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6}\right)$$
$$=\frac{1}{6}(1-\frac{1}{n})(2-\frac{1}{n})$$
$\therefore$
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\bar{S}({\chi }_A,P)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{―}{S}({\chi }_A,P)=\frac{1}{3}$$
$$\boxed{{\displaystyle J(A)={\int }_R{\chi }_A=\frac{1}{3}}}$$

$Teorema$
Sea $A\subset {\mathbb{R}}^n$ acotado. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1.- A es Jordan-Medible
2.-Para cada $ϵ>0$ existen $R_1,\dots ,R_k$ rectángulos tales que:
(a) $Fr(A)\subset R_1\cup \cdots \cup R_k$
(b) ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}m(R_i)<ϵ}$
3.-La $Fr(A)$ es Jordan-Medible y $J(Fr(A))=0$
$Demostración:$
$(1)\Rightarrow (2)$
Sea $ϵ>0$. Como A es Jordan-Medible, sabemos que ${\chi }_A$ es integrable sobre un rectángulo que contiene $\bar{A}$ por lo que existe una partición P de R tal que
$$\bar{S}({\chi }_A,P)-\underset{―}{S}({\chi }_A,P)<ϵ$$
en este caso
$$\bar{S}({\chi }_A,P)=\sum _{R_i\cap A\ne 0}m(R_i)$$
$$\underset{―}{S}({\chi }_A,P)=\sum _{R_i\subset A}m(R_i)$$
Por lo que
$$\bar{S}({\chi }_A,P)-\underset{―}{S}({\chi }_A,P)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{R_i\cap A\ne \mathrm{\varnothing }}{R_i\cap A^c\ne \mathrm{\varnothing }}}m(R_i)$$
Para ver que
$$Fr(A)\subset R_1\bigcup \cdots \bigcup R_k$$
Como $\underset{―}{A}\subset int(R)$ entonces $Fr(A)\subset int(R)$. Sea $x\in Fr(A)$, si $x\in int(R_i)$ entonces la condición se cumple
Si $x\notin int(R)$ entonces esta en la frontera de más de uno de los subrectángulos por lo que
(1) Si los subrectángulos estan en $int(A)$ entonces $x\in int(A)$
(2) Si los subrectángulos estan en $int(A^c)$ entonces $x\in ext(A)$
En ambas situaciones $x\notin Fr(A)$ lo cual es una contradicción.
Por lo tanto $x\in R_i$ donde $R_i$ cumple la condición pedida.
$(2)\Rightarrow (3)$
Para probar que $Fr(A)$ es Jordan-Medible, se tiene que probar que ${\chi }_A$ es integrable sobre el rectángulo R ya que $Fr(a)\subset R$.
Como existen $R_1,\dots ,R_k$ rectángulos tales que:
$$\begin{array}{rl}(a)& Fr(A)\subset R_1\bigcap \cdots \bigcap R_k\\ (b)& \sum _{i=1}^{k}m(R_i)<ϵ\end{array}$$
Entonces
$$\bar{S}({\chi }_{Fr(A)},P)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{R_i\cap A\ne \mathrm{\varnothing }}{R_i\cap A^c\ne \mathrm{\varnothing }}}m(R_i)<ϵ$$
Y como
$$\underset{―}{S}({\chi }_{Fr(A)},P)\le \bar{S}({\chi }_{Fr(A)},P)<ϵ$$
entonces
$$0\le sup\{\underset{―}{S}({\chi }_{Fr(A)},P)\}<ϵ$$
$$0\le inf\{\bar{S}({\chi }_{Fr(A)},P)\}<ϵ$$
entonces
$${\int }_R{\chi }_{Fr(a)}={\bar{\int }}_R{\chi }_{Fr(A)}={\underset{―}{\int }}_R{\chi }_{Fr(A)}=0$$
$(3)\Rightarrow (1)$
Como $Fr(A)$ es Jordan-Medible y $J(Fr(A))=0$, existe una partición P tal que $Fr(A)\cap R_i\ne \mathrm{\varnothing }$ entonces
$$\bar{S}({\chi }_{Fr(A)})=\sum _{R_i\cap Fr(A)\ne \mathrm{\varnothing }}m(R_i)<ϵ$$
Por lo tanto
$$\bar{S}({\chi }_{Fr(A)})-\underset{―}{S}({\chi }_{Fr(A)})=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{R_i\cup A\ne \mathrm{\varnothing }}{R_i\cup A^c\ne \mathrm{\varnothing }}}m(R_i)\le \sum _{R_i\cup Fr(A)\ne \mathrm{\varnothing }}m(R_i)<ϵ$$
por lo tanto ${\chi }_A$ es integrable sobre R y en consecuencia A es un conjunto Jordan-Medible.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

$Teorema$
Sea $f:R\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ acotada sobre el rectángulo R. Si el conjunto de discontinuidades de f en R $(D_{f,R})$ es un conjunto Jordan-Medible y de Medida cero entonces f es integrable sobre R.
$Demostración$
Sea $M>0$ tal que $|f(\hat{x})|\le M$ para todo $\hat{x}\in R$.
Sea $ϵ>0$. Dado que $J(D_{f,R})=0$ sabemos que existe una partición P de R tal que
$$\bar{S}({\chi }_{D_{f,R}},P)<\frac{ϵ}{4M}$$
Si $R_1,\dots ,R_l$ son los subrectángulos de R inducidos por la partición P que tienen la propiedad de que $R_i\cap D_{f,R}\ne \mathrm{\varnothing }(i=1,2,\dots ,l)$, tenemos entonces que
$$\sum _{i=1}^{l}m(R_i)<\frac{ϵ}{4M}$$
Si $R_{\ell +1},\dots ,R_k$ son el resto de los subrectángulos de R inducidos por P, sabemos que f es continua en cada uno de ellos por tanto f es integrable sobre cada $R_i(i=\ell +1,\dots ,k)$. Para cada uno de estos subrectángulos podemos encontrar una partición $P^{(i)}$ tal que
$$\bar{S}(f,P^{(i)})-\underset{―}{S}(f,P^{(i)})<\frac{ϵ}{2(k-\ell )}$$
Para cada $i=\ell +1,\dots ,k$. Cada una de estas particiones $P^{(i)}$ la extendemos a todo el rectángulo R y junto con la partición inicial P, formamos una nueva partición del rectángulo R a la que llamaremos Q.
si los subrectángulos inducidos por Q los denotamos $R_{j,i}^{‘}$, en donde $(i=1,\dots ,k)$ y $(j=1,..k_i)$, entonces
$$R_i=\bigcup _{j=1}^{k_i}{R}_{j,i}^{\prime }$$
Observe que para $i=\ell +1,\dots ,k$ los $R_{j,i}^{\prime }$ $(j=1,\dots ,k_i)$ son subrectángulo de $R_i$ inducidos por alguna partición $Q^{(i)}$ que refina a $P^{(i)}$ de modo tal que
$$\begin{array}{rl}\bar{S}(f,Q^{(i)})-\underset{―}{S}(f,Q^i)& \le \bar{S}(f,P^{(i)})-\underset{―}{S}(f,P^i)\\ & <\frac{ϵ}{2(k-\ell )}\end{array}$$
Tenemos que
$$\begin{array}{rl}\bar{S}(f,Q)-\underset{―}{S}(f,Q)& =\sum _{i=1}^k(\sum _{j=1}^k(M_{j,i}^{\prime }-m_{j,i}^{\prime })\cdot m(R_{j,i}^{\prime })\\ & =\sum _{i=1}^k(\sum _{j=1}^k(M_{j,i}^{\prime }-m_{j,i}^{\prime })\cdot m(R_{j,k}^{\prime })+\sum _{i=\ell +1}^k(\sum _{j=1}^k(M_{j,i}^{\prime }-m_{j,i}^{\prime })\cdot m(R_{j,k}^{\prime })\\ & =\sum _{i=1}^{\ell }(\sum _{j=1}^{k_i}(M_{j,i}^{\prime }-m_{j,i}^{\prime })\cdot m(R_{j,k}^{\prime })+\sum _{i=\ell +1}^k(\bar{S}(f,Q^i)-\underset{―}{S}(f,Q^i))\\ & \le \sum _{i=1}^{\ell }(\sum _{j=1}^{k_i}2M\cdot m(R_{j,i}^{\prime }))+\sum _{i=\ell +1}^k(\bar{S}(f,P^i)-\underset{―}{S}(f,P^i))\\ & <2M\cdot \sum _{i=1}^{\ell }(\sum _{j=1}^{k_i}m(R_{j,i}^{\prime }))+\sum _{i=\ell +1}^k\frac{ϵ}{2(k-\ell )}\\ & =2M\cdot \sum _{i=1}^{\ell }m(R_i)+\frac{ϵ}{2}\\ & <2M\cdot \left(\frac{ϵ}{4M}\right)+\frac{ϵ}{2}\\ & =ϵ\end{array}$$
En donde, como era de esperarse, $M_{j,i}^{\prime }=sup\{f(\hat{x})|\hat{x}\in R_{j,i}^{\prime }\}$ y $m_{j,i}^{\prime }=inf\{f(\hat{x})|\hat{x}\in R_{j,i}^{\prime }\}$ para $i=1,\dots ,k$ y $j=1,\dots ,k_i$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$