Introducción

En esta sección estudiaremos los conjuntos convexos del espacio ${\mathbb{R}}^n$. Intuitivamente decimos que un conjunto convexo es aquel que dados dos puntos del conjunto, el segmento de linea que los une también pertenece a ese conjunto.

Definición. Dados $\bar{x},\bar{y}\in {\mathbb{R}}^n$, al segmento rectilineo que une dichos puntos lo denotamos
$$[\bar{x},\bar{y}]=\{t\bar{y}+(1-t)\bar{x}|t\in [0,1]\}$$

Definición. Sea $k\subset {\mathbb{R}}^n$. Se dice que $k$ es convexo si dados dos puntos de k, el segmento que los une está contenido en $k$ es decir
$$[\bar{x},\bar{y}]\subset k\mathrm{\forall }\bar{x},\bar{y}\in k$$

Ejemplo. Una bola abierta es un conjunto convexo
Demostración. Sea ${\bar{x}}_0\in {\mathbb{R}}^n$ y consideremos $\bar{x},\bar{y}\in B({\bar{x}}_0,ϵ)$ vamos a ver que $[\bar{x},\bar{y}]\in B({\bar{x}}_0ϵ)$ tenemos que

$$\bar{x}\in B({\bar{x}}_0,ϵ)\Rightarrow |\bar{x}-{\bar{x}}_0|<ϵ$$ y $$\bar{y}\in B({\bar{x}}_0,ϵ)\Rightarrow |\bar{y}-{\bar{x}}_0|<ϵ$$ por lo tanto

$$|[\bar{x},\bar{y}]-{\bar{x}}_0|=|t\bar{y}+(1-t)\bar{x}-{\bar{x}}_0|=|t(\bar{y}-{\bar{x}}_0)+(1-t)(\bar{x}-{\bar{x}}_0)|\le t|\bar{y}-{\bar{x}}_0|+(1-t)|\bar{x}-{\bar{x}}_0|<$$
$$tϵ+(1-t)ϵ=ϵ\therefore |[\bar{x},\bar{y}]-{\bar{x}}_0|<ϵ$$ y de esta manera $$[\bar{x},\bar{y}]\in B({\bar{x}}_0,ϵ)$$

Ejemplo. El cuadrado $A=[-1,1]\times [-1,1]$ es un conjunto convexo
Demostración. Sean $\bar{x}=(x_1,x_2)$, $\bar{y}=(y_1,y_2)$ $\in A$ y $t\in [0,1]$ vamos a ver que $t\bar{y}+(1-t)\bar{x}\in A$, tenemos que
$$t\bar{y}+(1-t)\bar{x}=(t{y}_1,t{y}_2)+((1-t)x_1,(1-t)x_2)=(t{y}_1+(1-t)x_1,t{y}_2+(1-t)x_2)$$
como $x_1,x_2,y_1,y_2$ son tal que
$$-1\le x_1\le 1$$

$$-1\le x_2\le 1$$

$$-1\le y_1\le 1$$

$$-1\le y_2\le 1$$
entonces

$$-1\le t(-1)+(1-t)(-1)\le t{y}_1+(1-t)x_1\le t(1)+(1-t)(1)\le 1$$
$$1\le t(-1)+(1-t)(-1)\le t{y}_2+(1-t)x_2\le t(1)+(1-t)(1)\le 1$$
por lo que
$$(t{y}_1+(1-t)x_1,t{y}_2+(1-t)x_2)\in [-1,1]\times [-1,1]$$
por lo tanto
$$t\bar{y}+(1-t)\bar{x}\in A$$

Teorema. Si $\overline{x_1},\bar{x}2,\dots ,\bar{x}n\in {\mathbb{R}}^n$ son conjuntos convexos tales que ${\displaystyle \bigcap \overline{x_i}\ne \mathrm{\varnothing }\mathrm{\forall }i=1,..,n}$ entonces ${\displaystyle \bigcap \overline{x_i}}$ es un conjunto convexo.

Demostración. Sean $\bar{x},\bar{y}\in {\displaystyle \bigcap \overline{x_i}}$ entonces para todo i se tiene que
$$\bar{x},\bar{y}\in \bar{x}i$$ como $\bar{x}i$ es convexo entonces $[\bar{x},\bar{y}]\in \bar{x}i$ para todo i, por lo tanto $$[\bar{x},\bar{y}]\subset {\displaystyle \bigcap \overline{xi}}$$ por lo tanto ${\displaystyle \bigcap \overline{x_i}}$ es convexo.

Teorema. Un conjunto convexo es conexo

Demostración. Dado un conjnuto X convexo, si X no fuera conexo entonces existirian A,B conjnutos abiertos separados tales que $X=A\bigcup B$ y $A\bigcap B=\mathrm{\varnothing }$ y si consideramos $\bar{x},\bar{y}\in X$ entonces el segmento $[\bar{x},\bar{y}]$ se puede parametrizar
como $$f(t)=t\bar{y}+(1-t)\bar{x}t\in [0,1]$$ y podríamos construir los abiertos $$\{t\in [0,1]|f(t)\in A\}$$ y $$\{t\in [0,1]|f(t)\in B\}$$
estos abiertos proporcionarían una disconexion para el segmento rectilineo $\underset{\circ }{▽}$ pues ya hemos probado que un segmento rectilineo es conexo, por lo tanto X es conexo.

Ejemplo. Un conjunto Conexo no es convexo, considere el conjunto
$$A={\mathbb{R}}^2-\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x\le 0,y=0\}$$
Vamos a mostrar que A es conexo pero no convexo\
Dado $(x,y)\in A$ tomamos tres casos\
Caso (1) y=0 y $x>0$\
Consideremos el segmento
$$[x,x_0]=[(x,x_0),(1,0)]$$
que esta dado por
$$(x+t(1-x),0)=((1-t)x+t,0)\in {\mathbb{R}}^2|t\in [0,1]$$
y como $(1-t)x+t>0$ para todo $t\in [0,1]$. Se tiene que esta contenido en A.\
Caso (2) $y>0$ y $x\in \mathbb{R}$. En este caso el segmento
$$[x,x_0]=[(x,x_0),(1,0)]$$
que esta dado por
$$(x+t(1-x),y-ty)=((1-t)x+t,(1-t)y)\in {\mathbb{R}}^2|t\in [0,1]$$
se tiene que
$$(1-t)y>0\mathrm{\forall }t\in [0,1)$$ para $t=1$ se tiene el punto $(1,0)=x_0$, entonces en este caso también dicho segmento esta contenido en A.\ Caso (3) $y<0$ y $x\in \mathbb{R}$. En este caso el segmento $$[x,x_0]=[(x,x_0),(1,0)]$$ que esta dado por $$(x+t(1-x),y-ty)=((1-t)x+t,(1-t)y)\in {\mathbb{R}}^2|t\in [0,1]$$ se tiene que $$(1-t)y<0\mathrm{\forall }t\in [0,1)$$
para $t=1$ se tiene el punto $(1,0)=x_0$, entonces en este caso también dicho segmento esta contenido en A.
Solo falta ver que el conjnuto A no es convexo

Si consideramos el punto $x=(-1,1)$ y el punto $y=(-1,-1)$ se tiene que $x,y\in A$ y sin embargo el punto
$$(-1,0)=x+\left(\frac{1}{2}\right)(y-x)\in [x,y]$$
pero no pertenece a A, es decir $[x,y]\cancel{\subset }A$

Más adelante

Traea Moral

1.-Determina si los siguientes conjuntos son convexos:

$A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2-y^2\le 1\}$

$B=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2||x|\le y\}$

2.-Demuestra o da un contraejemplo. La unión de dos conjuntos convexos siempre es convexos.

Sea $S=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|2x+3y\le 6\}$ el conjunto de soluciones de la desigualdad lineal:

3.- Demuestra que $S$ es convexo.

4.- Grafica $S$ y verifica geométricamente su convexidad.

5.-Describe un conjunto en $\mathbb{R}^2 que sea conexo pero no convexo.