$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En la entrada Funciones continuas en espacios métricos vimos que una función $f: X \to \mathbb{R}\, $ con $X$ espacio métrico, es continua en un punto $x_0 \in X$ si dado $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $x$ está en la bola abierta $B(x_0, \delta)$ entonces $f(x) \in B(f(x_0), \varepsilon).$

Nota que esto significa que existe una bola abierta con centro $x_0$ que cumple que cualquiera de sus elementos $x$ satisface las siguientes desigualdades:

\begin{align}
f(x_0) \, – \, \varepsilon < &f(x). \\
&f(x) < f(x_0)+ \varepsilon.
\end{align}

Si bien, las funciones que no son continuas no cumplen ambas desigualdades, es posible concluir propiedades de las que sí hacen valer alguna de las dos.

Si se satisface (1), entonces $f(x_0) \, – \, \varepsilon < f(x).$ Como esto ocurre para cualquier $\varepsilon >0$ podemos hacer $f(x_0) \, – \, \varepsilon = c \,$ y así $c < f(x_0).$

Si se satisface (2), entonces $f(x) < f(x_0)+ \varepsilon.$ Como esto ocurre para cualquier $\varepsilon >0$ podemos hacer $f(x_0)+ \varepsilon = c \,$ y así $c > f(x_0).$

Este tipo de funciones se llaman «semicontinuas». Si permitimos que la función tome valores infinitos, las definimos como sigue:

Definición. Función semicontinua inferiormente. Sea $f:X \to (-\infty, \infty]$ una función, (nota que admite el valor $\infty$). Decimos que $f$ es semicontinua inferiormente en el punto $x_0 \in X$ si para toda $c<f(x_0)$ existe $\delta>0$ tal que si $d_X(x,x_0)< \delta$ entonces $c<f(x).$ Diremos que $f$ es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de $X.$

Diremos que $f$ es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de $X.$

Definición. Función semicontinua superiormente. Sea $f:X \to [-\infty, \infty)$ una función, (nota que admite el valor $-\infty$). Decimos que $f$ es semicontinua superiormente en el punto $x_0 \in X$ si para toda $c>f(x_0)$ existe $\delta>0$ tal que si $d_X(x,x_0)< \delta$ entonces $f(x)<c.$ Diremos que $f$ es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de $X.$

Diremos que $f$ es semicontinua superiormente si lo es en todo punto de $X.$

Ejemplos:

$\textcolor{orange}{\text{Queda como ejercicio al lector verificar que las funciones mencionadas son semicontinuas.}}$

Definición. Límite superior y límite inferior de $f$ en un punto $x_0.$ Considera $f:X \to \mathbb{R}.\, $ Sea $x_0 \in X.$ Pensemos en todos los valores que toma la función $f$ en puntos «muy cerquita» de $x_0 \,$ identificando así que es «lo más» que podría valer. Nos referimos al valor de
$$\overline{f}(x_0)= \underset{\varepsilon \to 0}{lim}\, \left[ \underset{x \in B(x_0, \varepsilon)}{sup} \, f(x) \right]$$
que podría ser finito o infinito y recibe el nombre de límite superior de $f$ en $x_0.$

Análogamente, si pensamos en todos los valores que toma la función $f$ en puntos «muy cerquita» de $x_0 \,$ identificando así que es «lo menos» que podría valer. Nos referimos al valor de
$$\underline{f}(x_0)= \underset{\varepsilon \to 0}{lim}\, \left[ \underset{x \in B(x_0, \varepsilon)}{inf} \, f(x) \right]$$
que podría ser finito o infinito y recibe el nombre de límite inferior de $f$ en $x_0.$

Definición. Oscilación de la función $f$ en el punto $x_0.$ Sean $f:X \to \mathbb{R} \,$ y $\, x_0 \in X.$ La diferencia

$$\omega f(x_0) = \overline{f}(x_0) \, – \, \underline{f}(x_0)$$

si es que tiene sentido, es decir si al menos uno de los números $\overline{f}(x_0)$ o bien $\underline{f}(x_0)$ es finito, se llama oscilación de la función $f$ en el punto $x_0.$

Ejemplo

Proposición: Sean $f:X \to \mathbb{R} \,$ y $\, x_0 \in X.$ Entonces $f$ es continua en $x_0 \,$ si y solo si $\omega f(x_0) = 0,$ es decir
$$-\infty < \underline{f}(x_0) \,= \, \overline{f}(x_0) < \infty.$$

$\textcolor{orange}{\text{La demostración queda como ejercicio al lector.}}$

Nota que para cualquier función $f:X \to \mathbb{R} \,$ la función $\overline{f}(x)$ es semicontinua superiormente mientras que la función $\underline{f}(x)$ es semicontinua inferiormente. $\textcolor{orange}{\text{La demostración de estos hechos también se deja como ejercicio.}}$

Antes de continuar recordemos la entrada Espacios métricos de caminos. Vimos que un camino es una función continua $\gamma: [a,b] \to X$ con $X$ un espacio topológico. En algunos libros, como el de Mónica Clapp, esta definición se indica como trayectoria.

Si $X$ es un espacio métrico entonces a cada trayectoria $\gamma:[a,b] \to X$ se le puede asociar el valor dado por

$$L(\gamma) : = sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} d(\gamma(t_{k-1}), \gamma(t_k)) : a=t_0 \leq t_1 \leq …\leq t_n = b, \, n \in \mathbb{N} \right\}$$

lo cual define una función $L:(\mathcal{C}^0[a,b],X) \to (-\infty, \infty]$ que satisface los axiomas de una longitud de caminos.

Otra cosa que podemos observar de $L$ es que no es continua cuando $X = \mathbb{R}^2.$ Como ejemplo un ejercicio al final de esta sección. La cuestión es que dada una trayectoria $\gamma$ puede haber trayectorias con longitud muy grande pese a ser cercanas a $\gamma$ en la métrica uniforme. No obstante, puede asegurarse que si las trayectorias son suficientemente cercanas a $\gamma$ entonces su longitud no podrá ser arbitrariamente menor que la de $\gamma$. En otras palabras:

La función $L$ es semicontinua inferiormente en $(\mathcal{C}^0[a,b],X)$

Proposición: Sean $\gamma \in (\mathcal{C}^0[a,b],X)\,$ y $c < L(\gamma).$ Entonces existe $\delta>0$ tal que si $d_\infty(\gamma,\sigma) < \delta$ se satisface
$$c < L(\sigma).$$
Demostración:
Tomemos $d_0 >0$ tal que $c+ \delta_0 < L(\gamma).$ Por definición de $L,$ existen $a=t_0, \leq t_1 \leq … \leq t_n = b\,$ en $\mathbb{R}$ tales que

$$c + \delta_0 < \sum_{k=1}^{n} d(\gamma(t_{k-1}), \gamma(t_k)).$$

Sea $\delta := \frac{\delta_0}{2m}. \,$ Si $\delta_\infty (\gamma, \sigma,) < \delta$ se sigue

\begin{align*}
d(\gamma(t_{k-1}), \gamma(t_k)) &\leq d(\gamma(t_{k-1}), \sigma(t_{k-1})) + d(\sigma(t_{k-1}),\gamma(t_k)) \\
&\leq d(\gamma(t_{k-1}), \sigma(t_{k-1})) + d(\sigma(t_{k-1}),\sigma (t_k)) + d(\sigma(t_k),\gamma(t_k)) \\
< \delta + d(\sigma(t_{k-1}),\sigma (t_k)) + \delta \\
= d(\sigma(t_{k-1}),\sigma (t_k)) + 2 \delta\\
= d(\sigma(t_{k-1}),\sigma (t_k)) + \frac{\delta_0}{m}.
\end{align*}

Si sumamos las desigualdades para todo $k = 1,…,n$ tenemos lo siguiente

\begin{align}
c + \delta_0 &< \sum_{k=1}^{n} d(\gamma(t_{k-1}), \gamma(t_k))\\
&< \sum_{k=1}^{n} d(\sigma(t_{k-1}), \sigma(t_k)) + \delta_0 \\
&\leq L(\sigma) + \delta_0.
\end{align}

De modo que $\, c< L(\sigma)$ que es lo que queríamos demostrar.

En la entrada Funciones en espacios topológicos compactos vimos que toda función continua $\, f:A \to \mathbb{R} \,$ en un espacio compacto $A$ alcanza su mínimo y máximo en $A.$ Los resultados siguientes muestran la generalización al caso de funciones semicontinuas.

Proposición: Sea $f:A \to \mathbb{R} \,$ una función semicontinua inferiormente sobre un espacio métrico compacto $A, \, $ entonces la imagen de $f$ está acotada inferiormente.

Demostración:
Supón por el contrario que $\underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x) = – \infty.$ Entonces existe una sucesión $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \,$ de elementos en $A$ tal que para cada $n \in \mathbb{N}, \, f(x_n) < -n.$ Puesto que el espacio $A$ es compacto, el subconjunto infinito $\{x_n: n \in \mathbb{N}\} \,$ tiene al menos un punto de acumulación $x_0, \,$ en $A. \,$(Recuerda el problema 3 de la tarea moral de la entrada Compacidad en espacios métricos). Ya que $f$ es semicontinua inferiormente en $x_0, \,$ existe $\delta >0$ tal que para cada $x \in B(x_0, \delta)$ se cumple que $f(x) > f(x_0) \, – \, 1.$ Observa que $B(x_0, \delta)$ contiene a lo más una cantidad finita de puntos de la sucesión, pero esto contradice que $x_0$ sea punto de acumulación de $\{x_n: n \in \mathbb{N}\} \,$ por lo tanto la imagen de $f$ está acotada inferiormente.

Se puede probar el resultado análogo para una función semicontinua superiormente. $\textcolor{orange}{\text{Queda como ejercicio.}}$

Proposición: Sea $f:A \to \mathbb{R} \,$ una función semicontinua inferiormente sobre un espacio métrico compacto $A, \, $ entonces $f$ alcanza su mínimo en $A.$

Demostración:
Como $f$ es semicontinua inferiormente y por el resultado anterior, $f(A)$ tiene ínfimo en $\mathbb{R},$ podemos construir una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de elementos en $A$ tal que para cada $n \in \mathbb{N}, \, f(x_n) \leq \underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x) \, + \, \frac{1}{n}.$

Como $A$ es compacto, el conjunto $\{x_n: n \in \mathbb{N}\} \,$ tiene un punto de acumulación $x_0 \in A.$

Vamos a probar que $f$ alcanza su mínimo en $x_0,$ es decir que $f(x_0) = \underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x).$
Supón por el contrario que $f(x_0) > \underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x).$ Entonces existe $\varepsilon>0$ tal que $\underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x) + \varepsilon \leq f(x_0).$ Como $f$ es semicontinua inferiormente en $x_0,$ existe $\delta>0$ tal que para cada $x \in B(x_0, \delta), \, f(x > \underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x) + \varepsilon).$ Observa que $B(x_0, \delta)$ contiene a lo más una cantidad finita de puntos de la sucesión, pero esto contradice que $x_0$ sea punto de acumulación de $\{x_n: n \in \mathbb{N}\} \,$ por lo tanto $f(x_0) = \underset{x \in A}{\text{ínf}} \, f(x)$ y así, $f$ alcanza su mínimo en $A.$

Se puede probar el resultado análogo para una función semicontinua superiormente. $\textcolor{orange}{\text{Queda como ejercicio.}}$

Más adelante…

Conoceremos otro «tipo de continuidad» en las funciones. Esta vez lo haremos con una colección de ellas cuando la misma bola de radio $\delta$ y centro en $x_0$ asegura la cercanía con los puntos que cada función asigna a $x_0.$ Este concepto es equicontinuidad y se verá formalmente en la siguiente entrada.

Tarea moral

1. Demuestra los resultados que se fueron indicando a lo largo de esta entrada.
2. a) Prueba que la sucesión de trayectorias $\gamma_k: [0,1] \to \mathbb{R}^2,$
   $$\gamma_k = \left(x, \frac{1}{\sqrt{k}}sen(\pi k x) \right),$$
   converge a la trayectoria $\gamma(x) = (x,0)$ en el conjunto de funciones acotadas de $[0,1]$ en $\mathbb{R}^2$
   b) Prueba que $L(\gamma_k) \to \infty$
   c) Concluye que $L$ no es continua en $\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R}).$

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Para probar el teorema de Arzelá-Ascoli que veremos más adelante, usaremos familias de funciones que tienen la propiedad de enviar puntos muy cercanos del dominio a puntos muy cercanos en el contradominio. Suena a funciones continuas, ¿verdad? No obstante, en esta ocasión será el mismo valor de delta el que haga válida la cercanía para cualquier función.

Ejemplo. Considera el conjunto de funciones $\{f_k: f_k \in \mathcal{C}^0([-1,1], \mathbb{R}), \, k \in \mathbb{N}\}, \,$ donde

\begin{equation*}
f_k(x) = \begin{cases}
-1 \, &\text{ si $x \in [-1, – \frac{1}{k}]$},\\
kx \, &\text{ si $x \in [-\frac{1}{k}, \frac{1}{k}]$}, \\
1 \, &\text{ si $x \in [\frac{1}{k},1]$}.
\end{cases}
\end{equation*}

Dejaremos como ejercicio demostrar que para cada $\delta >0$ (y menor que $1$) existe una función $f_k$ tal que $|f_k(x) \, – \, f_k(\frac{\delta}{2})|> \varepsilon = \frac{1}{2}$ de modo que no es posible encontrar un valor de $\delta$ que funcione para todas las funciones del conjunto.

La propiedad que estamos describiendo se conoce como equicontinuidad. Presentamos la definición de:
Simon, B., Real Analysis A Comprehensive Course in Analysis, Part 1,. USA: American Mathematical Society, 2015, pág 70.

Definición. Familia uniformemente equicontinua. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos y $\mathcal{H} \,$ una familia de funciones de $X$ en $Y.$ Diremos que $\mathcal{H} \,$ es uniformemente equicontinua si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tales que para cualesquiera $x_1, x_2 \in X$ que cumplen que $d_X(x_1,x_2)< \delta\, $ entonces para cualquier $f \in \mathcal{H}, \,$ $d_Y(f(x_1),f(x_2)) < \varepsilon.$

En particular, si $Y$ es el espacio de los complejos con la métrica euclidiana tenemos la definición de:
Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3a ed.). México: McGraw–Hill, 1980, pág 167.

Definición. Familia equicontinua de funciones complejas. Sea $\mathcal{H}$ una familia de funciones complejas con dominio en un espacio métrico $(X,d_X).$ Diremos que $\mathcal{H} \,$ es equicontinua en $X$ si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tales que para cualesquiera $x_1, x_2 \in X$ que cumplen que $d_X(x_1,x_2)< \delta\, $ entonces para cualquier $f \in \mathcal{H}, \,$ $\norm{f(x_1) \, – \, f(x_2)} < \varepsilon.$

Nota que toda función de una familia equicontinua es uniformemente continua.

Proposición. Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico compacto y $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de funciones en $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{C})$ (continuas) tal que la sucesión converge uniformemente en $X.$ Entonces $\{ f_n \} _{n \in \mathbb{N} \,}$ (el conjunto de las funciones de la sucesión) es uniformemente equicontinua sobre $X.$

Demostración:
Sea $\varepsilon >0$. Como la sucesión de funciones $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge uniformemente en $X,$ de acuerdo con la entrada Convergencia puntual y convergencia uniforme, como $\mathbb{C}$ es completo, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ es uniformemente de Cauchy, por lo tanto existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cada $n \geq N$ se cumple que

\begin{align}
\norm{f_n \, – \, f_N} _\infty < \frac{\varepsilon}{3}.
\end{align}

En la entrada Continuidad uniforme vimos que cada función continua con dominio compacto es uniformemente continua. En particular, para cada una de las primeras funciones de la sucesión, $f_1, \, f_2, …, f_N,$ existe su correspondiente $\delta_i, \, i=1,…,N$ tal que para cada $i = 1,…,N, \,$ siempre que $d_X(x_1,x_2) < \delta_i,$ tenemos:

\begin{align}
\norm{f_i(x_1) \, – \, f_i(x_2)} < \frac{\varepsilon}{3}.
\end{align}

Si hacemos
$$\delta < \text{mín} \{d_i : i=1,…,N\}$$
se sigue cumpliendo (2) para $i = 1,…,N$

mientras que si $n>N$ se concluye de la desigualdad del triángulo, de (1) y de (2) que

\begin{align*}
\norm{f_n(x_1) \, – \, f_n(x_2)} &\leq \norm{f_n(x_1) \, – \, f_N(x_1)} + \norm{f_N(x_1) \, – \, f_N(x_2)} + \norm{f_N(x_2) \, – \, f_n(x_2)} \\
&\leq \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} \\
&= \varepsilon.
\end{align*}

Por lo tanto el conjunto de funciones en $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es equicontinuo.

La definición a considerar en el teorema de Arzelá-Ascoli

En la sección Teorema de Arzelá-Ascoli link nuestra familia de funciones tendrá un dominio compacto y consideraremos la definición de equicontinuidad que aparece en
Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2015, pág 125.
Nota que la propiedad se fija en un punto:

Definición. Familia equicontinua en un punto: Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico compacto y $(Y,d_Y)$ un espacio métrico. Sea $\mathcal{H} \subset \mathcal{C^0}(X,Y)$ es decir, $\mathcal{H}$ es una familia de funciones continuas con dominio en $X$ e imagen en $Y$. Diremos que $\mathcal{H}$ es equicontinuo en el punto $x_0 \in X$ si para todo $\varepsilon>0,$ existe $\delta>0$ tal que para toda función $f$ en $\mathcal{H}$ se cumple que si $d_X(x,x_0)<\delta$ entonces $d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon$.

Esta definición se relaciona con la primera en el siguiente sentido:

Proposición: Si $\mathcal{H}$ es uniformemente equicontinua entonces es equicontinua en cada punto de $X.$

Demostración:
Sea $x_0 \in X$ y $\varepsilon > 0. \,$ Como $\mathcal{H}$ es uniformemente equicontinua, existe $\delta >0$ tal que para cada $x_1, x_2 \in X$ si $d_X(x_1,x_2)< \delta$ entonces $d_Y(f(x_1),f(x_2))< \varepsilon$ para cualquier $f \in \mathcal{H}.$ En particular para cada $x \in X,$ si $d_X(x,x_0)< \delta$ entonces $d_Y(f(x),f(x_0))< \varepsilon$ para cualquier $f \in \mathcal{H} \,$ lo cual prueba que la familia de funciones es equicontinua en $x_0$.

El recíproco no es cierto. Ser equicontinua puntualmente no implica ser uniformemente equicontinua, la demostración queda como ejercicio.

Más adelante…

Anteriormente vimos algunos resultados de la compacidad en los conjuntos, en la siguiente sección mostraremos una herramienta para identificarla en espacios de funciones, presentando así, los últimos conceptos necesarios para conocer el teorema de Arzelá-Ascoli.

Tarea moral

1. Resuelve los dos ejemplos de esta sección.
2. Muestra un ejemplo de una familia equicontinua puntualmente en todos los puntos del dominio pero que no sea uniformemente equicontinua.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota se realizarán demostraciones de las propiedades de las operaciones que cumplen los números naturales. El objetivo de esta nota es hacer uso del quinto axioma de Peano, que estudiamos en este trabajo a partir de la construcción de los números naturales, para mostrar que estas operaciones cumplen con los principios que hemos estado utilizando desde nuestra educación inicial: existe un elemento neutro, las operaciones son asociativas, conmutativas, distributivas, entre otras.

Dado que el argumento fundamental en el que se basan las siguientes demostraciones se refiere al quinto axioma de Peano o principio de inducción, ver la nota 16, recordemos a qué se refiere. Este axioma nos dice que si un subconjunto $A$ de números naturales cumple que $0 \in A$ y que cada vez que $n \in A$, también $n^+ \in A$, entonces podemos afirmar que $A = \mathbb{N}$.

Dado que queremos demostrar que todos los naturales cumplen con alguna propiedad $P$, vamos a considerar el subconjunto $A \subseteq \mathbb{N}$ dado por $A = \set{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ cumple la propiedad } P}$. Usaremos el quinto axioma de Peano o principio de inducción para demostrar que $A$ es el conjunto de números naturales, probando así que todos los naturales cumplen la propiedad $P$.

Estas pruebas entonces tienen dos momentos:

1. Base de inducción: En este paso verificaremos que $0 \in A$, es decir, que $0$ cumple la propiedad $P$ que caracteriza a los elementos de $A$.
2. Paso inductivo: En este paso supondremos que $n \in A$, es decir, que $n$ cumple la propiedad $P$ que caracteriza a los elementos de $A$ (a esta hipótesis se le llama la hipótesis de inducción (HI)). A partir de ello demostraremos que el sucesor de $n$, que es $n^+$ o $n+1$, también satisface la propiedad $P$ que caracteriza a los elementos de $A$, es decir, que $n+1 \in A$.

Habiendo realizado estos dos pasos podemos afirmar, gracias al quinto axioma de Peano, que $A = \mathbb{N}$ y, por lo tanto, todos los números naturales satisfacen la propiedad $P$.

Recordemos la definición de las dos operaciones básicas de los números naturales: la suma y la multiplicación, ver la nota 16.

Empecemos recordando la definición de la suma. Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n+0=n$ y $n+m^+=(n+m)^+$ $\forall m\in \mathbb N$.

Definición. Suma en $\mathbb N$

Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n+0=n$

$n+m^+=(n+m)^+$ $\forall m\in \mathbb N$

Propiedades de la suma

Sean $n,m,l\in \mathbb N.$

1. $0+n=n$. Neutro aditivo.
2. $(n+m)+l=n+(m+l)$. Asociatividad.
3. Si $n+l=m+l$, entonces $n=m$. Cancelación.
4. $n+m=m+n$. Conmutatividad.
5. Si $n\neq 0$ o $m\neq 0$, entonces $n+m\neq 0$

Demostración.

Demostración de la propiedad 1. El neutro aditivo.

Veamos que para cualquier natural $n$ se cumple que $0+n=0$.

Sea $A = \set{n \in \mathbb{N} \mid 0+n=n}$ y veamos que $A = \mathbb{N}$.

Base de inducción.

Observa que $0\in A$ pues por definición de la suma $0+0=0.$

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $m\in A$, es decir que $0+m=m.$

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $m^+\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $0+m^+=m^+.$

\[
\begin{aligned}
0 + m^+ &= (0 + m)^+ & \text{(Por definición de la suma)} \\
&= m^+ & \text{(Por hipótesis de inducción)}
\end{aligned}
\]

Entonces $m^+ \in A$.

Así, por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$ y, por lo tanto, $\forall n \in \mathbb{N}, \, 0 + n = n$.

Observación 1. Notemos que, por la definición de la suma, $n + 0 = n$, y nosotros acabamos de mostrar que $0 + n = n$; por lo tanto, $n + 0 = 0 + n=n$, siendo así el cero el neutro de la suma en los naturales.

Demostración de la propiedad 2. Ley Asociativa de la suma.

Veamos que para cualesquiera $n,m,l\in \mathbb N$, se cumple que $(n+m)+l=n+(m+l)$.

Sean $n$ y $m$ cualesquiera naturales, considera el siguiente conjunto:

$A = \set{l \in \mathbb{N} \mid (n+m)+l=n+(m+l)}.$

Veamos que $A = \mathbb{N}$.

Base de inducción.

Observa que $0\in A$ pues por definición de la suma $(n+m)+0=n+m=n+(m+0)$.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $l\in A$, es decir que $(n+m)+l=n+(m+l)$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $l^+\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $(n+m)+l^+=n+(m+l^+)$.

\[
\begin{aligned}
(n + m) + l^+ &= ((n + m) + l)^+ & \text{(Por definición de suma)} \\
&= (n + (m + l))^+ & \text{(Por hipótesis de inducción)} \\
&= n + (m + l)^+ & \text{(Por definición de la suma)} \\
&= n + (m + l^+) & \text{(Por definición de la suma)}
\end{aligned}
\]

De esta manera, $l^+ \in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley asociativa.

Demostración de la propiedad 3. Ley de cancelación de la suma.

Veamos que para cualesquiera $n,m,l \in \mathbb{N}$, si $n+l=m+l$, entonces $n=m$.

Sea $A =\set { l \in \mathbb{N} \mid n+l=m+l \Longrightarrow n=m }$ y veamos que $A = \mathbb{N}$.

Base de inducción.

Observa que $0 \in A$, pues si $n+0 = m+0$, por definición de la suma, $n+0 = n$ y $m+0 = m$ teniendo entonces que $n = m$.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $l \in A$, es decir, que si $n+l = m+l$, entonces $n = m$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $l^+\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $n+ l^+ = m + l^+$ implica que $n = m$.

\[
\begin{aligned}
n + l^+ &= m + l^+ & \text{(Partimos de esta hipótesis)} \\
(n+ l)^+ &= (m + l)^+ & \text{(Por definición de la suma)}\\
n + l &= m + l & \text{(Por el axioma 4 de Peano)}\\
n &= m & \text{(Por hipótesis de inducción)}
\end{aligned}
\]

De esta manera, $l^+ \in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de cancelación de la suma.

Observación: La demostración de la propiedad 4 requerirá de un lema que se muestra a continuación, cuya demostración se realiza a su vez por inducción.

Lema: Para cualesquiera $m,n \in \mathbb{N}$ se tiene que $m^+ + n = (m + n)^+$.

Demostración:

Sea $m\in\mathbb{N}$. Consideremos

$S = \set{ n \in \mathbb{N} \mid m^+ + n = (m + n)^+ }$ y veamos que $S=\mathbb{N}.$

Veamos que $S=\mathbb{N}$.

Base de inducción.

Observa que $0 \in S$, pues:

\[
m^+ + 0 = m^+ = (m + 0)^+.
\]

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $n \in S$, es decir, que $m^+ + n = (m + n)^+$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $n^+\in S$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $m^+ + n^+ = (m + n^+)^+$.

\[
\begin{aligned}
m^+ + n^+ &= (m^+ + n)^+ & \text{(Por definición de la suma)} \\
&= ((m + n)^+)^+ & \text{(Por hipótesis de inducción)} \\
&= (m + n^+)^+ & \text{(Por definición de la suma)}.
\end{aligned}
\]

De esta manera, $n^+ \in S$.

Por el quinto axioma de Peano, $S = \mathbb{N}$.

En consecuencia, $m^+ + n = (m + n)^+$ para cualesquiera $m,n \in \mathbb{N}$.

Observa que, por definición, $(m + n)^+ = m + n^+$, y de acuerdo a lo que acabamos de probar $m^+ + n = (m + n)^+ = m + n^+$.

Demostración de la propiedad 4. Ley de conmutatividad de la suma.

Veamos que para cualesquiera naturales $n$ y $m$, $m+n=n+m$

Sea $m\in\mathbb{N}$. Consideremos

$A = \set{n \in \mathbb{N} \mid m+n=n+m}$ y veamos que $A = \mathbb{N}$.

Base de inducción.

Observa que $0\in A$ se da gracias a la propiedad 1, pues $m+0=m=0+m$.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $n\in A$, es decir que $m+n=n+m.$

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $n^+\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $m+n^+=n^+ +m.$

\[
\begin{aligned}
m+n^+ &= (m + n)^+ & \text{(Por definición de la suma)} \\
&= (n+m)^+ & \text{(Por hipótesis de inducción)}\\
&= n^+ +m & \text{(Por el lema)}
\end{aligned}
\]

De esta manera, $n^+ \in A$

Por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de la conmutatividad de la suma.

Las pruebas para las propiedades de la multiplicación también se harán por inducción.

Empecemos recordando la definición de la multiplicación en $\mathbb N$.

Definición. Producto en $\mathbb N$

Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n\cdot 0=0$

$n\cdot m^+=n \cdot m+n$ $\forall m\in\mathbb N.$

Recordemos también que podemos escribir $nm$ en lugar de $n\cdot m$.

Propiedades del producto

Sean $n,m,l\in \mathbb N.$

1. $1\cdot n=n$. Neutro multiplicativo.
2. $(n+m) \cdot l=n\cdot l+m\cdot l$. Distributividad.
3. $n \cdot m=m\cdot n$. Conmutatividad.
4. $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot (m\cdot l)$. Asociatividad.
5. Si $n\neq 0$ y $m\neq 0$, entonces $n\cdot m\neq 0$
6. Si $l\neq 0$ y $n\cdot l=m\cdot l$ entonces $n=m$. Cancelación.

Demostración de la propiedad 1. Neutro multiplicativo.

Veamos que para cualquier natural $n$ se cumple que $1\cdot n=n$.

Sea $A = \set{n \in \mathbb{N} \mid 1\cdot n=n}$ y veamos que $A = \mathbb{N}$.

Base de inducción.

$0\in A$, pues por definición del producto $1\cdot 0=0.$

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $m\in A$, es decir que $1\cdot m=m$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $m^+\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $1\cdot m^+=m^+.$

\[
\begin{aligned}
1\cdot m^+ &= 1\cdot m+1 & \text{(Por definición del producto)} \\
&= m+1 & \text{(Por hipótesis de inducción)} \\
&= m^+ & \text{(Dado que $m+1=m^+$)}
\end{aligned}
\]

Entonces $m^+ \in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$, lo que implica el $1$ es el neutro multiplicativo.

Observación 2. Notemos que dado $n\in \mathbb{N}$ tenemos que $$n\cdot 1=n\cdot 0^+=n\cdot 0 +n=0+n=n,$$ y junto con lo anterior podemos afirmar que $1\cdot n=n=n\cdot 1$ para toda $n\in \mathbb{N}$. Así, $1$ es el neutro multiplicativo en los naturales.

Demostración de la propiedad 2. Ley distributiva del producto.

Veamos que para cualesquiera naturales $l,n,m$ se cumple que $(n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l$. Sean $n,m\in \mathbb{N}$ y consideremos el conjunto

$A = \set{l \in \mathbb{N} \mid (n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l}$.

Veamos que $A = \mathbb{N}$.

Base de inducción.

$0\in A$ pues:

\[
\begin{aligned}
(n+m)\cdot 0 &= 0 & \text{(Por definición del producto)} \\
&= n\cdot 0 & \text{(Por definición del producto)} \\
&= n\cdot 0+0 & \text{(Por definición de la suma)} \\
&= n\cdot 0+m\cdot 0 & \text{(Por definición del producto)}
\end{aligned}
\]

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $l\in A$, es decir que $(n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l$

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $l^+\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $(n+m)\cdot l^+=n\cdot l^+ + m\cdot l^+$

\[
\begin{aligned}
(n+m)\cdot l^+ &= (n+m)\cdot l + (n+m) & \text{(Por definición del producto)} \\
&= n\cdot l+m\cdot l +n+m & \text{(Por hipótesis de inducción)} \\
&= (n\cdot l+n)+(m\cdot l +m) & \text{(Por conmutatividad y asociatividad de la suma)}\\
&= n\cdot l^+ + m\cdot l^+ & \text{(Por definición del producto)}
\end{aligned}
\]

Entonces $l^+ \in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de distributividad del producto.

Demostración de la propiedad 3. Conmutatividad del producto.

Se deja de Tarea Moral.

Demostración de la propiedad 4. Asociatividad del producto.

Veamos que para cualesquiera naturales $l,n,m$ se cumple que $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot( m\cdot l)$. Para ello sean $n,m\in \mathbb{N}$ y consideremos el conjunto

$A = \set{l \in \mathbb{N} \mid (n\cdot m)\cdot l=n\cdot( m\cdot l)}.$

Veamos que $A = \mathbb{N}$.

Base de inducción.

$0\in A$ pues:

\[
\begin{aligned}
(n\cdot m)\cdot 0 &= 0 & \text{(Por definición del producto)} \\
&= n\cdot 0 & \text{(Por definición del producto)} \\
&= n\cdot (m\cdot 0) & \text{(Por definición del producto)}
\end{aligned}
\]

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $l\in A$, es decir que $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot( m\cdot l)$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $l^+\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $(n\cdot m)\cdot l^+=n\cdot( m\cdot l^+)$

\[
\begin{aligned}
(n\cdot m)\cdot l^+ &= (n\cdot m)\cdot l + (n\cdot m) & \text{(Por definición del producto)} \\
&= n\cdot (m\cdot l) + n\cdot m & \text{(Por hipótesis de inducción)} \\
&= (m\cdot l)\cdot n + m\cdot n & \text{(Por conmutatividad del producto)}\\
&= (m\cdot l + m)\cdot n & \text{(Por distributividad producto)} \\
&= (m\cdot l^+)\cdot n & \text{(Por definición del producto)} \\
&= n\cdot (m\cdot l^+) & \text{(Por conmutatividad del producto)}
\end{aligned}
\]

entonces $l^+ \in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de asociativa del producto.

Demostración de la propiedad 5.

Se deja de Tarea Moral.

Demostración de la propiedad 6. Cancelación del producto.

Veamos que para cualesquiera naturales $l,n,m$ se cumple que si $l\neq 0$, entonces, $n\cdot l=m\cdot l$ implica que $n=m.$ Dado que trabajaremos con $l\neq 0$ sabemos por un ejercicio en la nota 18 que $l$ es el sucesor de algún natural, por lo que $l=k^+$ para alguna $k$ natural. Así, el enunciado a probar se puede reescribir como: para cualesquiera naturales $k,n,m$ se cumple que $n\cdot k^+=m\cdot k^+$ implica que $n=m.$ Sean $n,m\in \mathbb{N}$ y consideremos el conjunto

$A = \set{k \in \mathbb{N} \mid n\cdot k^+= m\cdot k^+ \Longrightarrow n=m}$.

Veamos que $A=\mathbb{N}.$

Base de inducción.

$0\in A$ ya que si $n\cdot 0^+=m\cdot 0^+$, tenemos que $n\cdot 1=m\cdot 1$ y por la observación 2 sabemos $n\cdot 1=n$ y $m\cdot 1=m$, entonces $n=n\cdot 1=m\cdot 1=m$, concluyendo así que $n=m$.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $k\in A$, es decir que $n\cdot k^+= m\cdot k^+ \Longrightarrow n=m$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $k^+\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $n\cdot (k^+)^+= m\cdot (k^+)^+ \Longrightarrow n=m$

\[
\begin{aligned}
n\cdot (k^+)^+&= m\cdot (k^+)^+ & \text{(Empezamos con esta hipótesis)} \\
n\cdot k^+ + k^+&= m\cdot k^+ + k^+ & \text{(Por definición del producto)} \\
n\cdot k^+ &= m\cdot k^+ & \text{(Por cancelación de la suma)}\\
n &= m & \text{(Por hipótesis de inducción)}
\end{aligned}
\]

entonces $k^+ \in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$, y así se vale la cancelación de factores no nulos en los naturales.

Tarea Moral

1. Demostrar la propiedad 5 de la suma.
2. Demostrar que para $n^+\cdot m=n \cdot m+m$ $\forall m\in \mathbb N.$
3. Demostrar la propiedad 3 del producto.
4. Demostrar la propiedad 5 del producto.
5. Revisar la demostración de la propiedad de tricotomía del orden de los números naturales en el libro de Avella y Campero que se indica en la bibliografía del curso.

Más adelante

En la siguiente nota formalizaremos la noción intuitiva que tenemos acerca del tamaño de un conjunto usando para ello funciones. Veremos que la noción intuitiva de que dos conjuntos sean del mismo tamaño se formalizará pidiendo que exista una función biyectiva entre ambos.

Enlaces relacionados.

Página principal del curso.

Nota anterior. Nota 18. El principio de inducción matemática.

Nota siguiente. Nota 19. Conjuntos equivalentes y cardinalidad.

Introducción

En esta sección estudiaremos los conjuntos convexos del espacio $\mathbb{R}^n$. Intuitivamente decimos que un conjunto convexo es aquel que dados dos puntos del conjunto, el segmento de linea que los une también pertenece a ese conjunto.

Definición. Dados $\overline{x},~\overline{y}~\in\mathbb{R}^{n}$, al segmento rectilineo que une dichos puntos lo denotamos
$$[\overline{x},\overline{y}]=\{t\overline{y}+(1-t)\overline{x}~|~t\in[0,1]\}$$

Definición. Sea $k\subset \mathbb{R}^{n}$. Se dice que $k$ es convexo si dados dos puntos de k, el segmento que los une está contenido en $k$ es decir
$$[\overline{x},\overline{y}]\subset k~~~~\forall~\overline{x},~\overline{y}\in k$$

Ejemplo. Una bola abierta es un conjunto convexo
Demostración. Sea $\overline{x}_{0}\in \mathbb{R}^{n}$ y consideremos $\overline{x},~\overline{y}~\in~B(\overline{x}_{0},\epsilon)$ vamos a ver que $[\overline{x},\overline{y}]\in~B(\overline{x}_{0}\epsilon)$ tenemos que

$$\overline{x} \in B(\overline{x}_{0},\epsilon)~\Rightarrow~|\overline{x}-\overline{x}_{0}|<\epsilon$$ y $$\overline{y}\in B(\overline{x}_{0},\epsilon) ~\Rightarrow~|\overline{y}- \overline{x}_{0} | <\epsilon$$ por lo tanto

$$|[\overline{x},\overline{y}]-\overline{x}_{0}|=|t\overline{y}+(1-t)\overline{x}-\overline{x}_{0}|=|t(\overline{y}-\overline{x}_{0})+(1-t)(\overline{x}-\overline{x}_{0})|\leq t|\overline{y}-\overline{x}_{0}|+(1-t)|\overline{x}-\overline{x}_{0}|<$$
$$t\epsilon+(1-t)\epsilon=\epsilon\therefore|[\overline{x},\overline{y}]-\overline{x}_{0}|<\epsilon$$ y de esta manera $$[\overline{x},\overline{y}]\in~B(\overline{x}_{0},\epsilon)$$

Ejemplo. El cuadrado $A=[-1,1]\times [-1,1]$ es un conjunto convexo
Demostración. Sean $\overline{x}=(x_{1},x_{2})$, $\overline{y}=(y_{1},y_{2})$ $\in A$ y $t\in [0,1]$ vamos a ver que $t\overline{y}+(1-t)\overline{x}\in A$, tenemos que
$$t\overline{y}+(1-t)\overline{x}=(ty_{1},ty_{2})+((1-t)x_{1},(1-t)x_{2})=(ty_{1}+(1-t)x_{1},ty_{2}+(1-t)x_{2})$$
como $x_{1},~x_{2},~y_{1},~y_{2}$ son tal que
$$-1\leq x_{1}\leq 1$$

$$-1\leq x_{2}\leq 1 $$

$$ -1\leq y_{1}\leq 1 $$

$$ -1\leq y_{2}\leq 1$$
entonces

$$-1\leq t(-1)+(1-t)(-1)\leq ty_{1}+(1-t)x_{1}\leq t(1)+(1-t)(1)\leq 1$$
$$1\leq t(-1)+(1-t)(-1)\leq ty_{2}+(1-t)x_{2}\leq t(1)+(1-t)(1)\leq 1$$
por lo que
$$(ty_{1}+(1-t)x_{1},ty_{2}+(1-t)x_{2})\in [-1,1]\times [-1,1]$$
por lo tanto
$$t\overline{y}+(1-t)\overline{x}\in A$$

Teorema. Si $\overline{x_{1}},\overline{x}{2},…,\overline{x}{n}\in \mathbb{R}^{n}$ son conjuntos convexos tales que $\displaystyle{\bigcap \overline{x_{i}}}\neq\emptyset~~\forall i=1,..,n$ entonces $\displaystyle{\bigcap \overline{x_{i}}}$ es un conjunto convexo.

Demostración. Sean $\overline{x},~\overline{y}\in \displaystyle{\bigcap \overline{x_{i}}}$ entonces para todo i se tiene que
$$\overline{x},~\overline{y}\in \overline{x}{i}$$ como $\overline{x}{i}$ es convexo entonces $[\overline{x},\overline{y}]\in \overline{x}{i}$ para todo i, por lo tanto $$[\overline{x},\overline{y}]\subset\displaystyle{\bigcap \overline{x{i}}}$$ por lo tanto $\displaystyle{\bigcap \overline{x_{i}}}$ es convexo.

Teorema. Un conjunto convexo es conexo

Demostración. Dado un conjnuto X convexo, si X no fuera conexo entonces existirian A,B conjnutos abiertos separados tales que $X=A\bigcup B$ y $A\bigcap B=\emptyset$ y si consideramos $\overline{x},~\overline{y}\in X$ entonces el segmento $[\overline{x},\overline{y}]$ se puede parametrizar
como $$f(t)=t\overline{y}+(1-t)\overline{x}~t\in [0,1]$$ y podríamos construir los abiertos $$\{t \in[0,1]~|~f(t)\in A \}$$ y $$\{t\in[0,1]~|~f(t)\in B \}$$
estos abiertos proporcionarían una disconexion para el segmento rectilineo $\underset{\circ}{\bigtriangledown}$ pues ya hemos probado que un segmento rectilineo es conexo, por lo tanto X es conexo.

Ejemplo. Un conjunto Conexo no es convexo, considere el conjunto
$$A=\mathbb{R}^{2}- \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x\leq 0,~y=0\}$$
Vamos a mostrar que A es conexo pero no convexo\
Dado $(x,y)\in~A$ tomamos tres casos\
Caso (1) y=0 y $x>0$\
Consideremos el segmento
$$[x,x_{0}]=[(x,x_{0}),(1,0)]$$
que esta dado por
$${(x+t(1-x),0)=((1-t)x+t,0)\in\mathbb{R}^{2}~|~t\in[0,1]}$$
y como $(1-t)x+t>0$ para todo $t\in[0,1]$. Se tiene que esta contenido en A.\
Caso (2) $y>0$ y $x\in\mathbb{R}$. En este caso el segmento
$$[x,x_{0}]=[(x,x_{0}),(1,0)]$$
que esta dado por
$${(x+t(1-x),y-ty)=((1-t)x+t,(1-t)y)\in\mathbb{R}^{2}~|~t\in[0,1]}$$
se tiene que
$$(1-t)y>0\forall~t\in[0,1)$$ para $t=1$ se tiene el punto $(1,0)=x_{0}$, entonces en este caso también dicho segmento esta contenido en A.\ Caso (3) $y<0$ y $x\in\mathbb{R}$. En este caso el segmento $$[x,x_{0}]=[(x,x_{0}),(1,0)]$$ que esta dado por $${(x+t(1-x),y-ty)=((1-t)x+t,(1-t)y)\in\mathbb{R}^{2}~|~t\in[0,1]}$$ se tiene que $$(1-t)y<0\forall~t\in[0,1)$$
para $t=1$ se tiene el punto $(1,0)=x_{0}$, entonces en este caso también dicho segmento esta contenido en A.
Solo falta ver que el conjnuto A no es convexo

Si consideramos el punto $x=(-1,1)$ y el punto $y=(-1,-1)$ se tiene que $x,y\in A$ y sin embargo el punto
$$(-1,0)=x+\left(\frac{1}{2}\right)(y-x)\in [x,y]$$
pero no pertenece a A, es decir $[x,y] \cancel{\subset}A$

Más adelante

Traea Moral

1.-Determina si los siguientes conjuntos son convexos:

$A=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2-y^2 \leq 1 \right\}$

$B=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | |x| \leq y \right\}$

2.-Demuestra o da un contraejemplo. La unión de dos conjuntos convexos siempre es convexos.

Sea $S=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 2x+3y \leq 6 \right\}$ el conjunto de soluciones de la desigualdad lineal:

3.- Demuestra que $S$ es convexo.

4.- Grafica $S$ y verifica geométricamente su convexidad.

5.-Describe un conjunto en $\mathbb{R}^2 que sea conexo pero no convexo.

Dado un punto en coordenadas rectangulares $(x, y)$. ¿Cuáles son las coordenadas polares $( r, \theta)$? ¿Podemos despejar $(r, \theta)$ en función de $(x, y)$?

De $x^2 + y^2 = r ^2$, despejando $r$ se obtiene que $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$

Para obtener el valor de $\theta$ tenemos dos maneras.

Una es usando la tangente $$\frac{y}{x} =\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta} = \tan \theta$$ $$ \theta = \arctan \frac{y}{x}$$

Un detalle a tener en cuenta es que $x \neq 0$.

Además, podemos observar en la siguiente imagen que la función tangente $f(\theta) = \tan \theta$ tal que $f : \big(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big) \cup \big( \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\big) \rightarrow \mathbb{R}$ no es inyectiva, y no tiene imagen inversa global, por lo que se debe elegir una rama, es decir un intervalo para el ángulo $\theta$.

Si consideramos la rama $\frac{- \pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}$, $f : \big(\frac{- \pi}{2}, \frac{ \pi}{2}\big) \rightarrow \mathbb{R}$ entonces la función $f(\theta) = \tan \theta$ si tiene función inversa $f^{-1} : \mathbb{R} \rightarrow \big(\frac{- \pi}{2}, \frac{ \pi}{2}\big)$ y por tanto la función $\arctan \big( \frac{y}{x} \big)$ toma valores en $\big(\frac{- \pi}{2}, \frac{ \pi}{2}\big)$.

Es decir cuando $x > 0$.

De manera análoga, si consideramos la rama $\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{3 \pi}{2}$, $f : \big(\frac{3 \pi}{2}, \frac{ \pi}{2}\big) \rightarrow \mathbb{R}$ entonces la función $f(\theta) = \tan \theta$ si tiene función inversa $f^{-1} : \mathbb{R} \rightarrow \big(\frac{3 \pi}{2}, \frac{ \pi}{2}\big)$ y por tanto la función $\arctan \big( \frac{y}{x} \big)$ toma valores en $\big(\frac{3 \pi}{2}, \frac{ \pi}{2}\big)$.

Es decir para cuando $x < 0$.

Otra manera es la siguiente.

Despejando $(r, \theta)$ en términos de $(x, y)$ de la ecuación $$x^2 + y^2 = r ^2$$

Obtenemos que $$r= \sqrt{x^2+y^2}$$

Sustituyendo el valor de $r$ obtenido, en la ecuación $\cos{\theta} = \frac{y}{x}$ obtenemos que $\cos{\theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ por lo que el valor de $\theta$ está dado por $$\theta = \arccos\left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$$

La función coseno tampoco es inyectiva sobre $\mathbb{R}$. Para poder hablar de la inversa hay que restringir el intervalo donde varia $\theta$.

Una opción es $0 < \theta < \pi$.

Es decir, se debe escoger el intervalo de $\theta$ que mejor nos permita calcular el ángulo dependiendo de donde se encuentre el punto $(x, y)$.

$$T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$$ $$(r, \theta) \longrightarrow (x, y)$$

Mediante tabulación.

Si fijamos $r_0 = 1$ y variamos $\theta$, tenemos que $x = r_0 \cos \theta$ entonces $x = \cos \theta$ y para $y = r_0 \sin \theta$ se obtiene $y = \sin \theta$. Luego $(x, y) = ( \cos \theta, \sin \theta)$.

Analíticamente para $r_0 = 1$ $$x^2+y^2=\cos^2 \theta + \sin^2 \theta$$ $$x^2+y^2=1$$

Por lo que la recta $r = 1$ en coordenadas polares es la circunferencia unitaria en coordenadas cartesianas.

Si fijamos $r_0 = 2$ y variamos $\theta$ se obtiene $$x^2+y^2=(2 \cos \theta)^2 + (2 \sin \theta)^2 = 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta = 4 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4$$

$$x^2+y^2=4$$

Por lo que la recta $r = 2$ en coordenadas polares es la circunferencia de radio 2 en coordenadas cartesianas.

Además, la recta $r = 0$ en coordenadas polares, es el punto $(0, 0)$ en coordenadas cartesianas.

https://www.geogebra.org/classic/rhv8nvwx

Ahora consideremos una recta horizontal $\theta = \theta_0$

$x = r \cos \theta_0$

$y = r \sin \theta_0$

$(x, y) = (r \cos \theta_0, r \sin \theta_0)$

$(x, y ) = r ( \cos \theta_0, \sin \theta_0)$

El factor $ (\cos \theta_0, \sin \theta_0)$ es constante, si variamos $r$ tenemos que:

* Si $r > 0$ la recta horizontal en coordenadas polares es un rayo que parte del origen en coordenadas cartesianas; pero si $r \in \mathbb{R} $ se transforma en la recta generada por el vector unitario $\vec{u} = (\cos \theta_0, \sin \theta_0)$.

En la siguiente animación dejamos fijo el ángulo y variamos el valor de $r$.

https://www.geogebra.org/c

En la siguiente animación puedes variar al mismo tiempo $r, \Delta r, \theta$ y $\Delta \theta$ y observar las transformación en la segunda ventana.

https://www.geogebra.org/classic/kwbmfxfn