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72. Material en revisión: Superficies parametrizadas (19 de noviembre)

Por Mariana Perez

Sea f:UR2R3 tal que

(u,v)(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

Veamos unos ejemplos.

(1) Plano parametrizado.

f(u,v)=uw1+vw2+p

donde p=(x0,y0,z0) es un punto y w1, w2 son dos vectores que generan el plano.

Consideremos el punto p=(2,3,4) y los vectores que generan el plano w1=(1,1,0) y w2=(1,0,1).

Luego f(u,v)=u(1,1,0)+v(1,0,1)+(2,3,4), por lo que

x=u+v+2

y=u+3

z=v+4

(2) La esfera.

a) U={(u,v)R2|u2+v2<1}

f(u,v)=(u,v,1u2v2)

b) Con coordenadas polares.

f(θ,φ)=(cosφcosθcosφsinθsinφ)

c) Usando la proyección estereográfica.

Dimensión 1

Dimensión 2

f:R2R3 tal que

f(u,v)=(x,y,z)=(2uu2+v2+1,2vu2+v2+1,u2+v21u2+v2+1)

71. Material en revisión: Transformación conforme

Por Mariana Perez

Sea f:AR2BR2 diferenciable.

Consideremos para todo punto aA y para cualesquiera dos vectores v1, v2 tangentes a curvas que pasen por a

v1=α1(0)v2=α2(0)

α1(0)=aα2(0)=a

Consideremos el ángulo que forman v1 y v2.

Consideremos las curvas:

β1(t)=f(α1(t))

β2(t)=f(α2(t))

dos curvas distintas que pasan por f(a).

Y además,

w1=β1(0)

w2=β2(0)

Y consideremos el ángulo que forman w1 y w2.

Decimos que f es conforme si los dos ángulos son iguales y preservan la orientación de la base. Si invierten la orientación, diremos que f es anticonforme.

w1=dfa(v1)

w2=dfa(v2)

Luego

cosθ=v1,v2v1v2=w1,w2w1w2=cosφ

70. Material en revisión: Ejemplo 15 de noviembre

Por Mariana Perez

La inversión con respecto a la circunferencia unitaria

f:R2{(0,0)}R2{(0,0)}

C:x2+y2=1

PP tal que:

(1) P está en el rayo OP.

(2) OPOP=r2=1

Sea P=(x,y), P=(u,v), donde u=λx y v=λy.

P en el rayo OP significa que (u,v)=λ(x,y), con λ>0.

Para saber la regla de correspondencia basta con determinar λ.

Además, de (2) se tiene que:

u2+v2x2+y2=1

(u2+v2)(x2+y2)=1

(λ2x2+λ2y2)(x2+y2)=1

λ2(x2+y2)2=1

λ(x2+y2)2=1

λ=1(x2+y2)2

Luego u=xx2+y2 y v=yx2+y2

Propiedades geométricas

(*) f lleva rayos que emanan del origen en rayos que emanan del origen pero, los recorre en sentido contrario.

α(t)=(tcosθ0,tsinθ0) es la recta parametrizada con t(0,)

Si x=tcosθ0x2=t2cos2θ0

y=tsinθ0y2=t2sin2θ0

entonces x2+y2=1

Luego u=xx2+y2=tcosθ0t2 entonces u=1tcosθ0

Análogamente, v=1tsinθ0

(*) f lleva circunferencias de radio r0 con centro en el origen en circunferencias de radio 1r0 con centro en el origen.

Luego podemos concluir que …..

Consideremos el punto a=(2,0)

Consideremos dos curvas que pasan por a

α(t)=(2,0)+t(1,0) con t(2,), y

β(t)=(2cost,2sint) con tR tales que

α(0)=a y

β(0)=a

Comprobamos con las cuentas

u=xx2+y2, v=yx2+y2

Calculemos la dfa

df=(uxuyvxvy)=(y2x2(x2+y2)22xy(x2+y2)22xy(x2+y2)2x2y2(x2+y2)2)

En el punto a=(2,0) la matriz df es:

(41600416)=(140014)

Entonces dfa(α(0))=(140014)(10)=(140)

Análogamente,

dfa(β(0))=(140014)(02)=(012)

Entonces el detf(a)=116 es el factor de proporcionalidad.

El área de los rectángulos son 2 y 18.

Luego 2×116=18.

69. Material en revisión: Ejemplo (13 de noviembre)

Por Mariana Perez

Tres alelos ( formas naturales de genes) A, B y O determinan los tres tipos sanguíneos.

A(AAAO)B(BBBO)O(OO)AB(AB)

La ley de Hardy – Weinberg establece que la proporción P de individuos de una población que llevan los alelos diferentes está dada por la expresión:

P=2pq+2pr+2qr

donde p, q y r son las proporciones de alelos A, B y O en dicha población.

Use el hecho de que p+q+r=1 para demostrar que p23

Dos alelos es p.p=p2 o q2 o r2.

Maximizar P=2pq+2pr+2qr sujeta a p+q+r=1,

restricción Q(p,q,r)=p+q+r1=0, con p,q,r,0

Usando multiplicadores de Lagrange P=(Pp,Pq,Pr) entonces,

P=(2q+2r,2p+2r,2p+2q)

Q=(1,1,1)

Examinar:

a) ¿Qué pasa en el interior del simplejo (triángulo)?

b) ¿Qué pasa en las aristas?

c) ¿Qué pasa en los vértices?

a) P=λQ

(2q+2r2p+2r2p+2q)=λ(111)

2q+2r=λ2p+2r=λ2p+2q=λ

Sumando

4p+4q+4r=3λ

4(p+q+r)=3λ, como p+q+r=1, entonces

4=3λ por lo que λ=43

Luego, sustituyendo en el sistema anterior se tiene que:

p=13,q=13,r=13

Entonces

P(13,13,13)=2(19)+2(19)+2(19)=69=23

c) En los vértices

P(1,0,0)=0

P(0,1,0)=0

P(0,0,1)=0

b) En las aristas

Hay tres aristas, cuando p=0, q=0 o r=0

Analicemos que sucede si r=0, entonces P(p,q,0)=2pq

Máximo 2pq, sujeta a p+q=1 con p,q0, entonces

p=q=12 y P(12,12,0)=12

Análogamente para las otras aristas se obtienen los puntos (0,12,12) y (12,0,12), donde P para cada uno de ellos es 12.

Por lo tanto, de lo analizado anteriormente vemos que el valor máximo de P se obtiene en el punto (13,13,13).

Animación:

https://www.geogebra.org/classic/uzjwpkv2

68. Material en revisión: Multiplicadores de Lagrange (martes 12 de noviembre)

Por Mariana Perez

Problema de maximización (o minimización)

Sea f:R3R sujeta a dos restricciones:

g1(x,y,z)=0

g2(x,y,z)=0

Hipótesis:

Para todo pg11(0)g21(0) los gradientes g1(p) y g2(p) son linealmente independientes.

Sea q un punto en donde f|g11(0)g21(0) alcanza un valor extremo, le aplicamos el teorema de la función implícita a G:R3R2 tal que (x,y,z)(g1(x,y,z),g2(x,y,z))

Sin pérdida de generalidad, supongamos x=h1(z)y=h2(z)

f|g11(0)g21(0) puede verse como una función IRJR tal que

zf(h1(x,y,z),h2(x,y,z),z)

Entonces (x,y,z) es solución del sistema de ecuaciones cerca del punto q si y sólo si

x=h1(z)

y=h2(z)

α(z)=(h1(x,y,z),h2(x,y,z),z) parametriza un «pedacito» de curva (que pasa por q).

Maximizar f(α(z))

Derivando

f(α(z))α(z)=(fx,fy,fz)(h1,h2,1)=0

fxh1+fyh2+fz=0

Luego f es ortogonal a α, es decir, f está en el plano generado por g1 y g2, es decir,

f=λ1g1+λ2g2