• Sea $X$ un conjunto. La familia $\mathcal{T}_{ind}=\{ \emptyset, X\}$ es una topología. Se denomina topología indiscreta.

• La familia $\mathcal{T}_{disc} = \mathcal{P}(X)$, donde $\mathcal{P}$ es el conjunto potencia, también es una topología. Se denomina topología discreta.

• Consideremos la métrica Euclidiana y la métrica uniforme $( \infty )$ en $\mathbb{R}^2.$ Comparemos las topologías que inducen estas dos métricas. $$d_{\infty} (x,y) = \|x-y \|_{\infty}$$ $$d_2 (x, y) = \| x-y \|_2$$ $$_2B_1((0, 0)) = \big\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \, \big| \, x^2+y^2 < 1 \big\}$$ $$_{\infty}B_1((0, 0)) = \big\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \, \big| \, máx \{ |x|, |y| \} < 1 \big\}$$

Comparemos $\mathcal{T}_2$ con $\mathcal{T}_{\infty}$. ¡Son la misma topología!

Porque $x$ es un punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_2$ $\iff$ existe un círculo con centro en $x$ contenido en $A$ y dentro de ese círculo podemos inscribir un cuadrado. Entonces $x$ es punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_{\infty}$.

Recíprocamente $x$ es un punto interior de $A$ según $\mathcal{T} _{\infty}$ $\iff$ existe un cuadrado con centro en $x$ contenido en $A$ y dentro de ese cuadrado podemos inscribir un círculo. Entonces $x$ es punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_2$.

• $\mathbb{R}^2$ puede pensarse como un espacio de funciones.

$$f : \{1, 2\} \longrightarrow \mathbb{R}$$

Al punto $(x_1, x_2)$ le corresponde la función $f$ cuya regla de correspondencia es

$f(1) = x_1$ y $f(2) =x_2$

Entonces $d_{\infty} (f, g) = máx \{|f(1)-g(1)|, |f(2)-g(2)|\}$

En el siguiente enlace puedes observar un dibujo interactivo del ejemplo anterior.

https://www.geogebra.org/classic/bwpxexhp

Consideremos un plano no vertical.

Tiene una ecuación de la forma $$z=ax+by+c$$

Es la gráfica de $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que

$f(x, y) = ax+by+c$ con $a, b, c$ constantes.

Demostraremos que esta función es continua usando $\epsilon$ y $\delta$.

Sea $(x_0, y_0)$ un punto.

Sea $\epsilon > 0$.

Buscamos $\delta > 0$ tal que si $(x, y) \in B_{\delta} (x_0, y_0) \Longrightarrow f(x, y) \in B_{\epsilon} (f(x_0, y_0))$; es decir que

si $\Big\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0)\Big\| < \delta$ entonces $\Big|f(x, y) \, – \, f(x_0, y_0) \Big| < \delta$.

Desde otro punto de vista:

$$\begin{align*} \Big|f(x, y) \, – \, f(x_0, y_0)\Big| &= \Big|ax+by+c \, – \, (ax_0+by_0+c)\Big| \\ &= \Big|a(x \, – \, x_0) + b(y \, – \, y_0)\Big| \\ &\leq \Big|a(x \, – \, x_0)\Big| + \Big|b(y \, – \, y_0)\Big| \\ &\leq \Big|a\Big|\Big|x \, – \, x_0\Big|+\Big|b\Big|\Big|y \, – \, y_0\Big| < \epsilon \end{align*}$$

Queremos garantizar que $\Big|a\Big|\Big|x \, – \, x_0\Big|+\Big|b\Big|\Big|y \, – \, y_0\Big| < \epsilon.$

Si $\Big|a\Big|\Big|x \, – \, x_0\Big|< \frac{\epsilon}{2}$ y $\Big|b\Big|\Big|y \, – \, y_0\Big|< \frac{\epsilon}{2}$ entonces se cumple la desigualdad.

Luego $\Big|x \, – \, x_0\Big| < \frac{\epsilon}{2|a|}$ y $\Big|y \, – \, y_0\Big| < \frac{\epsilon}{2|b|}$.

$\frac{ – \, \epsilon}{2|a|}< x \, – \, x_0 < \frac{\epsilon}{2|a|}$

$\frac{ – \, \epsilon}{2|b|}< y \, – \, y_0 < \frac{\epsilon}{2|b|}$

$x_0 -\, \frac{ \epsilon}{2|a|}< x < x_0 + \frac{\epsilon}{2|a|}$

$y_0 \, – \frac{ \epsilon}{2|b|}< y <y_0 + \frac{\epsilon}{2|b|}$

Basta tomar

$\delta = mín \Big\{ \frac{\epsilon}{2|a|} , \frac{\epsilon}{2|b|} \Big\}$

porque entonces si $(x, y) \in B_{\delta} ((x_0, y_0))$ entonces $(x, y) \in \Big[A, B\Big] \times \Big[C, D\Big]$

donde $A = x_0 \, – \, \frac{\epsilon}{2|a|}$, $B = x_0 + \frac{\epsilon}{2|a|}$, $C = y_0 \, – \, \frac{\epsilon}{2|b|}$ y $D = y_0 + \frac{\epsilon}{2|b|}$

En el siguiente enlace encontrarás una imagen interactiva, en la cual podrás modificar distintos valores para una mejor comprensión de lo explicado anteriormente.

https://www.geogebra.org/classic/j9rcbkcz

Además de las coordenadas cartesianas es conveniente conocer otros tipos de coordenadas, como las polares, cilíndricas y esféricas, estas últimas las explicaremos en entradas posteriores; ya que muchas veces es más sencillo de resolver problemas si cambiamos de coordenadas cartesianas a otro tipo según el tipo de función con la que estemos trabajando.

En este primer acercamiento, estudiaremos como realizar la conversión de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.

En el dibujo podemos observar que para un punto $P(x, y)$ se tiene un triángulo rectángulo, en esta imagen el triángulo $PXQ$, por lo que usando el Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas correspondientes, tenemos que:

$$x^2 + y^2 = r ^2$$ $$\sin{\theta} =\frac{y}{r}$$ $$\cos{\theta} = \frac{x}{r}$$

Entonces, las ecuaciones que nos permiten transformar de coordenadas polares a rectangulares son:

$$x=r \cos (\theta)$$ $$y=r \sin (\theta)$$

$(x, y)$ son las coordenadas cartesianas (o rectangulares) del punto $P$.

$(r, \theta)$ son las coordenadas polares del punto $P$.

* CASO ESPECIAL: para el punto $(0, 0)$ en coordenadas cartesianas tenemos que $r = 0$ y el ángulo $\theta$ no está definido.

* También es importante especificar un intervalo donde varía el ángulo $\theta$, para evitar situaciones como la que se ejemplifica a continuación.

El punto de coordenadas rectangulares $(1, 0)$ puede tener diferentes coordenadas polares, como $(1, 0°)$, $(1, 360°)$ si el ángulo está dado en grados, o $(1, 0)$, $(1, 2\pi)$ si el ángulo se mide en radianes.

Por lo que se puede definir a $\theta$ en el intervalo $0 < \theta < 2\pi$ o en el $- \pi < \theta < \pi$.

Consideremos el origen $(0, 0)$.

Tomemos la sucesión $\Big\{ (x_n, y_n)\Big\}_{n \in \mathbb{N}} = \Big\{ \Big(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\Big) \Big\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, 0)$

$f(x_n, y_n) = \dfrac{y_n}{x_n} = 1 \longrightarrow 1$

Tomemos la sucesión $\Big\{ (a_n, b_n) \Big\}_{n \in \mathbb{N}} = \Big\{ \Big(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\Big) \Big\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, 0)$

$f(a_n, b_n) = \dfrac{b_n}{a_n} = -1 \longrightarrow -1$

Esto nos muestra que $f$ no tiene límite cuando $(x,y) \longrightarrow (0,0)$.

Consideremos el punto $(0, y_0)$.

Tomemos la sucesión $\Big\{ (x_n, y_n)\Big\}_{n \in \mathbb{N}} = \Big\{ \Big(\frac{1}{n}, y_0 + \frac{1}{n}\Big) \Big\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, y_0)$

$f(x_n, y_n) = \dfrac{y_n}{x_n} = \frac{y_0 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = ny_0+1 \longrightarrow \infty$

Tomando $\Big\{(a_n, b_n)\Big\}_{n \in \mathbb{N}} = \Big\{\Big(\frac{-1}{n}, y_0 + \frac{1}{n}\Big)\Big\}_{n \in \mathbb{N} \longrightarrow (0, y_0)$

$f(a_n, b_n) = \dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{y + \frac{1}{n}}{\frac{-1}{n}} = ny_0+1 \longrightarrow – \infty$

Por lo que $f$ no tiene límite cuando $(x,y)$ tiende a $(0, y_0)$

En el siguiente enlace puedes observar una animación de como cada una de las sucesiones se aproximan al $(0,0)$ por las diferentes direcciones, pero cada una de ellas tienden a $1$ y $-1$ respectivamente.

https://www.geogebra.org/classic/kw8f9hmq

Sea $A=2$ un rectángulo donde $x_1=2$ y $y_1=1$.

Luego, $y_{n+1}=\dfrac{2}{x_n+1} \iff y_{n+1}=\dfrac{2}{\dfrac{x_n+y_n}{2}} \iff y_{n+1}=\dfrac{4}{x_n+y_n}$

De esta manera, definimos $(x_{n+1}, y_{n+1}) := f(x_n, y_n)$ donde $x_{n+1}=\dfrac{x_n+y_n}{2} \; $ y $ \; y_{n+1}=\dfrac{4}{x_n+y_n}$.

Es decir, tenemos que $$L = \frac{1}{2}\left(L+\frac{2}{L}\right)$$ $$2L = L + \frac{2}{L} \Longrightarrow L = \frac{2}{L} \Longrightarrow L^2 = 2$$ $$\therefore L=\sqrt{2}$$

Ahora vamos a argumentar porque la sucesión de $\{x_n\}$ converge. $$f(x) = \frac{1}{2} \left(x+\frac{2}{x}\right) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{x}$$

Lema: si tenemos una sucesión $\{x_n\}$ definida por un término inicial $x_0$ y una fórmula de recurrencia $x_{n+1} = f(x)$ los puntos de la forma $\Big(x_n, f(x_n) \Big)$ los puedo determinar dibujando una escalera usando la gráfica de $y=f(x)$ y la gráfica $y=x$.

Sea $f(x) =\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$ y $x_{n+1}=f(x_n)$.

Afirmación:

1. Si $x_n > \sqrt{2} \text{ entonces } f(x_n) > \sqrt{2}.$
2. Si $x_n > \sqrt{2}\text{ entonces } f(x_n) < x_n \text{ en consecuencia } x_{n+1} < x_n$

Consideremos la imagen de $\Big( \sqrt{2}, \infty \Big)$ bajo la función $f(x) = \left( x + \dfrac{2}{x}\right)$.

¿Es $f(x)$ creciente en $\Big(\sqrt{2}, \infty \Big)$? Si.

Basta ver que $f'(x) > 0 \, \forall \, x \in \Big(\sqrt{2}, \infty \Big)$ $$f \Big(\sqrt{2} \Big) = \sqrt{2}$$ $$f'(x) = \frac{1}{2} \left(1-\frac{2}{x^2} \right)$$ $$x > \sqrt{2} \iff x^2 > 2 \iff 1 > \frac{2}{x^2} \iff 1-\frac{2}{x^2} > 0$$

Por lo que queda probada la afirmación 1.

Si $x_n > \sqrt{2}$ entonces ${x_n}^2 > 2$

$$ {x_n}^2 + {x_n}^2 > 2 + {x_n}^2$$ $$2{x_n}^2 > 2 + {x_n}^2$$ $$x_n > \frac{2 + {x_n}^2}{2}$$ $$x_n > \frac{2 + {x_n}^2}{2 x_n}=\frac{1}{2} \left( \frac{2}{x_n} + \frac{{x_n}^2}{x_n} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{x_n} + x_n \right) = f(x_n) = x_{n+1}$$

$x_n > \sqrt{2} \Rightarrow x_{n+1} < x_n$

Hemos visto que $\{ x_n\}$ es acotada y decreciente. Ahora podemos concluir que $\{x_n\} \longrightarrow \sqrt{2}$.

Por otra parte $y_n = \dfrac{2}{x_n} \longrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ entonces $\{y_n \} \longrightarrow \sqrt{2}$ $$\therefore \{ (x_n, y_n) \} \longrightarrow (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \; _{\blacksquare}$$

En el siguiente enlace, puedes ver una animación tanto de la sucesión de puntos, como de la sucesión de «cuadrados».

https://www.geogebra.org/classic/tcxk2zdh