Introducción

Anteriormente definimos los espacios $L^p$ para $p\in [1,\infty)$, definimos su norma y estudiamos algunas de sus propiedades analíticas más importantes. En esta entrada estudiaremos el concepto de supremo esencial y el espacio $L^{\infty}$. Bajo ciertas condiciones, este último espacio se puede pensar como «un caso límite» de los espacios $L^p$, y como veremos, comparten varias de sus propiedades. También le daremos sentido a nuestra convención de que el dual de Hölder de 1 sea $\infty$.

Durante toda la entrada $(X,\mathcal{M},\mu)$ denotará un espacio de medida arbitrario salvo que se especifique lo contrario.

Definición. Sea $f$ una función $\mathcal{M}$-medible, posiblemente definida en $\mu$-c.t.p. de $X$. Decimos que $f$ es esencialmente acotada si existe $M\in \mathbb{R}$ con $0\leq M<\infty$ tal que $$|f(x)|\leq M.$$ Para $\mu$-c.t.p. de $X$. O equivalentemente $$\mu(\{ x \ | \ \ M<|\ f(x)|\})=0.$$

Al igual que hicimos con los espacios $L^p$, identificaremos a las funciones que son iguales en $\mu$-c.t.p. de $X$, es decir, a lo largo de esta entrada, cuando hablemos de alguna función $f$, nos referiremos implícitamente a la clase de equivalencia de funciones $\mathcal{M}$-medibles e iguales en $\mu$-c.t.p. a $f$.

Definición. El espacio $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ es la colección de (clases de equivalencia) de funciones $\mathcal{M}$-medibles y esencialmente acotadas en $X$, equipado con la norma:
$$\left\lVert f \right\lVert_{\infty}=\inf \{M\in \mathbb{R} \ \ | \ \ |f(x)|\leq M \text{ en } \mu-c.t.p. \}.$$ Al número $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ le llamaremos el supremo esencial de $f$.

Cuando el espacio sobre el que estemos trabajando sea claro, denotaremos a $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ como $L^{\infty}(X)$ o simplemente como $L^{\infty}$.

No es trivial que $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$ es una norma sobre $L^{\infty}$. Antes de probarlo, veamos una propiedad útil de $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$:

Proposición. Si $f\in L^{\infty}$ $\implies$ $|f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ en $\mu$-c.t.p. $x\in X$.

Demostración. Por definición de ínfimo, podemos encontrar una sucesión $\{M_k \}_{k=1}^{\infty}$ tal que $$M_k\longrightarrow \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$ Y $$|f(x)|\leq M_k.$$ Para cada $x\in X\setminus N_k$ con $\mu(N_k)=0$.

Ahora, definiendo $$N=\bigcup_{k=1}^{\infty} N_k$$ Se sigue que $\mu(N)=0$. Además, para todo $x\in X\setminus N$ tenemos que $$|f(x)|\leq M_k \ \ \ \forall k\in \mathbb{N}$$ $$\implies |f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Teorema. $(L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu),\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty})$ es un espacio normado.

Demostración. Es inmediato de la definición que $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}\geq 0$. Notemos también que $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}=0$ $\iff$ $|f(x)|\leq 0$ en c.t.p. $x\in X$ $\iff$ $f=0$ (como clase de equivalencia).

Dadas $f,g\in L^{\infty}$, por la proposición anterior: $$|f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}; \ \ \ \ \ |g(x)|\leq \left\lVert g \right\lVert_{\infty}$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$. Por la desigualdad del triángulo se sigue entonces: $$|f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}+\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$ $$\implies \left\lVert f+g\right\lVert_{\infty}\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}+\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Como habíamos adelantado, el espacio $L^{\infty}$ comparte varias propiedades con los espacios $L^p$ para $p\in [1,\infty)$. Veamos algunas de ellas.

Teorema (desigualdad de Hölder). Sean $p,q\in [1,\infty]$ conjugados de Hölder (es decir, tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ si $p,q>1$ o bien $p=1,q=\infty$ o bien $p=\infty, q=1$). Si $f\in L^p(X,\mathcal{M},\mu)$ y $g\in L^q(X,\mathcal{M},\mu)$, entonces $fg\in L^1$ y además: $$\int_X |fg| \ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_{p}\left\lVert f \right\lVert_{q}$$

Demostración. El caso $p,q\in [1,\infty)$ ya lo habíamos probado. Basta suponer que $f\in L^1$ y $g\in L^{\infty}$, de modo que $|g|\leq \left\lVert g \right\lVert_{\infty}$ en c.t.p. $\implies$ $|fg|\leq |f|\left\lVert g \right\lVert_{\infty}$ en c.t.p. Luego: $$\int |fg| \ \mathrm{d}\mu\leq \left(\int|f| \ \mathrm{d}\mu \right)\left\lVert g \right\lVert_{\infty}=\left\lVert f \right\lVert_{1}\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Proposición. $(L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu),\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty})$ es un espacio de Banach.

Demostración. Sea $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty}$ una sucesión de Cauchy en $L^{\infty}$. Redefiniendo por $0$ a las funciones $f_k$ en un conjunto de medida nula apropiado (¿Cuál?), podemos asumir sin pérdida de generalidad que:

• $\forall k\in \mathbb{N}$ y $\forall x\in X$ $$|f_k(x)|\leq \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}.$$
• $\forall k,j\in \mathbb{N}$ y $\forall x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}.$$

De esta manera, para cada $x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}.$$ En particular, la sucesión $\{ f_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ es de Cauchy (en $\mathbb{R}$) por lo que converge a un límite $f(x)$.

La función $f(x)$ está definida en cada punto y es medible al ser límite de funciones medibles. Veamos que de hecho $f_k\longrightarrow f$ en $L^{\infty}$.

Como la sucesión $f_k$ es de Cauchy, en particular es acotada, por lo que $\exists M>0$ tal que $$ \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}\leq M.$$ Para todo $k$. En particular $|f_k(x)|\leq \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}\leq M$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $x\in X$. $$\implies |f(x)|= \lim_{k\to \infty} |f_k(x)|\leq M.$$ Para cada $x\in X$. Concluimos que $f$ es (esencialmente) acotada: $f\in L^{\infty}$ con $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}\leq M$.

Dado $\varepsilon>0$, podemos encontrar un entero $N$ tal que $\forall k,j>N$: $$\left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}<\varepsilon$$ $$\implies |f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}<\varepsilon, \ \ \ \ \forall x\in X.$$ Fijando $k>N$ y haciendo tender $j\to \infty$ se sigue: $$|f_k(x)-f(x)|\leq \varepsilon, \ \ \ \ \forall x\in X$$ $$\implies \left\lVert f_k-f \right\lVert_{\infty}\leq \varepsilon.$$ Como lo anterior se satisface para cualquier $\varepsilon>0$, concluimos que $f_k\longrightarrow f$ en $L^{\infty}$.

$\square$

El teorema a continuación es otra de las razones para justificar la notación $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$. Por conveniencia, dado $p\in[1,\infty]$ y $f$ una función $\mathcal{M}$-medible, definamos: \begin{equation*}
\left\lVert f \right\lVert_{p}=
\begin{cases}
\left\lVert f \right\lVert_{p} & \text{si } f\in L^p \\
\infty & \text{si } f \notin L^p
\end{cases}
\end{equation*}

Teorema. Sea $f\in L^r(X,\mathcal{M},\mu)$ para algún $r<\infty$. Entonces $$\lim_{p\to \infty}\left\lVert f \right\lVert_{p}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

Nota. Aquí hay dos afirmaciones: que el límite existe y que es igual a $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}$.

Demostración. Primero tomemos $t$ tal que $$0\leq t< \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$ Por definición de la norma $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$, el conjunto $$A=\{ x\in X \ | \ |f(x)|\geq t \}.$$ Tiene medida positiva $$\mu(A)>0.$$ Ahora: \begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_{p} &= \left( \int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&\geq \left(\int_A |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&\geq \left(\int_A t^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= (t^p\mu(A))^{\frac{1}{p}} \\
&= t(\mu(A))^{\frac{1}{p}}.
\end{align*} Tenemos dos casos:

1. Si $0<\mu(A)<\infty$ $\implies$ $\mu(A)^{\frac{1}{p}}\longrightarrow 1$ cuando $p\longrightarrow \infty$.
2. Si $\mu(A)=\infty$ $\implies$ $\mu(A)^{\frac{1}{p}}=\infty.$

Sin embargo, en ambos casos $$\liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p} \geq t.$$

Como $0\leq t< \left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ era arbitrario, podemos concluir que $$\liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}\geq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

Para la desigualdad opuesta, necesitaremos la hipótesis de que $f\in L^r$. Si $f=0$ (en c.t.p.) la desigualdad se cumple trivialmente. Supongamos entonces que $f\neq 0$ (en c.t.p.).

Notemos que $$\left\lVert f \right\lVert_{p}^p=\int_X|f|^p \ \mathrm{d}\mu=\int_X |f|^r|f|^{p-r} \ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{p-r}\int_X|f|^r \ \mathrm{d}\mu=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{p-r}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{r}.$$ $$ \implies \left\lVert f \right\lVert_{p}\leq \left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{\frac{p-r}{p}}=\left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}}.$$ Como $\left\lVert f \right\lVert_{r}<\infty$, entonces $\left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}<\infty$. Además $ \left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\longrightarrow 1$ cuando $p\longrightarrow \infty$. Así pues, tomando $\limsup$ en el estimado de arriba: \begin{align*}
\limsup_{p\to \infty}\left\lVert f \right\lVert_{p} &\leq \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{r}^\frac{r}{p}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}} \\
&\leq \left( \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{r}^\frac{r}{p} \right)\left( \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}} \right) \\
&= (1)\cdot (\left\lVert f \right\lVert_{\infty}) \\
&= \left\lVert f \right\lVert_{\infty}
\end{align*} Juntando los dos estimados establecidos hasta ahora tenemos que: $$\limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}\leq \liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}.$$ Es decir, $$\lim_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Más adelante…

Estudiaremos de varias formas la relación que existe entre $L^p$ y $L^q$ cuando $p\neq q$.

Tarea moral…

• Sea $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ para cada $x\in (0,1)$. Demuestra que $f\in L^1(0,1)$ pero $f\notin L^{\infty}(0,1)$.
• Sea $f(x)=c$ para cada $x\in \mathbb{R}^n$ una función constante con $0<|c|<\infty$. Demuestra que $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ pero $f\notin L^{p}(\mathbb{R}^n)$ para ningún $p\in [1,\infty)$.
• Sea $f:\mathbb{R}^n \to [-\infty, \infty]$ una función medible.
  • Demuestra que si $f\in L^p (\mathbb{R}^n)$ con $1\leq p <\infty$, entonces para cualquier $\varepsilon>0$, existe $R>0$ suficientemente grande tal que $$\int_{\mathbb{R}^n \setminus B_R(0)}|f|^p \ \mathrm{d}\lambda<\varepsilon.$$ Donde $B_R( 0)$ denota la bola de radio $R$ con centro en el orígen.
  • Demuestra que lo anterior no necesariamente es cierto si $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. (Es decir, las funciones en $L^p(\mathbb{R}^n)$ ($1\leq p <\infty$) «concentran su masa cerca del orígen» mientras que las funciones en $L^{\infty}$ no necesariamente lo hacen).
• Sean $f_k:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ funciones continuas. Demuestra que $f_k \longrightarrow f$ uniformemente si y sólo si $f_k \longrightarrow f$ en $L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$.

Introducción

En la entrada anterior, definimos los espacios $L^p$ y analizamos algunas de sus propiedades fundamentales. Entre otros resultados, demostramos que son espacios normados y establecimos desigualdades clave relacionadas con ellos.

En esta ocasión, probaremos una propiedad analítica de gran importancia: los espacios $L^p$ son espacios de Banach.

Para esta entrada, $(X,\mathcal{M},\mu)$ denota un espacio de medida arbitrario salvo que se especifique lo contrario.

A modo de recordatorio:

Definición. Decimos que un espacio vectorial normado $(V,\left\lVert \cdot \right\lVert)$ es un espacio de Banach si es completo respecto a la métrica inducida por la norma: $d(u,v)=\left\lVert u-v \right\lVert$.

Antes de continuar, veamos un Lema que simplificará los desarrollos más adelante:

Lema. Sea $1\leq p < \infty$.Supongamos que $\{ f_k\}_{k=1}^{\infty}\subseteq L^p$ y $f_k\geq 0$ $\forall k$. Entonces: $$\left\lVert \sum_{k=1}^{\infty} f_k \right\lVert_p\leq \sum_{k=1}^{\infty} \left\lVert f_k \right\lVert_p.$$

Demostración. Sea $$F_N=\sum_{k=1}^{N} f_k.$$

Por la desigualdad de Minkowski: $$\left\lVert F_N \right\lVert_p\leq \sum_{k=1}^{N} \left\lVert f_k \right\lVert_p\leq \sum_{k=1}^{\infty} \left\lVert f_k \right\lVert_p.$$

Entonces, por el teorema de la convergencia monótona y la continuidad de la función $x\to x^p$, se sigue:

\begin{align*}
\left\lVert \sum_{k=1}^{\infty}f_k \right\lVert_p &= \left(\int_X \left|\sum_{k=1}^{\infty}f_k\right|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= \left(\int_X \left|\lim_{N\to \infty} F_N\right|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= \lim_{N\to \infty}\left(\int_X \left| F_N\right|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= \lim_{N\to \infty} \left\lVert F_N \right\lVert_p \\
&\leq \sum_{k=1}^{\infty} \left\lVert f_k \right\lVert_p.
\end{align*}

$\square$

Teorema (Riesz-Fischer). Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y sea $1\leq p <\infty$. Entonces, el espacio normado $(L^p(X),\left\lVert f \right\lVert_p)$ es un espacio de Banach.

Demostración. Consideremos una sucesión de Cauchy $\{ f_k\}_{k=1}^{\infty} $ en $L^p$. Al ser de Cauchy, podemos encontrar recursivamente una subsucesión $\{ f_{k_r} \}_{r=1}^{\infty}$ tal que: \begin{equation}\left\lVert f_{k_{r+1}}-f_{k_r} \right\lVert_p<\frac{1}{2^r} \ \ \ \forall r\in \mathbb{N}.\end{equation}

Basta probar que la subsucesión $\{ f_{k_r} \}_{r=1}^{\infty}$ converge en $L^p$. Recordemos que si una subsucesión de una sucesión de Cauchy converge, entonces toda la sucesión converge al mismo límite. Por simplicidad, reenumeremos los índices y supongamos que $\{ f_{k_r} \}_{r=1}^{\infty}=\{ f_{k} \}_{k=1}^{\infty}$.

Definamos $$F=|f_1|+\sum_{j=1}^{\infty} |f_{j+1}-f_j|.$$ Ésta es una función $\mathcal{M}$-medible al ser una serie de funciones medibles. Por el Lema anterior y (1) tenemos que:

\begin{align*}
\left\lVert F \right\lVert_p &\leq \left\lVert f_1 \right\lVert_p+\left\lVert \sum_{k=1}^{\infty} |f_{j+1}-f_j| \right\lVert_p \\
&\leq \left\lVert f_1 \right\lVert_p+\sum_{k=1}^{\infty}\left\lVert f_{j+1}-f_j \right\lVert_p \\
&\leq \left\lVert f_1 \right\lVert_p+\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{2^j} \\
&= \left\lVert f_1 \right\lVert_p+1 \\ &<\infty.
\end{align*}

En particular, se sigue que $F^p$ es integrable, de modo que $F^p<\infty$ en c.t.p., o equivalentemente, que $F(x)<\infty$ para todo $x\in X\setminus N$ con $N$ algún conjunto nulo: $\mu(N)=0$.

Para cualquier $x\in X\setminus N$, $F(x)=|f_1(x)|+\sum_{j=1}^{\infty} |f_{j+1}(x)-f_j(x)|$ converge $\implies$ $f_1(x)+\sum_{j=1}^{\infty} (f_{j+1}(x)-f_j(x))$ converge absolutamente. Como la $k$-ésima suma parcial de la serie «telescópica» anterior es: $$f_1(x)+\sum_{j=1}^{k} (f_{j+1}(x)-f_j(x))=f_k(x).$$ Se sigue que $$f(x)=\lim_{k\to \infty} f_k(x).$$ Existe para cada $x\in X\setminus N$. Definiendo $f=0$ sobre $N$, es fácil ver que $f$ resulta ser $\mathcal{M}$-medible.

Como para cada $x\in X\setminus N$ $$f(x)=f_1(x)+\sum_{j=1}^{\infty}(f_{j+1}(x)-f_j(x)) $$ \begin{equation}\implies |f(x)-f_k(x)|=\left|\sum_{j=k+1}^{\infty}(f_{j+1}(x)-f_j(x))\right|\leq \sum_{j=k+1}^{\infty}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|. \end{equation} Observa que este último estimado nos dice que para $x\in X\setminus N$, $$ |f(x)-f_k(x)|\leq \sum_{j=k+1}^{\infty}|f_{j+1}(x)-f_j(x)| \longrightarrow 0 $$ Cuando $k\to \infty$, pues $\sum_{j=1}^{\infty}(f_{j+1}(x)-f_j(x))$ es una serie convergente. Es decir, $f_k(x)\longrightarrow f(x)$ para $x\in X\setminus N$. Debajo enunciamos este hecho como un corolario.

Se sigue del Lema, (1) y (2) que: \begin{align*}
\left\lVert f-f_k \right\lVert_p &\leq \left\lVert \sum_{j=k+1}^{\infty}|f_{j+1}-f_j| \right\lVert_p \\
&\leq \sum_{j=k+1}^{\infty} \left\lVert f_{j+1}-f_j \right\lVert_p \\
&\leq \sum_{j=k+1}^{\infty} \frac{1}{2^{j}} \\
&= \frac{1}{2^{k}}<\infty.
\end{align*} Por lo anterior, tenemos por un lado que $$\left\lVert f-f_k \right\lVert_p<\infty.$$ $\implies$ $(f-f_k)\in L^p$. Luego $f=(f-f_k)+f_k\in L^p$. Se sigue también que $$\lim_{k\to \infty} \left\lVert f-f_k \right\lVert_p=0.$$ Por lo que $f_k \longrightarrow f$ en $L^p$.

$\square$

Corolario. Si una sucesión $f_k\longrightarrow f$ en $L^p$, entonces existe una subsucesión ${ f_{k_r}}$ tal que $$\lim_{r\to \infty} f_{k_r}(x)=f(x)$$ En c.t.p. $x\in X$.

Modos de convergencia

El corolario anterior podría sugerir alguna relación entre la convergencia en $L^p$ y la convergencia en casi todo punto. Sin embargo, esta cuestión es complicada. Dedicaremos esta sección a estudiar la relación que existe entre los distintos modos de convergencia que hemos construido.

Repasemos las múltiples nociones de convergencia de funciones que conocemos hasta ahora:

1. Convergencia puntual. $f_k\longrightarrow f$ puntualmente si $f_k(x)\longrightarrow f(x)$ para todo $x\in X$.
2. Convergencia uniforme. $f_k \longrightarrow f$ uniformemente si $\forall \varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f_k(x)|<\varepsilon$ para todo $x\in X$.
3. Convergencia en casi todo punto. $f_k\longrightarrow f$ en casi todo punto si existe un conjunto nulo $N$ tal que $f_k(x)\longrightarrow f(x)$ para todo $x\in X\setminus N$.
4. Convergencia en $L^p$. $f_k\longrightarrow f$ en $L^p$ si $ \left\lVert f-f_k \right\lVert_p\longrightarrow 0$.

Es claro que 2. $\implies$ 1. $\implies$ 3. Es fácil construir ejemplos en los que 1.$\;\not\!\!\!\implies$ 2. ni 3.$\;\not\!\!\!\implies$1. Veamos algunos casos en los que 1. $\;\not\!\!\!\implies$4. ni 4.$\;\not\!\!\!\implies$ 3.

Ejemplo. Consideremos $(\mathbb{R}, \mathcal{L},\lambda)$ los reales con la medida de Lebesgue. Definamos: $$f_k=\frac{1}{k}\chi_{[0,k^p]}.$$

Afirmamos que esta sucesión de funciones converge uniformemente a 0 (en particular puntualmente y en c.t.p.), pero no converge en $L^p$.

• La convergencia uniforme es clara: Si $k\geq \frac{1}{\varepsilon}$, entonces $\forall x\in \mathbb{R}$ $|f_k(x)-0|=|f_k(x)|\leq \frac{1}{k}\leq \varepsilon$.
• Si $f_k$ converge en $L^p$, digamos a $f$, por el corolario existiría alguna subsucesión $\{f_{k_r}\}_{r=1}^{\infty}$ que converge en c.t.p. a $f$. Como $f$ converge uniformemente a 0, la única posibilidad es $f=0$. Veamos que $f_k$ NO converge a 0 en $L^p$: Para todo $k\in \mathbb{N}$ \begin{align*}
  \left\lVert f_k-0 \right\lVert_p &= \left( \int_{\mathbb{R}}|\frac{1}{k}\chi_{[0,k^p]}(x)|^p \ \mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{p}} \\
  &= \frac{1}{k}\left( \int_0^{k^p}1 \ \mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{p}} \\
  &= \frac{1}{k}\left( k^p \right)^{\frac{1}{p}} \\
  &= 1 \neq 0.
  \end{align*} Por lo que $f_k$ NO converge a 0 en $L^p$.

$\triangle$

Ejemplo. Consideremos ahora la medida de Lebesgue restringida en el intervalo $[0,1]$, $\lambda_{|[0,1]}$. Para cada $k\in \mathbb{N}$ definamos: $$f_{2^k+j}=k\chi_{\left[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}\right]}; \ \ \ \ \ j=0,1,\dots, 2^{k}-1.$$

Afirmamos que $f_k\longrightarrow 0$ en $L^p$ para cada $p\in[1,\infty)$, pero $f_k$ NO converge en c.t.p.

• Dado $p\in [1,\infty)$: \begin{align*} \left\lVert f_{2^k+j} \right\lVert_p &= \left( \int_0^1 k^p\chi_{\left[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}\right]} \ \mathrm{d}\lambda \right)^{\frac{1}{p}} \\
  &= k \left( \int_{\frac{j}{2^j}}^{\frac{j+1}{2^k}} 1 \ \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}} \\
  &= k\left( \frac{1}{2^k} \right)^{\frac{1}{p}} \\
  &= k\cdot 2^{-\frac{k}{p}} \longrightarrow 0.
  \end{align*} Cuando $2^k+j\longrightarrow \infty$, de modo que $f_k \longrightarrow 0 $ en $L^p$ para $p\in [1,\infty)$.
• Sin embargo, la sucesión $\{ f_m(x)\}_{m=1}^{\infty}$ no converge para ningún $x\in[0,1]$:
  Dado $N>0$, podemos encontrar $m=2^k+j>N$ tal que $x\in [\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]$ $\implies$ $f_{2^k+j}(x)=k$. Sin embargo, también podemos encontrar algún $m’=2^k+i$ tal que $x\notin [\frac{i}{2^k},\frac{i+1}{2^k}]$ $\implies$ $f_{2^k+j}(x)=0$. Concluimos que $$\limsup_{j\to \infty} f_j(x)=\infty \neq 0 = \liminf_{j\to \infty} f_j(x).$$ Así que la sucesión NO converge en ningún punto.

$\triangle$

Ejemplo. Una sucesión en $L^{p_1}\cap L^{p_2}$ puede converger en $L^{p_1}$ pero no en $L^{p_2}$. Consideremos nuevamente $(\mathbb{R},\mathcal{L},\lambda)$ y definamos: $$f_k=k^{-1}\chi_{(k,2k)}.$$ De manera que $$\left\lVert f_k \right\lVert_p=\left( \int_{\mathbb{R}} (k^{-1}\chi_{(k,2k)})^p\right)^{\frac{1}{p}}=k^{-1}(k)^{\frac{1}{p}}=k^{-1+\frac{1}{p}}.$$ Por tanto $f_k \in L^p$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $p\in [1,\infty)$. Sin embargo

• $f_k \longrightarrow 0$ en $L^p$ si $1<p<\infty$, pues $\left\lVert f_k \right\lVert_p=k^{-1+\frac{1}{p}}\longrightarrow 0$.
• $\left\lVert f_k \right\lVert_1=1$ $ \ \forall k$, por lo que $f_k$ no converge a 0 en $L^1$.

$\triangle$

Más adelante…

Introduciremos el espacio $L^\infty$. Un espacio importante que se puede pensar como «un caso límite de los espacios $L^p$», y que comparte varias de sus propiedades analíticas.

Tarea moral…

• Sea $f_k(x)=\min(x^{-\frac{1}{2}},k)$ $\forall x\in [0,1]$. Verifica que $\{ f_k\}_{k=1}^{\infty}$ es una sucesión de Cauchy en $L^p([0,1])$ ($1\leq p \leq \infty$). Encuentra el límite de la sucesión en $L^p$.
• Sea $f_k(x)=\min(1,kx)$ $\forall x \in [0,1]$. Verifica que $f_k$ es una sucesión de Cauchy en $L^p([0,1])$ y encuentra su límite.
• (no-compacidad de la bola unitaria). Sea $f_k=\chi_{[k,k+1]}$ para cada $k\in \mathbb{N}$.
  • Calcula $\left\lVert f_k \right\lVert_p$ para cada $k$.
  • ¿Es $f_k$ una sucesión de Cauchy en $L^p(\mathbb{R})$?
  • ¿Tiene alguna subsucesión convergente?
  • Deduce que la bola unitaria en $L^p(\mathbb{R})$: $B=\{ f\in L^p(\mathbb{R}) \ | \ \left\lVert f \right\lVert_p=1\}$ no es un conjunto compacto.
• Demuestra que las funciones simples, es decir de la forma $s=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k\chi_{A_k}$ con $\alpha_k\in \mathbb{R}$ y $A_k\in \mathcal{M}$ para $k=1,\dots, m$ son densas en $L^p(X,\mathcal{M},\mu)$. Esto es, que para cualquier $f\in L^p$ y $\varepsilon>0$, existe una función simple $s$ tal que $\left\lVert f-s \right\lVert_p<\varepsilon$. [SUGERENCIA: Ya probamos que podemos aproximar puntualmente a $f$ por funciones simples $s_k$ tales que $|s_k|\leq f$].
• (convergencia uniforme y en $L^p$).
  • Demuestra que la convergencia uniforme en $[0,1]$ implica la convergencia en $L^p([0,1])$.
  • Sea $\{f_i\}_{i\in I}$ un conjunto de funciones diferenciables en $[0,1]$ tales que existe $0<M<\infty$ con $|f_i|,|f’_i|<M$ $\forall i \in I$. Demuestra que $\{f_i\}_{i\in I}$ es un conjunto compacto en $L^p([0,1])$. [SUGERENCIA: Utiliza el inciso anterior y el teorema de Arzela-Ascoli. El teorema del valor medio es útil para verificar la hipótesis de equicontinuidad].

Introducción

Los espacios $L^p$ son posiblemente los espacios normados más importantes que surgen en la teoría de la medida e integración de Lebesgue. Estos generalizan la idea de funciones integrables, y nos permiten medir el «tamaño» de funciones de maneras más flexibles y potentes, además, tienen propiedades súmamente interesantes en el contexto del análisis funcional. En esta entrada definiremos el concepto de espacio $L^p$ y estudiaremos algunas de sus propiedades básicas.

Aprovechando las nociones introducidas anteriormente, definiremos los espacios $L^p$ con toda generalidad sobre espacios de medida abstracta. En lo que sigue, $(X,\mathcal{M},\mu)$ denotará un espacio de medida arbitrario. Si te es más fácil, puedes pensar a $(X,\mathcal{M},\mu)$ como el espacio modelo $(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\lambda)$.

Motivación

Si bien la integral es una forma natural de medir la «masa de una función», es fácil llegar a la conclusión de que no necesariamente es la única manera de hacerlo. Consideremos la función $f(x)=\frac{1}{x}$ definida en $[1,\infty)$. Por un lado, es fácil estimar: $$\int_1^\infty \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x=\lim_{N\to \infty} \int_{1}^{N}\frac{1}{x} \ \mathrm{d}x= \lim_{N\to \infty} \ln (N)=\infty.$$ Sin embargo, si en lugar de considerar solamente a la función, consideramos sus potencias, por ejemplo $2$, es fácil calcular $$\int_1^\infty \left( \frac{1}{x}\right)^2 \ \mathrm{d}x=1<\infty.$$ Es decir, aprovechando la «contracción» que nos ofrece la función $f(x)=x^2$ para $x<1$, podemos darle un sentido alternativo de «masa» a la función $\frac{1}{x}$, que nos arroja un valor mucho más manejable.

Ésta es precisamente la idea detrás de espacio $L^p$: considerar la integral de las potencias de funciones.

Además de ser una forma alternativa de medir la «masa de una función», ésta noción nos da ejemplos de espacios normados con una estructura muy interesante.

Espacios $L^p$

Por razones «algebraicas» que serán claras más adelante, la expresión $$ \left\lVert f \right\lVert_p = \left( \int_X|f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}}.$$

Exhibe propiedades que son «casi» las de una norma, salvo que $\left\lVert f \right\lVert_p=0$ $\iff$ $f=0$, pues en realidad tenemos: $$\left\lVert f \right\lVert_p=0 \iff \int_X|f|^p \ \mathrm{d}\mu =0 \iff |f|^p= 0 \ \ \mu-c.t.p. \iff f=0 \ \ \mu-c.t.p.$$

Por ésta razón, conviene considerar a dos funciones «iguales» si son iguales en casi todo punto. Más formalmente, dada una función medible $f$, podemos considerar $[f]$ la clase de equivalencia de funciones medibles que son iguales en $\mu$-c.t.p. a $f$, es decir $$g\in[f] \ \ \iff \ \ g=f \ \text{ en } \mu- \text{c.t.p.}$$ Cualquier propiedad definida en términos de la integral debe ser preservada dentro de dicha clase de equivalencia, debido a la insensibilidad de la integral ante cambios en conjuntos de medida nula. Por ello, a partir de ahora identificaremos $f$ con $[f]$; es decir, cada vez que hablemos de una función medible $f$, implícitamente nos referiremos a su clase de equivalencia $[f]$.

Definición. Sea $f:X\to[-\infty,\infty]$ una función $\mathcal{M}$-medible y sea $1\leq p<\infty$. Decimos que (la clase de equivalencia de) $f$ pertenece a $ L^p(X,\mathcal{M},\mu)$ si $$\int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu <\infty.$$
De manera abreviada usaremos la notación $f\in L^p(X)$ o simplemente $f\in L^p$ si el espacio de medida es claro del contexto. Para $\mathbb{R}^n$ (o cualquier subconjunto de este), $L^p(\mathbb{R}^n)$ denotará $L^p(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\lambda)$ con la medida de Lebesgue salvo que se especifique lo contrario.

Observación. La definición anterior tiene sentido. Anteriormente probamos que la función $|f|^p$ es medible y al ser no negativa tiene una integral bien definida. Además, esto es cierto para cualquier elemento de la clase de equivalencia $[f]$.

Ejemplo. $L^1$ preserva su significado como el espacio de las funciones integrables (salvo que ahora identificamos funciones iguales en c.t.p.).

$\triangle$

Proposición. La función $\left\lVert \cdot \right\lVert_p :L^p(X,\mathcal{M},\mu)\to [0,\infty)$ dada por:

$$\left\lVert f \right\lVert_p=\left(\int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}}.$$ Es una norma.

Demostración. De la definición de $\left\lVert \cdot \right\lVert_p$, es inmediato que:

• $0\leq \left\lVert f \right\lVert_p < \infty$.
• $\left\lVert cf \right\lVert_p=|c|\left\lVert f \right\lVert_p$ si $c\in \mathbb{R}$.
• $\left\lVert f \right\lVert_p=0$ $\iff$ $f=0$ (es decir $[f]=[0]$) como mencionamos anteriormente.

Probar la desigualdad del triángulo, que en este contexto recibe el nombre de la desigualdad de Minkowski, requiere un par de resultados intermedios que merecen ser enunciados por separado.

$\square$

Lema (desigualdad de Young). Sean $1< p,q<\infty$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Entonces para cualesquiera $a,b>0$: $$ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{a^q}{q}.$$

Demostración. La función $x\to e^x$ es convexa (su segunda derivada es $e^x>0$), de donde:

$$ab=e^{\ln a+\ln b}=e^{\frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{q}\ln b^q}\leq \frac{1}{p}e^{\ln a^p}+\frac{1}{q}e^{\ln a^q}=\frac{a^p}{p}+\frac{a^q}{q}.$$

$\square$

Teorema (desigualdad de Hölder). Sean $1\leq p,q < \infty$ con $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Si $f\in L^p$ y $g\in L^q$, entonces $fg\in L^1$ y además: $$\int_X |fg| \ \mathrm{d}\mu \leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q.$$

Demostración. La desigualdad es inmediata si $f=0$ ó $g=0$ así que supongamos que $f,g\neq 0$. Por la desigualdad de Young tenemos que: \begin{align*}
\int_X \left( \frac{|f|}{\left\lVert f \right\lVert_p} \right)\left( \frac{|g|}{\left\lVert g \right\lVert_q} \right) \ \mathrm{d}\mu &\leq \int_X
\frac{1}{p}\left( \frac{|f|}{\left\lVert f \right\lVert_p} \right)^p \ \mathrm{d}\mu+\int_X
\frac{1}{q}\left( \frac{|g|}{\left\lVert g \right\lVert_q} \right)^q \ \mathrm{d}\mu\\
&= \frac{\left\lVert f \right\lVert_p^p}{p\left\lVert f \right\lVert_p^p}+\frac{\left\lVert g \right\lVert_q^q}{q\left\lVert g \right\lVert_q^q} \\
&= \frac{1}{p}+\frac{1}{q} \\
&= 1.
\end{align*} $$\implies \int_X |fg| \ \mathrm{d}\mu \leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q.$$

$\square$

Definición. Dado $1<p<\infty $, el conjugado de Hölder de p es el número $q$ tal que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ($q=\frac{p}{p-1}$). Para $p=1$ convenimos $q=\infty$ y para $p=\infty$ convenimos $q=1$. Más adelante se verá la razón de esta convención.

La desigualdad de Hölder es, por sí sola, un resultado muy importante. La utilizaremos en múltiples ocasiones más adelante. Para ilustrar su aplicación, veamos un ejemplo sencillo: la desigualdad de Hölder en el contexto de la medida de conteo.

Ejercicio. Sean $0\leq a_1,a_2,\dots ,a_n$ y $0\leq b_1,b_2,\dots ,b_n$ números no negativos. Sean $p,q\in (1,\infty)$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Demuestra que:
$$\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\leq\left( \sum_{k=1}^{n}a^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left( \sum_{k=1}^{n}b^q\right)^{\frac{1}{q}}.$$

Solución. Sea $X=\{1,2,\dots,n \}$ con la medida de conteo $\mu$. Consideremos las funciones $f,g:X\to [0,\infty]$ dadas por $f(j)=a_j$ y $g(j)=b_j$ para $j=1,2,\dots, n$. Notemos que: $$\left\lVert f \right\lVert_p=\left( \int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{p} = \left( \sum_{k=1}^{n}|f(k)|^p\right)^{\frac{1}{p}}=\left( \sum_{k=1}^{n}a_k^p\right)^{\frac{1}{p}}<\infty.$$ Y similarmente $$\left\lVert g \right\lVert_q=\left( \int_X |g|^q \ \mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{q} = \left( \sum_{k=1}^{n}|g(k)|^q\right)^{\frac{1}{q}}=\left( \sum_{k=1}^{n}b_k^q\right)^{\frac{1}{q}}<\infty.$$ Además $$\int_X |fg|\ \mathrm{d}\mu=\sum_{k=1}^{n}|f(k)g(k)|=\sum_{k=1}^{n}a_kb_k.$$ Se sigue entonces de la desigualdad de Hölder que $$\sum_{k=1}^{n}a_kb_k=\int_X |fg|\ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q=\left( \sum_{k=1}^{n}a_k^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot \left( \sum_{k=1}^{n}b_k^q\right)^{\frac{1}{q}}$$
Como queríamos probar.

$\triangle$

Teorema (Desigualdad de Minkowski). Sean $f,g\in L^p$ con $1\leq p<\infty$. Entonces $f+g\in L^p$ y $$\left\lVert f +g\right\lVert_p\leq \left\lVert f \right\lVert_p+\left\lVert g \right\lVert_p$$

Demostración. Para $p=1$, esto es una consecuencia de la desigualdad del triángulo convencional. Así que supongamos $p\neq 1$.

Primero notemos que $|f+g|,|f|+|g|\in L^p$ pues: $$|f+g|^p\leq (|f|+|g|)^p\leq (2\max{ |f|,|g|})^p\leq 2^p(\max{ |f|,|g|})^p\leq 2^p (|f|^p+|g|^p).$$

Más aún, como $|f+g|\in L^p$, entonces $|f+g|^{p-1}\in L^q$ donde $q=\frac{p}{p-1}$ es el conjugado de Hölder de $p$ pues: $$\int_X (|f+q|^{p-1})^q \ \mathrm{d}\mu = \int_X |f+q|^p \ \mathrm{d}\mu<\infty.$$
Se sigue entonces:

\begin{align*}
\left\lVert f+g \right\lVert_p^p &= \int_X |f+g|^p \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \int_X |f+g|^{p-1}(|f|+|g|) \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int_X |f+g|^{p-1}|f| \ \mathrm{d}\mu+ \int_X |f+g|^{p-1}|g| \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int_X |f+g|^{p} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{p-1}{p}}\left\lVert f \right\lVert_p+\leq \left( \int_X |f+g|^{p} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{p-1}{p}}\left\lVert g \right\lVert_p \\
&= \left\lVert f+g \right\lVert_p^{p-1}(\left\lVert f \right\lVert_p+\left\lVert g \right\lVert_p)
\end{align*}

De donde

$$\implies \left\lVert f+g \right\lVert_p\leq \left\lVert f \right\lVert_p+\left\lVert g \right\lVert_p.$$

$\square$

Más adelante…

Veremos otra propiedad anlítica fundamental de los espacios $L^p$: son espacios de Banach.

Tarea moral

• Sean $f,g$ funciones $\mathcal{M}$-medibles sobre $X$. Prueba que si $|f|\leq |g|$ en $\mu$-c.t.p. y $g\in L^p(X)$, entonces $f\in L^p(X)$ y además $\left\lVert f \right\lVert_p\leq \left\lVert g \right\lVert_p$.
• Sea $f(x)=x^\alpha$. Determina para qué exponentes $\alpha\in \mathbb{R}$ se cumple:
  • $f\in L^p(0,1)$.
  • $f\in L^p(1,\infty)$.
• Verifica que la desigualdad de Hölder es válida aún cuando $\int |f|^p \ \mathrm{d}\mu$ ó $\int |g|^q \ \mathrm{d}\mu$ son infinitas.
• (generalizaciones de la desigualdad de Hölder).
  • Sean $p,q,r\in [1,\infty)$ tales que $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$. Prueba que $$\left\lVert fg \right\lVert_r\leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q.$$ [SUGERENCIA: Aplica la desigualdad de Hölder con los exponentes adecuados].
  • Sean $1<p_1,p_2,\dots p_n<\infty$ tales que $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p_k}$. Prueba que $$\left\lVert f_1 f_2 \dots f_n \right\lVert_1\leq \left\lVert f_1 \right\lVert_{p_1} \left\lVert f_2 \right\lVert_{p_2} \dots \left\lVert f_n \right\lVert_{p_n}.$$
• Demuestra que $$<f,g>:=\int fg \ \mathrm{d}\mu.$$ Es un producto interior sobre $L^2(X)$. Demuestra que la norma inducida por este producto coincide con $\left\lVert \cdot \right\lVert_2$.
• Analiza la prueba de la desigualdad de Hölder y deduce que la igualdad se alcanza si y sólo si $f$ y $g$ son proporcionales en casi todo punto, esto es, que existen constantes $A,B\geq 0$ (no ambas cero) tales que $A|f|^p=B|g|^q$ en $\mu$-c.t.p. [SUGERENCIA: Por convexidad estricta, la igualdad se alcanza en la desigualdad de Young si y sólo si $a^p=b^q$].
• Prueba que la igualdad se alcanza en la desigualdad de Minkowski si y sólo si existe $\lambda\geq 0$ tal que $f=\lambda g$ en $\mu$-c.t.p.

Introducción

En esta entrada estudiaremos brevemente dos ejemplos importantes de medidas «inducidas», es decir, que se definen en términos de otras medidas mediante funciones que las relacionan.

Medida inducida por una función de densidad

Supongamos que tenemos una distribución de «masa» o «sustancia» en el espacio, donde en algunas regiones la materia está más concentrada que en otras. ¿Cómo podemos medir la «masa» concentrada en un conjunto $E$, suponiendo que conocemos la densidad de masa $f$? La medida inducida por una función de densidad: $\mu_f(E)=\int_Ef \ \mathrm{d}\mu \ \ \forall E\in \mathcal{M}$, es una propuesta natural para este problema. Se puede pensar que $\mu$ da la «geometría» del espacio, mientras que $f$ ajusta la «densidad» de peso en cada región. De esta manera, podemos modelar fenómenos donde la importancia relativa varía, como probabilidades no uniformes o distribuciones físicas.

Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y $f:X\to [0,\infty]$ una función $\mathcal{M}$-medible no negativa. Definimos la medida inducida por la función de densidad $f$, $\mu_f$ como:
$$\mu_f(E)=\int_Ef \ \mathrm{d}\mu \ \ \ \ \ \forall E\in \mathcal{M}.$$
Proposición. $\mu_f$ es una medida.

Demostración. En primer lugar $\mu_f(\emptyset)=\int_{\emptyset} f \ \mathrm{d}\mu=0$. Además, dados $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{M}$ ajenos, se sigue del teorema de la convergencia monótona:

\begin{align*}
\mu_f\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)&= \int_{\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k} f \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int f\cdot\chi_{\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k} \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int f\left( \sum_{k=1}^{\infty}\chi_{A_k}\right) \ \mathrm{d}\mu \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\int f\cdot\chi_{A_k} \ \mathrm{d}\mu\\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{A_k}f \ \mathrm{d}\mu \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\mu_f(A_k).
\end{align*}

$\square$

Observación. $\mu_f$ es una medida finita si y sólo si $f\in L^1(X)$.

La integral respecto a la medida inducida por una función tiene una forma muy particular, en la que por supuesto aparece la función $f$.

Teorema (Integral respecto a la medida inducida). Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida, $f:X\to [0,\infty]$ una función $\mathcal{M}$-medible y $\mu_f$ la medida inducida por la función de densidad $f$. Entonces, para cualquier función $\mathcal{M}$-medible no negativa $g:X\to[0,\infty]$: $$\int g \ \mathrm{d}\mu_f=\int gf \ \mathrm{d}\mu.$$

Demostración. Veamos primero el caso en el que $g=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k\chi_{E_k}\in S$ es una función simple:

$$\int g \ \mathrm{d}\mu_f= \sum_{k=1}^{m}\alpha_k\mu_f(E_k)=\sum_{k=1}^{m}\left(\alpha_k \int_{E_k} f \ \mathrm{d}\mu \right) = \int \left( \sum_{k=1}^{m}\alpha_k \chi_{E_k}\right)f \ \mathrm{d}\mu=\int gf \ \mathrm{d}\mu.$$

Ahora, para el caso general $g:X\to [0,\infty]$ $\mathcal{M}$-medible, tomemos una sucesión de funciones simples $\{s_k \}_{k=1}^{\infty}$ tales que $s_k\uparrow g$ (y en particular $s_kf\uparrow gf$). Aplicando el teorema de la convergencia monótona y el caso anterior:

\begin{align*}
\int g \ \mathrm{d}\mu_f &= \lim_{k\to \infty} \int s_k \ \mathrm{d}\mu_f \\
&= \lim_{k\to \infty} \int s_kf \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int gf \ \mathrm{d}\mu.
\end{align*}

$\square$

Es inmediato generalizar el teorema anterior para funciones en $L^1$. Esto se queda como tarea moral.

La proposición anterior motiva una notación muy sugerente. A la medida $\mu_f$ se le denota comúnmente como $f\mathrm{d}\mu$. La proposición anterior toma la forma: $$\int g \ (f\mathrm{d}\mu )=\int gf \ \mathrm{d}\mu.$$

Observación. Es claro que si $\mu(E)=0$ $\implies$ $\mu_f(E)=(f\mathrm{d}\mu)(E)=\int_Ef \ \mathrm{d}\mu=0$. Esto es precisamente que la medida $\mu_f$ sea absolutamente continua respecto a la medida $\mu$:

Definición. Sean $\mu$ y $\nu$ medidas sobre el mismo espacio $(X,\mathcal{M})$. Decimos que $\nu$ es absolutamente continua respecto a $\mu$ si $\mu(E)=0$ $\implies$ $\nu(E)=0$ y lo denotamos por $$\nu<<\mu.$$

Sorprendentemente, la observación anterior tiene un regreso parcial: El teorema de Radon-Nikodym. Es un resultado bastante técnico por lo que omitimos la demostración. Puedes consultar la prueba y más resultados relacionados en (Folland, 1999).

Teorema (Radon-Nikodym). Sean $\mu$ y $\nu$ medidas $\sigma$-finitas sobre $(X,\mathcal{M})$. Si $\nu << \mu$, entonces existe una función $\mathcal{M}$-medible, $f:X\to[0,\infty]$, tal que $$\nu=\mu_f.$$

$\square$

Definición. Dadas dos medidas $\nu<<\mu$ sobre $(X,\mathcal{M})$ tales que existe una función medible $f:X\to[0,\infty]$ con $\nu=\mu_f=f\mathrm{d}\mu$ (por ejemplo, en el contexto del teorema de Radon-Nikodym), entonces decimos que $f$ es la derivada de Radon-Nikodym de $\nu$ respecto a $\mu$ y la denotamos como $$f=\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}.$$ En este caso, el teorema de integral respecto a la medida inducida toma la forma: $$\int g \ \mathrm{d}\nu=\int \left(g\cdot \frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu} \right) \ \mathrm{d}\mu .$$

Medida Pushforward

Imaginemos que tenemos un mapeo $F:X\to Y$ que transforma puntos de un espacio en otro. Si tenemos una medida $\mu$ en el espacio original, la medida pushforward nos dice cómo se «redistribuye» esa medida en el nuevo espacio.

Definición. Sean $X$, $Y$ conjuntos y $\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$ $\sigma$-álgebras sobre $X$ y $Y$ respectivamente. Diremos que una función $F:X\to Y$ es $(\mathcal{M},\mathcal{N})$-medible si $F^{-1}(E)\in \mathcal{M}$ $ \ \forall E\in \mathcal{N}$.

Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida, $Y$ un conjunto con una $\sigma$-álgebra $\mathcal{N}$ y $F:X\to Y$ una función $(\mathcal{M},\mathcal{N})$-medible. Definimos la medida imágen (o Pushforward) de $\mu$ bajo $F$, $F_*\mu$, por $$F_*\mu (E)=\mu(F^{-1}(E)) \ \ \ \ \ \ \ \forall E\in \mathcal{N} .$$

Es un ejercicio sencillo ver que $F_*\mu$ es efectivamente una medida sobre $Y$ y se queda como tarea moral.

Teorema (Cambio de Variable). Sean $(X,\mathcal{M},\mu)$, $(Y,\mathcal{N})$ y $F:X\to Y$ como antes. Sea $g:Y\to[0,\infty]$ una función $\mathcal{N}$-medible no negativa. Entonces $$\int_Yg \ \mathrm{d}F_*\mu=\int_X g\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$

Demostración. Veamos primero el caso de funciones simples. Sea $s=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k\chi_{E_k}\in S$ simple sobre $Y$. Observemos que $s\circ F(x)=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k\chi_{E_k}(F(x))=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k\chi_{F^{-1}(E_k)}(x)$. Luego:

$$\int_Y s \ \mathrm{d}F_*\mu=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k \ F_*\mu(E_k)=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k \mu(F^{-1}(E_k))=\int_X s\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$

Veamos ahora el caso general. Sea $g:Y\to[0,\infty]$ una función $\mathcal{N}$-medible. Como ya sabemos, podemos encontrar una sucesión de funciones simples $\{ s_k\}_{k=1}^{\infty}$ tales que $s_k\uparrow g$. Es claro que $s_k\circ F \uparrow g\circ F$, así que por el teorema de la convergencia monótona:

$$\int_Y g \ \mathrm{d}F_*\mu=\lim_{k\to \infty} \int_Y s_k \ \mathrm{d}F_*\mu=\lim_{k\to \infty} \int_X s_k\circ F \ \mathrm{d}\mu =\int_X g\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$

$\square$

Corolario. Con las hipótesis del teorema anterior, si $g\in L^1(Y,\mathcal{N},F_*\mu)$, entonces: $$\int_Yg \ \mathrm{d}F_*\mu=\int_X g\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$

$\square$

Más adelante…

Definiremos los espacios $L^p$, uno de los espacios normados más importantes que surgen en la teoría de integración.

Tarea moral

• Prueba que el teorema de integración respecto a la medida inducida por una función tambien es válido para funciones en $L^1$.
• Sea $X=\{ 1,2,\dots, n \}$ dotado con la medida de conteo $\mu$, $f(i)=a_i$; $g(j)=b_j$ para $i,j=1,2,\dots, n$. Calcula $\int f \ \mathrm{d}\mu_g$.
• Supón que $f,g$ satisfacen las hipótesis del teorema de integración respecto a la medida inducida. Prueba que $$\int f \ \mathrm{d}\mu_f=\int g \ \mathrm{d}\mu_g.$$
• Prueba que la medida imágen $F_*\mu$ es una medida.
• Sea $F:\mathbb{R}\to [0,\infty)$ con regla $F(x)=x^2$. Describe $F_*\mu$.

Referencias

Folland, Gerald B. Real analysis: modern techniques and their applications. John Wiley & Sons, 1999.

Introducción

Hasta ahora, hemos visto resultados válidos en cualquier espacio de medida $(X,\mathcal{M},\mu)$. Sin embargo, hay algunas otras propiedades específicas de cada medida que tienen consecuencias teóricas relevantes. En esta sección revisaremos brevemente algunas de las más importantes.

Medidas finitas y $\sigma$-finitas

Los siguientes dos conceptos están relacionados con el «tamaño» de una medida.

Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Diremos que $\mu$ es una medida finita si $\mu(X)<\infty$. Diremos que $\mu$ es $\sigma$-finita si $X$ puede ser expresado como una unión numerable de conjuntos de medida finita: $X=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ con $\mu(E_k)<\infty$ para tood $k$.

Observación. Toda medida finita es $\sigma$-finita, pero el regreso es falso como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo. La medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ es $\sigma$-finita pues podemos escribir a $\mathbb{R}^n$ como una unión numerable de conjuntos de medida finita, sin embargo, no es una medida finita pues $\lambda(\mathbb{R}^n)=\infty$.

$\triangle$

Ejemplo. La medida de Lebesgue inducida en cualquier conjunto acotado es finita.

$\triangle$

Ejemplo. Sea $(X,2^X,\mu)$ un espacio con la medida de conteo. Claramente $\mu$ es finita si y sólo si $X$ es un conjunto finito. $\mu$ es $\sigma$-finita si y sólo si $X$ es un conjunto a lo más numerable: En efecto, si $X$ es numerable, podemos expresar $X=\bigcup_{x\in X}\{ x\} $, que es una unión numerable de conjuntos de medida $1$. Inversamente, si $\mu$ es $\sigma$-finita, podemos expresar $X=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ con $\mu(E_k)<\infty$, es decir, podemos expresar a $X$ como una unión numerable de conjuntos finitos, por tanto, el propio $X$ es a lo más numerable.

$\triangle$

Ejemplo. Toda medida de probabilidad $\mathbb{P}$ es finita, pues $\mathbb{P}(X)=1<\infty$ por definición.

$\triangle$

Medidas completas

La siguiente propiedad está relacionada con la «densidad» de una medida.

Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Diremos que la medida $\mu$ es completa si cualquier subconjunto de un conjunto de medida cero es medible. Es decir, si $M\subseteq N\subseteq X$; $N\in \mathcal{M}$ y $\mu(N)=0$ $\implies$ $M\in \mathcal{M}$.

Ejemplo. La medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ es completa pues cualquier subconjunto de un conjunto nulo es nulo (y por tanto Lebesgue medible).

$\triangle$

Ejemplo. La medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ restringida a los conjuntos de Borel $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}_n,\lambda_{|\mathcal{B}_n})$ NO es completa. Existen conjuntos nulos que no son Borel medibles.

$\triangle$

Ejemplo. La medida de conteo sobre cualquier espacio es completa. En este caso el único conjunto con medida cero es el vacío.

$\triangle$

El siguiente resultado nos dice que cualquier medida puede ser «modificada» para tener una medida completa.

Proposición (Completación de una medida). Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Definamos $\overline{\mathcal{M}}$ y $\overline{\mu}$ como:

• $A\in \overline{\mathcal{M}}$ $\iff$ Existen $B,C\in \mathcal{M}$ tales que $B\subseteq A\subseteq C$ y $\mu(C\setminus B)=0$. Definimos $\overline{\mu}(A)=\mu(B)=\mu(C)$.

Entonces $(X,\overline{\mathcal{M}},\overline{\mu})$ es un espacio de medida con $\overline{\mu}$ una medida completa. Además $\mathcal{M}\subseteq \overline{\mathcal{M}}$ y $\mu(A)=\overline{\mu}(A)$ $ \ \forall A\in \mathcal{M}$.

Demostración. $\overline{\mu}$ está bien definida pues si $B_1,C_1,B_2,C_2\in \mathcal{M}$ con $B_1,B_2\subseteq A\subseteq C_1,C_2$ y $\mu(C_1\setminus B_1)=\mu(C_2\setminus B_2)=0$, tenemos $C_1\setminus C_2\subseteq C_1\setminus B_1$; $C_2\setminus C_1\subseteq C_2\setminus B_2$ $\implies$ $\mu(C_1\setminus C_2)=\mu(C_2\setminus C_1)=0$ $\implies$ $\mu(C_1)=\mu(C_1)-\mu(C_1\setminus C_2)+\mu(C_2\setminus C_1)=\mu(C_2)$. Similarmente $\mu(B_1)=\mu(B_2)$.

De la definición es inmediato que $\mathcal{M}\subseteq \overline{\mathcal{M}} $ y $\mu=\overline{\mu}$ sobre $\mathcal{M}$, pues si $A\in \mathcal {M}$ $\implies$ $A\subseteq A\subseteq A$ y $\mu(A\setminus A)=0$.

Veamos que $\overline{\mathcal{M}}$ es una $\sigma$-álgebra.

• Es claro que $\emptyset \in \overline{\mathcal{M}}$.
• Si $A\in \overline{\mathcal{M}}$, por definición existen $B,C\in \mathcal{M}$ con $B\subseteq A\subseteq C$ y $\mu(C\setminus B)=0$ $\implies$ $C^c\subseteq A^c\subseteq B^c$ y $\mu(B^c\setminus C^c)=\mu(C\setminus B)=0$, lo que implica que $A^c\in \overline{\mathcal{M}}$.
• Si $A_1,A_2,\dots \in \overline{\mathcal{M}}$, existen $B_1,B_2,\dots$; $C_1,C_2,\dots$ en $\mathcal{M}$ tales que $B_k\subseteq A_k\subseteq C_k$ y $\mu(C_k\setminus B_k)=0$ para cada $k\in \mathbb{N}$. Luego: $\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}C_k$ (con el primer y último conjunto en $\mathcal{M}$), y $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}C_k\setminus \bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\right)\leq \mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}(C_k\setminus B_k)\right)\leq \sum_{k=1}^{\infty}\mu(C_k\setminus B_k)=0.$$ Por lo que $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in \overline{\mathcal{M}}$.

Finalmente, veamos que $\overline{\mu}$ es una medida. Es inmediato que $\overline{\mu}(\emptyset)=0$. Sean $A_1,A_2,\dots \in \overline{\mathcal{M}}$ conjuntos ajenos. Tomando $B_1,B_2,\dots$; $C_1,C_2,\dots$ como en el párrafo anterior, se sigue que $\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}C_k$, $\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}C_k\setminus \bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)=0$. En particular, los $B_k$ son ajenos y $\overline{\mu}(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(B_k)=\sum_{k=1}^{\infty}\overline{\mu}(A_k).$

$\square$

A la medida $\overline{\mu}$ construida en el ejemplo anterior se le conoce como la completación de $\mu$.

Observación. La completación de una medida completa es ella misma.

Ejemplo. La completación de la medida de Lebesgue restringida en los conjuntos de Borel es la medida de Lebesgue estándar.

Demostración. Como consecuencia del teorema de caracterización de conjuntos medibles, para cualquier conjunto $A\in \mathcal{L}_n$, podemos encontrar conjuntos $F_1\subseteq F_2 \subseteq\dots $ cerrados y $U_1\supseteq U_2\supseteq \dots$ abiertos tales que $F_k\subseteq A \subseteq U_k$ y $\lambda(U_k\setminus F_k)<\frac{1}{k}$ para cada $k\in \mathbb{N}$.

Al Tomar $F=\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k$ y $U=\bigcap_{k=1}^{\infty}U_k$, es fácil ver que $F\subseteq A \subseteq U$ y $\lambda(U\setminus F)=0$. $F$ y $U$ son conjuntos de Borel, pues son uniones e intersecciones de conjuntos de Borel respectivamente.

De la definición, concluimos que la medida de Lebesgue sobre $\mathcal{L}_n$ es la completación de la medida de Lebesgue sobre $\mathcal{B}_n$.

$\triangle$

Para efectos de integración, casi siempre podemos asumir que la medida es completa. El siguiente resultado justifica esta idea.

Proposición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y $(X,\overline{\mathcal{M}},\overline{\mu})$ su completación. Entonces:

1. Para cualquier función $\overline{\mathcal{M}}$-medible $f:X\to [-\infty, \infty]$ existe una función $\mathcal{M}$-medible $g:X\to[-\infty, \infty]$ tal que $f=g$ en $\overline{\mathcal{M}}$-casi todo punto.
2. Si $g:X\to [0,\infty]$ es una función $\mathcal{M}$-medible no negativa, entonces $g$ es $\overline{\mathcal{M}}$ medible y además $$\int g \ \mathrm{d}\mu=\int g \ \mathrm{d}\overline{\mu}.$$
3. Si $g\in L^1(X,\mathcal{M},\mu)$ $\implies$ $g\in L^1(X,\overline{\mathcal{M}},\overline{\mu})$ y además $$\int g \ \mathrm{d}\mu=\int g \ \mathrm{d}\overline{\mu}.$$

Demostración.

1. Veamos primero el caso de una función simple. Sea $s=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k \chi_{A_k}$ $\overline{\mathcal{M}}$-medible. Como $A_1,A_2,\dots, A_n$ son $\overline{\mathcal{M}}$ medibles, podemos encontrar $B_1,B_2,\dots , B_m$ conjuntos $\mathcal{M}$-medibles tales que $B_j\subseteq A_j$ y $\overline{\mu}(A_j\setminus B_j)=0$ (en particular $\mu(B_j)=\overline{\mu}(A_j)$). Entonces la función $s’=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k \chi_{B_k}$ es $\mathcal{M}$ medible y es igual $\overline{\mu}$ en c.t.p. a $s$ (observa que además $s’\leq s$).
   Ahora consideremos una función $\overline{\mathcal{M}}$-medible $f$. Sea $s_k$ una sucesión de funciones simples $\overline{\mathcal{M}}$-medibles tales que $$s_k\uparrow f.$$ Por el caso anterior, podemos encontrar una sucesión de funciones simples $\mathcal{M}$-medibles $\{ s_k’ \}_{k=1}^{\infty}$ tales que $s_k’=s_k$ en $\overline{\mathcal{M}}$ c.t.p. La función $$\sup s_k’$$ es $\mathcal{M}$-medible e igual a $f$ en $\overline{\mu}$- c.t.p.
   El caso general se sigue de escribir $f=f_+-f_-$ y aplicar el caso anterior a $f_+$ y $f_-$ por separado.
2. Si $g\geq 0$ es $\mathcal{M}$-medible entonces en automático es $\overline{\mathcal{M}}$-medible pues $\mathcal{M}\subseteq \overline{\mathcal{M}}$. Si denotamos como $S_{\mathcal{M}}$ y $S_{\overline{\mathcal{M}}}$ a las funciones simples, no negativas, $\mathcal{M}$ y $\overline{\mathcal{M}}$ medibles respectivamente, entonces:
   $$\sup \left\{ \int s \ \mathrm{d}\mu \ | \ s\in S_{\mathcal{M}}; \ s\leq g \right\}\leq \sup\left\{ \int s \ \mathrm{d}\mu \ | \ s\in S_{\overline{\mathcal{M}}}; \ s\leq g \right\}.$$
   Pues el conjunto de la izquierda está contenido en el de la derecha ($S_{\mathcal{M}}\subseteq S_{\overline{\mathcal{M}}}$). Más aún, los conjuntos son iguales: La construcción del inciso anterior muestra que para cualquier $s\in S_{\overline{\mathcal{M}}}$ con $s\leq f$, existe $s’\in S_{\mathcal{M}}$ tal que $s’\leq s\leq f$ y $\int s’ \ \mathrm{d} \mu = \int s \ \mathrm{d}\mu$. Por definición de la integral se sigue que: $$\int g \ \mathrm{d}\mu = \int g \ \mathrm{d}\overline{\mu}.$$
3. Se sigue de escribir $g=g_+-g_-$ y aplicar el inciso anterior a $g_+$ y $g_-$ por separado.

$\square$

Más adelante…

Estudiaremos dos ejemplos importantes de medida inducidas: La medida inducida por una función medible no negativa y la medida imágen (o pushforward).

Tarea moral

• Sea $\delta_{x_0}$ la medida de Dirac sobre $X$. ¿Es $\delta_{x_0}$ una medida finita? ¿Es $\sigma$-finita?
• Sea $\mu_f$ la medida inducida por una función medible no negativa. Prueba que $\mu_f$ es finita si y sólo si $f\in L^1(X)$.
• Decimos que una medida es semi-finita si para cada $F\in \mathcal{M}$ con $\mu(F)=\infty$, existe algún $E\in \mathcal{M}$ tal que $E\subseteq F$ y $\mu(E)<\infty$. Prueba que si $\mu$ es semi-finita, y $\mu(F)=\infty$, entonces para cada $C>0$ existe $E\subseteq F$ con $C<\mu(E)<\infty$.
• Prueba que la medida de Dirac es completa.
• Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida completo. Supón que $f$ es una función $\mathcal{M}$-medible y $g$ una función arbitraria. Pruba que si el conjunto $\{x \ | \ f(x)\neq g(x) \}$ es nulo, entonces $g$ es $\mathcal{M}$-medible. ¿Lo anterior es cierto si $\mu$ no es completa? [SUGERENCIA: Asumiendo que $B_1\subsetneq L_1$, debe existir $A$ un conjunto nulo Lebesgue-medible, pero no Borel-medible. Considera $\chi_A$].