Teorema: $F$ es cerrado $\iff \partial F \subseteq F$.

Teorema: $F$ es cerrado $\iff F = \overline{F \,}.$

Demostración:

[$\Leftarrow$] Supongamos que $F = \overline{F \,}$

[por demostrar: $F^c$ es abierto]

Sea $x \in F^c$. Sabemos que $\mathbb{R}^n =$ int $F \; \cup$ ext $F \cup \partial F$ y además sabemos que un punto no pude pertenecer a dos de estos conjuntos.

Entonces, tenemos que $x \notin F$ porque de estarlo $x \in F$. (CONTRADICCIÓN)

Además $x \notin \partial F$ porque si $x \in \partial F \Longrightarrow x \in \overline{F \,} = F$. (CONTRADICIÓN)

Por lo que la única posibilidad es que $x \in$ ext $F$.

Luego, existe una bola contenida en el $F^c$ entonces $x$ es punto interior de $F^c \Longrightarrow F^c$ es abierto.

[$\Rightarrow$] Supongamos que $F^c$ es abierto.

$\big[$ por demostrar: $F = \overline{F \,} \, \big]$

Sabemos que siempre ocurre que $F \subseteq \overline{F \,}$.

$\big[$por demostrar: $\overline{F \,} \subseteq F \big] $

Sea $x \in \overline{F \,} = F \cup \partial F.$

Caso 1) $x \in F$ $\checkmark$

Caso 2) $x \in \partial F$ $\big[ $por demostrar: $x \in F \big]$

Supongamos que $x \notin F$ entonces $x \in F^c$, como $F^c$ es abierto, existe una bola $B_r(x) \subseteq F^c$ entonces en esa bola no hay puntos de $F$. (CONTRADICCIÓN)

$\therefore x \in F$

$\therefore F = \overline{F \,}$ $_\blacksquare$

Proposición: Sea $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{R}^n$ entonces $\partial \mathcal{A} = \partial \mathcal{A}^c$.

Demostración:

Sea $x \in \partial \mathcal{A}$ $$\iff \forall r > 0 \; B_r(x) \cap \mathcal{A} \neq \emptyset$$ y también $$B_r(x) \cap \mathcal{A}^c \neq \emptyset$$ $$\forall x \in \partial \mathcal{A}^c \; \; _{\blacksquare}$$

Observación:

1) int $\mathcal{A}$ es abierto.

Demostración:

int $\mathcal{A}$ es abierto $\iff$ int ( int $\mathcal{A}$) ) = int $\mathcal{A}$.

Sabemos que int ( int $\mathcal{A}$) ) $\subseteq$ int $\mathcal{A}$. $\checkmark$

$\big[$ por demostrar: int $\mathcal{A}$ $\subseteq$ int $\big($ int $\big($ $\mathcal{A} \big) \big) \big]$

Sea $\mathcal{B} =$ int $\mathcal{A}$

$\big[$ por demostrar: $\mathcal{B} \subseteq$ int $\mathcal{B} \big]$

Sea $b \in \mathcal{B} =$ int $\mathcal{A}$

entonces $\exists B_r (b) \subseteq \mathcal{A}$.

Sea $x \in B_r (b)$

entonces $\exists \, B_{{r }’} (x) \subseteq B_r (b) \subseteq \mathcal{A}$.

Luego $x$ es punto interior de $\mathcal{A}$, por lo que $x \in \mathcal{B}$. Entonces $b$ es punto interior de $\mathcal{B}$ $$\therefore \mathcal{B} \subseteq \text{int} \mathcal{B}.\; \; _\blacksquare$$

2) $\overline{F \,}$ es cerrado.

Demostración:

Sea $E = \overline{F \,}$

$\big[$ por demostrar: $E$ es cerrado $\big]$

$\big[$ por demostrar: $E = \overline{E \,}$ $\big]$

$\big[$ por demostrar: $\partial E \subseteq E$ $\big]$

Sea $x \in \partial E$

$\forall \; r > 0$ $B_r (x) \cap E \neq \emptyset $ y $B_r (x) \cap E^c \neq \emptyset $.

$\big[$ por demostrar: $x \in E$ $\big]$

Si no fuera así, $x \in E^c =$ ext $F$ ya que $\mathbb{R}^n =$ int $F \cup \partial F \cup$ ext $F$. Pero int $F \cup \partial F = \overline{F \,}$, por lo que $\mathbb{R}^n = \overline{F \,} \; \cup$ ext $F$, lo que es lo mismo que $\mathbb{R}^n = E \; \cup$ ext $F$.

Luego, $\exists \, B_r (x)$ en la cual todos los puntos están en $F^c$. Allí no hay ningún punto de $E$, ya que $E = F \cup \partial F$.

Si hubiera un $w \in \partial F$, $w \in B_r (x)$ entonces $\exists \; r’ > 0$ tal que $B_{{r}’} (w) \subset B_r (x) \subset F^c$.

Por lo que $w$ no puede ser punto frontera de $F$ pues tiene una vecindad contenida en $F^c$. Luego $B_r (x) \cap E = \emptyset$. (CONTRADICCIÓN)

Entonces para cualquier $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{R}^n$ se tiene que int $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A} \subseteq \overline{\mathcal{A} \,}$. $_{\blacksquare}$

Proposición: $\emptyset$ es abierto y cerrado.

Demostración:

int $\emptyset \subseteq \emptyset \Longrightarrow$ int $\emptyset = \emptyset.$

$$\therefore \emptyset \text{ es abierto}$$

Además, $\partial \emptyset = \emptyset$ y también $\emptyset = \emptyset \; \cup \partial \emptyset = \overline{\emptyset}.$ $$\therefore \emptyset \text{ es cerrado. } \; _{\blacksquare}$$

Observación: $\mathbb{R}^n$ es abierto y cerrado.

Luego, $(X, \mathcal{T})$ es un espacio topológico si $\mathcal{T}$ tiene estas tres propiedades.

$(\mathbb{R}^n, \mathcal{T})$ es un espacio topológico.

Esto pasa para cualquier espacio métrico $(X, d)$ y la que hemos definido sería la topología inducida por la métrica. $(X, \mathcal{T}_d )$

Demostración:

1) se cumple. $\checkmark$

2) Sea $\{\mathcal{A}_i \}_{i \in I} $ una familia de abiertos.

$\mathcal{A}_i \in \mathcal{T} \; \; \forall i \in I$. Además $\mathcal{A}_i \subseteq \mathbb{R}^n \; \; \forall i \in I.$

$\big[$ por demostrar: $\bigcup\limits_{i \in I}\mathcal{A}_i$ es abierta $\big]$

$\big[$ por demostrar: $\bigcup\limits_{i \in I}\mathcal{A}_i \in \mathcal{T} \big]$

Sea $x \in \bigcup\limits_{i \in I}\mathcal{A}_i \iff x \in \mathcal{A}_i$ para algún $i \in I$ pero como $\mathcal{A}_i$ es abierto, $\exists \, B_r (x) \subseteq \mathcal{A}_i \subseteq \bigcup\limits_{j \in I}\mathcal{A}_j$

3) Sean $\mathcal{A}_1, \; \mathcal{A}_2,\; \dotsc,\; \mathcal{A}_n \in \mathcal{T}$ abiertos.

$\big[$ por demostrar: $\bigcap\limits_{i=1}^{n} \mathcal{A}_i \in \mathcal{T}$ es abierta $\big]$

Sea $x \in \mathcal{A}_1\bigcap\limits \mathcal{A}_2 \bigcap\limits \dotsc \bigcap\limits \mathcal{A}_n$.

Dado que $x \in \mathcal{A}_1$ y como $\mathcal{A}_1$ es abierto, $\exists \; r_1\; >\; 0$ tal que $B_{r_1}(x) \subseteq \mathcal{A}_1.$

De igual manera $x \in \mathcal{A}_2$ y como $\mathcal{A}_2$ es abierto, $\exists \; r_2\; >\; 0$ tal que $B_{r_2}(x) \subseteq \mathcal{A}_2.$

Y así sucesivamente hasta el último conjunto, de modo que, como

$x \in \mathcal{A}_n$ y como $\mathcal{A}_n$ es abierto, $\exists \; r_n\; >\; 0$ tal que $B_{r_n}(x) \subseteq \mathcal{A}_n.$

Sea $\varepsilon = \text{mín} \{r_1, r_2, \dotsc, r_n\}$ tenemos que para $\varepsilon > 0, \; B_{\varepsilon} (x) \subseteq \mathcal{A}_i \; \; \forall \; i=1, 2, \dotsc , n$, por lo que $B_{\varepsilon} (x) \subseteq \bigcap\limits_{i=1}^{n} \mathcal{A}_i.$ $_{\blacksquare}$

$\mathcal{T}$ recibe el nombre de Topología.

Definiciones: Sea $(X, d)$ un espacio métrico; en nuestro curso consideramos el espacio métrico$(\mathbb{R}^n, \| \; \|_2)$:

Decimos que un punto $x$ es un punto de adherencia de un conjunto $A$ si cualquier vecindad (bola abierta) suya contiene al menos un punto de $A$. $$\forall \; r > 0, B_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

El conjunto de puntos de acumulación de $A$ se denota por $A’$.

Decimos que $x$ es un punto de acumulación de un conjunto $A$ si para todo $r > 0$ la bola perforada con centro en $x$ y radio $r$ contiene elementos de $A$. $$\mathring{B}_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

El conjunto de los puntos de adherencia de $A$ se denota por $[A]$.

Observación 1: Todo punto de acumulación de $A$ es un punto de adherencia de $A$.

Sea $x$ punto de acumulación de $A$, entonces $\forall \; r > 0 $ se tiene que $$\mathring{B}_r (x) \cap A \neq \emptyset \Longrightarrow B_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

En consecuencia $A’ \subseteq [A] \; _\blacksquare$.

Observación 2: Si $a$ es un punto aislado de $A$, $a$ es punto de adherencia de $A$ que NO es punto de acumulación de $A$.

¿Cuál es la diferencia entre $\bar{A}$ y $[A]$?

• si $x \in \bar{A} \iff x \in A \lor x \in \partial A$ pero $\partial A \subseteq A$ y $A \subseteq [A]$ por lo que $\bar{A} \subseteq [A]$.
• si $x \in [A] = A \cup ([A] \setminus A)$ entonces $$x \in A \Longrightarrow x \in \bar{A}$$ o $$x \in [A] \setminus A \Longrightarrow x \in \partial A \Longrightarrow x \in \bar{A}$$ $$ \therefore \bar{A} = [A] \; _{\blacksquare}$$

Recordemos, en $\mathbb{R}$, sea $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de números reales, es decir una función $$x : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}.$$

Notación: $$x (1) = x_1$$ $$x (2) = x_2$$ $$x (3) = x_3$$ $$\vdots$$

Geométricamente, puntos en la recta $\mathbb{R}$.

Ejemplo: sucesión $\big\{ \frac{1}{n} \big\}$ para $n \in \mathbb{N}$.

https://www.geogebra.org/m/gwet39b2

https://www.geogebra.org/classic/jyzgsg63

Decimos que un número $L \in \mathbb{R}$ es el límite de la sucesión $\{x_n\}_{n \, \in \mathbb{N}}$, si $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n > N$ se cumple que $\big|x_n – L \big| < \epsilon$.

Decimos que $\overrightarrow{L} \in \mathbb{R}^2$ es el límite de la sucesión $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\}_{n \, \in \mathbb{N}}$, si $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall n > N$ se cumple que $\Big\| \overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L} \Big\| < \epsilon.$

Teorema: Si una sucesión tiene dos límites $\overrightarrow{L_1}$ y $\overrightarrow{L_2}$ entonces $\overrightarrow{L_1} = \overrightarrow{L_2}.$

Demostración:

Sea $\Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $\mathbb{R}^2$ supongamos que tiene dos límites $\overrightarrow{L_1} \neq \overrightarrow{L_2}.$

Sea $\epsilon_0 = \frac{\overrightarrow{L_1}-\overrightarrow{L_2}}{2}$.

Como $\overrightarrow{L_1}$ es límite entonces a partir de un momento $N_1$ todos los $\overrightarrow{x_n} \in B_{\epsilon_0} \Big( \overrightarrow{L_1} \Big).$

De igual modo, $\overrightarrow{L_2}$ es límite entonces a partir de un momento $N_2$ todos los $\overrightarrow{x_n} \in B_{\epsilon_0} \Big( \overrightarrow{L_2} \Big).$ (CONTRADICCIÓN) ya que todas las bolas son ajenas.

$$\therefore \; \overrightarrow{L_1} = \overrightarrow{L_2} \; _{\blacksquare}$$

Teorema: Sea $\Big\{ \Big( \overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}}$ una sucesión de puntos en $\mathbb{R}^2$. Esta sucesión converge a un punto $\Big( \overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$ si y sólo si los límites de las coordenadas convergen. Es decir, $$\Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{L}$$ $$\Big\{\overrightarrow{y_n} \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{M}$$

Demostración:

[$\Rightarrow$] Si $\Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \longrightarrow \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$ entonces $$\overrightarrow{x_n} \longrightarrow \overrightarrow{L}$$ $$\overrightarrow{y_n} \longrightarrow \overrightarrow{M}$$

$\big[$ por demostrar: $\big\{\overrightarrow{x_n}\big\} \longrightarrow \overrightarrow{L} \; \big]$

Sea $\epsilon > 0.$

$\exists \, N > 0$ tal que $n \geq N \Rightarrow \Big|\overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L} \Big| < \epsilon$.

Como $\Big\{ \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \Big\} \longrightarrow \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$ para $\epsilon > 0$ dada existe $n \geq Ñ \Rightarrow \Big\| \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \, – \, \Big( \overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big) \Big\| < \epsilon$ entonces $$\sqrt{ \Big( \overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L} \Big)^2 + \Big( \overrightarrow{y_n} – \overrightarrow{M} \Big)^2 \, } < \epsilon$$ $$\Big| \overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big| \leq \sqrt{\Big(\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big)^2+ \Big(\overrightarrow{y_n} \, – \, \overrightarrow{M}\Big)^2 \, } < \epsilon$$ $$\Rightarrow \Big|\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big| < \epsilon$$

Entonces $N =$ Ñ sirve.

Análogamente la sucesión de $\Big\{\overrightarrow{y_n} \Big\}_{n \, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{M}$.

[$\Leftarrow$] Si las sucesiones $\Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\} \Longrightarrow \overrightarrow{L}$ y $\Big\{\overrightarrow{y_n}\Big\} \Longrightarrow \overrightarrow{M}$ entonces la sucesión $\Big\{ \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$.

Sea $\epsilon > 0$

$\big[$ por demostrar: existe $N$ tal que si $n > N$ entonces $\Big\| \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n}\Big) \, – \, \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big) \Big\| < \epsilon \big]$

Dada la circunferencia $\big(x-L\big)^2+\big(y-M\big)^2=\epsilon^2$, queremos saber cuales son las coordenadas del cuadrado con lados paralelos a los ejes coordenados que está inscrito en la circunferencia.

Como $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$ para $\delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$ existe $N_1$ tal que $n \geq N_1 \rightarrow \Big|\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big| < \delta$…..$(1)$

Como $\Big\{\overrightarrow{y_n} \Big\} \Longrightarrow \overrightarrow{M}$ para $\delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$ existe $N_2$ tal que $n \geq N_2 \rightarrow \Big|\overrightarrow{y_n} \, – \, \overrightarrow{M}\Big| < \delta$…..$(2)$

Por $(1)$ y $(2)$, para $n \geq máx \big\{N_1, N_2 \big\}$ tenemos que $$\Big|\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L}\Big| < \delta \wedge \Big|\overrightarrow{y_n} \, – \, \overrightarrow{M}\Big| < \delta \Longrightarrow \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \text{ está en el cuadrado con vértices} \Big(\overrightarrow{L}\pm \delta , \overrightarrow{M} \pm \delta \Big)$$

Entonces $\Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big)$ está en el círculo.$_{\blacksquare}$

Dado un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}^n$ decimos que un punto $x_0$ es punto interior de $A$ si $\exists \; r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A$. $$\{ x \in \mathbb{R}^n |\; \| x-x_0\| < r \} \subseteq A$$

https://www.geogebra.org/classic/frqfnkeq

Observación: esta definición vale en un espacio métrico $(X, d)$. $x_0$ es punto interior de $A$ si $\exists \; r\; >\; 0$ tal que $$\{ x \in X |\; d( x,x_0) < r \} \subseteq A$$

Decimos que un punto $x_0$ es punto exterior de $A$ si existe $r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A^c$. $$\{ x \in \mathbb{R}^n |\; \| x-x_0\| < r \} \subseteq \mathbb{R}^n \setminus A = A^c$$

https://www.geogebra.org/classic/bmvvkaqd

Observación: en un espacio métrico $(X, d)$,$x_0$ es punto exterior de $A$ si $\exists \; r\; >\; 0$ tal que $$\{x \in X | d(x,x_0) < r \} \subseteq X\setminus A$$

Decimos que un punto $x_0$ es un punto frontera de $A$ si $\forall r > 0$ la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ tiene puntos tanto de $A$ como de $A^c.$ $$\{x \in \mathbb{R}^n |\; \| x-x_0\| < r \} \cap A \neq \emptyset $$ $$\land \{\| x-x_0\| < r \} \cap A^c \neq \emptyset $$

El conjunto cuyos elementos son los puntos interiores de $A$ recibe el nombre de interior de $A$. $$\{x \in \mathbb{R}^n | x \; \text{es punto interior de}\; A \}= int A = A^0$$

El conjunto de los puntos frontera de $A$ es la frontera de $A$. $$\{ x \in \mathbb{R}^n | x \; \text{es punto frontera de}\; A \} = \partial A = Fr A$$

Observación: int$A \subseteq A$ $$x \in \text{int} A \Rightarrow \exists B_r (x) \subseteq A$$ $$\Rightarrow x \in B_r(x) \subseteq A$$ $$\Rightarrow x \in A$$

Definición: decimos que un conjunto $A$ es abierto $\iff$ int$A=A$.

Definición: decimos que un conjunto $F$ es cerrado $\iff$ $F^c$ es abierto.

Definición: decimos la cerradura de $F$ es $\bar{F} = F \cup \partial F$.

Definición 1: (en términos de sucesiones)

Sea $f: A\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$.

Sea $\overrightarrow{x_0}$ un punto de acumulación de $A$. Sea $\overrightarrow{L} \in \mathbb{R}^m.$

Decimos que $\overrightarrow{L}$ es el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con $\overrightarrow{x} \in A$ si para toda sucesión $\Big\{ \overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con puntos $\overrightarrow{x_n} \in A$, con $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ resulta que la sucesión $\Big\{f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$

Observación: como la noción de convergencia de una sucesión vale en espacios métricos, esta será nuestra definición de límite de una función $f : X \longrightarrow Y$ con $\Big(X, d_x\Big)$ y $\Big(Y, d_y\Big)$ espacios métricos.

El concepto de límite nos permite dar un concepto de continuidad de una función en un punto.

Sea $f : A \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$.

Sea $\overrightarrow{x_0} \in A$.

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ si para toda sucesión $\Big\{ \overrightarrow{x_n}\Big\} \in A$ tal que $\Big\{ \overrightarrow{x_n} \Big\}$ converge a $\overrightarrow{x_0}$ resulta que $ \Big\{ f \Big( \overrightarrow{x_n} \Big) \Big\} \longrightarrow f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big).$ En otras palabras, $f$ es continua $ \overrightarrow{x_0}$ si existe el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x}$ tiende a $\overrightarrow{x_0}$ y este límite es igual a $f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big).$

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ si $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists\, \delta > 0$ tal que $ \Big\|\overrightarrow{x}\, -\, \overrightarrow{x_0} \Big\| < \delta$ implica que $\Big\|f \Big( \overrightarrow{x} \Big) \, – \, f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Big\| < \epsilon.$

Definición 3: (en términos de bolas abiertas)

$\overrightarrow{L}$ es el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ si para toda bola de radio $\epsilon > 0$ centrada en $\overrightarrow{L}$ existe una bola perforada de radio $\delta > 0$ centrada en $\overrightarrow{x_0}$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big)$implica que $f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ $\iff$ para toda bola de radio $\epsilon > 0$ centrada en $\overrightarrow{L}$ existe una bola de radio $\delta > 0$ centrada en $\overrightarrow{x_0}$ tal que $\overrightarrow{x} \in B_{\delta} \Big( \overrightarrow{x_0} \Big) \Longrightarrow f \Big( \overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big( f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Big).$

Lema: definición (3) es equivalente a la definición (2).

Clave para la demostración:

$f \Big(\overrightarrow{x}\Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big) \iff \Big\|\, f \Big(\overrightarrow{x}\Big) \, – \, \overrightarrow{L}\Big\| < \epsilon$

$\overrightarrow{x} \in B_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \iff \, \Big\| \overrightarrow{x}\, – \, \overrightarrow{x_0} \Big\| < \delta$

Basta probar que la definición (1) es equivalente con la definición (3).

Teorema: la definición (1) es equivalente a la definición (3).

Demostración:

$\big[$ definición (1) $\longrightarrow$ definición (3) $\big]$

Hipótesis: $\forall \, \Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0} , \; \text{con } \overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ se tiene que $\Big\{ f \Big( \overrightarrow{x_n} \Big) \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$

$\big[$ por demostrar: $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0$ tal que si $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big), \text{ entonces } f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big) \big]$

Supongamos que $f$ no tiene límite $\overrightarrow{L}$ con la definición de bolas.

Vamos a tratar de contradecir el hecho de que cumpla la definición de sucesiones.

$\exists \; \epsilon_0 > 0$ tal que $\forall\, \delta > 0 \; \exists \, \overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \, \land \, f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \notin B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L}\Big)$

Esto sucede en particular para $\delta = \frac{1}{n}$, entonces $\exists \, \overrightarrow{x_n} \in \mathring{B}_{\frac{1}{n}} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \, \land \, f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \notin B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$ Entonces existe una sucesión $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ para la cual $\Big\{ f \Big(\overrightarrow{x_n}\Big) \Big\}$ no converge.

$\big[$ definición (3) $\longrightarrow$ definición (1) $\big]$

Hipótesis: $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Longrightarrow f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big)$

$\big[$ por demostrar: $\forall \, \Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0} , \; \text{con } \overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ se cumple que $\Big\{ f \Big( \overrightarrow{x_n}\Big) \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}\big]$

Sea $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$

$\big[$por demostrar: $\Big\{f \Big(\overrightarrow{x_n}\Big)\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L} \big]$

Sea $\epsilon > 0$

$\big[$ por demostrar: $\exists \, N \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq N \Rightarrow f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big) \big]$

Dada la $\epsilon > 0$ (por hipótesis), existe $\delta > 0$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Longrightarrow f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$

Luego la sucesión $\Big\{ \overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ entonces para la $\delta > 0$ recién dada $\exists \; Ñ \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq Ñ \Rightarrow \overrightarrow{x_n} \in B_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big)$.

Más aún, como $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}, \text{ se cumple que } \; \overrightarrow{x_n} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \text{ podemos concluir que } f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$

Sirve $N=Ñ$ por lo que $\exists \; N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n > N$ se cumple que $f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).\; _{\blacksquare}$