(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la nota anterior vimos que si consideramos las combinaciones lineales de un conjunto $S\subseteq \mathbb R^n$, este conjunto al que denotamos $\mathscr C(S)$ tiene estructura de subespacio vectorial. En la presente nota continuaremos con el estudio de subespacios vectoriales y definiremos lo que es un subespacio generado por un conjunto de vectores.
Definición
Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. El subespacio de $\mathbb R^n$ generado por $S$ es el conjunto de combinaciones lineales de $S$, si $S\neq \emptyset$, o bien $\set{\bar{0}}$, si $S=\emptyset$.
Se denota por $\langle S \rangle$ (en algunos textos lo denotan por $Span(S)$.
Decimos que $S$ genera a $\langle S\rangle $ o que $S$ es un conjunto generador de $\langle S \rangle $.
Notación
Sean $m$ un natural positivo y $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n.$
$\langle \set{v_1,\dotsc,v_m}\rangle$ se denota por $\langle v_1,\dotsc,v_m\rangle .$
Observamos que si esto ocurriera tendríamos que $\lambda+\mu=1$ y al mismo tiempo $\lambda+\mu=2$, y por lo tanto $1=2$ lo cual es una contradicción. De modo que no existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ que satisfagan esas condiciones y así $(1,1,2,3)\notin \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle .$
$4.$ Consideremos $\mathbb R^3$ y $S=\set{(1,1,1),(1,-1,0),(1,0,0)}.$
Comparando coordenada a coordenada obtendríamos que:
$\lambda+\mu+\nu =a$
$\lambda-\mu=b$
$\lambda=c$
Así, $\lambda=c$. despejando $\mu$ de la segunda ecuación tenemos que $\mu=\lambda-b$, entonces $\mu=c-b.$ Finalmente, despejando $\nu$ de la primera ecuación y sustituyendo los valores de $\lambda=c$ y $\mu=c-b$ obtenemos que:
Concluimos que $\mathbb R^3\subseteq \langle S\rangle $ y por lo tanto $\langle S\rangle =\mathbb R^3$. Decimos entonces que $S$ es un generador de $ \mathbb R^3$.
Importante
Si $W\subseteq \langle S\rangle $ pero $W\neq \langle S\rangle $, entonces el generado de $S$ no es $W$.
Por ejemplo:
Si $W=\set{(a,a)\mid a\in \mathbb R}$ y $S=\set{(1,0),(0,1)}$, el generado de $S$, es $\mathbb R^2=\langle S\rangle $, observa que $W\subseteq \langle S\rangle $, pero $S$ no genera a $W$, si no a algo más amplio que es $\mathbb R^2$.
Tarea Moral
$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Determina si el vector $v$ pertenece al subespacio $W$ dado.
$i)$ $v=(2,-3,7)$ y $W=\langle (1,0,0),(1,-1,0),(1,-1,-1)\rangle .$
$ii)$ $v=(1,-4,3,-1)$ y $W=\langle (1,1,1,0),(1,0,1,1)\rangle .$
$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Describe al subespacio $W=\langle (3,1,2),(-4,-5,1)\rangle .$
Más adelante
En la siguiente nota veremos los conceptos de dependencia e independencia lineal.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la presente nota definiremos lo que son las combinaciones lineales de los elementos de un subconjunto de $\mathbb R^n$, veremos que si iniciamos con cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$ y consideramos todas sus combinaciones lineales, este conjunto será siempre un subespacio vectorial de $\mathbb R^n$.
Iniciemos con la definición de combinaciones lineales.
Definición
Sean $m\in \mathbb N$ con $n>0$ y $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n$. Una combinación lineal de $v_1,\dotsc,v_m$ es una expresión de la forma:
$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$
con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
De modo más general, si $S$ es un subconjunto de $\mathbb R^n$, una combinación lineal de vectores de $S$ es un vector de la forma:
$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$,
con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
Ejemplos
$1.$ Considera al conjunto $S=\set{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)}.$
$2(1,0,0)-(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,6,-5)$
$-3(1,0,0)+0(1,-1,0)+(1,1,-1)=(-2,1,-1)$
$0(1,0,0)+(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,4,-1)$
son combinaciones lineales de vectores de $S.$
$2.$ Considera al conjunto $S=\set{ (1,2,0,5),(-1,3,2,-\frac{1}{2}) }.$
Aunque el conjunto $S$ sea infinito, en una combinación lineal sólo se usa una cantidad finita de vectores de $S$.
Proposición
Sea $S$ un subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$. El conjunto de todas las combinaciones lineales de $S$, que denotamos por $\mathscr C(S)$, cumple lo siguiente:
$i)$ Es un subespacio de $\mathbb R^n$, es decir $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.
$ii)$ Contiene al conjunto $S$, es decir $S\subseteq \mathscr C(S)$.
$iii)$ El conjunto $\mathscr C(S)$ está contenido en cualquier subespacio $W$ de $\mathbb R^n$ que contenga a $S$.
Demostración
Demostración de $i)$.
Por demostrar que $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.
Como $S\neq \emptyset$, sea $v\in S$. Tenemos que $\bar{0}=0v\in \mathscr C(S).$
Sean $v,w\in \mathscr C(S)$, por demostrar que $v+w\in \mathscr C(S).$
Como $v,w\in \mathscr C(S)$ tenemos que
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_t$, con $t\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_t\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t\in \mathbb R$, y
$w= \mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m$, con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $w_1,\dotsc,w_m\in S$ y $\mu_1,\dotsc,\mu_m\in \mathbb R$.
que también es una combinación lineal de los elementos de $S$ y por lo tanto $\gamma v\in \mathscr C(S)$.
Como $\bar{0}\in \mathscr C(S)$, $v+w\in \mathscr C(S)$ para todos $v,w\in \mathscr C(S)$, y $\gamma v\in \mathscr C(S)$ para todo $\gamma \in \mathbb R$ y todo $ v\in \mathscr C(S)$, concluimos que $\mathscr C(S)$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.
Demostración de $ii)$
Por demostrar que $S\subseteq \mathscr C(S)$.
Sea $v\in S$, por demostrar que $v\in \mathscr C(S)$.
Como $v=1v$, entonces $v$ es una combinación lineal de vectores de $S$ y por tanto $v\in \mathscr C(S)$.
Así, $S\subseteq \mathscr C(S)$.
Demostración de $iii)$
Sea $W$ un subespacio de $\mathbb R^n$ que contiene a $S$, es decir tal que $S\subseteq W$.
Por demostrar que $\mathscr C(S)\subseteq W.$
Sea $v\in \mathscr C(S).$ Sabemos que
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$, con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
Para cada $i$, $v_i\in S$, y $S\subseteq W$, entonces $v_i\in W$ para todo $i$.
Como $W$ es un subespacio vectorial el producto por escalares es cerrado y entonces $\lambda_i v_i\in W$ para todo $i$, además la suma es cerrada en $W$ por lo que:
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n\in W$.
Por lo tanto $\mathscr C(S)\subseteq W$.
Tarea Moral
$1.$ Sea $S=\set{(1,1,1),(-4,-4,-4)}$. En caso de ser posible, halla $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.
$2$. Sea $S=\set{(2,-5,3),(4,-1,0)}$. En caso de ser posible, encuentra $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.
Más adelante
En la siguiente entrada veremos cómo construir un subespacio a partir de un subconjunto de vectores dado, usando como herramienta el concepto de combinación lineal que acabamos de estudiar.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta entrada estudiaremos el concepto de subespacio de $\mathbb{R}^n$. Veremos que un subespacio de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto de vectores que satisface ciertas propiedades y forma una estructura algebraica dentro del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$. De manera más precisa definiremos subespacio de $\mathbb{R}^n$ como un conjunto de vectores contenido en $\mathbb{R}^n$ que tiene al neutro aditivo, es cerrado bajo la adición de vectores y bajo la multiplicación por escalares.
Definición
Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Decimos que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$ si:
4. Sean $w\in \mathbb R$, $W=\set{\lambda v\mid \lambda\in \mathbb R}$. Notamos que, por las propiedades de la entrada previa, $\bar{0}=0v\in W$. Además, si $u,v\in W$ sabemos que $v=\lambda w$ y $u=\mu w$ con $\lambda, \mu\in\mathbb R$. Así, $u+v=\lambda w+\mu w=(\lambda +\mu )w$ con $\lambda +\mu\in\mathbb R$, por lo tanto $u+v\in W$. Finalmente, si $\mu\in \mathbb R$ y $v\in W$ sabemos que $v=\lambda w$ para algún $\lambda\in\mathbb R$ por lo cual $\mu v=\mu (\lambda v)=(\mu\lambda )v$ con $\mu\lambda\in\mathbb R$ y así, $\mu v\in W$.
Concluimos entonces que $W$ es un subespacio vectorial de $\mathbb R^n$.
$\square$
Geométricamente, $W$ es una una línea recta que pasa por el origen, formada por todos los vectores que se obtienen multiplicando $w$ por escalares reales.
Notemos que el conjunto del ejemplo 5 es geométricamente un plano que pasa por el origen, el plano $xy$. De forma más general, los planos por el origen en $\mathbb R^3$ son subespacios de $\mathbb R$.
Usa el siguiente recurso que elaboré en Geogebra para obtener planos por el origen a partir de dos vectores. Prueba moviendo los puntos $A$ y $B$ de los vectores en rojo y verde, el vector en color negro representa un vector cualquiera en el plano obtenido a partir de $A$ y $B$.
Tenemos que probar que el conjunto $W$ satisface las tres condiciones de la definición de subespacio.
$W$ satisface la propiedad $i$ pues $\bar{0}\in W$, ya que: $2\cdot 0-0+3\cdot 0-0=0$.
Veamos que satisface también la propiedad $ii$, es decir que $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.
Sean $u,v\in W$, con $u=(x,y,z,w)$ y $v=(a,b,c,d)$ Por ser $u$ y $v$ elementos de $W$ cumplen que:
$2x-y+3z-w=0$
$2a-b+3c-d=0$
Sumando estas expresiones obtenemos $2(x+a)-(y+b)+3(z+c)-(w+d)=0$, haciendo evidente que el vector $(x+a,y+b,x+c,w+d)\in W$, pero $(x+a,y+b,x+c,w+d)=(x,y,z,w)+(a,b,c,d)=u+v$. Por lo tanto $u+v\in W$.
Veamos que $W$ satisface la propiedad $iii$, es decir que $W$ es un conjunto cerrado bajo producto por escalares.
Esto nos muestra que el vector $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)\in W$, y como $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)=\lambda (x,y,z,w)=\lambda u,$ concluimos que $\lambda u\in W$.
$\square$
Nota que las condiciones para ver que un conjunto es un subespacio vectorial se pueden reescribir:
Observación
Sea $W\subseteq \mathbb R^n$. $W\leq \mathbb R^n$ si y sólo si se cumplen:
La intersección de dos subespacios de $\mathbb R^n$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.
Demostración
Sean $U,W$ subespacios de $\mathbb R^n$.
Por demostrar que $U\cap W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$. Usaremos para ello la observación anterior.
Como $U$ y $W$ son subespacios, $\bar{0}\in U$ y $\bar{0}\in W$, por lo tanto $\bar{0}\in U\cap W$.
Sean $\lambda \in \mathbb R$, $v_1,v_2\in \mathbb R^n$, por demostrar que $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.
Como $v_1,v_2\in U$ y $v_1,v_2\in W$, por ser $U$ y $W$ subespacios tenemos que:
$\lambda v_1+v_2\in U$ y $\lambda v_1+v_2\in W.$
Así, $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.
Como se cumplieron las propiedades I y II tenemos, por la observación anterior, que $U\cap W\leq \mathbb R^n$.
$\square$
Tarea Moral
$1.$ Demostrar la observación de la nota.
$2.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Para que $W$ sea un subespacio de $\mathbb R^n$ ¿basta verificar las condiciones ii y iii de la definición de subespacio, es decir es necesario pedir que $\bar{0}\in W$ o se puede deducir de que $W$ es cerrado bajo producto escalar?
$3.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^2$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
a) Si $W$ es cerrado bajo la suma y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.
b) Si $W$ es cerrado bajo producto por escalares y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.
c) Si $W$ es cerrado bajo la suma, bajo inversos aditivos y ademas $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.
$4.$ Determina cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de los correspondientes $\mathbb R^n$.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la siguiente nota veremos algunas propiedades del $\mathbb R$-espacio vectorial $\mathbb R^n$. Probaremos la unicidad del neutro aditivo, así como la unicidad de los inversos aditivos, veremos que las propiedades de cancelación de la suma también se cumplen, se demostrará que la multiplicación del neutro aditivo de $\mathbb R$ por cualquier vector de $\mathbb R^n$ nos da el neutro aditivo, y que la multiplicación de cualquier escalar por el neutro aditivo, es el neutro aditivo. Finalizaremos viendo que el inverso aditivo de un vector $v$, que hemos denotado por $\tilde{v}$, es de hecho $(-1)v$.
Aunque denotamos las operaciones de suma y producto por escalar en $\mathbb R^n$ como $\oplus$ y $\odot$ para distinguirlas de la suma y el producto en $\mathbb R$, en general es claro por el contexto si se trata de unas u otras, así que a partir de aquí simplificaremos la notación y denotaremos a la suma de $u,v\in\mathbb R^n$ como $u+v$, y al producto de $\lambda\in\mathbb R $ por $v\in\mathbb R^n$ como $\lambda v$.
Proposición 1
En $\mathbb R^n$ el neutro aditivo es único.
Demostración
Supongamos que $\bar{0}$ y $\bar{0}’$ son dos neutros aditivos en $\mathbb R^n$.
Por demostrar que $\bar{0}=\bar{0}’$
Explicación
$\bar{0}=$
Consideramos uno de los neutros.
$=\bar{0}+\bar{0}’$
Gracias a que $\bar{0}’$ es un neutro.
$=\bar{0}’$
Pues $\bar{0}$ es un neutro.
$\square$
Proposición 2
En $\mathbb R^n$ los inversos aditivos son únicos.
Demostración
Sea $v\in \mathbb R^n$, supongamos que $\tilde{v}$ y $\hat{v}$, son inversos aditivos de $v$.
Por demostrar que $\tilde{v}=\hat{v}$.
Explicación
$\tilde{v}=\tilde{v}+\bar{0}=$
Gracias a que $\bar{0}$ es el neutro.
$=\tilde{v}+(v+\hat{v})=$
Como $\hat{v}$ es un inverso de $v$ $v+\hat{v}=\bar{0}$.
$=(\tilde{v}+v)+\hat{v}=$
Gracias a la asociatividad.
=$\bar{0}+\hat{v}$
$\tilde{v}$ también es un inverso de $v$ y entonces $\tilde{v}+v=\bar{0}$.
$=\hat{v}$
Pues $\bar{0}$ es el neutro.
$\square$
Propiedades de cancelación
Sean $u,v,w\in \mathbb R^n.$
i) Si $u+v=w+v$, entonces $u=w.$
ii) Si $v+u=v+w$, entonces $u=w.$
Demostración
Sean $u,v,w\in \mathbb R^n$.
Demostración de i)
Supongamos que $u+v=w+v$, si le sumamos el inverso de $v$, $\tilde{v}$, de ambos lados de la igualdad tenemos que:
$(u+v)+\tilde{v}=(w+v)+\tilde{v}.$
En virtud de la asociatividad tenemos que:
$u+(v+\tilde{v})=w+(v+\tilde{v})$
y como $\tilde{v}$ es el inverso de $v$ obtenemos
$u+\bar{0}=w+\bar{0}.$
Así, $u=w.$
Demostración de ii)
Observa que se obtiene de la demostración del inciso anterior y de la conmutatividad de la suma, ya que si $v+u=v+w$, por la conmutatividad de la suma tenemos que $u+v=w+v$ y debido al inciso anterior concluimos que $u=w.$
Gracias a que $\bar{0}$ es el neutro en $\mathbb R^n$.
$=(0+0)v$
$0=0+0$, gracias a que $0$ es neutro en $\mathbb R.$
$=0v+0v$
Gracias a la distributividad en $\mathbb R$.
Obtenemos de las igualdades en la tabla que $\bar{0}+0v=0v+0v$, por la propiedad de la cancelación mostrada anteriormente tenemos que $\bar{0}=0v$.
Demostración de 2
Explicación
$\bar{0}+\lambda\bar{0}=\lambda\bar{0}=$
Gracias a que $\bar{0}$ es neutro en $\mathbb R^n$.
$\lambda(\bar{0}+\bar{0})$
$\bar{0}=\bar{0}+\bar{0}$, gracias a que $\bar{0}$ es neutro en $\mathbb R^n$.
$\lambda\bar{0}+\lambda\bar{0}$
Gracias a la distributividad en $\mathbb R^n$.
Obtenemos de las igualdades en la tabla que $\bar{0}+\lambda\bar{0}=\lambda\bar{0}+\lambda\bar{0}$, por la propiedad de la cancelación mostrada anteriormente tenemos que $\bar{0}=\lambda\bar{0}$.
$\square$
Proposición 4
Para todo $v\in \mathbb R^n,\,\,\,\,(-1)v$ es el inverso aditivo de $v$.
Demostración
Sea $v\in \mathbb R^n$. Veamos que $(-1)v$ es su inverso aditivo.
Explicación
$v+(-1)v=1v+(-1)v=$
Pues $v=1v$.
$=(1+(-1))v$
Por distributividad.
$=0v$
Pues en $\mathbb R$ se tiene que $1+(-1)=0$.
$=\bar{0}$
Por la proposición 3.
Hemos probado que $v+(-1)v=\bar{0}$ y por la conmutatividad de la suma también $(-1)v+v=\bar{0}$. En virtud de la unicidad de los inversos concluimos que $(-1)v$ es el inverso aditivo de $v$.
$\square$
Notación
Dado $v\in \mathbb R^n$ denotaremos por $-v$ a su inverso aditivo.
Propiedades del producto escalar en $\mathbb R^n$.
$=(-\lambda)v$
Gracias a que en $\mathbb R$ $\lambda(-1)=-\lambda$.
$=((-1)\lambda)v$
Gracias a que en $\mathbb R$ $\lambda(-1)=-\lambda$.
$=(-1)(\lambda v)$
Propiedades del producto escalar en $\mathbb R^n$.
$=-(\lambda v)$
Por la proposición 4.
$\square$
Tarea Moral
Determina si dados $v\in \mathbb R^n$, $\lambda\in \mathbb R$, el hecho de que $\lambda v=\bar{0}$ implica necesariamente que $v=\bar{0}$ o que $\lambda =0$.
Más adelante
En la siguiente nota veremos el importante concepto de subespacio vectorial.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Con esta nota empezamos la unidad 3, en la que estudiaremos un tipo particular de estructura algebraica llamada espacio vectorial. El plano y el espacio cartesiano tienen esta estructura de espacio vectorial, seguramente en este momento de tu educación ya los has utilizado; ahí los vectores son representados con flechas dirigidas a un punto. Podemos sumar esos vectores o flechas, y multiplicarlos por números reales para cambiarles su tamaño o sentido.
Veremos que no sólo $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^3$ son espacios vectoriales, si no que para todo $n$ un natural positivo se cumple que $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial. Primero estableceremos dos operaciones llamadas suma y producto por escalar, luego veremos que estas operaciones cumplen ciertas propiedades.
La construcción y las propiedades de los números reales no serán objeto de estudio de este curso, pero es importante aclarar que el conjunto $\mathbb R$ también tiene una estructura particular denominada campo. Mencionemos, sin profundizar más en ello, las propiedades que cumplen los números reales con las operaciones de suma y producto (debido a las cuales se le llama un campo) ya que las necesitaremos para poder estudiar los espacios vectoriales sobre los reales.
Nota
$\mathbb R$ es un conjunto con dos operaciones binarias, $+$ y $\cdot$, en el que se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedades de la suma $+$
Propiedades del producto $\cdot$
Es asociativa.
Es asociativa.
Es conmutativa.
Es conmutativa.
Existe $0\in \mathbb R$ neutro aditivo.
Existe $1\in \mathbb R$ neutro multiplicativo.
$\forall \alpha\in \mathbb R$ existe su inverso aditivo $-\alpha\in \mathbb R$.
Notemos que en el producto por escalar se multiplica un escalar real por una $n$-ada de reales, para obtener de nuevo una $n$-ada de reales, multiplicando cada una de las entradas por el escalar.
Así se ve geométricamente la suma en $\mathbb R^2$
En el siguiente recurso de geogebra puedes jugar moviendo $u,v\in \mathbb R^2$, y obteniendo su suma geométricamente en $\mathbb R^2$.
Así se ve geométricamente el producto por escalar en $\mathbb R^2$.
Veamos ahora que $\mathbb R^n$ con las operaciones anteriores, satisface ocho propiedades básicas gracias a las cuales se le llamará un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb R$.
Teorema
Sea $n\in\mathbb R$ con $n>0$. El conjunto $\mathbb R^n$ con las operaciones antes definidas cumple la siguiente lista de propiedades:
1. $(u\oplus v)\oplus w=u\oplus (v\oplus w)\,\,\,\,\forall u,v,w\in \mathbb R^n$, es decir la suma es asociativa.
2. $u\oplus v=v\oplus u\,\,\,\forall u,v\in \mathbb R^n$, es decir la suma es conmutativa.
3. Existe $ \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n$, a $\bar{0}$ se le llama un neutro aditivo de $\mathbb R^n$.
4. Para todo $u\in \mathbb R^n$ existe $\tilde{u}\in \mathbb R^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\bar{0}$, a $\tilde{u}$ se le llama un inverso aditivo de $u$.
Estas primeras cuatro propiedades se refieren únicamente a la suma $\oplus$, tendremos otras dos que se refieren sólo al producto por escalar:
Se dice entonces que $\mathbb R^n$, con las operaciones $\oplus,\odot$ es un espacio vectorial sobre el campo$\mathbb R$, o un $\mathbb R$-espacio vectorial y a los elementos de $\mathbb R^n$ les llamaremos vectores.
Demostración
Veamos que $\mathbb R^n$ con las operaciones $\oplus$ y $\odot$, cumple las ocho propiedades dadas anteriormente. Mostraremos las propiedades 2,3,4,6,7 y las propiedades 1,5 y 8 se dejan como tarea moral.
Demostración de 2
Sean $u=(x_1,\dotsc, x_n),v=(y_1,\dotsc, y_n)\in \mathbb R^n,\,\,\,\,\lambda,\mu\in \mathbb R$.
Las sumas que aparecen en cada entrada son sumas en $\mathbb R$, y dado que la suma en $\mathbb R$ es conmutativa se tiene que $x_i+y_i=y_i+x_i$ para todo $1\leq i\leq n$, de forma que:
Por demostrar que $\exists \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n.$
Propongamos como $\bar{0}$ a la $n$-ada con sus $n$ entradas iguales al cero de los reales, es decir, consideremos $\bar{0}=(0,\dotsc,0)\in \mathbb R^n$.
Como $-x_i$ es el inverso aditivo de $x_i$ en $\mathbb R$ para todo $1\leq i\leq n$, tenenemos que $x_i+(-x_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$. Concluimos que:
Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\tilde{u}\oplus u=u\oplus \tilde{u}=\bar{0}$.
Por lo tanto cada $u\in \mathbb R^n$ tiene un inverso aditivo.
Demostración de 6
Por demostrar que $\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v \,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R$.
Sean $ v=(y_1,\dotsc,y_n)\in \mathbb R^n$, $\lambda,\mu\in \mathbb R$. Como $\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))$, por definición del producto en $\mathbb R^n$ tenemos que
