$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

El contenido de esta sección se basa predominantemente en el libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 26-30.

Mostraremos resultados formales de la integral de Riemann-Stieltjes. Recordemos que en la entrada anterior partimos de dos funciones acotadas $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ y una partición $P=\{x_0 = a,…,x_n =b\}$ en $[a,b]$ con puntos $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i].$ Definimos la suma de Riemann-Stieltjes como

$$S(P,f,\alpha) := \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})).$$

Este resultado depende de $P, \, f$ y $\alpha.$ En esta ocasión, más que hacer $n \to \infty$ haremos que la norma de la partición tienda a cero. Cuando existe $I \in \mathbb{R}$ tal que para cada $\varepsilon >0,$ existe $\delta >0$ tal que si $|P|< \delta$
entonces $|I \, – \, S(P,f,\alpha)|< \varepsilon,$ diremos que
$$I := \underset{|P| \to 0}{lim} \, S(P,f,\alpha).$$
Si es finito lo llamamos integral de Riemann-Stieltjes de $f$ con respecto a $\alpha$ en $[a,b].$ El valor de $I \,$ se denota como:
$$\int_{a}^{b}f(x) \, d\alpha := \int_{a}^{b}f \, d\alpha.$$

Por supuesto que este límite no siempre existe en $\mathbb{R}.$ Conozcamos una equivalencia que muestra cuando sí.

Proposición. Criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes. La integral $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe si y solo si para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $|P|, \, |Q|< \delta$ entonces
$$|S(P,f,\alpha) \, – \, S(Q,f,\alpha)|< \varepsilon.$$

La demostración se propone como tarea moral.

Ejemplos

• Sean $f, \alpha :[a,b] \to \mathbb{R}$ con $f$ continua y $\alpha$ continuamente diferenciable, entonces
  $$\int_{a}^{b}f \, d\alpha = \int_{a}^{b}f \, \alpha’ \, dx$$
  De hecho, por el teorema del valor medio aplicado en $\alpha,$ para cada $i = 1,2,..,n$ existen $\eta_i \in [x_{i-1}, x_i]$ tales que
  \begin{align}
  S(P,f,\alpha) &= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) \\
  &= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha'(\eta_i)(x_i \, – \, x_{i-1}).
  \end{align}

Usando la continuidad uniforme de $\alpha’$ podemos asumir que, en intervalos muy pequeños, $\alpha'(\eta_i)= \alpha'(\xi_i),$ en consecuencia

$$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha'(\eta_i)(x_i \, – \, x_{i-1})= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha'(\xi_i)(x_i \, – \, x_{i-1})$$

Nota que esto ya es la común suma de Riemann y así:
$$\underset{|P| \to 0}{lim} \, S(P,f,\alpha)= \int_{a}^{b} f \, \alpha’ \, dx,$$

o bien

$$\int_{a}^{b}f \, d\alpha = \int_{a}^{b}f \, \alpha’ \, dx.$$

• Ahora considera $f, \alpha: [a,b] \to \mathbb{R}$ donde

y $f$ es una función continua en $0.$ Es sencillo demostrar que
$$\int_{-1}^{1}f \, d\alpha = f(0).$$

A continuación enunciaremos algunas propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes. Las demostraciones las dejaremos como ejercicio.

Proposición. Sean $f, f_1, f_2, \alpha, \alpha_1$ y $\alpha_2$ funciones de $[a,b] \to \mathbb{R}$ y $c \in \mathbb{R},$ entonces se satisfacen:

a) Si $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe, entonces también existen tanto $\int_{a}^{b}cf \, d\alpha$ como $\int_{a}^{b}f \, d(c\alpha)$ y además
$$\int_{a}^{b}cf \, d\alpha = \int_{a}^{b}f \, d(c\alpha) = c \int_{a}^{b}f \, d\alpha.$$

b) Si tanto $\int_{a}^{b} f_1 \, d\alpha$ como $\int_{a}^{b} f_2 \, d\alpha$ existen, entonces también
$\int_{a}^{b} (f_1 + f_2) \, d\alpha$ existe y
$$\int_{a}^{b} (f_1 + f_2) \, d\alpha = \int_{a}^{b} f_1 \, d\alpha + \int_{a}^{b} f_2 \, d\alpha.$$

c) Si tanto $\int_{a}^{b} f \, d\alpha_1$ como $\int_{a}^{b} f \, d\alpha_2$ existen, entonces también
$\int_{a}^{b} f \, d(\alpha_1+ \alpha_2)$ existe y
$$\int_{a}^{b} f \, d(\alpha_1+ \alpha_2) = \int_{a}^{b} f \, d\alpha_1 + \int_{a}^{b} f \, d\alpha_2.$$

Para finalizar esta sección, veremos que es posible obtener la integral de Riemann-Stieltjes como equivalencia de la suma de integrales correspondientes a cada división del intervalo, como muestra la siguiente:

Proposición. Si $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe y $a \leq c \leq b,$ entonces

a) Tanto $\int_{a}^{c}f \, d\alpha$ como $\int_{c}^{b}f \, d\alpha$ existen y

b) $\int_{a}^{b}f \, d\alpha = \int_{a}^{c}f \, d\alpha + \int_{c}^{b} f \, d\alpha.$

Demostración:
Para simplificar la notación, hagamos $S_P[a,b] = S(P,f,\alpha)$ donde $P \in \mathcal{P}_{[a,b]}.$

Para mostrar que $\int_{a}^{c} f \, d\alpha$ existe, de acuerdo con el criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes encunciado arriba, será suficiente probando que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $P_1, \, P_2 \in \mathcal{P}_{[a,c]}$ con $|P_1|, \, |P_2|< \delta,$ entonces

\begin{align}
|S_{P_1}[a,c] \, – \, S_{P_2}[a,c]| < \varepsilon.
\end{align}

Como $\int_{a}^{b}f \, d\alpha \,$ existe entonces dada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para cualesquiera $P’_1, \, P’_2 \in \mathcal{P}_{[a,b]}$ con $|P’_1|, \, |P’_2|< \delta, \,$ tenemos
\begin{align}
|S_{P’_1}[a,b] \, – \, S_{P’_2}[a,b]| < \varepsilon.
\end{align}

Sean $P_1, \, P_2 \in \mathcal{P}_{[a,c]}$ tales que $|P_1|, \, |P_2|< \delta$ y toma $P \in \mathcal{P}_{[c,b]}$ tal que también $|P|< \delta.$

Definimos $P’_1 = P_1 \cup P \, $ y $\, P’_2 = P_2 \cup P.$ Nota que ambas son particiones de $[a,b]$ cuya norma es menor que $\delta$ y por tanto satisfacen (4).

Notemos que

\begin{align}
S_{P’_1}[a,b] &= S_{P_1}[a,c]+ S_{P}[c,b] \\
\text{y } S_{P’_2}[a,b] &= S_{P_2}[a,c]+ S_{P}[c,b]
\end{align}

así, restando (6) de (5)

\begin{align}
|S_{P_1}[a,c] \, – \, S_{P_2}[a,c] + \cancel{S_{P}[c,b] \, – \, S_{P}[c,b]}| = |S_{P’_1}[a,b] \, – \, S_{P’_2}[a,b]|
\end{align}

De (7) y (4) se cumple (3), por lo tanto

$\int_{a}^{c}f \, d\alpha$ existe.

Análogamente se puede probar que $\int_{c}^{b}f \, d\alpha$ existe, mientras que (5) y (6) permiten concluir que
$$\int_{a}^{b}f \, d\alpha = \int_{a}^{c}f \, d\alpha + \int_{c}^{b}f \, d\alpha$$
que es lo que queríamos demostrar.

Más adelante…

Veremos algunas propiedades más de la integral de Riemann-Stieltjes, por lo pronto desarrolla las ideas con los siguientes ejercicios.

Tarea moral

1. Prueba el Criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes: La integral $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe si y solo si para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $|P|, \, |Q|< \delta$ entonces
   $$|S(P,f,\alpha) \, – \, S(Q,f,\alpha)|< \varepsilon.$$
2. Considera $f, \alpha: [a,b] \to \mathbb{R}$ donde
   \begin{equation*}
   \alpha(x) = \begin{cases}
   1 \text{ si $x \geq 0$} \\
   0 \text{ si $x < 0$}
   \end{cases}
   \end{equation*}
   y $f$ es una función continua en $0.$ Prueba que
   $$\int_{-1}^{1}f \, d\alpha = f(0).$$
3. Sean $f, f_1, f_2, \alpha, \alpha_1$ y $\alpha_2$ funciones de $[a,b] \to \mathbb{R}$ y $c \in \mathbb{R}. \,$ Demuestra que se satisfacen:
   a) Si $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe, entonces también existen tanto $\int_{a}^{b}cf \, d\alpha$ como $\int_{a}^{b}f \, d(c\alpha)$ y además
   $$\int_{a}^{b}cf \, d\alpha = \int_{a}^{b}f \, d(c\alpha) = c \int_{a}^{b}f \, d\alpha.$$
   b) Si tanto $\int_{a}^{b} f_1 \, d\alpha$ como $\int_{a}^{b} f_2 \, d\alpha$ existen, entonces también
   $\int_{a}^{b} (f_1 + f_2) \, d\alpha$ existe y
   $$\int_{a}^{b} (f_1 + f_2) \, d\alpha = \int_{a}^{b} f_1 \, d\alpha + \int_{a}^{b} f_2 \, d\alpha.$$
   c) Si tanto $\int_{a}^{b} f \, d\alpha_1$ como $\int_{a}^{b} f \, d\alpha_2$ existe, entonces también
   $\int_{a}^{b} f \, d(\alpha_1+ \alpha_2)$ existe y
   $$\int_{a}^{b} f \, d(\alpha_1+ \alpha_2) = \int_{a}^{b} f \, d\alpha_1 + \int_{a}^{b} f \, d\alpha_2.$$
4. Sean $f, \alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ funciones acotadas. Demuestra que si $[a’,b’] \subset [a,b]$ y $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe entonces también $\int_{a’}^{b’} f \, d\alpha$ existe.

Bibliografía

• Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015. Págs: 26-30.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

El contenido de esta sección se basa predominantemente en el libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 22-26.

Tal como lo hicimos en la entrada anterior, seguiremos hablando de las funciones de variación acotada. Notemos que en los resultados de esta teoría no suele pedirse que la función sea continua o acotada, más aún, esto pudiera no ser suficiente para que una función sea de variación acotada, tal como lo muestra un ejercicio de la tarea moral de esta sección. Veamos entonces qué hipótesis pudieran ser útiles. Comencemos con la siguiente:

Definición. Discontinuidades del primer tipo. Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y sea $x_0 \in \mathbb{R}.$ En los siguientes dos casos, $f$ no es continua en $x_0.$

a) Cuando $\underset{x \to x_0 ^+}{lim} \, f(x)$ y $\underset{x \to x_0 ^-}{lim} \, f(x)$ existen y son distintos de $\infty$ pero
$$\underset{x \to x_0 ^+}{lim} \, f(x) \neq\underset{x \to x_0 ^-}{lim} \, f(x).$$

b) Cuando $\underset{x \to x_0 ^+}{lim} \, f(x)$ y $\underset{x \to x_0 ^-}{lim} \, f(x)$ existen y son distintos de $\infty$ y además
$$\underset{x \to x_0 ^+}{lim} f(x) = \underset{x \to x_0 ^-}{lim} \, f(x)$$
pero $ \underset{x \to x_0 }{lim} f(x) \neq f(x_0).$

En cualquiera de estas situaciones, diremos que $f$ tiene una discontinuidad del primer tipo en $x_0.$

Proposición. Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R} \,$ una función de variación acotada en $[a,b],$ entonces tiene a lo más una cantidad numerable de discontinuidades y todas son del primer tipo.

Demostración:
Sea $f$ de variación acotada. De acuerdo con la entrada anterior, $f$ es acotada en $[a,b].$ Veamos un caso bonito en el que $f$ es creciente.

El conjunto de discontinuidades de $f$ puede expresarse como
$$D := \underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcup} \, \left\{x_0 \, \Big| \, \underset{x \to x_0 ^+}{lim} f(x) \, – \, \underset{x \to x_0 ^-}{lim} \, f(x) \geq \frac{1}{n} \right\}$$

Vamos a probar que cada uno de los conjuntos que compone la unión es o bien vacío o finito.

Supón por el contrario que para algún $k \in \mathbb{N}$ no es así, es decir, que el conjunto $\left\{x_0 \, \Big| \, \underset{x \to x_0 ^+}{lim} f(x) \, – \, \underset{x \to x_0 ^-}{lim} \, f(x) \geq \frac{1}{k} \right\} := D_k$ es infinito.

Como $f$ es creciente en $[a,b]$ se tiene que para cada punto de discontinuidad $x_0 \in D_k, \,$
$$\underset{x \to x_0 ^-}{lim} f(x) \leq f(x_0) \leq \underset{x \to x_0 ^+}{lim} \, f(x)$$
Nota además que podemos tomar dos puntos $x_1, x_3$ en $D_k$ tales que $\textcolor{JungleGreen}{f(x_3)}-\textcolor{JungleGreen}{f(x_1)} \geq \frac{1}{k},$ pues al ser $D_k$ infinito podemos tomar $x_1, \, x_2, \, x_3$ en $D_k$ tales que $x_1< x_2 < x_3.$ En consecuencia
$$\underset{x \to x_1 ^-}{lim} f(x) \leq \textcolor{JungleGreen}{f(x_1)} \leq \underset{x \to x_1 ^+}{lim} \, f(x) \leq \textcolor{magenta}{\underset{x \to x_2 ^-}{lim} f(x) \leq f(x_2) \leq \underset{x \to x_2 ^+}{lim} \, f(x)} \leq \underset{x \to x_3 ^-}{lim} f(x) \leq \textcolor{JungleGreen}{f(x_3)} \leq \underset{x \to x_3 ^+}{lim} \, f(x)$$

y como $\textcolor{magenta}{\underset{x \to x_2 ^+}{lim} f(x) – \underset{x \to x_2 ^-}{lim} \, f(x)} \geq \frac{1}{k}$ se sigue que
$\textcolor{JungleGreen}{f(x_3)}-\textcolor{JungleGreen}{f(x_1)} \geq \frac{1}{k}.$ Nota que esta propiedad la podemos garantizar con tantos puntos como queramos:

Sea $m \in \mathbb{N}$ con $ \textcolor{RoyalBlue}{m> [f(b) \, – \, f(a)]k}.$

Como $D_k$ es infinito, podemos elegir puntos $x_1,…,x_m \in D_k$ tales que $x_0 <x_1<…<x_m$ y $f(x_j)-f(x_{j-1}) \geq \frac{1}{k}, \, j = 1,2,…,m.$
Sea $P= \{a, x_0,…,x_m, b\}$ de modo que $P$ es partición de $[a,b]$ y
$$S_P \geq \sum_{j=1}^{m} |f(x_j)-f(x_{j-1})| \geq \textcolor{RoyalBlue}{m} \frac{1}{k} > \textcolor{RoyalBlue}{[f(b) \, – \, f(a)]k} \frac{1}{k} = f(b) \, – \, f(a).$$

Pero esto es una contradicción, pues de acuerdo con la entrada anterior, al ser $f$ monótona creciente debería cumplir $S_P = f(b) \, – \, f(a),$ por lo tanto $D_k$ es finito o vacío.
De esto se sigue que $D$ es contable.

Ahora veamos el caso general. De acuerdo con el teorema de Jordan, visto al final de la entrada anterior,
$$f = f_1 \, – \, f_2,$$
con $f_1$ y $f_2$ funciones crecientes y acotadas que, por lo que acabamos de ver, tienen un número contable de discontinuidades del primer tipo, por lo tanto $f_1 \, – \, f_2 =f$ también cumple la condición.

Definición. Norma de $P.$ Sea $P=\{x_0=a , \, x_1, \, …, \, , x_n = b\}$ una partición de $[a,b].$ La norma de $P$ se define como la longitud del intervalo más grande de la partición y se denota como:

$$|P| := \underset{i \in \{1,…,n\}}{max } (x_i \, – \, x_{i-1}).$$

El resultado que veremos a continuación muestra condiciones con las que es posible aproximarse mucho a la variación a través de sumas $S_P,$ cuando los intervalos generados por la partición son chiquititos. Esto no siempre es así: el ejercicio 2 de la tarea moral de esta sección muestra una función donde $S_P$ no se acerca a $V,$ aun siendo $|P|$ menor que cualquier $\delta >0.$

Proposición. Si $f$ es una función continua en $[a,b]$ entonces
$$V=\underset{|P| \to 0}{lim} \, S_P,$$
es decir, dado $M<V,$ existe $\delta >0$ tal que $M < S_P$ para cualquier partición $P$ de $[a,b]$ con $|P|< \delta.$

Demostración:

Como $f$ es continua en $[a,b]$ entonces es uniformemente continua en $[a,b].$ Sea $\delta_1 >0$ tal que si $|x \, – \, x^*|< \delta_1$ entonces
\begin{align}
|f(x) \, – \, f(x^*)| < \frac{\mu}{2(n+1)}
\end{align}

Nota que $\frac{\mu}{2(n+1)}$ sí es fijo, pues $n$ lo es por ser el número de intervalos de la partición $\hat{P}$ elegida.

Toma $\delta >0$ tal que
\begin{align}
\delta < min \left \{\delta_1, \underset{i \in \{1,…,n\}}{min}\{\hat{x}_i \, – \, \hat{x}_{i-1}\} \right\}.
\end{align}

Sea $P=\{x_0, \, x_1, \, …, \, , x_m\}$ una partición de $[a,b],$ tal que $|P|< \delta.$ Afirmamos que esta partición satisface lo deseado, es decir que
\begin{align}
M < S_P.
\end{align}

Partimos de la igualdad
\begin{align}
S_P[f;a,b] = \sum_{i=1}^{m}|f(x_i) \, -\, f(x_{i-1})|
\end{align}

Ahora separemos los términos del lado derecho sumando en $\sum’$ todos los sumandos donde no hay elementos de $\hat{P}$ en el intervalo de $P$ correspondiente y sumando en $\sum ´´$ aquellos donde sí los hay.

\begin{align}
S_P[f;a,b] &= \sum_{i=1}^{m}|f(x_i) \, -\, f(x_{i-1})|
&= \sum’ + \sum ´´
\end{align}

Por (3) todos estos intervalos son menores que cualquier intervalo de $\hat{P},$ entonces cada intervalo $[x_{i-1}, x_i]$ de $P$ contiene a lo más un término $\hat{x}_j$ de $\hat{P}$ y así $\sum ´´$ tiene a lo más $n+1$ sumandos.

Sea $Q = P \cup \hat{P},$ entonces $Q$ es un refinamiento de ambas particiones. Bajo este indicador podemos reemplazar cada sumando de $\sum ´´$
$$|f(x_i) \, -\, f(x_{i-1})|$$
por los sumandos que separa el término $\hat{x}_j$ de $\hat{P}$
$$|f(x_i) \, -\, f(\hat{x}_{j})|+|f(\hat{x}_j) \, -\, f(x_{i-1})|.$$
La suma de todos estos la representaremos con $\sum´´´.$

Por (2) y (3),
\begin{align}
\sum´´´ < 2(n+1) \frac{\mu}{2(n+1)} = \mu.
\end{align}

y como
\begin{align}
S_Q = \sum’ + \sum´´´ \\
\Rightarrow \sum’ = S_Q \, – \, \sum´´´
\end{align}

de (7) y (9) tenemos

\begin{align}
S_P > \sum’ > S_Q \, – \, \mu \geq S_{\hat{P}} – \mu > M
\end{align}

Por lo tanto $S_P > M$ que es lo que queríamos demostrar.

Corolario. Si $f$ tiene derivada continua $f’$ en $[a,b],$ se tiene que:

a) $V=\int_{a}^{b}|f'(x)|\, dx$

b) $S^+=\int_{a}^{b}(f'(x))^+ \, dx$

c) $S^-=\int_{a}^{b}(f'(x))^- \, dx$

Demostración:
a) Sea $P = \{x_0 =a,…,x_n =b\}$ una partición de $[a,b].$ Por el teorema del valor medio, aplicado en cada intervalo $[x_{i-1} \,, \, x_{i}]$ con $i = 1,…,n$ sabemos que existe $\xi_i \in [x_{i-1} , x_{i}]$ tal que

$$|f(x_i) \, – \, f(x_{i-1})| = |f'(\xi_i)|(x_i \, – \, x_{i-1})$$

Por el teorema que acabamos de demostrar concluimos que
\begin{align}
V = \underset{|P| \to 0}{lim} \, S_P = \underset{|P| \to 0}{lim} \, \sum_{i=1}^{n} |f'(\xi_i)|(x_i \, – \, x_{i-1}) = \int_{a}^{b} |f'(x)|\, dx.
\end{align}

b) A continuación usaremos un resultado visto en la entrada anterior y haremos también una sustitución en $V$ con la igualdad en a).

\begin{align}
\nonumber S^+ &= \frac{1}{2}(V \, + \, f(b) \, – \, f(a))\\
\nonumber &= \frac{1}{2}\left[\int_{a}^{b}|f'(x)|\, dx + \int_{a}^{b}f'(x) \, dx \right] \\
\nonumber &=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} (|f'(x)|+f'(x)) \, dx \\
&= \int_{a}^{b} (f'(x))^+ \, dx.
\end{align}

c) La demostración es análoga a la anterior, partiendo de
$$S^- = \frac{1}{2}(V \, – \, f(b) \, + \, f(a))$$
y la proponemos como ejercicio.

Pasemos ahora a conocer las curvas rectificables, comenzando con aquellas que pertenecen al plano $\mathbb{R}^2.$

Definición. Curva en el plano y traza. Sean $\phi: [a,b] \to \mathbb{R}$ y $\psi: [a,b] \to \mathbb{R}$ dos ecuaciones paramétricas. Una curva en el plano $\mathbb{R}^2$ está dada por:
$\mathcal{C}(t)=(\phi(t), \, \psi(t))$ con $a \leq t \leq b.$

La traza de $\mathcal{C}$ es el conjunto $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, x=\phi(t), \, y=\psi(t), \, a \leq t \leq b \}.$

Nota que en la definición no se excluye que la traza pueda tener intersecciones ni tampoco se dan las condiciones necesarias para que sea continua o acotada.

Definición. La longitud de $\mathcal{C}.$ Sea $P=\{t_0 =a, \, t_1,…,t_{n-1}, \, t_n= b\}$ una partición de $[a,b].$ Para cada $t_i, \, i= 0,…, n$ definimos $P_i := (\phi(x_i), \psi(x_i)).$ Pensemos en dibujar los puntos $P_i$ y las líneas que los conectan con su sucesor. La suma de la medida de cada una de estas líneas está dada por:

$$l(P)= \sum_{i=1}^{n} \, \sqrt{(\phi(t_i)-\phi(t_{i-1}))^2+(\psi(t_i)-\psi(t_{i-1}))^2}$$

y denota la longitud de la poligonal generada. Como esta longitud depende de la partición, presentamos la longitud de $\mathcal{C}$ como:

$$L=L(\mathcal{C})= \underset{P \in \mathcal{P}}{sup} \, \, l(P)$$

Entonces $0 \leq L \leq \infty.$

Veamos bajo qué condiciones podemos hablar de una longitud finita.

Definición curva rectificable. Sea $\mathcal{C}$ una curva. Diremos que es rectificable si $L(\mathcal{C}) < \infty.$

Proposición. Sea $\mathcal{C}$ una curva. Entonces $\mathcal{C}$ es rectificable si y solo si tanto $\phi$ como $\psi$ son de variación acotada. Más aun.

$$V(\phi), \, V(\psi) \leq L \leq V(\phi) + V(\psi).$$

Demostración:
Supongamos que $\mathcal{C}$ es rectificable. Sea $P=\{t_0 =a, \, t_1,…,t_{n-1}, \, t_n= b\}$ una partición de $[a,b].$

Sabemos que para cualesquiera $A,B \in \mathbb{R},$
\begin{align}
|A| &\leq \sqrt{A^2 + B^2} \, \text{ y} \\
|B| &\leq \sqrt{A^2 + B^2}
\end{align}

Por definición

$$l(P)= \sum_{i=1}^{n} \, \sqrt{(\phi(t_i)-\phi(t_{i-1}))^2+(\psi(t_i)-\psi(t_{i-1}))^2} \leq L.$$

Usando (13) y (14) en cada término de $l(P)$
\begin{align}
\nonumber && \sum_{i=1}^{n} \, |\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|&\leq \sum_{i=1}^{n} \, \sqrt{(\phi(t_i)-\phi(t_{i-1}))^2+(\psi(t_i)-\psi(t_{i-1}))^2} \leq L \\
&\Rightarrow& V(\phi) &\leq L
\end{align}

Análogamente
\begin{align}
V(\psi) &\leq L
\end{align}

Es decir, $V(\phi) $ y $V(\psi)$ son de variación acotada. Recíprocamente, partiendo de este hecho y usando que para cualesquiera $A,B \in \mathbb{R}$ se cumple que
\begin{align}
\sqrt{A^2+B^2} \leq |A|+|B|
\end{align}

concluimos
\begin{align}
l(P) \leq \sum_{i=1}^{n} \, |\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|+\sum_{i=1}^{n} \, |\psi(t_i)-\psi(t_{i-1})| \leq V(\phi) + V(\psi)
\end{align}

Por lo tanto $L \leq V(\phi) + V(\psi)$ lo que significa que $\mathcal{C}$ es rectificable.

Al final de esta sección se te propone, en el ejercicio 4 de la tarea moral, una función que no es de variación acotada. De acuerdo con la proposición que acabamos de probar, la curva dada por $(f(t),f(t)), \, [0 \leq t \leq 1]$ no es rectificable aunque, curiosamente, tiene su traza en apenas un segmento de la línea $y =x$ en $\mathbb{R},$ lo que significa que la longitud de la traza de una curva no necesariamente coincide con la longitud de la curva.

Las curvas en $\mathbb{R}^n$

La idea de la curva en $\mathbb{R}^2$ también puede generalizarse en el caso $\mathbb{R}^n.$ A partir de $P=\{t_0 =a, \, t_1,…,t_{n-1}, \, t_m= b\}$ una partición de $[a,b]$ podemos definir la curva con puntos en $\mathbb{R}^n$ de la forma $(\phi_1(t), \, \phi_2(t),…, \phi_n(t))$ con $t \in [a,b]$ y donde cada $\phi_i$ es una ecuación paramétrica. La longitud de la curva está dada por:

$$l(P)= \sum_{i=1}^{m} \sqrt{ \sum_{j=1}^{n}(\phi_j(t_i) \, – \, \phi_j(t_i))^2 }.$$

También diremos que $L = \underset{P \in \mathcal{P}}{sup} \, \, l(P)$ y si $L \in \mathbb{R}$ definimos que la curva es rectificable.

Más adelante…

Presentaremos la integral de Riemann-Stieltjes motivándola con conceptos de Probabilidad, viendo su significado a través de la función distribución o la esperanza.

Tarea moral

1. Construye una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ no decreciente, acotada que sea continua en los números irracionales y discontinua en los racionales como sigue: si $\{r_n : n \in \mathbb{N}\}$ es el conjunto de números racionales define $f(x) = \underset{n \, : \, r_n \leq x}{\sum} \, 2^{-n}.$ ¿Es de variación acotada?
2. El ejemplo 3 de la entrada anterior decía lo siguiente:
   Sea $[a,b]$ un intervalo con el $\, 0$ en su interior y $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ tal que
   \begin{equation*}
   f(x) = \begin{cases}
   1 & \text{si $x = 0$} \\
   0 & \text{si $x \neq 0$}
   \end{cases}
   \end{equation*}
   Entonces $S_P = 2 \,$ o $\, S_P = 0,$ de modo que $V=2.$
   Da un valor $\varepsilon>0$ tal que para cada $\delta >0$ exista una partición $P_{\delta} \,$ donde $|S_{P_{\delta}} \, – \, V|> \varepsilon, \,$ aun siendo $|P_{\delta}|$ menor que $\delta.$
3. Prueba que si $f$ tiene derivada continua, entonces $S^-=\int_{a}^{b}(f'(x))^- \, dx.$
4. Sea $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ tal que
   \begin{equation*}
   f(x)=\begin{cases}
   x \, sen(\frac{1}{x}), \, \text{ si $0<x \leq 1$} \\
   f(x) = 0, \, \text{ si $x=0$}
   \end{cases}
   \end{equation*}
   Muestra que $f$ es acotada y continua en $[0,1]$ pero $V = \infty.$
5. Demuestra que también en el caso en que la curva está en $\mathbb{R}^n,$ $\mathbb{C}$ es rectificable si y solo si cada $\phi_j$ es de variación acotada.

Bibliografía

• Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015. Págs: 22-26.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Usaremos los resultados vistos en las entradas anteriores Enunciado del teorema de Stone-Weierstrass y primera parte de la demostración y Segunda parte de la demostración del teorema de Stone-Weierstrass para culminar con la demostración del teorema de Stone-Weierstrass. Sin más preámbulo, recordemos lo que dice.

Teorema. Stone-Weierstrass. Sea $K$ un espacio métrico compacto. Sea $A \subset \mathcal{C}^0(K, \mathbb{R}),$ es decir, $A$ es un conjunto de funciones continuas de $K$ en $\mathbb{R}.$ Si $A$ satisface las siguientes propiedades:

a) Para cada $\lambda, \mu \, \in \mathbb{R}$ y $f,g \in A$ se cumple que $$\lambda f + \mu g \, \in A.$$ Esto es, $A$ es cerrado bajo combinaciones lineales.

b) Para cada $f,g \in A$ se cumple que $$f \cdot g \, \in A.$$ Esto es, $A$ es cerrado bajo producto de funciones.

c) $1 \in A,$ donde $1$ es la función constante que para cada $x \in K$ asigna el valor $1.$

d) Para cualesquiera $x_1, x_2 \in K$ tales que $x_1 \neq x_2$ existe una función $\varphi \in A$ tal que $\varphi (x_1) \neq \varphi(x_2).$

Entonces $A$ es denso en $\mathcal{C}^0(K, \mathbb{R}),$ es decir, $\overline{A}=\mathcal{C}^0(K, \mathbb{R}).$

Demostración:
Sea $A$ como en las hipótesis. Para probar que $\overline{A}=\mathcal{C}^0(K, \mathbb{R})$ tomemos $f \in \mathcal{C}^0(K, \mathbb{R}).$
Sea $\varepsilon >0.$ Demostraremos que para toda $B(f,\varepsilon)$ se cumple que existe una función $\varphi \in A$ tal que $\varphi \in B(f,\varepsilon),$ es decir
$$d_\infty(f,\varphi)< \varepsilon.$$

Para que dicha $\varphi \in A$ exista, es suficiente demostrar que existe $\textcolor{purple}{\hat{\varphi}} \in \overline{A}$ tal que
$$d_\infty(f,\hat{\varphi}) < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Pues si esa $\hat{\varphi} \in \overline{A}$ existe, entonces por lo visto en la entrada Convergencia, existe también una sucesión $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de funciones en $A$ tales que $\varphi_n \to \hat{\varphi}$ en $\mathcal{C}^0(K, \mathbb{R})$ y así existe $N \in \mathbb{N} \,$ tal que
$$d_\infty(\hat{\varphi},\varphi_N) < \frac{\varepsilon}{2}.$$
En consecuencia las desigualdades
\begin{align*}
d_\infty(f,\varphi_N) &\leq d_\infty(f,\hat{\varphi}) +d_\infty(\hat{\varphi},\varphi_N) \\
&< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\\
&= \varepsilon,
\end{align*}
evidenciarían la existencia de la $\varphi$ deseada. Procedamos entonces a justificar la existencia de la $\hat{\varphi} \in \overline{A}$ descrita arriba.

Fijemos $x \in K.$ Por el lema 1, visto en Enunciado del teorema de Stone-Weierstrass y primera parte de la demostración sabemos que para cada $y \in K$ existe $\varphi_{x,y} \in A$ (que depende de $x$ y de $y$) tal que
\begin{align}
\textcolor{blue}{\varphi_{x,y} (x)} & \textcolor{blue}{= f(x)}, \, \text{ y} \\
\textcolor{magenta}{\varphi_{x,y} (y)} &\textcolor{magenta}{= f(y)}.
\end{align}

Sea $\varepsilon >0.$ Como tanto $\varphi_{x,y}$ como $f$ son continuas en $K,$ entonces la función $\varphi_{x,y}\, – \, f$ es continua en $K.$ Así, para cada $y \in K$ existe $\delta_y >0$ tal que si $z \in B(y,\delta_y)$ entonces
\begin{align}
\nonumber &&|(\varphi_{x,y}\, – \, f)(z) \, – \, (\varphi_{x,y}\, – \, f)(y)| &< \varepsilon \\
\nonumber &\Rightarrow&|\varphi_{x,y}(z)\, – \, f(z) \,- \textcolor{magenta}{ ( \varphi_{x,y}(y)\, – \, f(y))}|&< \varepsilon \\
\nonumber &\Rightarrow&\ |\varphi_{x,y}(z)\, – \, f(z) \, \textcolor{magenta}{- 0}|&< \varepsilon \\
&\Rightarrow& |\varphi_{x,y}(z)\, – \, f(z)|&< \varepsilon
\end{align}

La colección de bolas abiertas de radio $\delta_y$ y centro en la respectiva $y \in K,$ es decir, $\, \{B(y, \delta_y) \, | \, y \in K \}$ es una cubierta abierta de $K$ que recordemos es compacto, por lo que tiene una subcubierta finita: existen

$y_1, \, y_2,…, y_n \in K$ con $n \in \mathbb{N} \,$ tales que $\{B(y_1, \delta_{y_1}), \, B(y_2, \delta_{y_2}),…,B(y_n, \delta_{y_n})\}$ es una cubierta abierta de $K.$

Sea

$$\varphi_x := min\{\varphi_{x,y_1}, \, \varphi_{x,y_2}, …, \varphi_{x,y_n}\}.$$
Demostraremos que esta función se acerca muchísimo a $f$ en cualquier punto, específicamente que
Para cada $z \in K, \, \varphi_x(z) \, – \, f(z) < \varepsilon.$

Esto ocurre porque si $z \in K$ entonces existe $j \in \mathbb{N} \,$ tal que $z \in B(y_j, \delta_{y_j}).$ Así:

\begin{align*}
&& \varphi_x(z) &\leq \varphi_{x,y_j}(z) \\
& \Rightarrow& \varphi_x(z) \, – \, f(z) &\leq \varphi_{x,y_j}(z) \, – \, f(z)
\end{align*}

Y por (3)
\begin{align}
& \Rightarrow& \varphi_x(z) \, – \, f(z) &< \varepsilon
\end{align}

Por el lema 4 de la entrada anterior sabemos que $\varphi_x$ es continua en $x.$ En consecuencia la función $\varphi_x \, – \, f$ también lo es, de modo que existe $\gamma_x >0$ tal que si $z \in B(x, \gamma_{x}),$ entonces por (1) tenemos

\begin{align}
\nonumber |(\varphi_x \, – \, f)(z)\, – \, (\varphi_x \, – \, f)(x)| < \varepsilon\\
\nonumber |(\varphi_x(z) \, – \, f(z))\, – \, \textcolor{blue}{(\varphi_x(x) \, – \, f(x))}| < \varepsilon\\
\nonumber |(\varphi_x(z) \, – \, f(z))\, – \, \textcolor{blue}{0}| < \varepsilon\\
|\varphi_x(z) \, – \, f(z)| < \varepsilon\\
\end{align}

Como $x$ es arbitraria, pensemos ahora en todas las $\varphi_x´s$ que podemos hacer con cada $x \in K.$ Nota que $\{B(x, \gamma_{x}) \, | \, x \in K\}$ es una cubierta abierta de $K$ compacto. Así, tiene una subcubierta finita es decir, existen

$x_1, \, x_2,…, x_m \in K$ con $m \in \mathbb{N} \,$ tales que $\{B(x_1, \gamma_{x_1}), \, B(x_2, \gamma_{x_2}),…,B(x_m, \gamma_{x_m})\}$ es una cubierta abierta de $K.$

Sea

$$\hat{\varphi} = max \{\varphi_{x_1}, \, \varphi_{x_2}, …, \varphi_{x_m}\}.$$

Como todas las funciones dentro del corchete están en $A,$ también pertenecen a $\overline{A}.$ Por el Lema 4, podemos decir que $\hat{\varphi} \in \overline{A},\, $ (ver tarea moral de esta sección).

A continuación demostraremos que $d_\infty (\hat{\varphi},f) < \varepsilon.$

Sea $z \in K.$

Por un lado, como existe $i \in \{1,2,…,m\}$ tal que $z \in B(x_i, \gamma_{x_i}).$ Sabemos que

\begin{align*}
&&\varphi_x(z) &\geq \varphi_{x_i}(z)\\
&\Rightarrow& \varphi_x(z) \, – \, f(z) &\geq \varphi_{x_i}(z) \, – \, f(z)
\end{align*}
Y por (5)
\begin{align}
\nonumber && \varphi_x(z) \, – \, f(z) &\geq \varphi_{x_i}(z) \, – \, f(z) &> -\varepsilon\\
\nonumber &\Rightarrow& \varphi_x(z) \, – \, f(z) & > -\varepsilon \\
&\Rightarrow& -\varepsilon & < \varphi_x(z) \, – \, f(z)
\end{align}

Como esto ocurre para cualquier $x,$ entonces ocurre para cada $x_k, \, k= 1,2,…,m.$ Se sigue que

\begin{align}
\nonumber && -\varepsilon & < \varphi_{x_k}(z) \, – \, f(z), k= 1,2,…,m\, \\
\nonumber &\Rightarrow& -\varepsilon <& \underset{k \in \{1,…,m\}}{max}( \varphi_{x_k}(z) \, – \, f(z))\\
\nonumber &\Rightarrow& -\varepsilon <& \underset{k \in \{1,…,m\}}{max} \varphi_{x_k}(z) \, – \, f(z) \\
&\Rightarrow& -\varepsilon <& \hat{\varphi}(z) \, – \, f(z) \\
\end{align}

Por otro lado, en la desigualdad (4) tenemos

\begin{align*}
& \Rightarrow& \varphi_x(z) \, – \, f(z) &< \varepsilon
\end{align*}

Como esto ocurre para cualquier $x,$ entonces ocurre para cada $x_k, \, k= 1,2,…,m.$ Se sigue que

\begin{align}
\nonumber & & \varphi_{x_k}(z) \, – \, f(z) &< \varepsilon, \, k= 1,2,…,m \\
\nonumber & \Rightarrow& \underset{k \in \{1,…,m\}}{max} ( \varphi_{x_k}(z) \, – \, f(z) ) &< \varepsilon \\
\nonumber & \Rightarrow& \underset{k \in \{1,…,m\}}{max} \varphi_{x_k}(z) \, – \, f(z) &< \varepsilon \\
& \Rightarrow& \hat{\varphi}(z) \, – \, f(z) &< \varepsilon
\end{align}

De (7) y (8) tenemos que para cada $z \in K$
\begin{align}
|\hat{\varphi}(z) \, – \, f(z)| < \varepsilon \\
\end{align}

Y así

\begin{align}
\nonumber &&\underset{z \in K}{sup}|\hat{\varphi}(z) \, – \, f(z)| < \varepsilon \\
&\Rightarrow& d_\infty(\hat{\varphi},f) < \varepsilon
\end{align}

Que es lo que queríamos demostrar.

Finalizamos esta sección con el siguiente:

Corolario. Sea $K \subset \mathbb{R}^n$ compacto y sea $A$ el conjunto de polinomios en $n$ variables que van de $K$ en $\mathbb{R}.$ Entonces toda función continua $f:K \to \mathbb{R}$ se puede aproximar con polinomios, es decir, existe una sucesión de polinomios $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $(p_n) \to f$ con la métrica uniforme.

La demostración se deja como ejercicio.

Más adelante…

Complementaremos las ideas de aproximación notando que, para el caso de las funciones continuas en un intervalo cerrado, también es posible encontrar una aproximación a través de lo que llamaremos «función cuadrática por pedazos».

Tarea moral

1. Sea $A$ como en las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. Muestra que si $f_i \in \overline{A}, \, i=1,…,n,$ entonces la función $\underset{i \in \{1,…,n\}}{min} f_i$ también pertenece a $\overline{A}.$
2. Prueba el corolario. Sugerencia: Demuestra que satisface las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. Usa la función proyeccion, que es continua, para probar que cumple d).
3. Demuestra que el conjunto de polinomios de grado impar de $[0,1] \to \mathbb{R}$ es denso en $\mathcal{C^0}[0,1].$ ¿Satisface las hipótesis del teorema?
4. Sea $f \in \mathcal{C^0}[0,1]$ tal que para cada $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$
   $$\int_{0}^{1} f(x)x^ndx=0.$$
   Prueba que $\int_{0}^{1} f^2(x)dx=0$ y concluye que $f=0.$

Bibliografía

• Bartle, R.G., The Elements of Real Analysis. New York: J. Wiley, 1964. Págs: 184-186.
• Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Págs: 154-158.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw–Hill, 1953. Págs: 159-165.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En las entradas anteriores vimos que es posible aproximarnos a una función continua a través de polinomios de Bernstein y también que es posible generalizar el concepto en funciones continuas con dominio en un espacio compacto (según dice el teorema de Stone-Weierstrass). No queremos pasar a otra sección sin hacer notar que, para el caso de las funciones continuas en un intervalo cerrado, también es posible encontrar una aproximación a través de una función cuadrática por pedazos.

Definición. Función cuadrática por pedazos. Sea $[a,b] \subset \mathbb{R}, \,$ decimos que $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es una función cuadrática por pedazos en $[a,b]$ si existen intervalos $[x_0 =a, x_1], \, [x_1,x_2], …,[x_n-1,x_n=b]$ donde $x_{i-1} < x_i, \, i=1,…,n \,$ tal que la función $\, f \,$ restringida en cada intervalo $[x_{i-1},x_i]$ es una función cuadrática.

Antes de dar paso a la proposición recordemos que si tenemos tres puntos $P_1(-x_1,y_1), \, P_2(0,y_2), \, P_3(x_1,y_1) \,$ con $\, x_1, \, y_1, \, y_2 \in \mathbb{R} \,$ como muestra la imagen, entonces la parábola que pasa por ellos tiene a $P_2$ como vértice de la parábola y por tanto también como máximo o mínimo.

Dicha parábola está dada por la función $P(x) = \left( \dfrac{y_1 \, – \, y_2}{x_1^2} \right) x^2 + y_2.$

Una traslación nos muestra que esta propiedad se cumple para cualesquiera tres puntos del plano cuando uno de ellos tiene la primera coordenada en el punto medio de las primeras coordenadas de los otros dos.

Esta construcción la usaremos más adelante. Ahora sí, demos paso a la aproximación deseada.

Proposición. Sea $A$ el conjunto de las funciones cuadráticas por pedazos en el intervalo $[a,b] \subset \mathbb{R}, \,$ entonces $A$ es denso en $\mathcal{C}^0[a,b]$ (el conjunto de las funciones continuas en $[a,b]$).

Demostración:
Sea $f \in \mathcal{C}^0[a,b]$ y $\varepsilon >0.$ Para probar que $A$ es denso en $\mathcal{C}^0[a,b], \, $ buscamos $g \in A$ tal que
$$d_\infty(f,g) < \varepsilon.$$

Como $f$ es continua en $[a,b]$ entonces también es uniformemente continua, por lo tanto existe $\delta >0$ tal que para cada $x,y \in [a,b], \,$ si $|x-y| < \delta$ entonces
\begin{align}
|f(x) \, – \, f(y)|< \dfrac{\varepsilon}{2}.
\end{align}

Sea $\, n \in \mathbb{N} \,$ tal que $\dfrac{b-a}{n} < \delta$

Definimos $n$ intervalos de longitud $\dfrac{b-a}{n}$ en $[a,b]$ como sigue:

$\left[a, a + \dfrac{b-a}{n}\right], \left[a + \dfrac{b-a}{n} , a + 2\dfrac{b-a}{n}\right],…, \left[a + (n-1)\dfrac{b-a}{n} , a + n\dfrac{b-a}{n} = b \right]$

Si $\, x_k = a + k\dfrac{b-a}{n},$ $k = 0,…,n, \,$ para cada intervalo $[x_{k-1},x_k]$ con $k = 1,…,n \,$ identifica la parábola que pasa por el punto $(x_{k-1}, f(x_{k-1})), \,$ el punto $(x_{k}, f(x_{k})) \,$ (motivados por la función $f$) y el punto $(x_{k}+ \frac{b-a}{n}, f(x_{k-1}))$ (simplemente reflejando al punto $(x_{k-1}, f(x_{k-1})$ en la recta $x=x_k$ ).

Arriba describimos que existe una parábola $g_k$ que pasa por esos tres puntos y que hace que el punto $(x_{k}, f(x_{k})) \,$ sea vértice y así es también máximo o mínimo de la parábola. Consideremos únicamente la restricción de $g_k$ en el intervalo $[x_{k-1},x_k]$ y una concatenación de estas para definir una función $g,$ es decir

$$g(x) := \sum_{k=1}^{n} 1_{[x_{k-1},x_k]} \, g_k(x)$$

donde $1_{[x_{k-1},x_k]}$ es la función característica en el intervalo $[x_{k-1},x_k].$

Ahora probemos que la distancia de $f$ a $g$ es menor que $\varepsilon.$ Sea $x \in [a,b],$ entonces $x \in [x_{k-1},x_k]$ para algún $k \in \{1,…,n\}.$

Por (1) sabemos que
$$|x \, – \, x_k|< \delta \, \Rightarrow \, |f(x) \, – \, f(x_k)|< \frac{\varepsilon}{2}$$

Por otro lado, como $g$ es creciente cuando $f(x_{k})$ es máximo (o decreciente si es mínimo), entonces se cumple

\begin{align*}
&& f(x_{k-1})= g(x_{k-1}) \leq & g(x) \leq g(x_{k}) = f(x_{k}) \\
&\text{o bien }& f(x_{k})= g(x_{k}) \leq & g(x) \leq g(x_{k-1}) = f(x_{k-1}),
\end{align*}

En cualquier caso $|f(x_k) \, – \, g(x)|< \frac{\varepsilon}{2}$

Por lo tanto

$$ |f(x) \, – \, g(x)| \leq |f(x) \, – \, f(x_k)|+ |f(x_k) \, – \, g(x)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

probando así que

$$d_\infty(f,g) < \varepsilon.$$

Más adelante…

Comenzaremos con la última sección del blog correspondiente a Análisis Matemático I. A través de definiciones y proposiciones llegaremos al concepto de la integral de Riemann-Stieltjes. Esta noción generaliza a la integral de Riemann, que suele verse en los cursos de Cálculo, pero que también es un caso particular de la integral de Lebesgue, la que se verá en el curso de Análisis Matemático II.

Tarea moral

1. Sea $[a,b] \in \mathbb{R}$ y sea $A$ el conjunto de funciones lineales por pedazos en $[a,b].$ Muestra que $A$ es denso en $\mathcal{C}^0[a,b].$

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En esta entrada conoceremos dos lemas más previos a la demostración del teorema de Stone-Weierstrass. Las hipótesis a usar serán las mismas que se mencionaron en la entrada anterior: $K$ es un espacio métrico compacto, $A \subset \mathcal{C}^0(K, \mathbb{R}),$ es decir, $A$ es un conjunto de funciones continuas que transforma valores en $K$ en valores reales. Supondremos también que $A$ satisface las propiedades:

a) Para cada $\lambda, \mu \, \in \mathbb{R}$ y $f,g \in A$ se cumple que $$\lambda f + \mu g \, \in A.$$ Esto es, $A$ es cerrado bajo combinaciones lineales.

b) Para cada $f,g \in A$ se cumple que $$f \cdot g \, \in A.$$ Esto es, $A$ es cerrado bajo producto de funciones.

c) $1 \in A,$ donde $1$ es la función constante que para cada $x \in K$ asigna el valor $1.$

d) Para cualesquiera $x_1, x_2 \in K$ tales que $x_1 \neq x_2$ existe una función $\varphi \in A$ tal que $\varphi (x_1) \neq \varphi(x_2).$

Entonces se satisface el siguiente:

Lema 3: Si $\varphi \in \overline{A}$ entonces $|\varphi| \in \overline{A}.$

Demostración:
Sabemos que $\varphi: K \to \mathbb{R}$ es continua. Dado que $K$ es compacto, la imagen $\varphi(K)$ es compacta en $\mathbb{R}$ (visto en Funciones en espacios métricos compactos), y por tanto es acotada, así $\varphi (K) \subset [a,b]$ para algún $a,b \in \mathbb{R}.$ Como la función valor absoluto restringida en $[a,b],$ que denotamos con $h: [a,b] \to \mathbb{R} \,$ tal que para cada $ \, y \in \mathbb{R}, h(y) = |y|$ también es continua en su dominio, se sigue que la composición

$$h \circ \varphi (x)= |\varphi(x)|$$

es continua en $K.$

El siguiente diagrama muestra el comportamiento de las funciones.

Por lo visto en la primera entrada de esta unidad podemos aproximar la función $h:[a,b] \to \mathbb{R}$ con polinomios de Bernstein. Sea

$$B_n(h,y)= a_0 + a_1y+…+a_ny^n$$

el polinomio de Bernstein de grado a lo más $n$ de $h$ con $y \in [a,b].$ Entonces

$$\underset{n \to \infty}{lim} \, \norm{B_n(h,y) \, – \, h}_{\infty} = 0.$$

Si $x \in K,$ $\, \varphi(x) \in [a,b].$ Evaluando el polinomio en $\varphi(x)$ tenemos:

$$B_n(h,\varphi(x))= a_0 + a_1\varphi(x)+…+a_n\varphi(x)^n.$$

De modo que la sucesión de polinomios $(B_n(h,\varphi(x)))_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge a $h \circ \varphi = |\varphi|$ en $\mathcal{C}^0(K, \mathbb{R}).$

Veamos que cada sumando del polinomio está en $\overline{A}.$ Para ello usaremos los resultados del lema 2 visto en Enunciado del teorema de Stone-Weierstrass y primera parte de la demostración.

La función constante $1 \in \overline{A},$ como $a_0 \in \mathbb{R}$ se sigue que el producto $1 \cdot a_0 = a_0 \in \overline{A}.$

Como $\varphi \in A \subset \overline{A}$ y $a_1 \in \mathbb{R}$ se sigue que el producto $a_1 \varphi \in \overline{A}.$

Como $\varphi \in A \subset \overline{A}$ entonces el producto $\varphi \cdot \varphi = \varphi ^2 \in \overline{A}.$ Como $a_2 \in \mathbb{R}$ se sigue que también $a_2 \varphi ^2 \in \overline{A}.$
.
.
.
Como $\varphi^{n-1} \in A \subset \overline{A}$ entonces el producto $\varphi^{n-1} \cdot \varphi = \varphi ^n \in \overline{A}.$ Como $a_n \in \mathbb{R}$ se sigue que el producto $a_n \varphi ^n \in \overline{A}.$

Ya que cada sumando está en $\overline{A}$ concluimos que para cada $n \in \mathbb{N}, \, B_n(h,\varphi(x)) \in \overline{A}.$ Por lo tanto $|\varphi| \in \overline{A}.$

Para finalizar esta sección veamos otro resultado.

Lema 4: Sean $\varphi, \gamma \in \overline{A}.$ Entonces las funciones

$$max\{\varphi, \gamma\}(x):= max\{\varphi(x), \gamma(x)\} \, \text{ y }$$

$$min\{\varphi, \gamma\}(x):= min\{\varphi(x), \gamma(x)\}$$

también están en $\overline{A}.$

Demostración:
Probemos que $max\{\varphi, \gamma\}(x) \in \overline{A}.$ Nota que

$$max\{\varphi(x), \gamma(x)\}=\dfrac{\varphi(x)+\gamma(x)+|\varphi(x) \, – \, \gamma(x)|}{2},$$

Ya que $\dfrac{\varphi(x)+\gamma(x)+|\varphi(x) \, – \, \gamma(x)|}{2}$ puede verse como combinación lineal de funciones en $\overline{A}$ (por lo visto en lema 2 y lema 3) se sigue que

$\dfrac{\varphi(x)+\gamma(x)+|\varphi(x) \, – \, \gamma(x)|}{2} = max\{\varphi(x), \gamma(x)\} \, \in \overline{A}.$

Análogamente se puede probar que se satisface la igualdad

$min\{\varphi(x), \gamma(x)\} = \dfrac{\varphi(x)+\gamma(x)-|\varphi(x) \, – \, \gamma(x)|}{2}$

Y así la función $\, min\{\varphi(x), \gamma(x)\} \, \in \overline{A}.$ La prueba de este hecho se dejará como ejercicio.

Más adelante…

Terminaremos con la demostración del teorema prometido. Por lo pronto sugerimos algunos ejercicios.

Tarea moral

1. Demuestra que $min\{\varphi(x), \gamma(x)\} = \dfrac{\varphi(x)+\gamma(x)-|\varphi(x) \, – \, \gamma(x)|}{2}.$
2. Identifica bajo qué condiciones las siguientes familias de funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass:
   a) Las poligonales.
   b) Las funciones infinitamente diferenciables en $\mathbb{R}.$
   c) Las funciones Lipschitz continuas.

Bibliografía

• Bartle, R.G., The Elements of Real Analysis. New York: J. Wiley, 1964. Págs: 184-186.
• Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Págs: 154-158.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw–Hill, 1953. Págs: 159-165.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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