Una vez visto el tema de Polos y Polares y todos los subtemas que conlleva este, es hora de realizar unos ejercicios que se dejaran a continuación, todo con el objetivo de practicar y fortalecer el tema visto.
Ejercicios
1.- Demuestre que cualquier punto en la circunferencia es conjugado a todos los puntos de la tangente en ese punto.
2.- Dados P y Q los polos de dos rectas conjugadas p y q respectivamente, entonces demostrar que el polo de la recta PQ es el punto donde intersecan p y q.
3.- Sean tres puntos no colineales, construir la polar de un cuarto punto con respecto a la circunferencia determinada por los tres puntos dados, sin dibujar la circunferencia o cualquier arco de ella.
4.- Encontrar el lugar geométrico de un punto cuyas polares con respecto a dos circunferencias dadas forman un ángulo fijo entre ellas.
5.- Dados tres puntos colineales A, B y D se deberá encontrar el punto C tal que {ABCD} = -1 usando polos y polares.
6.- Demuestre que dadas dos rectas conjugadas que se intersecan en el exterior de una circunferencia, una es secante y la otra no.
7.- Dado un triángulo con circunferencia polar, el inverso de uno de sus lados con respecto a la circunferencia polar, es la circunferencia cuyo diámetro es la recta que une el vértice opuesto con el ortocentro.
8.- Dado un triángulo autopolar uno de sus vértices está dentro de la circunferencia y los otros dos fuera de esta, demostrarlo.
9.- Resolver el problema 7 de los 10 problemas de Apolonio.
10.- Resolver el Problema 10 de Apolonio usando polos y polares.
Siguiendo una estructura análoga a la anterior, procederemos a desarrollar la ecuación que describe la característica central del modelo de interés compuesto: la capacidad de generar intereses adicionales. Además, sentaremos las bases para abordar la aplicación de tasas de interés y establecer relaciones entre ellas, con el propósito de calcular tasas equivalentes.
El interés compuesto representa la segunda modalidad de pago de intereses. Su rasgo distintivo es la generación de nuevos intereses a medida que transcurre el tiempo o cada período específico. Estos intereses recién generados se suman al capital original, que luego comienza a generar intereses por sí mismo, repitiendo este proceso según lo establecido. Similar al modelo de interés simple, los intervalos de tiempo pueden ser mensuales, anuales, trimestrales, semanales, entre otros.
Interés compuesto
El modelo de interés compuesto es ampliamente empleado en contratos comerciales y operaciones financieras en todo el mundo, e incluso está respaldado por la legislación vigente en nuestro país, como lo establece la Ley Federal de Protección al Consumidor.
Para comenzar con su construcción, se propone el siguiente ejemplo:
A una persona les prestan \$100, con una tasa de interés efectiva mensual del 10%, dicho monto al término del primer mes estaría generando \$10 por concepto de interés más los \$100 pesos originales. La parte interesante comienza a ocurrir a partir del segundo mes, en el que los intereses que ya se habían generado durante el primer mes comienzan a generar nuevos intereses invertidos a la misma tasa, esto es:
Monto del periodo anterior $=\$110$
Intereses del segundo periodo $=(\$110)(0.10)=\$11$
Lo que nos da un monto total al final del segundo periodo de \$121. Es importante hacer mención que el $1 que aparece en nuestro último resultado, representa los intereses generados por los nuevos intereses. En la siguiente gráfica se representa con detalle este proceso.
Fig. 1.4 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 24
Ahora bien, se va a construir el modelo general de Interés compuesto:
Fig. 1.5 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag, 25
El primer periodo comienza con un capital $K$, con una tasa de interés $i$, de tal manera que al final del primer periodo tenemos el capital inicial más los intereses generados durante ése periodo, y nos quedaría una expresión como la siguiente: $M=K+Ki$.
Por consiguiente, el monto del segundo periodo queda como el capital inicial más los intereses obtenidos en el 1er y 2do periodo.
Es importante recalcar que los intereses se calculan multiplicando el capital por la tasa de interés. Si los intereses generados en el 1er periodo fueron $Ki$, entonces los intereses generados en el segundo periodo se calcularon a partir de la expresión $Kii$. De esta forma, el monto obtenido al final del segundo periodo se representa con la expresión: $M=K+Ki+Ki+Kii$, la cual se reduce a la expresión señalada en la figura 1.5> $M=K(1+i)^2$.
Generalizando la fórmula queda lo siguiente: $M=K(1+i)^t$. En ésta expresión la variable $t$, es la que va a estar representando el número de periodos, el cual va a estar ligados siempre con el «apellido» de la tasa de interés, este es mensual, semanal, diario, etc. como ya en algunos párrafos anteriores se ha hecho mención.
Las reglas para aplicar correctamente este modelo son semejantes a la del modelo de interés simple, con algunas variantes, pero para no dejar ambigüedad alguna se enuncian a continuación:
El valor de las variables $K$ y $M$ se escriben en unidades monetarias, siendo la primera que representa el capital inicial ($K$), mientras que la segunda representa el monto ($M$).
$i$ es la tasa de interés efectiva por periodo, expresada en %, y al realizar cálculos usada al tanto por uno, es decir ya dividida entre 100.
La periodicidad de la tasa determina la unidad de tiempo con la que se va a utilizar la variable $t$, esto es, en años, meses, bimestres, durante el lapso de tiempo acordado que dure la operación.
Siguiendo una lógica similar al modelo de interés simple, en el caso del modelo de interés compuesto, tenemos la capacidad de expresar cualquier variable en función de las otras tres. Es decir, podemos despejar y expresar cualquier variable en términos de las demás.
Por lo anterior podemos establecer que, partiendo del modelo de interés compuesto, $K$ se puede calcular a partir de la siguiente expresión:
$$K=M\frac{1}{(1+i)^t}=M(1+i)^{-t}.$$
Para obtener $i$, se divide entre $K$ la ecuación de interés compuesto, luego se eleva a la potencia $\frac{1}{t}$ y por último se le resta uno, con lo que se llega a:
$$i=\frac{(M)}{(K)}^{\frac{1}{t}}-1.$$
Finalmente, para expresar $t$ es necesario usar algunas propiedades de los logaritmos, como se observa a continuación:
$$t=\frac{\log M-\log K}{\log(1+i)}.$$
Es fundamental destacar una diferencia significativa en comparación con el modelo de interés simple, que, como ya hemos visto, exhibe un comportamiento lineal. Por otro lado, el modelo de interés compuesto muestra un comportamiento geométrico, como se puede apreciar en el siguiente gráfico:
Figura 1.6 Comportamiento del Modelo de Interés Compuesto, Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, Pag. 27
En la figura 1.6, se muestra un ejemplo de cómo se comporta el modelo de interés compuesto, bajo una inversión de un capital de \$1700 invertido durante 3 años, a una tasa mensual del $12\%$.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. ¿Cuál es el monto que se genera, con un capital inicial de \$2500 y lo queremos invertir con las siguientes tasas de interés, durante los periodos que se indican:
A una tasa del 6.5% anual, durante tres años y 6 meses.
2.4% mensual, luego de haber transcurrido dos años y 8 meses.
5.8% semestral, después de un periodo de 10 meses.
0.04% diario, después de un año con 23 días.
Solución
El monto inicial ($K$), que se va a utilizar es el mismo, el cual es de \$2500, y de igual forma, en todos los casos queremos saber el monto ($M$). Una vez aclarado ese punto, el modelo que vamos a estar usando es el de interés compuesto dado por: $M=K(1+i)^t$. Se sabe que la tasa es una tasa efectiva anual del 6.5%, motivo por el cual la variable $t$ será expresada en años, así mismo, el tiempo que se tiene considerado que dure la operación, es de 3 años con 6 meses. Ahora bien, sustituyendo cada uno de los valores en nuestra ecuación de interés compuesto: \begin{align*} M&=2500(1+0.065)^{3\frac{1}{2}}\\ &=2500(1+0.065)^{3.5}\\ &=3116.47 \end{align*}. Es importante señalar, que el número 3 corresponde a los años completos que dura el acuerdo, mientras que el $\frac{1}{2}$, es por los 6 meses que hacen falta, el cual expresado en años sería un medio. De manera tal que $t=3\frac{1}{2}=3.5$.
Se tiene una tasa efectiva mensual ($i$) de 2.4%, lo cual implica que el tiempo ($t$) que asciende a 2 años 4 meses debe ser expresado en meses, entonces aplicando el modelo: $$M=2500(1+0.024)^{28}=4856.67$$
Análogamente, si la tasa es del 5.8% semestral, el tiempo debe ser expresado en semestres, motivo por el cual $t= 1 semestre + \frac{4}{6} semestre=1+\frac{4}{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}=1.67$, y aplicando el modelo se obtiene: \begin{align*} M&=2500(1+0.058)^{1\frac{4}{6}}\\ &=2500(1+0.058)^{1.67}\\ &=2746.31 \end{align*}
De forma parecida a los incisos anteriores, la tasa efectiva diaria 0.04% ($i$), esto causa que se mida en días la variable $t$, y se va a considerar que en un año se tiene 365 días, lo cual implica: $t=365 +23 días=386 días$, luego entonces nos da el siguiente resultado al aplicar el modelo de interés compuesto $$M=2500(1+0.0004)^{365+23}=2500(1+0.0004)^{386}$$
Ejercicio. Calcula la tasa de interés anual, que se necesita calcular para los siguientes incisos:
Monto inicial de \$1 500, durante un año genera un monto de \$1 800.
Monto inicial de \$27 500, que durante un lapso de un año y cinco meses genera \$30500.
Monto inicial de \$22 000, durante un lapso de 7 semestres con 5 meses, genera un monto total de \$25 000.
Solución
A partir del modelo de interés compuesto, con el que se ha estado trabajando, se sabe que contamos con el valor de las variables $K$, $M$ y $t$. Por lo anterior, se va a hacer uso de la siguiente expresión que anteriormente ya se había deducido: $$i=\frac{(M)}{(K)}^{\frac{1}{t}}-1$$
Sustituyendo cada uno de los valores de la expresión anterior, se tiene: $i=(\frac{1800}{1500})^1-1=0.2$ lo cual implica que la tasa de interés es $i=20\%$
Análogamente al ejercicio anterior, se tiene: \begin{align*} i&=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{1+\frac{5}{12}}-1\\ &=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{\frac{17}{12}}-1\\ &=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{1.416}-1\\ &=0.15 \end{align*} Por lo tanto, el valor de la tasa de interés es: $i=15\%$
En este caso se debe observar que un año tiene 2 semestres, por lo que la cantidad de 7 semestres, tiene 3.5 años. Luego se debe agregar a éste resultado 5 meses que es el equivalente a \frac{5}{12}. Por lo anterior ahora sí sustituimos los valores de cada una de las variables, lo cual nos da: \begin{align*} i&=\left(\frac{25000}{22000}\right)^{\frac{7}{2}+\frac{5}{12}}-1\\ &=\left(\frac{25000}{22000}\right)^{\frac{47}{12}}-1\\ &=0.64 \end{align*} Por lo tanto, el valor de la tasa de interés es: $i=64 \%$
Ejercicio. Dado un capital inicial de \$1200 pesos, un monto total de \$3500, con una tasa efectiva trimestral de 3.77%, calcular $t$.
Solución
La ecuación que se aplicará para este caso es la siguiente: $$t=\frac{\log M-\log K}{\log(1+i)}$$ Sustituyendo cada una de las variables que se conocen, nos queda: \begin{align*} t&=\frac{\log 3500-\log 1200}{\log(1+0.0377)}\\ &=\frac{0.464886}{0.016071}\\ &=28.92554 \end{align*}
Es importante señalar que el resultado está dado en trimestres, puesto que la tasa con la que se están realizando los cálculos es efectiva trimestral. Por otra parte cada año tiene 4 trimestres, entonces cuando el resultado excede a 4, entonces la cifra expresada en años, se obtiene del resultado de $t=28.92554$ el cual, se divide entre 4, entonces se tiene $\frac{28.92554}{4}=7.231385$ de donde se obtienen los 7 años. Ahora como no se suele expresar 0.231385 meses, lo que se va a hacer es multiplicar por 12(porque el año tiene 12 meses), esto es: $(0.231385)(12)=2.77662$ que es de dónde se obtienen los 2 meses. Por último para saber los días, multiplicamos la cifra de (77662)(30) por que un mes tiene 30 días, hacemos uso de la cifra de $(0.77662)(30)=23.2986$, resultado a partir del cual se obtiene el dato de los 23 días. Por lo tanto, el resultado obtenido se interpreta como 7 años, 2 meses y 23 días.
Más adelante…
En este tema, se abordó el modelo de Interés compuesto, mediante el cual se observa el fenómeno mediante el cual, una cantidad de dinero invertida, prestada o depositada en alguna institución bancaria, nos genera intereses con el paso del tiempo, y no sólo eso, sino que, en el caso particular del interés compuesto, los intereses generan más intereses. Éste proceso que se acaba de estudiar de forma implícita es conocido también como acumulación. Con éste modelo nos da una herramienta muy importante para poder tomar mejores decisiones respecto al uso de los recursos que se tienen de manera personal, comercial, social, etc. porque nos sirve para saber cuánto se puede llegar a ahorrar en el caso de querer adquirir un bien o servicio, o unas vacaciones, o comprar un vehículo. En otro caso, cuánto se va a tener que pagar por un cierto préstamo, o incluso cuánto se requiere tener para llevar a cabo un proyecto que requiere cierto financiamiento (es un tipo de préstamo que permite tener recursos, por ejemplo, inversionistas) para conocer cuánto es lo que se va a deber en el futuro.
En el siguiente capítulo, se abordará el proceso inverso que acabamos de estudiar, esto es, describir la metodología que nos permita conocer el valor que al día de hoy tiene una obligación futura, fenómeno que dentro de las Matemáticas Financieras se le conoce como Valor Presente.
La Topología es un área de las matemáticas que se interesa por conceptos como proximidad, continuidad, conexidad, compacidad, y muchos otros mas. Para abordarlos, es necesario establecer un cierto tipo de conjuntos (que en Topología se les conoce como los conjuntos abiertos). $\fbox{Bola abierta}$ La bola abierta con centro en $\bar{x}_0$ y radio $r>0$, es el conjunto: $$B(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<r\}$$ $\fbox{Bola Cerrada}$ La bola cerrada con centro $\bar{x}_0$ y radio $r\geq 0$ es el conjunto: $$\bar{B}(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|\leq r\}$$ $\fbox{Esfera}$ La esfera con centro $\bar{x}_0$ y radio $r\geq 0$ es el conjunto: $$S(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|=r\}$$ Observemos que para la bola abierta $r>0$ estrictamente, mientras que la bola cerrada y la esfera pueden tener radio cero. En este último caso ambas se reducen a un punto:
\[ \bar{B}(\bar{x}_0,0)={\bar{x}_0} \]
\[ S(\bar{x}_0,0)={\bar{x}_0}~~ \blacksquare \] Los conjuntos $B(\overline{x}_0,r)$, $\bar{B}(\overline{x}_0,r)$ y $S(\bar{x}_0,r)$ son subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ y su aspecto geométrico depende de la métrica con la cual se midan las distancias. Ejemplo. \begin{align*} \overline{B}_2(0,1)&=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_2\leq1\} \\ &=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2|\sqrt{x^2+y^2}\ \leq1\} \\ &=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2\leq1\} \end{align*} Geométricamente
La periferia de este disco es el circulo que tiene por ecuación $x^2+y^2=1$, que corresponde a la esfera $S_2(0,1)=\{\bar{x}\in \mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_2=1\}$.$~ \blacksquare$
Ejemplo. Sea ahora la bola cerrada \begin{align*} \bar{B}_2(0,1)&=\{\overline{x}\in\mathbb{R}^{2}~|~\|\bar{x}\|\leq1\} \\ &=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ |x|+|y|\leq1\} \end{align*} Geométricamente
Para $S_1(0,1)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ |\bar{x}|=1\}$
Para $\overline{B}_{\infty}(0,1)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_{\infty}\leq1\}$ = $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ \max\{|x|,|y|\}\leq1\}$
tenemos entonces que
Las figuras anteriores muestran la situación geométrica, entre las bolas cerradas $\overline{B}_{1}(\overline{0},1),~\overline{B}_{2}(\overline{0},1),~\overline{B}_{\infty}(\overline{0},1)$ en forma explicita se escriben: \[ \max\{|x_1|,\cdots,|x_n|\}\leq \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\ \leq |x_1|+\cdots+|x_n| \] Las contenciones tanto para las bolas abiertas, como para las bolas cerradas se siguen de las desigualdades
\[ \|\bar{x}-x_0\|_{\infty}\leq \|\bar{x}-\bar{x}_0\|_2\leq \|\bar{x}-x_0\|_1 \] Pues por ejemplo si $\bar{x}\in B_2(\bar{x}0,r)$ entonces $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_2<r$ luego $\|\bar{x}-\overline{x}_0\|_{\infty}<r$
$\therefore~~~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_{\infty}<r$ es decir $\overline{x}\subset B_{\infty}(x_0,r)$ $\therefore$ $B_2(\bar{x}0,r)\subset B_{\infty}(\bar{x}_0,r)$
Si $\overline{x}\in B_1(\bar{x}_0,r)$ entonces $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_1<r$ luego $\|x-\bar{x}_0\|_2\leq \|\bar{x}-\bar{x}_0\|_1<r$ $\therefore$ $\|\overline{x}-\bar{x}_0\|_2<r$ $\therefore$ $\overline{x}\in B_2(x_0,r)$ $\therefore$ $B_1(\bar{x}_0,r)\subset B_2(x_0,r)$ Para las esferas no hay alguna relación similar, lo que se puede deducir de las desigualdades anteriores son las relaciones siguientes: \[S_1(\bar{x}_0,r)\subset \overline{B}_{2}(\bar{x}_0,r)\subset\overline{B}_{\infty}(\bar{x}_0,r)\] \[S_2(\bar{x}_0,r)\subset B_{\infty}(\bar{x}0,r)\hspace{1.7cm}\] \[S_{\infty}(\bar{x}0,r)\subset \overline{B}_{\infty}(\bar{x}_0,r)\hspace{1.8cm} \]
Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados
Un concepto importante en la topología de $\mathbb{R}^{n}$ es el de conjunto abierto. Junto con el de conjunto cerrado. Conjunto abierto y conjunto cerrado dos conceptos duales, en un sentido que trataremos de explicar. Por ahora solamente veremos la definición de cada uno de ellos y alguna de sus propiedades más importantes. Definición. Un conjunto $V\subset\mathbb{R}^n$ se dice que es $\textbf{abierto}$ si para cada $\bar{x}\in V$ existe una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida en $V$. Es decir si para cada $\bar{x}\in V$ existe $r>0$ tal que $B(\bar{x},r)\subset V$.
Ejemplo. El espacio $\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto, pues dado cualquier $\bar{x}\in \mathbb{R}^n$, toda bola abierta $B(\bar{x},r)$ esta contenida en $\mathbb{R}^n$.$~~\blacksquare$
Ejemplo .Mostraremos que el $\emptyset$ es abierto. Suponemos que el $\emptyset$ no es abierto $\therefore$ $\exists$ $x\in \emptyset$ para el cual no es posible hallar una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida en $\emptyset$. Pero esto no es posible ya que el $\emptyset$ no tiene elementos. Entonces debemos suponer que el $\emptyset$ no es abierto ${\large\textbf{!}}$ $~~~\therefore~~~\emptyset$ es abierto.$~~\blacksquare$
Proposición. Toda bola abierta en $\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto. Demostración. Sea $\bar{x}_0\in\mathbb{R}^n$ y $r>0$. Mostraremos que $B(\bar{x}_0,r)$ es un conjunto abierto. Debemos probar que para cada $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$, existe una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida a su vez en la bola abierta $B(\bar{x}_0,r)$. Sea pues $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$ y consideremos $R=r-\|\bar{x}-\bar{x}_0\|$. Como $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$ se tiene entonces que $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<r$ $\therefore$ $R>0$. Mostraremos que la bola abierta $B(\bar{x},R)$ esta contenida en $B(\bar{x}_0,r)$.
esto prueba que $\bar{y}\in B(\bar{x}_0,r)$.$~~\blacksquare$
Ejemplo.Mostraremos que en $\mathbb{R}^2$, el semiplano superior $$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~y>0\}$$ es un conjunto abierto respecto a la norma $\|\overline{x}\|_1$ Solución.
Sea $\overline{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$. Se tiene entonces que $y_{0}>0$ consideremos $r=y_{0}$ y consideremos la bola $B_{1}(\bar{v}_0,y_0)$ y sea $\bar{v}=(x,y)\in B_1(\bar{v}_0,y_0)$ se tiene que $\|\bar{v}-\overline{v}_0\|_1<y_0$, es decir, $|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$. Debemos probar que $y>0$. (1) $y$ no puede ser cero pues si $y=0$ $|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$ $\Rightarrow$ $|x-x_0|+|y_0|<y_0$ ${\large\textbf{!}}$ (Falso) es decir no puede ocurrir que $|x-x_0|+|y_0|$ sea menor que $y_{0}$. (2) $y$ no puede ser negativa pues $|x-x_0|+|y-y_0|=|x-x_0|+\underset{*}{\underbrace{|y|+y_0}}>y_0$ ${\large\textbf{!}}$ (Falso) * $y<y_0$ $\Rightarrow$ $|y-y_0|=-y+y_0=|y|+|y_0|$ $\therefore$ $y$ tiene que ser $y>0$ $\therefore$ $B_1(\bar{v}_0,y_0)$ esta en el semiplano superior.$~~ \blacksquare$ Definición. Un conjunto $F\subset\mathbb{R}^n$ se dice que es $\textbf{cerrado}$ si su complemento $F^c=\mathbb{R}^n-F$ es un conjunto abierto.
Ejemplo. Los conjuntos $\mathbb{R}^n$ y $\emptyset$ son cerrados. En efecto $\mathbb{R}^n$ es cerrado pues su complemento $\emptyset$ es abierto. Similarmente $\emptyset$ es cerrado pues su complemento $\mathbb{R}^n$ es abierto.$~\blacksquare$
Ejemplo. Un conjunto con un solo punto ${\bar{0}}$ es cerrado ya que $\mathbb{R}^n-{\bar{0}}$ es abierto.$~~\blacksquare$
Proposición. Toda bola cerrada en $\mathbb{R}^n$ es un conjunto cerrado. Demostración. Sea $\bar{x}_0\in \mathbb{R}^n$ y $r\geq0$. Probaremos que la bola cerrada $\bar{B}(x_0,r)$ es un conjunto cerrado, es decir, que su complemento $\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$ es un conjunto abierto. Sea pues $\bar{x}\in\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$. Mostraremos que existe una bola abierta $B(\bar{x},R)$ contenida en $\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$. Como $\bar{x}$ no está en la bola cerrada $\bar{B}(x_0,r)$, se tiene entonces que $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|>r$. Definamos $R=\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-r>0$, esto equivale a $r=\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-R$. Veamos que $B(\bar{x},R)\subset\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$
luego $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<R+\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$ $\therefore$ $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-R<\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$, es decir, $r<\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$. Esto significa que $\bar{y}\not\in \bar{B}(\bar{x}_0,r)$, es decir, $\bar{y}\in\mathbb{R}^n-\bar{B}(\bar{x}_0,R)$.$~~\blacksquare$
Ejemplo. Muestre que el conjunto $$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x\leq y\}$$ es un conjunto cerrado. Solución. Sea $V^{c}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x>y\}$. mostraremos que $V^{c}$ es un conjunto abierto
Sea $\overline{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V^{c}$ entonces $x_{0}>y_{0}$. Definimos $r=x_{0}-y_{0}>0$ ahora consideramos $B(\overline{v}_{0},r)$ vamos probar que $B(\overline{v}_{0},r)\subset V^{c}$ Sea $\overline{v}_{1}=(x,y)\in B(\overline{v}_{0},r)$ con la norma $\|\overline{x}\|_{1}$ se tiene $$\|\overline{v}_{1}-\overline{v}_{0}\|_{1}<r~\Rightarrow~|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<r~\Rightarrow~|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<x_{0}-y_{0}$$ por lo tanto $$x-y=x-x_{0}+y_{0}-y+x_{0}-y_{0}=x_{0}-y_{0}+x-x_{0}+y_{0}-y\geq x_{0}-y_{0}-\left(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\right)>0$$ la última desigualdad se obtiene de la propiedad $-|x-x_{0}|\leq x-x_{0}\leq |x-x_{0}|$. De esta manera $x-y>0~\Rightarrow~x>y$ y en consecuencia $v_{1}\in V^{c}$ por lo que $V^{c}$ es un conjunto abierto y por lo tanto V es un conjunto cerrado.$~\blacksquare$ Ejemplo. Sea $V={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x+y>0}$. Demuestre que V es un conjunto abierto
Solución. Sea $\bar{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ entonces $x_{0}+y_{0}>0$. Definimos $r=x_{0}+y_{0}>0$ ahora consideramos $B(\bar{v},r)$ vamos probar que $B(\bar{v},r)\subset V$ Sea $\bar{v}_{1}=(x,y)\in B(\bar{v},r)$ con la norma $\|.\|_{1}$ se tiene $$\|\bar{v}-\bar{v}_{0}\|_{1}=|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<r$$ por lo tanto $$x+y=x-x_{0}-y_{0}+y+x_{0}+y_{0}=x_{0}+y_{0}+x-x_{0}-y_{0}+y\geq x_{0}-y_{0}-\left(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\right)>0$$
de esta manera $x+y>0$ y en consecuencia $\bar{v}_{1}\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Ejemplo Sea $V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~y>x^{2}\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto
Solución. Sea $\bar{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ entonces $y_{0}>x^{2}{0}$. Definimos $r=y_{0}+x^{2}{0}>0$ y ahora consideramos $B(\bar{v},r)=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=\epsilon^{2}$
vamos probar que $B(\bar{v},r)\subset V$. Sea $\bar{v}_{1}=(x,y)\in B(\bar{v},r)$ cada punto en $B(\bar{v},r)$ cumple $$|x-x_{0}|<\epsilon~~~|y-y_{0}|<\epsilon$$ y usando la identidad algebraica $$x_{0}^{2}=x^{2}-2(x-x_{0})x_{0}-(x-x_{0})^{2}$$ tenemos que $$y>y_{0}-\epsilon=x_{0}^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon=x^{2}-2(x-x_{0})x_{0}-(x-x_{0})^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon>x^{2}-2\epsilon x_{0}-\epsilon^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon$$ Por lo tanto $$y>x^{2}-2\epsilon x_{0}-\epsilon^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon>x^{2}se~cumple~para~\epsilon=\min\left\{1,\frac{y-x_{0}^{2}}{2|x_{0}|+2}\right\}$$ de esta manera $y>x^{2}$ y en consecuencia $\bar{v}_{1}\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Ejemplo. Sea $V=\{x\in\mathbb{R}~|~f(x)>0\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto
Solución. Sea $y\in V$ entonces $f(y)>0$. Definimos $\epsilon=f(y)$ y como f es continua $$si~~0<|x-y|<\delta~\Rightarrow~|f(x)-f(y)|<\epsilon=f(y)~\Rightarrow~-f(y)<f(x)-f(y)<f(y)~\Rightarrow~0<f(x)$$ por lo tanto $$\forall~x\in B(x,\delta)~se~tiene~f(x)>0$$de esta manera $B(y,\delta)\subset V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Ejemplo. Sea $V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~a<x<b~,~c<y<d\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto.
Solución. Sea $X=(x_{1},y_{1})\in V$ entonces $a<x_{1}<b$ y $c<y_{1}<d$. Definimos $\epsilon=\min\{x_{1}-a,b-x_{1},y_{1}-c,d-y_{1}\}$ por tanto si $(x,y)\in B(X,\epsilon)$
debe ocurrir $$a<x_{1}-\epsilon<x<x_{1}+\epsilon<b~~y~~c<y_{1}-\epsilon<y<y_{1}+\epsilon<d$$ por lo tanto $$(x,y)\in V~\therefore~B(X,\epsilon)\subset V$$y en consecuencia V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Más adelante
Una vez clasificados los puntos de $\mathbb{R}{n}$ veremos en la siguiente entrada una caracterización topológica de conjuntos de $\mathbb{R}{n}$ con sus respectivas propiedades.
Tarea Moral
1.- Prueba que si $ \overline{x} = (x_1,…,x_n) \in \mathbb{R} ^{n}$, entonces $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\|$, $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\| _{1}$ y $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\| _{\infty}$.
2.-Demuestra que dados $a_1,…,a_n, b_1,…, b_n \in\mathbb{R}$ tales que $a_i \leq b_i$ para $i=1,..,n$, el rectángulo $[a_1,b_1] \times \cdot \cdot \cdot, [a_n,b_n]$ es un conjunto cerrado.
3.- Demuestra que $(a_1,b_1) \times \cdot \cdot \cdot, (a_n,b_n)$ es un conjunto abierto.
4.- Si $A= ([0,1] \times [0,1]) \cap (\mathbb{Q} \times \mathbb{Q})= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x,y \in \mathbb{Q} y 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \}$
5.- Para el conjunto $A=\{(m,0) \in \mathbb{R}^2 | m \in \mathbb{Z} \}$ indica quien es:
El concepto de $\| \: \|$ (norma) nos da una noción de medida de un vector, la cual, generaliza la idea geométrica de distancia en la geometría euclidiana. También ayudará a tener una noción de distancia entre dos vectores en $\mathbb{R}$ o más generalmente en $\mathbb{R}^n$, es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia. Consideremos la noción común de distancia entre dos puntos en $\mathbb{R}^3$. Si $\bar{x}=(x_1,x_2,x_3),~~~\bar{y}=(y_1,y_2,y_3)$ $$\|\bar{x}-\bar{y}\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}$$ Esta distancia la denominamos métrica euclidiana y la generalizamos en $\mathbb{R}^n$ en la siguiente definición. Definición. Sean $\bar{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ y $\bar{y}=(y_1,\ldots,y_n)$ elementos cualesquiera de $\mathbb{R}^n$ definimos la distancia euclidiana entre ellos como $$d(\bar{x},\bar{y})=\|\bar{x}-\bar{y}\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots+(x_n-y_n)^2}$$ La función $d:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}$ se denomina distancia o métrica euclidiana.
Proposición. Para cualesquiera vectores $\bar{x},\,\bar{y},\,\bar{z}\,\in\,\mathbb{R}^n$ se tiene: (a) $d(\bar{x},\bar{y})\geq 0$ (b) $d(\bar{x},\bar{y})=d(\bar{y},\bar{x})$ (c) $d(\bar{x},\bar{y})\leq d(\bar{x},\bar{z})+d(\bar{z},\bar{y})$ (d) $d(\bar{x},\bar{y})=0~~ \Rightarrow ~~ \bar{x}=\bar{y}$ Demostración. (a) Como $d(x,y)=\|\bar{x}-\bar{y}\|\geq 0$ entonces $d(\bar{x},\bar{y})\geq 0$ tambien si $d(x,y)=0 \quad \Rightarrow \quad \|\bar{x}-\bar{y}\|=0 \quad \Rightarrow \quad \bar{x}=\bar{y}$ (b) $d(\bar{x},\bar{y})=\|\bar{x}-\bar{y}\|=\|\bar{y}-\bar{x}\|=d(\bar{y},\bar{x})$ (c) $d(\bar{x},\bar{y})=\|\bar{x}-\bar{y}\|= \|\bar{x}-\bar{z}+\bar{z}-\bar{y}\|\leq \|\bar{x}-\bar{z}\|+\|\bar{z}-\bar{y}\| = d(\bar{x},\bar{z})+d(\bar{z},\bar{y}).~~\blacksquare$ Proposición. La función $$d_{1}(x,y)=|x_{1}-y_{1}|+\cdots+|x_{n}-y_{n}|$$ donde $\bar{x}=(x_{1},\cdots,x_{n})$ y $\bar{y}=(y_{1},\cdots,y_{n})$ $\in \mathbb{R}^{n}$, es una métrica para el espacio euclideano $\mathbb{R}^{n}$. Demostración. Las propiedades (a), (b) son inmediatas y para la propiedad (c) tenemos $$|x_{i}-y_{i}|\leq|x_{i}|+|y_{i}|~~~\forall~i=1,…,n$$ sumando ambos lados de estas desigualdades para $i=1,…,n$ obtenemos \begin{align*}d_{1}(x,z)&=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-z_{i}|\\&=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}+y_{i}-z_{i}|\\&\leq\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|+|y_{i}-z_{i}|\\&=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|+\sum_{i=1}^{n}|y_{i}-z_{i}|\\&= d_{1}(x,y)+d_{1}(y,z)\end{align*} y en consecuencia $d_{1}$ es una métrica.$~~ \blacksquare$ Ejemplo. En $\mathbb{R}^{n}$ son métricas \begin{align*}d_{p}(\bar{x},\bar{y})&=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}},~~~(p\geq 1)\\d_{\infty}(\bar{x},\bar{y})&=\max_{1\leq i\leq n}~|x_{i}-y_{i}|.~~ \blacksquare \end{align*}
Más adelante
En la siguiente entrada estudiaremos como las nociones topológicas heredadas en $\mathbb{R}^n$ nos ayudan a entender las características de proximidad y continuidad.
Tarea moral
1.- Sea $(V, \left\| \cdot \right\|)$ un espacio normado, Prueba que la función $d(v,w)= \left\| v-w \right\|$ es una métrica en $V$.
2.- Describe los conjuntos $\overline{B}= { x\in \mathbb{R}^2 : \left\| x \right\|_p \leq 1 } $ para $p=1,2, \infty $. Haz un dibujo de cada uno de ellos.
3.- Sea $V$ un espacio vectorial distinto de ${0}$. Prueba que no existe ninguna norma en $V$ que induzca la métrica discreta, es decir, no existe ninguna norma en $V$ tal que $\left\| v-w\right\| =\begin{cases}o,siv=w\\ 1 si, v\neq w\end{cases}$
4.- Prueba que si $x_1,…, x_n \in \mathbb{R}^n$ entonces $\left\| x_1 + … + x_n \right\| \leq \left\| x_1 \right\| + … + \left\| x_n \right\|$
5.- Sean $\overline{x}, \overline{y}\in \mathbb{R}^{n}$. Prueba que:
$\left\| \overline{x}+\overline{y}\right\|=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|$ si y sólo si existe $\lambda \in \mathbb{R}$ con $\lambda > 0$, tal que $\overline{x}=\lambda \overline{y}$.
La multiplicación de matrices es una operación que se define para dos matrices $A$ y $B$, donde el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$. El resultado de la multiplicación de matrices $AB$ es una matriz $C$, donde el elemento en la fila $i$ y columna $j$ de $C$ es igual a la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ de $A$ y los elementos de la columna $j$ de $B.$
La matriz identidad es una matriz cuadrada que tiene unos en su diagonal principal y ceros en todas las demás posiciones. La multiplicación de cualquier matriz por la matriz identidad da como resultado la misma matriz.
La matriz inversa de una matriz cuadrada $A$ es una matriz que, cuando se multiplica por $A$, da como resultado la matriz identidad. No todas las matrices tienen una matriz inversa, y una matriz solo tiene una matriz inversa si su determinante es distinto de cero.
La transpuesta de una matriz $A$ se obtiene intercambiando sus filas por columnas. La matriz transpuesta se denota por $A^T$. Si $A$ tiene dimensiones $m \times n$, entonces $A^T$ tiene dimensiones $n \times m$. La transpuesta se utiliza en cálculos como la inversión de matrices, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y la multiplicación de matrices.
En la presente nota usaremos las propiedades del producto punto para las pruebas, puedes consultarlas en el siguiente enlace: Propiedades del producto punto
El producto de $A$ con $B$ es $AB\in \mathscr M_{m\times r}(\mathbb R)$ tal que:
$(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+\cdots+a_{in}b_{nj}$
Notación:
$ren_i A=(a_{i1},\dotsc,a_{in})$
$col_j B=(b_{1j},\dotsc,b_{nj}).$
Con esta notación $(AB)_{ij}=ren_i A\cdot col_j B,$ es decir, la entrada $ij$ de $AB$ es el producto punto del renglón $i$ de $A$ con la columna $j$ de $B$.
Concluimos que $(A+\overline{A})B$ y $AB+\overline{A}B$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A+\overline{A})B=AB+\overline{A}B.$
Demostración de $b)$
Por demostrar que $\lambda (AB)=A(\lambda B).$
Tanto $(A+\overline{A})B$ como $AB+\overline{A}B$ pertenecen a $\mathscr M_{m\times r}(\mathbb R)$.
Sean $i\in \set{1,\dotsc,m}, j\in \set{1,\dotsc,r}.$
Expresión
Explicación
$(\lambda (AB))_{ij}=$
Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $\lambda (AB)$
$=\lambda (AB)_{ij}$
Por la definición de producto escalar.
$=\lambda (ren_i A\cdot col_j B)$
Por la definición de producto de matrices.
$=ren_i A\cdot (\lambda col_j B)$
Por las propiedades del producto punto.
$=ren_i A\cdot col_j (\lambda B)$
Por la definición de producto escalar.
$=(A(\lambda B))_{ij}$
Por la definición de producto de matrices.
Así, $(\lambda (AB))_{ij}=(A(\lambda B))_{ij}$.
Concluimos que $\lambda (AB)$ y $A(\lambda B)$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $\lambda (AB)=A(\lambda B)$.
es decir, la matriz $n\times n$ con unos en la diagonal y ceros fuera de la diagonal.
Proposición.
Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$
$1.$ $A\,I_n=A.$
$2.$ $I_mA=A.$
La demostración se deja como tarea moral.
Definición
Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Decimos que $A$ es una matriz invertible si existe $B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ tal que:
$AB=BA=I_n.$
En este caso decimos que $B$ es una inversa de $A.$
Observación
Si $A$ es invertible su inversa es única.
Demostración
Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ invertible, $B,\,C\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ inversas de $A$. Entonces $AB=BA=I_n=AC=CA$. Así, tenemos que $AB=AC$, y multiplicando por la izquierda por $B$ a ambos lados de la igualdad tenemos que $B(AB)=B(AC)$. En virtud de la asociatividad de la multiplicación de matrices obtenemos que $(BA)B=(BA)C$, y como $BA=I_n$ se tiene que $I_nB=I_nC$. Así, $B=C$ y por lo tanto la inversa es única.
Notación: Si $A$ es invertible denotaremos por $A^{-1}$ a la matriz inversa de $A$.
Definición
Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. La transpuesta de $A$ es la matriz $A^t\in \mathscr M_{n\times m}(\mathbb R)$ tal que:
Calcula, si es posible: $DA-A$, $-7E$, $A(BC)$, $(4B)C+2B.$
$2.$ Una matriz cuadrada $A$ es diagonal si todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son cero ($A_{ij}=0$ si $i\neq j$). ¿Qué ocurre al multiplicar dos matrices diagonales?
$3.$ Sea $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$, dado $n\in \mathbb N^+$ definimos $A^n$ como el producto de $A$ consigo misma $n$ veces. Demuestra o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
$i)$ $(AB)^2=A^2B^2$
$ii)$ $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
$4.$ La traza de una matriz cuadrada $A$ es la suma de los elementos de su diagonal y se denota por $tr(A)$. Calcula la traza de las matrices cuadradas del ejercicio $1.$
$5.$ Sean $A,B \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ invertibles. ¿Puedes construir una matriz inversa para $AB$ usando $A^{-1}$ y $B^{-1}$?.
$6.$ Sea $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right) \end{equation*}$. Demuestra que si $ad-bc\neq 0$, entonces $A=\frac{1}{ad-bc}\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} d & -b \\- c & a \end{array}\right) \end{equation*}$ es la matriz inversa de $A$.
Más adelante
En la siguiente nota veremos las operaciones elementales por renglones para matrices, definiremos una equivalencia por renglones en las matrices y notaremos que las operaciones elementales por matrices pueden expresarse como multiplicaciones por matrices adecuadas.
