Introducción

Si has sido seguidor de El blog de Leo y has aprovechado el material de aprendizaje de matemáticas universitarias que tenemos, esta entrada te interesa.

Quizás desde hace años has visto cómo este espacio ha crecido bastante. De hecho, yo mismo lo he visto crecer de formas que no imaginaba al principio. Empezó como un blog personal, que luego se volvió algo así como un blog de «la vida de un matemático en formación», con pensamientos matemáticos varios y algunas anécdotas personales, de viajes y de la academia. Sin embargo, al ser uno de los primeros espacios digitales que empecé a mantener, lo convertí en el hogar de otros proyectos de gran alcance en los que he estado involucrado, por ejemplo el Concurso Universitario de Matemáticas Galois-Noether y el repositorio de videos de resolución de problemas. Y, más recientemente, de todo un ecosistema de notas de matemáticas para estudiantes universitarios. En esta entrada quiero hablar un poco más de lo segundo, y de su relación con un proyecto más amplio que se llama Matemáticas a Distancia.

Antes de comenzar, me gusta recordar que, aunque el sitio lleva mi nombre, mucho del contenido que encuentran aquí es en realidad el fruto del esfuerzo de muchas personas. Por favor, recuerden siempre revisar a los autores de cada entrada, pues este es un esfuerzo colectivo para generar material libre y de calidad. Bueno, sin decir más, quiero entonces empezarles a platicar acerca del proyecto que engloba todas notas de docencia que hemos trabajado aquí en el blog, de Matemáticas a Distancia.

¿Qué es Matemáticas a Distancia y cómo nació?

Matemáticas a Distancia es una iniciativa que se empezó a planear en 2020 en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Cuando presenté mis papeles para concursar por una plaza de tiempo completo en la Facultad, puse en mi plan de docencia que sería bueno que los estudiantes tuvieran un portal «tipo Khan Academy«, pero con material para la Licenciatura en Matemáticas. En aquel momento, había varias ventajas fáciles de describir sobre tener algo así. Sin embargo, la pandemia que se desató ese año aceleró los planes de que dicho portal naciera. Al irnos a trabajar a casa, resultó importante tener material para compartir con mis estudiantes durante el tiempo de la emergencia. Y entonces surgieron las primeras notas tipo blog.

No fui el único al que se le ocurrió crear material para sus cursos. Muchos de mis colegas o bien ya contaban con algo de material, o bien la pandemia los orilló a crearlo. Así, entre varios profesores nos pusimos de acuerdo para solicitar un apoyo PAPIME de la UNAM, con el fin de trabajar en un proyecto mejor armado. El objetivo principal que compartimos desde ese entonces fue ofrecer un ecosistema digital unificado para la Licenciatura en Matemáticas. Desde el inicio hay tres principios fundamentales que perseguimos:

• Que el material sea gratuito.
• Que el material sea abierto.
• Que el material sea de calidad.

Así, todo empezó como una respuesta a la necesidad de flexibilizar la educación. Pero desde entonces el proyecto ha crecido muchísimo. Tras el primer año abrimos nuestra página de internet en https://www.mdistancia.com. En años posteriores conseguimos más apoyo institucional para acercar a numerosos profesores y estudiantes para desarrollar más material. Además, hemos trabajado para que no se trate únicamente de subir archivos a la red, sino que haya también en el material cierto acompañamiento adicional, ya sea mediante la respuesta a comentarios de blog, interacciones en YouTube u ofreciendo cuestionarios para que quien revise el material pueda ir verificando su entendimiento.

Lo que tenemos para ti hoy

Actualmente, el portal ha consolidado una oferta muy robusta que el equipo ha ido puliendo con el tiempo. En la plataforma contamos con 27 COMALes (Curso Online de Matemáticas Abierto para licenciatura), que son cursos en línea que cubren la teoría completa de diversas asignaturas obligatorias y optativas de la licenciatura.

También tenemos material para las carreras de Actuaría y Ciencias de la Computación.

Además de los cursos largos, hacia 2023 surgió la idea de que contáramos con otros mini-cursos de habilidades complementarias. Introducimos esa funcionalidad en la plataforma y hemos creado 7 mini-COMALes, para poder desarrollar en una menor cantidad de tiempo alguna habilidad complementaria o profesionalizante:

• Cimientos Matemáticos: Para contar con los fundamentos matemáticos correctos antes de empezar en la vía universitaria.
• Computación Científica Introductoria con Python: Para una aproximación informal, pero útil a la programación, desde su utilidad en las matemáticas mismas.
• Curso de LaTeX para Ciencias: Para conocer los fundamentos de trabajar en LaTeX y realizar colaboraciones matemáticas en Overleaf.
• Geometría Interactiva: Para descubrir con software distintos resultados de geometría.
• Introducción a Pandas en Python: Para un primer acercamiento al análisis de datos.
• Los Elementos de Euclides: Para visualizar en video distintos resultados de la clásica obra de Euclides.
• Notas de Apoyo para Teoría de Gráficas I: Para contar con una guía express para esta materia optativa de la licenciatura.

Todo este material es gratuito. Intentamos que sea compatible entre sí, en el sentido de que permita fácilmente saltar de una materia a otra.

Además, la última noticia es que el portal ya permite tener un aprendizaje más personalizado, pues desde febrero de 2026 ya es posible abrir una cuenta.

¿Por qué te conviene abrir una cuenta en Matemáticas a Distancia?

Si eres usuario frecuente de este blog, te darás cuenta de que aquí la experiencia es principalmente de lectura y quizás de interactuar mediante los comentarios. Sin embargo, hay algunas limitaciones en quedarse sólo en el blog:

• Es difícil saber cuáles son todas las entradas de blog de aprendizaje de matemáticas que existen.
• No es tan fácil recordar cuáles entradas ya has visto y cuáles no.
• Para guardar tus entradas favoritas tienes que saturar los favoritos de tu navegador.

Al abrir una cuenta en Matemáticas a Distancia, lo cual es totalmente gratuito, podrás hacer lo siguiente:

• Llevar un registro detallado de tus avances en cada curso para que sepas exactamente dónde te quedaste la última vez que estudiaste.
• Encontrar en los COMALes correspondientes material auxiliar para cada nota.
• Marcar materiales, notas o videos como favoritos para que los tengas a la mano en consultas rápidas.
• Resolver los cuestionarios de autoevaluación integrados en los cursos y guardar tus puntuaciones para ver cómo vas mejorando.
• Recibir actualizaciones directas sobre nuevos contenidos, guías de supervivencia académica o herramientas que integremos a la plataforma.
• Estar al tanto de material que no está en formato notas de blog.

Conclusión

En fin, esta entrada era para hacerles saber de la existencia de Matemáticas a Distancia, pues es un proyecto grande que, en particular, abarca las notas de docencia de El blog de Leo. Si bien esto no incluye a todo el blog, me parece que una gran cantidad de los seguidores y personas que visitan este blog pueden beneficiarse de tener también ese otro portal en mente.

En general, me entusiasma mucho ver que el material que empezó como material de clase, ahora sirva a tantas personas en distintas partes del mundo hispanohablante. Esto siempre es inspiración para seguir trabajando tanto en El blog de Leo como en Matemáticas a Distancia, y para que el equipo siga ofreciendo material cada vez más útil y diverso.

Si ya conoces el blog, pero no Matemáticas a Distancia, te invito entonces a que explores el sitio en https://www.mdistancia.com. Explora un poco el Árbol de Recursos. Usa el Buscador. Intenta ver si hay algún COMAL o mini-COMAL que te interese seguir. Si te animas, abre una cuenta para poder llevar un registro del esfuerzo. Y si sí te animas, cuéntame también por acá en los comentarios qué tal fue la experiencia.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Cuando transformamos un objeto en el espacio, como girarlo, estirarlo o reflejarlo, estamos realizando una acción que puede parecer sencilla, pero que encierra ideas matemáticas muy poderosas. Las transformaciones lineales nos permiten describir estos cambios con precisión, y entender cómo afectan a los puntos y estructuras dentro de un espacio. Pero, ¿qué ocurre cuando aplicamos varias transformaciones una tras otra? ¿Se pueden combinar en una sola acción? Aquí es donde entra en juego la composición de transformaciones.

Además, existe una transformación muy especial: aquella que no cambia nada. Aunque pueda parecer trivial, la transformación identidad juega un papel clave como punto de partida o referencia en este mundo de cambios. Explorar cómo se combinan las transformaciones lineales y cómo actúa la identidad nos permite ver la estructura profunda detrás de muchos procesos matemáticos y físicos. ¡Vamos a descubrir cómo funciona este lenguaje de transformaciones!

COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Definición: Sean $U,V,W$ $K$ – espacios vectoriales y $T\in\mathcal{L}(V,W)$, $S\in\mathcal{L}(W,U)$. Definimos la composición de $S$ con $T$ como $S\circ T:V\longrightarrow U$ donde $\forall v\in V((S\circ T)(v)=S(T(v)))$

Ejemplos

• Sean $T_1 , T_2 \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2 , \mathbb{R}^2)$ definidas para todo $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ como:
  $T_1 (x,y) = (3x , 3y)$
  $T_2 (x,y) = (-y , x)$
  $(T_1 \circ T_2)(x,y) = (-3y , 3x) = (T_2 \circ T_1)(x,y)$

Justificación. Sea $(x,y) \in \mathbb{R}^2$

$(T_1 \circ T_2)(x,y) = T_1 (T_2 (x,y) )$ $= T_1 (-y , x) = (-3y , 3x)$

$(T_2 \circ T_1)(x,y) = T_2 (T_1 (x,y) )$ $= T_2 (3x , 3y) = (-3y , 3x)$

• Sean $T_1 , T_2 \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2 , \mathbb{R}^2)$ definidas para todo $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ como:
  $T_1 (x,y) = (y , x)$
  $T_2 (x,y) = (x , 2y)$
  $(T_1 \circ T_2)(x,y) = (2y , x)$
  $(T_2 \circ T_1)(x,y) = (y , 2x)$

Justificación. Sea $(x,y) \in \mathbb{R}^2$

$(T_1 \circ T_2)(x,y) = T_1 (T_2 (x,y) )$ $= T_1 (x , 2y) = (2y , x)$

$(T_2 \circ T_1)(x,y) = T_2 (T_1 (x,y) )$ $= T_2 (y , x) = (y , 2x)$

Teorema (2.6.1.): La composición de transformaciones lineales es lineal.

Demostración: Sean $U,V,W$ $K$ – espacios vectoriales y $T\in\mathcal{L}(V,W)$, $S\in\mathcal{L}(W,U)$.

P.D. $S\circ T\in\mathcal{L}(V,U)$.

Sean $x,y\in V$ y $\lambda\in K$.
Entonces $(S\circ T)(\lambda x + y)=S(T(\lambda x + y))$$=S(\lambda T(x) + T(y))=\lambda S(T(x)) + S(T(y))$$=\lambda (S\circ T)(x) + (S\circ T)(y)$.

Como $(S\circ T)(\lambda x + y)=\lambda (S\circ T)(x) + (S\circ T)(y)$, entonces $S\circ T\in\mathcal{L}(V,U)$.

Observación: La composición de transformaciones lineales es asociativa.

Proposición (2.6.2.): Sean $U,V,W$ $K$ – espacios vectoriales, $T_1, T_2\in\mathcal{L}(V,W)$ y $S_1,S_2\in\mathcal{L}(W,U)$. Se cumple que:

a) $(S_1+S_2)\circ T_1=(S_1\circ T_1)+(S_2\circ T_1)$
b) $S_1\circ (T_1+T_2)=(S_1\circ T_1)+(S_1\circ T_2)$

Demostración: Sea $v\in V$.

a) $((S_1+S_2)\circ T_1)(v)=(S_1+S_2)(T_1(v))=S_1(T_1(v))+S_2(T_1(v))$$=(S_1\circ T_1)(v)+(S_2\circ T_1)(v)=((S_1\circ T_1)+(S_2\circ T_1))(v)$

Como $\forall v\in V(((S_1+S_2)\circ T_1)(v)=((S_1\circ T_1)+(S_2\circ T_1))(v))$, entonces $(S_1+S_2)\circ T_1=(S_1\circ T_1)+(S_2\circ T_1)$.

b) $(S_1\circ (T_1+T_2))(v)=S_1((T_1+T_2)(v))=S_1(T_1(v)+T_2(v))$$=S_1(T_1(v))+S_1(T_2(v))=(S_1\circ T_1)(v) + (S_1\circ T_2)(v)$$=((S_1\circ T_1)+(S_1\circ T_2))(v)$

Como $\forall v\in V ((S_1\circ (T_1+T_2))(v)=(S_1\circ T_1)+(S_1\circ T_2))$

Observación: Si $V$ es un $K$ – espacio vectorial y definimos $T:V\longrightarrow V$ como $T(v)=v$ para toda $v\in V$, entonces $T\in\mathcal{L}(V,V)$. Porque para cualesquiera $u, v\in V$ y $\lambda\in K$ tenemos que $T (\lambda u + v)=\lambda u + v = \lambda T (u) + T (v)$.

TRANSFORMACIÓN IDENTIDAD

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Definimos la transformación identidad en $V$ como $id_V:V\longrightarrow V$ donde $\forall v\in V(id_V (v)=v)$

Observación: Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales y $T\mathcal{L}(V,W)$. Se tiene que $id_W\circ T=T$ y $T\circ id_V=T$. Porque para cualquier $v\in V$ tenemos que $(id_W\circ T)(v)=id_W(T(v))=T(v)$ y $(T\circ id_V)(v)=T(id_V(v))=T(v)$.

Nota: En los cursos básicos de Cálculo se demuestra que si tenemos dos conjuntos $A$ y $B$ y una función $f:A\longrightarrow B$, entonces $f$ es invertible si y sólo si $f$ es biyectiva. Donde se define $f$ invertible como una función para la cual existe una función, denotada como $f^{-1}:B\longrightarrow A$, tal que $f^{-1}\circ f=id_A$ y $f\circ f^{-1}=id_B$.

Proposición (2.6.3.): Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales y $T\in\mathcal{L}(V,W)$.
Si $T$ es invertible, entonces $T^{-1}\in\mathcal{L}(W,V)$.

Demostración: Sup. $T$ es invertible, i.e. $\exists T^{-1}:W\longrightarrow V$ tal que $T^{-1}\circ T=id_V$ y $T\circ T^{-1}=id_W$.
Entonces la Nota nos asegura que $T$ es biyectiva.

Sean $w_1,w_2\in W$ y $\lambda\in K$.
Como $T$ es suprayectiva, entonces $\exists v_1,v_2\in V$ tales que $T(v_1)=w_1$ y $T(v_2)=w_2$.

Así, $T^{-1}(\lambda w_1+w_2)=T^{-1}(\lambda T(v_1)+T(v_2))$$=T^{-1}(T(\lambda v_1+v_2))=(T^{-1}\circ T)(\lambda v_1+v_2)=id_V(\lambda v_1+v_2)$$=\lambda v_1+v_2$.

Tenemos que $T^{-1}(\lambda w_1+w_2)=\lambda v_1+v_2$.
Ahora bien, $v_1=Id_V(v_1)=(T^{-1}\circ T)(v_1)=T^{-1}(T(v_1))=T^{-1}(w_1)$ y análogamente $v_2=T^{-1}(w_2)$.

Entonces $T^{-1}(\lambda w_1+w_2)=\lambda v_1+v_2=\lambda T^{-1}(w_1)+T^{-1}(w_2)$.

Por lo tanto, $T^{-1}\in\mathcal{L}(V,W)$.

Tarea Moral

1. Demuestra que la composición de transformaciones lineales es asociativa.
2. Sean $T, S : \mathbb{R}[x] \longrightarrow \mathbb{R}[x]$ definidas para todo $f(x) \in \mathbb{R}[x]$:
   $T ( f(x) ) = \int_0^x f(t) dt$
   $S ( f(x) ) = \int f(x) dx$ con constante de integración $C = 0$
   Demuestra si $S \circ T = T \circ S$ o da un contraejemplo.

Más adelante…

Ahora veremos la equivalencia que existe entre $5$ breves enunciados que ya dominamos y que comprendemos bien lo que nos dicen sobre la estructura de las transformaciones.

Además aparecerá un nuevo concepto vital no solo en Álgebra Lineal, sino en las Matemáticas como ciencia… posiblemente ya lo haz visto antes: Isomorfismo.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal I
• Entrada anterior del curso: 2.5. TRANSFORMACIONES LINEALES ENTRE DOS ESPACIOS: operaciones para formar un espacio vectorial
• Siguiente entrada del curso: 2.7. TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES E ISOMORFISMOS: definiciones, equivalencias y propiedades

Demostración:

Sea $\epsilon > 0.$

Como $f$ es continua, para cada $x \in \mathcal{K}$ existe $\delta_x > 0$ tal que si $ \| x-y \| < \delta_x $ entonces $\big\|f(x) – f(y) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$

Como $\mathcal{K}$ es compacto, $\mathcal{K} \subseteq \bigcup\limits_{x \in \mathcal{K}} B_{\frac{\delta_x}{2}}(x)$ es una cubierta abierta de $\mathcal{K}.$

Entonces, existe una subcubierta finita $B_{\frac{\delta_1}{2}}(x_1), \dots , B_{\frac{\delta_l}{2}}(x_l).$

Tomemos $ \delta = mín \big\{ \frac{\delta_1}{2} , \dots , \frac{\delta_l}{2} \big\}.$

Si $\big\| x \, – \, y \big\| < \delta $ entonces $ y \in B_{\delta}(x)$ pero $ x \in B_{\frac{\delta_j}{2}}(x_j) $ para alguna $j$

$$\big\| x \, – \, x_j \big\| < \frac{\delta_j}{2} \Rightarrow x_j \in B_{\frac{\delta_j}{2}}(x)$$

$$\big\| f(x) \, – \, f(x_j) \big\| < \frac{\epsilon}{2} $$

Luego, si $\big\| y \, – \, x_j \big\| = \big\| y \, – \, x \, + \, x \, – \, x_j \big\| \leq \big\| y \, – \, x \big\| + \big\|x \, – \, x_j \big\| < \delta + \frac{\delta_j}{2} \leq \frac{\delta_j}{2} + \frac{\delta_j}{2} = \delta $

$y \in B_{\delta_j}(x_j) \Rightarrow \big\| f(y) \, – \, f(x_j) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$

En consecuencia,

$$\big\| f(x) \, – \, f(y) \big\| \leq \big\| f(x) \, – \, f(x_j) \big\| + \big\| f(x_j) \, – \, f(y) \big\| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \; _{\blacksquare}$$

Observa que la bola unitaria no es convexa, es decir, que hay dos puntos en la bola $(1,0)$ y $(0,1)$ tales que el segmento $(1-t)(1,0) + t(0,1)$ no está contenido en la bola unitaria. En particular, para $t= \frac{1}{2}$

$$\frac{1}{2} (1,0) + \frac{1}{2} (0,1)=\Big(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \Big)$$

pero observa que el punto $\Big(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\Big)$ no está en la bola unitaria y debería estar,

ya que si $ \|(x,y)\|=(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})^2$ fuera norma, entonces se debería cumplir que $$\Big\| \Big(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \Big) \Big\| = \Big\| \frac{1}{2} (1,0) + \frac{1}{2} (0,1) \Big\| \leq \frac{1}{2} \| (1,0) + (0,1) \| = 1 $$ pero eso no ocurre en este caso, ya que $ \Big( \big(\frac{1}{2} \big)^{\frac{1}{2}} + \big(\frac{1}{2} \big)^{\frac{1}{2}} \Big)^2 > 1$.

Por este motivo, no hay norma – p para cuando $p \in (0,1)$.

Teorema

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, con $A$ abierto, tal que existen las derivadas parciales en $A$ y son acotadas, entonces $f$ es continua en $A$.

Demostración:

Sea $(x_0, y_0) \in A.$

$\Big[$ por demostrar : $f$ es continua en $(x_0, y_0) \Big]$

Basta demostrar que existe $L = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f (x, y)$ y $ L = f (x_0, y_0).$

Sea $\epsilon > 0.$

Basta demostrar que existe $\delta > 0 $ tal que si

$\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0) \| < \delta \Rightarrow |f (x, y) \, – \, f (x_0, y_0)|< \epsilon$

Como $\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0) \| < \delta$

Sean $ h = x \, – \, x_0 $ y $ k = y \, – \, y_0 $ entonces, si $\| (h, k) \| < \delta \Rightarrow |f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) | < \epsilon$

$f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) = f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0 , y_0 + k) \, + \, f (x_0, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) $

$f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) = \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0 + k) h + \dfrac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0 + \theta_2 k) k$ para algún $\theta_1, \theta_2 \in (0, 1)$

Sean $\xi = x_0 + \theta_1 h \; \in [x_0, x_0 + h]$

y $\eta = y_0 + \theta_2 k \; \in [y_0, y_0 + k]$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(\xi, y_0+k) = \dfrac{\Delta f}{h}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(\xi, y_0+k)h = \Delta f$

Tomando el valor absoluto y aplicando la desigualdad del triángulo tenemos que:

$\Big| f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f ( x_0, y_0) \Big| \leq \Bigg| \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1h, y_0 + k) \Bigg| \Big|h \Big| + \Bigg| \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 , y_0 + \theta_2k) \Bigg| \Big|k \Big| \leq M \Big| h \Big| + M \Big| k \Big| < \epsilon$

Para que $M \Big| h \Big| + M \Big| k \Big| < \epsilon$ se debe cumplir que

$$\big| h \big| \leq \sqrt{h^2 + k^2 } = \big\| (h, k) \big\|$$

$$\big| k \big| \leq \sqrt{h^2 + k^2 } = \big\| (h, k) \big\|$$

Luego $$\big| h \big| + \big| k \big| \leq 2 \sqrt{h^2 + k^2 } = 2 \big\| (h, k) \big\|$$

Entonces, para que se cumpla que $ 2M \big\| (h, k) \big\| < \epsilon$ basta pedir que

$$ \big\| (h, k) \big\| < \delta = \dfrac{\epsilon}{2M} \; _{\blacksquare}$$