MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En las entradas anteriores definimos los espacios de Lebesgue $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty }]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. En esta entrada trataremos de responder la pregunta ¿Qué relación existe entre los espacios $L^p$ y $L^q$ cuando $p\ne q$?

En general $L^p⊈L^q$

A pesar de lo que la intuición podría sugerirnos, en general, dados $1\le p\le \mathrm{\infty }$ y $1\le q\le \mathrm{\infty }$ con $p\ne q$, NO se tiene ninguna contención:
$$L^p\subseteq L^q$$ Ni $$L^q\subseteq L^p.$$

Ejemplo. Consideremos funciones de la forma $$x\to \frac{1}{x^{\alpha }}$$
Es fácil verificar que $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }⟺\alpha >1$$ Y que $${\int }_0^1\frac{1}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }⟺\alpha <1.$$ Entonces, dados $p,q\in [1,\mathrm{\infty })$ con $p<q$, podemos encontrar un número $\gamma >0$ tal que $$\gamma p<1<\gamma q.$$ Tomemos $f(x)=\frac{{\chi }_{[1,\mathrm{\infty })}(x)}{x^{\gamma }}$ y $g(x)=\frac{{\chi }_{(0,1)}(x)}{x^{\gamma }}$.
De modo que $${\int }_{\mathbb{R}}|f{|}^p\mathrm{d}x={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\gamma p}}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty };{\int }_{\mathbb{R}}|f{|}^q\mathrm{d}x={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\gamma q}}\mathrm{d}x=\mathrm{\infty }.$$
Por lo que $f\in L^p(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^q(\mathbb{R})$. Similarmente
$${\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^p\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{1}{x^{\gamma p}}\mathrm{d}x=\mathrm{\infty };{\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^q\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{1}{x^{\gamma q}}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }.$$ Por lo que $g\in L^q(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^p(\mathbb{R})$.

Si bien en general $L^p⊈L^q$ cuando $p\ne q$, sí podemos dar una contención en el caso de que $\mu$ sea una medida finita.

Proposición. Si $\mu$ es una medida finita, y $s<r$, entonces $L^r(X)\subseteq L^s(X)$ con $${\Vert f\Vert }_s\le (\mu (X){)}^{\frac{r-s}{rs}}{\Vert f\Vert }_r$$

Demostración. Tomando $(p,q)=(\frac{r}{r-s},\frac{r}{s})$ en la desigualdad de Hölder se sigue:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f\Vert }_s^s& ={\int }_X|f{|}^s\mathrm{d}\mu \\ & ={\int }_{X}1\cdot |f{|}^s\mathrm{d}\mu \\ & \le {\left({\int }_{X}1\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{r-s}{r}}{({\int }_X(|f{|}^s{)}^{\frac{r}{s}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{s}{r}}\\ & =(\mu (X){)}^{\frac{r-s}{r}}{\Vert f\Vert }_r^s\end{array}$$

$$⟹{\Vert f\Vert }_s\le (\mu (X){)}^{\frac{r-s}{rs}}{\Vert f\Vert }_r$$
Como queríamos probar.

Interpolación de espacios $L^p$

También podemos decir algo sobre $L^p\cap L^r$ con $p\ne r$.

Proposición (Identidad de interpolación). Sean $1\le p<q<r\le \mathrm{\infty }$. Si $f\in L^p\cap L^r$, entonces $f\in L^q$. Además $${\Vert f\Vert }_q\le {\Vert f\Vert }_p^{\lambda }{\Vert f\Vert }_r^{1-\lambda }.$$

Donde $\lambda \in (0,1)$ es aquel número tal que $$\frac{1}{q}=\frac{\lambda }{p}+\frac{(1-\lambda )}{r}.$$
Es decir $\lambda =\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}$. (En este caso, hacemos la convención $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$).

Demostración. Si $r=\mathrm{\infty }$, tenemos que $|f{|}^q\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{q-p}|f{|}^p$ y $\lambda =\frac{p}{q}$. Integrando, se sigue que:

$${\Vert f\Vert }_q={(\int |f{|}^q\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{q}}\le {(\int {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{q-p}|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{q}}={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{p}{q}}{\Vert f\Vert }_p^{\frac{p}{q}}={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\lambda }{\Vert f\Vert }_p^{\lambda }$$
Si $r<\mathrm{\infty }$, observemos que la pareja $\frac{p}{\lambda q},\frac{r}{(1-\lambda )q}$ son conjugados de Hölder pues: $$\frac{\lambda q}{p}+\frac{(1-\lambda )q}{r}=q(\frac{\lambda }{p}+\frac{(1-\lambda )}{r})=\frac{q}{q}=1.$$

Así que, aplicando la desigualdad de Hölder con tales conjugados:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f\Vert }_q^q& =\int |f{|}^q\mathrm{d}\mu \\ & =\int |f{|}^{\lambda q}|f{|}^{(1-\lambda )q}\mathrm{d}\mu \\ & \le {(\int (|f{|}^{\lambda q}{)}^{\frac{p}{\lambda q}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{\lambda q}{p}}{(\int (|f{|}^{(1-\lambda )q}{)}^{\frac{r}{(1-\lambda )q}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{(1-\lambda )q}{r}}\\ & ={(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{\lambda q}{p}}{(\int |f{|}^r\mathrm{d}\mu )}^{\frac{(1-\lambda )q}{r}}\\ & ={\Vert f\Vert }_q^{\lambda q}{\Vert f\Vert }_r^{(1-\lambda )q}\end{array}$$

Tomando raíces $q$-ésimas se sigue entonces:
$${\Vert f\Vert }_q\le {\Vert f\Vert }_q^{\lambda }{\Vert f\Vert }_r^{(1-\lambda )}.$$

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Anteriormente definimos los espacios $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty })$, definimos su norma y estudiamos algunas de sus propiedades analíticas más importantes. En esta entrada estudiaremos el concepto de supremo esencial y el espacio $L^{\mathrm{\infty }}$. Bajo ciertas condiciones, este último espacio se puede pensar como «un caso límite» de los espacios $L^p$, y como veremos, comparten varias de sus propiedades. También le daremos significado a nuestra convención de que el dual de Hölder de 1 sea $\mathrm{\infty }$.

Durante toda la entrada $(X,\mathcal{M},\mu )$ denotará un espacio de medida arbitrario.

Definición. Sea $f$ una función $\mathcal{M}$-medible (posiblemente definida en $\mu$-c.t.p. de $X$). Decimos que $f$ es esencialmente acotada si existe $M\in \mathbb{R}$ con $0\le M<\mathrm{\infty }$ tal que $$|f(x)|\le M$$ Para $\mu$-c.t.p. de $X$. O equivalentemente $$\mu (\{x||f(x)|>M\})=0.$$

Al igual que hicimos con los espacios $L^p$, identificaremos a las funciones que son iguales en $\mu$-c.t.p. de $X$, es decir, a lo largo de esta entrada cuando hablemos de alguna función $f$, nos referiremos implícitamente a la clase de equivalencia de funciones $\mathcal{M}$ medibles e iguales en c.t.p. a $f$.

Definición. El espacio $L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu )$ es la colección de (clases de equivalencia) de funciones $\mathcal{M}$-medibles y esencialmente acotadas en $X$, equipado con la norma:
$${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}=inf\{M\in \mathbb{R}||f(x)|\le M\text{ en }\mu -c.t.p.\}.$$ Al número ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ le llamaremos el supremo esencial de $f$.

Cuando el espacio sobre el que estemos trabajando sea claro, denotaremos a $L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu )$ como $L^{\mathrm{\infty }}(X)$ o simplemente como $L^{\mathrm{\infty }}$.

No es trivial que ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$ es una norma sobre $L^{\mathrm{\infty }}$. Antes de probarlo, veamos una propiedad útil de ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$:

Proposición. Si $f\in L^{\mathrm{\infty }}$ $⟹$ $|f(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ en $\mu$-c.t.p. $x\in X$.

Demostración. Por definición de ínfimo, podemos encontrar una sucesión $\{M_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que $$M_k⟶{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$ Y $$|f(x)|\le M_k$$ Para todo $x\in X\setminus N_k$ con $\mu (N_k)=0$.

Ahora, definiendo $$N=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_k$$ Para todo $x\in X\setminus N$ tenemos que $$|f(x)|\le M_k\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$$ $$⟹|f(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Teorema. $(L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu ),{\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }})$ es un espacio normado.

Demostración. Es inmediato de la definición que ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\ge 0$ y ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0$ $⟺$ $|f(x)|\le 0$ en c.t.p. $x\in X$ $⟺$ $f=0$ (como clase de equivalencia).

Dadas $f,g\in L^{\mathrm{\infty }}$, por la proposición anterior $$|f(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }};|g(x)|\le {\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$. Por la desigualdad del triángulo se sigue entonces que $$|f(x)+g(x)|\le |f(x)|+|g(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}+{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$
En $\mu$-c.t.p. $x\in X$ $$⟹{\Vert f+g\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}+{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Como habíamos adelantado, el espacio $L^{\mathrm{\infty }}$ comparte varias propiedades con los espacios $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty })$. Veamos algunas de ellas.

Teorema (Desigualdad de Hölder). Sean $f\in L^p(X,\mathcal{M},\mu )$ y $g\in L^q(X,\mathcal{M},\mu )$ con $p,q\in [1,\mathrm{\infty }]$ conjugados de Hölder (es decir, tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ si $p,q>1$ ó $p=1,q=\mathrm{\infty }$ ó $p=\mathrm{\infty },q=1$). Entonces $fg\in L^1$ y además: $$\int |fg|\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\Vert f\Vert }_q$$

Demostración. El caso $p,q\in [1,\mathrm{\infty })$ ya lo probamos anteriormente. Basta suponer que $f\in L^1$ y $g\in L^{\mathrm{\infty }}$, de modo que $|g|\le {\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ en c.t.p. $⟹$ $|fg|\le |f|{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ en c.t.p. Por lo que: $$\int |fg|\mathrm{d}\mu \le (\int |f|\mathrm{d}\mu ){\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}={\Vert f\Vert }_1{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Proposición. $(L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu ),{\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }})$ es un espacio de Banach.

Demostración. Sea ${f_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión de Cauchy en $L^{\mathrm{\infty }}$. Redefiniendo cada una de las funciones $f_k$ en un conjunto de medida cero apropiado (¿Cuál?), podemos asumir sin pérdida de generalidad que:

• $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$ y $\mathrm{\forall }x\in X$ $$|f_k(x)|\le {\Vert f_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$
• $\mathrm{\forall }k,j\in \mathbb{N}$ y $\mathrm{\forall }x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\le {\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Como para cada $x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\le {\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$ En particular la sucesión ${f_k(x)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ es de Cauchy (en $\mathbb{R}$) por lo que converge a un límite $f(x)$.

La función $f(x)$ está definida en cada punto y es medible al ser límite de funciones medibles. Veamos que de hecho $f_k⟶f$ en $L^{\mathrm{\infty }}$.

Como la sucesión $f_k$ es de Cauchy, en particular es acotada, por lo que $\mathrm{\exists }M>0$ tal que $${\Vert f_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le M$$ Para todo $k$. En particular $|f_k(x)|\le {\Vert f_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le M$ Para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $x\in X$ $$⟹|f(x)|=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}|f_k(x)|\le M$$ $\mathrm{\forall }x\in X$ por lo que $f$ es (esencialmente) acotada: $f\in L^{\mathrm{\infty }}$.

Dado $\epsilon >0$, podemos encontrar un entero $N$ tal que $\mathrm{\forall }k,j>N$: $${\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon$$ $$⟹|f_k(x)-f_j(x)|\le {\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in X.$$ Fijando $k>N$ y haciendo tender $j\to \mathrm{\infty }$ concluimos: $$|f_k(x)-f(x)|\le \epsilon ,\mathrm{\forall }x\in X$$ $$⟹{\Vert f_k-f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \epsilon .$$ Como lo anterior se satisface para cualquier $\epsilon >0$ concluimos que $f_k⟶f$ en $L^{\mathrm{\infty }}$.

El teorema a continuación es otra de las razones para justificar la notación ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$. Por conveniencia, dada una función $\mathcal{M}$ medible $f$ y $p\in [1,\mathrm{\infty }]$ definamos:

$${\Vert f\Vert }_p=\{\begin{array}{ll}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}& \text{si }f\in L^p\\ \mathrm{\infty }& \text{si }f\notin L^p\end{array}$$

Teorema. Sea $f\in L^r(X,\mathcal{M},\mu )$ para algún $r<\mathrm{\infty }$. Entonces $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert f\Vert }_p={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$

Nota. Aquí hay dos afirmaciones; que el límite existe y que es igual a ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

Demostración. Primero tomemos $t$ tal que: $$0\le t<{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$ Por definición de la norma ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$, el conjunto $$A=x\in X||f(x)|\ge t$$ Tiene medida positiva $$\mu (A)>0.$$ Ahora:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f\Vert }_p& ={\left({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & \ge {\left({\int }_A|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & \ge {\left({\int }_A{t}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & =(t^p\mu (A){)}^{\frac{1}{p}}\\ & =t(\mu (A){)}^{\frac{1}{p}}.\end{array}$$

Tenemos dos casos:

1. Si $0<\mu (A)<\mathrm{\infty }$ $⟹$ $\mu (A{)}^{\frac{1}{p}}⟶1$ cuando $p⟶\mathrm{\infty }$.
2. Si $\mu (A)=\mathrm{\infty }$ $⟹$ $\mu (A{)}^{\frac{1}{p}}=\mathrm{\infty }.$

Sin embargo, en ambos casos $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\Vert f\Vert }_p\ge t.$$

Como $t$ era arbitrario, podemos concluir que $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\Vert f\Vert }_p\ge {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Para la desigualdad opuesta, necesitaremos la hipótesis de que $f\in L^r$. Si $f=0$ (en c.t.p.) la desigualdad es inmediata así que supongamos que $f\ne 0$ (en c.t.p.).

Tenemos entonces $${\Vert f\Vert }_p^p={\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu ={\int }_X|f{|}^r|f{|}^{p-r}\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\int }_X|f{|}^r\mathrm{d}\mu ={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{p-r}{\Vert f\Vert }_r^r.$$
$$⟹{\Vert f\Vert }_p\le {\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{\frac{p-r}{p}}={\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{r}{p}}.$$
Como ${\Vert f\Vert }_r<\mathrm{\infty }$, entonces ${\Vert f\Vert }_p^{\frac{r}{p}}<\mathrm{\infty }$. Además ${\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}⟶1$ cuando $p⟶\mathrm{\infty }$. Así pues, tomando $lim sup$ en el estimado de arriba:

$$\begin{array}{rl}\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_p& \le \underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{r}{p}}\\ & \le \left(\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}\right)\left(\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{r}{p}}\right)\\ & =(1)\cdot ({\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }})\\ & ={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\end{array}$$

Juntando los dos estimados establecidos hasta ahora tenemos que:

$$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_p\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\Vert f\Vert }_p$$
Es decir, $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert f\Vert }_p={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Más adelante…

Estudiaremos de varias formas la relación que existe entre $L^p$ y $L^q$ cuando $p\ne q$.

Tarea moral…

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En la entrada pasada definimos los espacios $L^p$ y vimos algunas de sus propiedades. Probamos que son espacios normados y algunas desigualdades relacionadas. En esta entrada probaremos otra propiedad analítica muy fuerte: Son espacios de Banach.

A modo de recordatorio:

Definición. Decimos que un espacio vectorial normado $(V,\Vert \cdot \Vert )$ es de Banach si es completo respecto a la métrica inducida por la norma: $d(u,v)=\Vert u-v\Vert$.

Antes de continura, veamos un Lema que simplificará los desarrollos más adelante:

Lema. Supongamos que $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq L^p$ y $f_k\ge 0$ $\mathrm{\forall }k$. Entonces: $${\Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\Vert }_p\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_k\Vert }_p.$$

Demostración. Sea $$F_N=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k.$$

Por la desigualdad de Minkowski: $${\Vert F_N\Vert }_p\le \sum _{k=1}^N{\Vert f_k\Vert }_p\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_k\Vert }_p.$$

Entonces, por el teorema de la convergencia monótona y la continuidad de la función $x\to x^p$ se sigue:

$$\begin{array}{rl}{\Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\Vert }_p& ={\left({\int }_X{\left|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\right|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & ={\left({\int }_X{\left|\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_N\right|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left({\int }_X{\left|F_N\right|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert F_N\Vert }_p\\ & \le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_k\Vert }_p\end{array}$$

Teorema (Riesz-Fischer). Sea $(X,\mathcal{M},\mu )$ un espacio de medida y $1\le p<\mathrm{\infty }$. Entonces $(L^p(X),{\Vert f\Vert }_p)$ es de Banach.

Demostración. Consideremos una sucesión de Cauchy $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ en $L^p$ (es decir, con la métrica $d(f,g)={\Vert f-g\Vert }_p$). Al ser de Cauchy, podemos encontrar recursivamente una subsucesión ${f_{k_r}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que: $${\Vert f_{k_{r+1}}-f_{k_r}\Vert }_p<\frac{1}{2^r}\mathrm{\forall }r\in \mathbb{N}.$$

Basta probar que la subsucesión ${f_{k_r}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge en $L^p$ (recuerda que si una subsucesión de una sucesión de Cauchy converge, entonces toda la sucesión converge al mismo límite). Por simplicidad, reenumeremos los índices y supongamos que $\{f_{k_r}{\}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}=\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$.

Definamos $$F=|f_1|+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}-f_j|.$$
Ésta es una función $\mathcal{M}$-medible al ser una serie de funciones medibles. Por el Lema anterior tenemos que:

$$\begin{array}{rl}{\Vert F\Vert }_p& \le {\Vert f_1\Vert }_p+{\Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}-f_j|\Vert }_p\\ & \le {\Vert f_1\Vert }_p+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_{j+1}-f_j\Vert }_p\\ & \le {\Vert f_1\Vert }_p+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^j}\\ & ={\Vert f_1\Vert }_p+1\\ & <\mathrm{\infty }\end{array}$$

De modo que $\int F^p\mathrm{d}\mu =\int |F{|}^p\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$ es integrable, en particular $F^p<\mathrm{\infty }$ en c.t.p. O equivalentemente, que $F(x)<\mathrm{\infty }$ $\mathrm{\forall }x\in X\setminus N$ con $\mu (N)=0$.

Para cualquier $x\in X\setminus N$, $F(x)=|f_1(x)|+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|$ converge $⟹$ $f_1(x)+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(f_{j+1}(x)-f_j(x))$ converge absolutamente. Como la $k$-ésima suma parcial de la serie (telescópica) anterior es:

$$f_1(x)+\sum _{j=1}^k(f_{j+1}(x)-f_j(x))=f_k(x)$$

Se sigue que $$f(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$$

Existe para $x\in X\setminus N$. Definiendo $f=0$ sobre $N$, es fácil ver que la función es $\mathcal{M}$-medible. Como para cada $x\in X\setminus N$ (en particular, en c.t.p. de $X$).

$$f(x)=f_1(x)+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(f_{j+1}(x)-f_j(x))$$ $$⟹|f(x)-f_k(x)|=|\sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}(f_{j+1}(x)-f_j(x))|\le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|$$

(Observa que este último estimado nos dice que para $x\in X\setminus N$, $|f(x)-f_k(x)|=\le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|⟶0$ cuando $k\to \mathrm{\infty }$ al tratarse de una serie convergente, es decir, que $f_k(x)⟶f(x)$ en c.t.p. $x\in X$. Debajo enunciamos este hecho como un corolario).

De manera que:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f-f_k\Vert }_p& \le {\Vert \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}-f_j|\Vert }_p\\ & \le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_{j+1}-f_j\Vert }_p\\ & \le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{k-1}}\\ & =\frac{1}{2^{k-1}}<\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Por un lado anterior, tenemos por un lado que $${\Vert f-f_k\Vert }_p<\mathrm{\infty }$$ $⟹$ $(f-f_k)\in L^p$. Luego $f=(f-f_k)+f_k\in L^p$. Además $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert f-f_k\Vert }_p=0$$ Así que $f_k⟶f$ en $L^p$.

Corolario. Si una sucesión $f_k⟶f$ en $L^p$, entonces existe una subsucesión $f_{k_r}$ tal que $$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_{k_r}(x)=f(x)$$
En c.t.p. $x\in X$.

El corolario anterior podría sugerir alguna relación entre la convergencia en $L^p$ y la convergencia en casi todo punto. Sin embargo, como veremos en los siguientes ejemplos, esto no es así:

Ejemplo. Consideremos $(\mathbb{R},\mathcal{L},\lambda )$ los reales con la medida de Lebesgue. Definamos:

$$f_k=k^2{\chi }_{(0,\frac{1}{k})}.$$

Afirmamos que esta sucesión de funciones converge en c.t.p. pero no converge en $L^p$.

En primer lugar, notemos que $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$:

$${\int }_{\mathbb{R}}|f_k{|}^p\mathrm{d}\lambda ={\int }_{\mathbb{R}}|k^2{\chi }_{(0,\frac{1}{k})}{|}^p\mathrm{d}\lambda =k^{2p}{\int }_0^{\frac{1}{k}}1\mathrm{d}\lambda =k^{2p}\left(\frac{1}{k}\right)=k^{2p-1}<\mathrm{\infty }.$$

Por lo que $f_k\in L^p$ con:

$${\Vert f_k\Vert }_p={\left({\int }_{\mathbb{R}}|f_k{|}^p\mathrm{d}\lambda \right)}^{\frac{1}{p}}=k^{2-\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }.$$

• Por un lado, es claro que $f_k⟶0$ puntualmente cuando $k\to \mathrm{\infty }$ (en particular converge en c.t.p. a 0).
• Si $f_k$ converge en $L^p$, su límite necesariamente debde ser 0 (en c.t.p.) por el corolario anterior, sin embargo, ${\Vert f-0\Vert }_p={\Vert f\Vert }_p=k^{2-\frac{1}{p}}⟶\mathrm{\infty }$ cuando $k\to \mathrm{\infty }$, de modo que la sucesión NO converge a ningún límite con la norma $L^p$.

Ejemplo. Consideremos ahora la medida de Lebesgue restringida en el intervalo $[0,1]$, ${\lambda }_{|[0,1]}$. Para cada $k\in \mathbb{N}$ definamos: $$f_{2^k+j}=k{\chi }_{[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]},j=0,1,\dots ,2^k-1.$$

[Figura]

Entonces para cada $p\in [1,\mathrm{\infty })$ $${\Vert f_{2^k+j}\Vert }_p={\left({\int }_0^1{k}^p{\chi }_{[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]}\mathrm{d}\lambda \right)}^{\frac{1}{p}}={\left(k^p\left(\frac{1}{2^k}\right)\right)}^{\frac{1}{p}}=k\cdot 2^{-\frac{k}{p}}⟶0.$$
Cuando $k⟶\mathrm{\infty }$.

• Entonces, tenemos por un lado que $f_{2^k+j}\in L^p$ $\mathrm{\forall }p\in [1,\mathrm{\infty })$ y además $f_{2^k+j}⟶0$ en $L^p$.
• Sin embargo, para cualquier $x\in [0,1]$, la sucesión ${f_m(x)}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ diverge, pues para cualquier $N>0$, podemos encontrar $m=2^k+j>N$ tal que $x\in [\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]$ $⟹$ $f_{2^k+j}(x)=k$ pero también algún $m^{\prime }=2^k+i$ tal que $x\notin [\frac{i}{2^k},\frac{i+1}{2^k}]$ $⟹$ $f_{2^k+j}(x)=0$, por lo que $$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_j=\mathrm{\infty }\ne 0=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_j.$$ Así que la sucesión NO converge en casi todo punto.

Ejemplo. Una sucesión en $L^{p_1}\cap L^{p_2}$ puede converger en $L^{p_1}$ pero no en $L^{p_2}$. Consideremos nuevamente $(\mathbb{R},\mathcal{L},\lambda )$ y definamos:

$$f_k=k^{-1}{\chi }_{(k,2k)}.$$

De manera que $${\Vert f_k\Vert }_p={({\int }_{\mathbb{R}}(k^{-1}{\chi }_{(k,2k)}{)}^p)}^{\frac{1}{p}}=k^{-1}(k{)}^{\frac{1}{p}}=k^{-1+\frac{1}{p}}.$$

Por tanto $f_k\in L^p$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $p\in [1,\mathrm{\infty })$. Sin embargo

• $f_k⟶0$ en $L^p$ si $1<p<\mathrm{\infty }$, pues ${\Vert f_k\Vert }_p=k^{-1+\frac{1}{p}}⟶0$.
• ${\Vert f_k\Vert }_1=1$ $\mathrm{\forall }k$, por lo que $f_k$ no converge a 0 en $L^1$.

Más adelante…

Introduciremos el espacio $L^{\mathrm{\infty }}$. Un espacio importante que se puede pensar como «un caso límite de los espacios $L^p$».

Tarea moral…

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Los espacios $L^p$ son posiblemente los espacios normados más importantes que surgen en la teoría de la medida e integración de Lebesgue. Estos generalizan la idea de funciones integrables, y nos permiten medir el «tamaño» de funciones de maneras más flexibles y potentes, además, tienen propiedades súmamente interesantes en el contexto del análisis funcional. En esta entrada definiremos el concepto de espacio $L^p$ y estudiaremos algunas de sus propiedades básicas.

Aprovechando las nociones introducidas anteriormente, definiremos los espacios $L^p$ con toda generalidad sobre espacios de medida abstracta. Para esta sección $(X,\mathcal{M},\mu )$ denotará un espacio de medida. Si te es más fácil, puedes pensar a $(X,\mathcal{M},\mu )$ como el espacio modelo $({\mathbb{R}}^n,{\mathcal{L}}_n,\lambda )$.

Motivación

Si bien la integral es una forma natural de medir la «masa de una función», es fácil llegar a la conclusión de que no necesariamente es la única manera de hacerlo. Consideremos la función $f(x)=\frac{1}{x}$ definida en $[1,\mathrm{\infty })$. Por un lado es fácil estimar (ver la figura): $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}\mathrm{d}x\ge \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=\mathrm{\infty }.$$ Sin embargo, si en lugar de considerar a la función consideramos a sus potencias, por ejemplo 2, ya habíamos calculado que $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{x}\right)}^2<\mathrm{\infty }.$$ Es decir, aprovechando la «contracción» que nos ofrece la función $f(x)=x^2$ para $x<1$, podemos darle un sentido alternativo de «masa» a la función que nos da un valor mucho más manejable.

Esta es precisamente la idea detrás de espacio $L^p$: Considerar la integral de las potencias de funciones.

Además de ser una forma alternativa de medir la «masa de una función», ésta noción nos da ejemplos de espacios normados con una estructura muy interesante. Por razones «algebraicas» que serán claras más adelante, la expresión $${\Vert f\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}.$$

Exhibe propiedades que son «casi» las de una norma, salvo que ${\Vert f\Vert }_p=0$ $⟺$ $f=0$, pues en realidad tenemos: $${\Vert f\Vert }_p=0⟺{\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu =0⟺|f{|}^p=0c.t.p.⟺f=0c.t.p.$$

Por ésta razón, conviene considerar a dos funciones «iguales» si son iguales en c.t.p. Más formalmente, dada una función medible $f$, podemos considerar $[f]$ la clase de equivalencia de funciones medibles que son iguales en c.t.p. a $f$: $g\in [f]$ $⟺$ $g=f$ en c.t.p. Cualquier propiedad definida en términos de la integral debe ser preservada dentro de dicha clase de equivalencia (insensibilidad de la integral), por esta razón, a partir de ahora identificaremos $f$ con $[f]$, es decir, cada que nos refiramos a una función medible $f$, implícitamente estaremos considerando a $[f]$.

Definición. Sea $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ $\mathcal{M}$-medible y $1\le p<\mathrm{\infty }$. Decimos que (la clase de equivalencia) $f\in L^p(X,\mathcal{M},\mu )$ si $${\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }.$$
De manera abreviada usaremos la notación $f\in L^p(X)$ o simplemente $f\in L^p$ (siempre que sea claro en que espacio estemos trabajando).

Observación. La definición anterior tiene sentido. Anteriormente probamos que la función $|f{|}^p$ es medible y al ser no negativa tiene una integral bien definida. Además, esto es cierto para cualquier elemento de la clase de equivalencia $[f]$.

Ejemplo. $L^1$ preserva su significado: Es el espacio de las funciones integrables (solo que ahora identificamos funciones iguales en c.t.p.).

Proposición. La función ${\Vert \cdot \Vert }_p:L^p(X,\mathcal{M},\mu )$ dada por:

$${\Vert f\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}.$$ Es una norma.

Es inmediato ver que

• $0\le {\Vert f\Vert }_p<\mathrm{\infty }$.
• ${\Vert cf\Vert }_p=|c|{\Vert f\Vert }_p$ si $c\in \mathbb{R}$.
• ${\Vert f\Vert }_p=0$ $⟺$ $f=0$ (es decir $[f]=[0]$) como mencionamos anteriormente.

Probar la desigualdad del triángulo (que en este contexto recibe el nombre de la desigualdad de Minkowski) requiere más trabajo.

Lema (desigualdad de Young). Sean $1<p,q<\mathrm{\infty }$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Entonces para cualesquiera $a,b>0$: $$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{a^q}{q}.$$

Demostración. La función $x\to e^x$ es convexa (su segunda derivada es $e^x>0$), de donde:

$$ab=e^{\ln a+\ln b}=e^{\frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{q}\ln b^q}\le \frac{1}{p}{e}^{\ln a^p}+\frac{1}{q}{e}^{\ln a^q}=\frac{a^p}{p}+\frac{a^q}{q}.$$

Teorema (desigualdad de Hölder). Sean $1\le p,q<\mathrm{\infty }$ con $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Si $f\in L^p$ y $g\in L^q$, entonces $fg\in L^1$ y además: $${\int }_X|fg|\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q.$$

Demostración. La desigualdad es inmediata si $f=0$ o $g=0$ así que supongamos que $f,g\ne 0$. Por la desigualdad de Young tenemos que:

$${\int }_X\left(\frac{|f|}{{\Vert f\Vert }_p}\right)\left(\frac{|g|}{{\Vert g\Vert }_q}\right)\mathrm{d}\mu \le {\int }_X\frac{1}{p}{\left(\frac{|f|}{{\Vert f\Vert }_p}\right)}^p\mathrm{d}\mu +{\int }_X\frac{1}{q}{\left(\frac{|g|}{{\Vert g\Vert }_q}\right)}^q\mathrm{d}\mu =\frac{{\Vert f\Vert }_p^p}{p{\Vert f\Vert }_p^p}+\frac{{\Vert g\Vert }_q^q}{q{\Vert g\Vert }_q^q}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$$
$$⟹{\int }_X|fg|\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q$$

Definición. Dado $1<p<\mathrm{\infty }$, el conjugado de Hölder de p es el número $q$ tal que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ($q=\frac{p}{p-1}$). Para $p=1$ convenimos $q=\mathrm{\infty }$ y para $p=\mathrm{\infty }$ convenimos $q=1$. Más adelante se verá la razón de esta convención.

Ejercicio. Sean $0\le a_1,a_2,\dots ,a_n$ y $0\le b_1,b_2,\dots ,b_n$ números no negativos. Sean $p,q\in (1,\mathrm{\infty })$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Demuestra que:
$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\le {\left(\sum _{k=1}^n{a}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\cdot {\left(\sum _{k=1}^n{b}^q\right)}^{\frac{1}{q}}.$$

Solución. Sea $X=1,2,\dots ,n$ con la medida de conteo $\mu$. Consideremos las funciones $f,g:X\to [0,\mathrm{\infty }]$ dadas por $f(j)=a_j$ y $g(j)=b_j$ para $j=1,2,\dots ,n$. Notemos que: $${\Vert f\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}={(\sum _{k=1}^n|f(k){|}^p)}^{\frac{1}{p}}={\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }.$$ Y similarmente $${\Vert g\Vert }_q={\left({\int }_X|g{|}^q\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{q}}={(\sum _{k=1}^n|g(k){|}^q)}^{\frac{1}{q}}={\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^q\right)}^{\frac{1}{q}}<\mathrm{\infty }.$$ Además $${\int }_X|fg|\mathrm{d}\mu =\sum _{k=1}^n|f(k)g(k)|=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k.$$ Se sigue entonces de la desigualdad de Hölder que $$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k={\int }_X|fg|\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q={\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}}\cdot {\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^q\right)}^{\frac{1}{q}}$$
Como queríamos probar.

Teorema (Desigualdad de Minkowski). Sean $f,g\in L^p$ con $1\le p<\mathrm{\infty }$. Entonces $f+g\in L^p$ y $${\Vert f\Vert }_p\le {\Vert f+g\Vert }_p+{\Vert g\Vert }_p$$

Demostración. Para $p=1$, es una consecuencia de la desigualdad del triángulo convencional. Así que supongamos $p\ne 1$.

Primero notemos que $|f+g|,|f|+|g|\in L^p$ pues: $$|f+g{|}^p\le (|f|+|g|{)}^p\le (2max|f|,|g|{)}^p\le 2^p(max|f|,|g|{)}^p\le 2^p(|f{|}^p+|g{|}^p).$$

Más aún, como $|f+g|\in L^p$, entonces $|f+g{|}^{p-1}\in L^q$ donde $q=\frac{p}{p-1}$ es el conjugado de Hölder de $p$ pues: $${\int }_X(|f+q{|}^{p-1}{)}^q\mathrm{d}\mu ={\int }_X|f+q{|}^p\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }.$$
Se sigue entonces:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f+g\Vert }_p^p& ={\int }_X|f+g{|}^p\mathrm{d}\mu \\ & \le {\int }_X|f+g{|}^{p-1}(|f|+|g|)\mathrm{d}\mu \\ & ={\int }_X|f+g{|}^{p-1}|f|\mathrm{d}\mu +{\int }_X|f+g{|}^{p-1}|g|\mathrm{d}\mu \\ & \le {({\int }_X|f+g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{p-1}{p}}{\Vert f\Vert }_p+\le {({\int }_X|f+g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{p-1}{p}}{\Vert g\Vert }_p\\ & ={\Vert f+g\Vert }_p^{p-1}({\Vert f\Vert }_p+{\Vert g\Vert }_p)\end{array}$$

De donde

$$⟹{\Vert f+g\Vert }_p\le {\Vert f\Vert }_p+{\Vert g\Vert }_p.$$

Más adelante…

Veremos otra propiedad anlítica fundamental de los espacios $L^p$: son espacios de Banach.

Tarea moral