Introducción

En la entrada anterior hablamos de derivadas parciales de segundo orden y dimos una condición sencilla de verificar para garantizar que ciertas derivadas mixtas sean iguales. Lo que haremos ahora es dar un siguiente paso y hablar de derivadas parciales de orden superior. Enunciaremos un resultado análogo al de la entrada anterior, para garantizar que cualesquiera dos derivadas conmuten. Un poco más adelante, usaremos las derivadas de orden superior para enunciar un teorema de Taylor para funciones de varias variables.

Definiciones de derivadas parciales de orden superior

En la entrada anterior tomamos un campo escalar $f:S\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ con dominio cierto abierto $S$ con derivadas parciales $$\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}$$

en un cierto abierto $R\subset S$. Hicimos notar que cada una de estas funciones es nuevamente un campo escalar en el abierto $R$ y que por lo tanto podríamos hacernos nuevamente la pregunta, para cada una de ellas, si resulta tener derivadas parciales o no. En caso de que sí, esto nos permitía crear derivadas parciales de segundo orden, del estilo $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}.$$

Al variar $i$ y $j$ de $1$ a $n$, obtenemos otras $n^2$ posibles funciones, que nuevamente son campos escalares, de las cuales nuevamente podemos preguntarnos si tienen o no derivadas parciales. Esta idea podemos iterarla tantas veces como queramos. Para formalizarla, planteamos la siguiente definición. La definición es para funciones con dominio ${\mathbb{R}}^n$ y un punto dado $\overline{a}$, pero se pueden hacer las adecuaciones necesarias para hablar de la diferenciabilidad de una función cunado su dominio es cierto abierto, o cuando se quiere hablar de diferenciabilidad en todo un abierto.

Definición. Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ una función y $\overline{a}\in {\mathbb{R}}^n$ un vector. Definimos recursivamente sobre $k$ el símbolo

$$\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}(\overline{a})$$

para $i_1,\dots ,i_k\in \{1,2,\dots ,n\}$ como sigue:

1. Si $k=0$, el símbolo simplemente representa a $f(\overline{a})$.
2. En otro caso, $$\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}(\overline{a}):=\frac{\partial }{\partial x_{i_k}}\left(\frac{{\partial }^{k-1}f}{\partial x_{i_{k-1}}\cdots \partial x_{i_1}}\right)(\overline{a}),$$
   siempre y cuando se pueda derivar
   $$\frac{{\partial }^{k-1}f}{\partial x_{i_{k-1}}\cdots \partial x_{i_1}}$$ con respecto a la variable $x_{i_k}$ en el punto $\overline{a}$.

A ese símbolo le llamamos la derivada parcial de $f$ de $k$-ésimo orden con respecto a las variables $x_{i_k},\dots ,x_{i_1}$.

En otras palabras, siempre y cuando sea posible, tomamos $f$ y la vamos derivando primero con respecto a $x_{i_1}$, luego con respecto a $x_{i_2}$ y así sucesivamente hasta que la última derivación es con respecto a $x_{i_k}$.

Como en el caso de dos variables, nos permitiremos «agrupar variables en potencias» para simplificar algunas notaciones en caso de que la derivación sea consecutivamente con respecto a una misma variable. Por ejemplo, a la siguiente derivada parcial de orden $3$:

$$\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial x\partial y}$$

usualmente la escribiremos en forma simplificada

$$\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}.$$

Ejemplos de derivadas parciales de orden $3$

Ejemplo. Tomemos el campo escalar $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ dado por

$$f(x,y,z)=\sin (xyz).$$

Encontremos las siguientes derivadas parciales:

$$\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2},\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y\partial z},\frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}.$$

Comenzamos con $$\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}$$

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)& =xz\cos (xyz),\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y,z)& =-x^2{z}^2\sin (xyz),\\ \frac{{\partial }^{3}f}{\partial z\partial y^2}(x,y,z)& =-2z{x}^2\sin (xyz)-z^2{x}^{3}y\cos (xyz).\end{array}$$

Luego calculemos $$\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y\partial z}$$

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)& =xy\cos (xyz),\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}(x,y,z)& =x\cos (xyz)-x^{2}yz\sin (xyz),\\ \frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y\partial z}(x,y,z)& =-3xyz\sin (xyz)+(1-x^2{y}^2{z}^2)\cos (xyz).\end{array}$$

Por último calcularemos $$\frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}$$

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)& =xz\cos (xyz),\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y,z)& =-x^2{z}^2\sin (xyz),\\ \frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}(x,y,z)& =-x^3{z}^3\cos (xyz).\end{array}$$

$\mathrm{△}$

Sería algo laborioso encontrar todas todas las derivadas parciales de orden $3$ en el ejemplo anterior. ¡Son 27! Aunque, bueno, muchas de ellas serán iguales gracias a un teorema que enunciaremos en la siguiente sección.

Veamos un ejemplo de ${\mathbb{R}}^2$ en el que sí encontraremos todas las $8$ derivadas parciales de orden $3$.

Ejemplo. Veamos cuáles son todas las derivadas parciales de orden $3$ para el siguiente campo escalar $g:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$:

$$g(x,y)=3x^2{y}^3.$$

Primero encontremos ambas derivadas parciales de primer orden

$$\begin{array}{r}\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=6x{y}^3,\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=9x^2{y}^2.\end{array}$$

Con ellas podemos encontrar las de segundo orden:

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}(x,y)=6y^3& ,\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x\partial y}(x,y)=18x{y}^2,\\ \frac{{\partial }^{2}g}{\partial y\partial x}(x,y)=18x{y}^2& ,\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}(x,y)=18x^{2}y.\end{array}$$

Finalmente, usamos estas últimas para encontrar las derivadas parciales de tercer orden. Primero, aquellas en donde derivamos las anteriores con respecto a $x$:

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{3}g}{\partial x^3}(x,y)=0& ,\frac{{\partial }^{3}g}{\partial x^2\partial y}(x,y)=18y^2,\\ \frac{{\partial }^{3}g}{\partial x\partial y\partial x}(x,y)=18y^2& ,\frac{{\partial }^{3}g}{\partial x\partial y^2}(x,y)=36xy,\end{array}$$

y sólo faltan en donde derivamos las de segundo orden con respecto a $y$:

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{3}g}{\partial y\partial x^2}(x,y)=18y^2& ,\frac{{\partial }^{3}g}{\partial y\partial x\partial y}(x,y)=36xy,\\ \frac{{\partial }^{3}g}{\partial y^2\partial x}(x,y)=36xy& ,\frac{{\partial }^{3}g}{\partial y^3}(x,y)=18x^2.\end{array}$$

$\mathrm{△}$

Hay varias de estas derivadas parciales del ejemplo anterior que son iguales. ¿Cuáles? ¿Cuál parece ser que sea el criterio para que dos derivadas parciales de orden superior sean iguales?

Conmutatividad de derivadas parciales de orden superior

En los ejemplos anteriores hay algunas derivadas de orden superior que coinciden entre sí. El siguiente teorema nos da una condición para garantizar la conmutatividad en el orden en que derivamos para una gran cantidad de situaciones. Una vez más, nos limitamos a enunciar el resultado para un punto dentro de un abierto

Teorema. Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ una función y $k\ge 2$ un entero. Sean $i_1,\dots ,i_k,j_1,\dots ,j_k$ enteros con valores en $\{1,\dots ,n\}$. Supongamos que:

• Hay un abierto $S\subset {\mathbb{R}}^n$ en el que las siguiente derivadas de orden $k$ existen:
  $$\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}\text{y}\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_{j_k}\cdots \partial x_{j_1}}.$$
• Dichas derivadas son continuas en un punto $\overline{a}\in S$.
• Cada entero de $1$ a $n$ aparece la misma cantidad de veces en $i_1,\dots ,i_k$ que en $j_1,\dots ,j_k$.

Entonces, ambas derivadas coinciden en $\overline{a}$.

La última condición es muy natural: tuvimos que haber derivado la misma cantidad de veces con respecto a cada variable. Así pues, por ejemplo, si tenemos $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ con las condiciones adecuadas de continuidad y diferenciabilidad, podríamos por ejemplo garantizar que:

$$\frac{{\partial }^{7}f}{\partial x^2\partial y\partial z\partial y^2\partial x}=\frac{{\partial }^{7}f}{\partial z\partial x^3\partial y^3}.$$

No daremos la demostración del teorema, pero quedará como tarea moral. Para que puedas realizarla, estudia con mucho detalle la demostración del teorema de la entrada anterior. Ya que la manejes bien, la demostración de este teorema requerirá de que plantees adecuadamente una inducción para aprovechar al máximo la definición recursiva para derivadas parciales de orden $k$.

Más adelante…

Ya que hemos definido y entendido las derivadas parciales para cualquier orden $k$, podemos enunciar otro de los teoremas clásicos de cálculo de una variable, pero en su versión para campos escalares: el teorema de Taylor. Haremos esto en la siguiente entrada.

Tarea moral

1. Encuentra todas las derivadas parciales de orden $3$ (con respecto a todas las formas de elegir variables) para las siguientes funciones, enunciando apropiadamente el dominio en el que estás trabajando y en el que funionan tus cálculos.
   • $f(x,y)=e^{x+y}$
   • $f(x,y)=x^2+x+y^2+y+1$
   • $f(x,y)=\sin (x)\cos (x)+\tan (xy)$
   • $f(x,y)=\frac{1}{1+{\sin }^2(x)}+\frac{1}{1+{\cos }^2(x)}$
   • $f(x,y,z)=x+y+z$
   • $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$
2. Demuestra que el campo escalar $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ dado por $$f(x_1,\dots ,x_n)=e^{-(x_1+\dots +x_n)}$$ tiene todas sus derivadas parciales con respecto a cualesquiera variables para todos los órdenes $k$.
3. Cuando una función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tiene todas sus derivadas de todos sus órdenes $f^{\prime },f^{\prime \prime },f^{(3)},\dots$, decimos que es infinitamente diferencible o $C$-infinito (en símbolos «$f$ es $C^{\mathrm{\infty }}$»). Haz una propuesta de qué querría decir que un campo escalar sea $C$-infinito. Verifica que si un campo escalar es $C$-infinito en todo ${\mathbb{R}}^n$, entonces se dan todas las conmutatividades de derivadas parciales.
4. Para convencerte de que el teorema de conmutatividad de derivadas parciales funciona, encuentra explícitamente las derivadas $$\frac{{\partial }^{7}f}{\partial x^2\partial y\partial z\partial y^2\partial x}=\frac{{\partial }^{7}f}{\partial z\partial x^3\partial y^3}$$ para el campo escalar $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ dado por $f(x,y,z)=x^4{y}^{4}z$.
5. Demuestra el teorema de conmutatividad para derivadas parciales.

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