¡Hola de nuevo!

Si estás leyendo esto, ya recorriste un buen tramo en el camino de Modelos Biomatemáticos I. En este segundo módulo encontrarás herramientas que te ayudarán a comprender conceptos más complejos, pero igual de interesantes, y así ampliar tu capacidad para modelar, interpretar y comprender fenómenos biológicos.

En este segundo módulo exploraremos contenidos esenciales como ecuaciones, logaritmos, desigualdades, iteraciones, funciones, sistemas de ecuaciones, matrices y más. Aunque algunos de estos temas pueden parecer desafiantes, no estás solo en este proceso: encontrarás aquí explicaciones claras, ejemplos aplicados y ejercicios pensados para ayudarte a conectar estos conceptos con situaciones reales en biología.

Tómate tu tiempo, explora, equivócate sin miedo y vuelve a intentar. Este es un espacio para aprender y seguir construyendo confianza.

Espero que este material te siga acompañando y ayudando a ver las matemáticas no solo como una asignatura más, sino como una herramienta para seguir navegando en el mundo biomatemático. Vamos paso a paso… pero ya estás mucho más cerca de dominarlo.

¡Ánimo!

Módulo 2

8. Ecuaciones y factorización

a. Definición de ecuación

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más variables, y representa una condición que debe cumplirse.

Ejemplo: $2x + 3 = 7$

Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad.

b. Ecuaciones lineales (primer grado)

Las ecuaciones lineales de primer grado tienen la forma general: $ax + b = c$.

Para resolver:
Paso 1. Agrupar términos semejantes.
Paso 2. Aislar la variable.
Paso 3. Despejar.

Ejemplo: $5(x + 2)-3 = 2x + 4 \Rightarrow 5x + 10-3 = 2x + 4 \Rightarrow 5x + 7 = 2x + 4 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$

c. Resolución de ecuaciones cuadráticas (segundo grado)

Las ecuaciones de segundo grado tienen la forma general: $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a \neq 0$, b y c son constantes.

• Factorización
  Factorizar una expresión algebraica es reescribirla como un producto de factores más simples. Esto es muy útil para resolver ecuaciones y simplificar expresiones.

Casos comunes:

■ Factor común: $abx^2 + acx = ax(bx + c)$

Se saca el mayor factor que todos los términos tienen en común.

Ejemplo: $4x^4 + 8x^3 = 4x^3(x + 2)$

■ Diferencia de cuadrados: $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$

Ejemplo: $9x^2 – 16 = (3x – 4)(3x + 4)$

■ Trinomio cuadrado perfecto: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Ejemplo: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

■ Trinomio general: $ax^2 + bx + c = (dx + e)(fx + g)$

Buscamos dos números que multiplicados den $a \cdot c$ y que sumen b.
Luego se reescribe y agrupa.

Ejemplo: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

■ Suma o diferencia de cubos: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$

■ Agrupación: Se agrupan en pares y se factoriza dos veces.

Ejemplo: $x^3 – 6x^2 – 4x + 24 = (x^2 – 6x) – (4x – 24) = x(x – 6) -4(x – 6) = (x – 4)(x – 6)$

• Fórmula general
  La fórmula general permite resolver cualquier ecuación cuadrática:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a},$$ donde a, b, y c son los coeficientes de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$.
El término $b^2 – 4ac$ se llama discriminante, y nos indica que:

○ si $b^2-4ac > 0$, hay dos soluciones reales distintas,
○ si $b^2-4ac = 0$, hay una solución real doble,
○ si $b^2-4ac < 0$, no hay soluciones reales (son complejas).

Ejemplo: $2x^2-4x-6 = 0$

Identificamos que a = 2, b = −4, c = −6

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4}$$

$$x = \frac{4 \pm 8}{4} \Rightarrow x = \frac{12}{4} = 3, \quad x = \frac{-4}{4} = -1$$

• Completando el cuadrado
  Este método transforma un trinomio cuadrático en el cuadrado de un binomio, útil en geometría analítica, física y más.

Se procede de la siguiente manera:

Paso 1. Asegúrate de que el coeficiente de $x^2$ sea 1. Si no lo es, divide toda la ecuación.
Paso 2. Toma la mitad del coeficiente de x, elévalo al cuadrado.
Paso 3. Súmalo y réstalo en la expresión.
Paso 4. Agrupa el trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo:

$x^2 + 6x + 5$

Tomamos la mitad de 6 → $\frac{6}{2} = 3$, al cuadrado: 9

$x^2 + 6x + 9 – 4 = (x + 3)^2 – 4$

Otro ejemplo con coeficiente diferente de 1:

$2x^2 + 8x + 3$

Factor común en los dos primeros términos:

$2(x^2 + 4x) + 3$

Completo cuadrado dentro del paréntesis:

$2(x^2 + 4x + 4 – 4) + 3 = 2((x + 2)^2 – 4) + 3 = 2(x + 2)^2 – 8 + 3 = 2(x + 2)^2 – 5$

9. Desigualdades

a. Definición de desigualdad

Una desigualdad es una relación matemática que compara dos expresiones usando los símbolos de menor que (<), mayor que (>), menor o igual que (≤) y mayor o igual que (≥).

Ejemplos:
• $3 < 5$
• $x + 2 \geq 10$
A diferencia de las ecuaciones, que tienen soluciones exactas, las desigualdades representan conjuntos de soluciones que satisfacen una condición.

b. Propiedades de las desigualdades

Suma y resta:
Si $a < b$, entonces $a + c < b + c$.
Es análogo para la resta: Si $a < b$, entonces $a – c < b – c$.

Multiplicación o división por un número positivo:
Si $a < b$ y $c > 0$, entonces $ac < bc$.

Multiplicación o división por un número negativo:
Si $a < b$ y $c < 0$, entonces $ac > bc$. 
Ojo: ¡El signo de desigualdad se invierte!


Ejemplo 1. Desigualdad lineal simple

Resolviendo: $2x – 3 < 5$
Paso 1. Sumar 3 a ambos lados: $2x < 8$
Paso 2. Dividir entre 2: $x < 4$
Solución: Todos los x menores que 4.

Representación gráfica: 
Una línea numérica con un círculo abierto en 4 y una flecha hacia la izquierda.

Ejemplo 2. Desigualdad con cambio de signo

Representación gráfica: 
Una línea numérica con un círculo cerrado en 1 y una flecha hacia la izquierda.

c. Desigualdades cuadráticas

Para resolver desigualdades del tipo $x^2 – 5x + 6 > 0$ se procede:

Paso 1. Factorizamos: $(x – 2)(x – 3) > 0$
Paso 2. Identificamos los ceros: $x = 2$ y $x = 3$
Paso 3. Probamos los intervalos:
• $x < 2$ → positivo
• $2 < x < 3$ → negativo
• $x > 3$ → positivo
Solución: $x < 2$ o $x > 3$

Representación gráfica: 

d. Formas de escribir las soluciones

Las soluciones de desigualdades se pueden expresar en:

• Forma verbal: Todos los números mayores que 5.
• Notación con desigualdades: $x > 5$
• Notación de intervalo: $(5, \infty)$
Recuerda: Si usas aréntesis ( ), se excluye el número y se llama intervalo cerrado; y si usas corchetes [ ], se incluye el número y se llama intervalo abierto.

10. Logaritmos

a. Definición de logaritmo

Un logaritmo es el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número dado. Se expresa como:

$\log_b a = x$ si y solo si $b^x = a$, 

donde b es la base del logaritmo (debe ser positiva y distinta de 1), a es el argumento (el número del que tomamos el logaritmo), x es el resultado, es decir, el exponente que buscamos.

Ejemplos:

• $\log_2 8 = 3$, porque $2^3 = 8$
• $\log_{10} 1000 = 3$, porque $10^3 = 1000$

b. Logaritmos comunes y naturales

• Logaritmo común

Si la base es 10 $\Longrightarrow \log a = \log_{10} a$

• Logaritmo natural

Si la base es e (número de Euler, aprox. 2.718) $\Longrightarrow \ln a = \log_e a$

c. Propiedades de los logaritmos

• Producto: $$\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$$

• Cociente: $$\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y$$

• Potencia: $$\log_b (x^r) = r \cdot \log_b x$$

• Logaritmo de 1:

$\log_b 1 = 0$ cualquier número elevado a 0 da 1.

• Logaritmo de la base: $$\log_b b = 1$$

d. Cambio de base

A veces necesitamos calcular un logaritmo con una base distinta a la que tenemos disponible (por ejemplo, en una calculadora). La fórmula es:

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$

Usualmente se usa la base 10 o e (logaritmo común o natural).

Ejemplo:

$$\log_2 100 = \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2} \approx \frac{2}{0.3010} \approx 6.64$$

e. Aplicaciones de logaritmos en biología

Los logaritmos aparecen en muchos modelos de crecimiento, poblaciones, reacciones químicas y escalas biológicas.

Ejemplo. Crecimiento poblacional

El modelo exponencial: $P(t) = P_0 e^{kt}$

Si queremos encontrar el tiempo que tarda en alcanzarse cierta población P(t), usamos logaritmos:

$$t = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{P(t)}{P_0}\right)$$

Ejemplo. Escala logarítmica en el pH

La fórmula del pH es: $\text{pH} = -\log_{10} [\text{H}^+]$

Si la concentración de iones hidrógeno $1 \times 10^{-7}$, entonces:

$\text{pH} = -\log_{10}(10^{-7}) = 7$

11. Iteración

a. Definición de iteración

Una iteración es un proceso que consiste en aplicar repetidamente una misma regla o fórmula, donde el valor siguiente depende del valor anterior. Se representa generalmente como:

$$x_{n+1} = f(x_n)$$

Ejemplo:
Comienza con el número 1 y suma 2 en cada paso: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$
Aquí cada número se obtiene sumando 2 al anterior. La regla es: $x_{n+1} = x_n + 2$

b. Propiedades de las iteraciones

• Condición inicial: toda iteración necesita un valor de partida. A partir de él, se generan los siguientes valores. Por ejemplo $x_0 = 1$.
• Regla de cambio: es la fórmula o relación que se aplica en cada paso. Por ejemplo $x_{n+1} = 2x_n$.
• Dependencia del tiempo o pasos: iterar es como avanzar en el tiempo, en cada paso, el sistema cambia según la regla dada.

Ejemplo:
Si $x_0 = 1$ y la regla es $x_{n+1} = 2x_n$​, la secuencia será: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$

Ejemplo aplicado:
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si al inicio hay 100 bacterias:

$P_0 = 100$, se tiene que $P_{n+1} = 2P_n$​

Los primeros valores son:

$$P_1 = 2(100) = 200 \quad P_2 = 2(200) = 400 \quad P_3 = 2(400) = 800 \dots$$

c. Crecimiento lineal vs. crecimiento exponencial

(agregar grafs)

Paso	Crecimiento lineal (suma 100)	Crecimiento exponencial (duplica)
0	100	100
1	200	200
2	300	400
3	400	800

---

d. Iteraciones con fórmulas más complejas:

Algunas iteraciones incluyen otros elementos, como tasas de crecimiento, disminución, o límites. Por ejemplo:

$$x_{n+1} = x_n + r x_n (1 – \frac{x_n}{K})$$

Esta es una forma iterativa del modelo logístico, usado para describir poblaciones con límite ambiental.

12. Funciones y sus gráficas

a. Definición de función

Una función es una relación matemática entre dos variables, donde a cada elemento del conjunto variables independientes (dominio) le corresponde exactamente un elemento del conjunto de variables dependientes (rango). 

Se representa generalmente como: $f(x) = y$, donde x es la variable independiente (entrada), y es la variable dependiente (salida), f es la regla que asigna a cada x un único valor y.

Ejemplo:
Si $f(x) = 2x + 1$, entonces: $f(1) = 2(1) + 1 = 3,\quad f(2) = 2(2) + 1 = 5$.

b. Función lineal

Una función lineal tiene la forma general $f(x) = mx + b$, donde m es la pendiente (indica el crecimiento), b es la ordenada al origen (el valor de y cuando $x = 0$). 

Análisis gráfico:
• La gráfica de una función lineal es una línea recta.
• La pendiente m determina si la recta sube (m > 0) o baja (m < 0).
• El valor b indica el punto donde la recta corta al eje Y.

Ejemplo:
Una planta crece 2 cm por día, con una altura inicial de 5 cm:

$f(x) = 2x + 5$ (5 cm de altura inicial) Graficar

c. Funciones no lineales

No todas las relaciones son lineales. Muchas veces en biología hay curvas, aceleraciones o desaceleraciones.

￭ Cuadrática
Tiene la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$

Análisis gráfico:
• La gráfica es una parábola tal que si a > 0, se abre hacia arriba, si a < 0, se abre hacia abajo.
• El vértice es el punto de mínimo (si a > 0) o máximo (si a < 0).
• Las raíces (o ceros) de la función son los valores de x donde $f(x) = 0$, y se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.

Puntos importantes:
• Vértice: punto máximo o mínimo.
• Raíces: valores de x que hacen que $f(x) = 0$ (pueden calcularse con la fórmula cuadrática).

Ejemplo:

$f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ Esta parábola se abre hacia abajo. El vértice y las raíces permiten analizar cómo varía la función con el tiempo, por ejemplo en procesos de crecimiento que luego disminuyen.

￭ Exponencial
Tiene la forma general $f(x) = a \cdot b^x$, donde a es el valor inicial, si b > 1 hay crecimiento exponencial, si 0 < b < 1 hay decaimiento exponencial.

Análisis gráfico:
• Crece o decrece rápidamente.
• Siempre es positiva si a > 0.
• A medida que $x \to \infty$, f(x) crece si b > 1; si b < 1, decrece hacia 0.

Ejemplo:
Crecimiento bacteriano: $f(x) = 100 \cdot 2^x$

￭ Logarítmica
Tiene la forma general $f(x) = a \cdot \log(x)$, donde se define sólo para x > 0, y a ajusta la escala.

Análisis gráfico:
• Crece, pero muy lentamente conforme x aumenta.
• Tiene una asíntota vertical en x = 0 (no puede tomar valores negativos).

Ejemplo:
Respuesta fisiológica a un estímulo, como percepción del sonido o intensidad de luz.

￭ Racionales
Su forma general es $f(x) = \frac{1}{x}$. 

Análisis gráfico:
• Tiene dos ramas (una en cada lado del eje y),
• No está definida en x = 0,
• Tiene una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota horizontal en y = 0.

Ejemplo:
Relaciones inversas como velocidad y tiempo: a mayor velocidad, menor tiempo.

￭ Potencial o alométrica
Su forma general es $y = a \cdot x^k$, donde a es una constante de proporcionalidad, k puede ser positivo o negativo, entero o fraccionario.

Análisis gráfico:
• Si k > 1: crecimiento acelerado.
• Si 0 < k < 1: crecimiento desacelerado.
• Si k < 0: decrecimiento.

Ejemplo:
Relación entre masa corporal y tasa metabólica: $f(x) = 70 \cdot x^{0.75}$
Este tipo de función describe cómo cambia una variable fisiológica en función del tamaño corporal.

d. Dominio y codominio

• Dominio: conjunto de todos los posibles valores de entrada x que hacen que la función esté bien definida.

• Codominio: conjunto de todos los posibles valores de salida y.

Ejemplo:
Para $f(x) = \sqrt{x}$, el dominio es $x \geq 0$, porque no se puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo (en los reales).

e. Coeficientes de correlación

Cuando se tiene un conjunto de datos empíricos o experimentales (por ejemplo, mediciones de dos variables en una muestra), es útil saber qué tan fuertemente están relacionadas.

El coeficiente de correlación (r) mide la intensidad y dirección de una relación lineal entre dos variables, es decir, permite cuantificar qué tan bien se ajustan a una función lineal.

$-1 \leq r \leq 1$

• $r \approx 1$: correlación positiva fuerte (ambas variables aumentan juntas).
• $r \approx -1$: correlación negativa fuerte (una aumenta mientras la otra disminuye).
• $r \approx 0$: no hay relación lineal.

Ejemplo:
Si midieras la longitud del ala y el peso de aves, podrías obtener un r cercano a 0.8, indicando una fuerte relación positiva.

Otro ejemplo:
Una investigadora mide la concentración de glucosa en sangre en función del tiempo después de una comida. Si los datos tienen r = −0.92, se puede decir que la concentración de glucosa disminuye de forma lineal conforme pasa el tiempo.

Importante recordar: Correlación no implica causalidad. Que dos variables estén relacionadas no significa que una cause la otra.

13. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Resolver un sistema significa encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

a. Solución de un sistema

Una solución puede ser un par ordenado $(x, y)$ que satisfaga todas las ecuaciones del sistema.

Tipos de soluciones:

• Una única solución (sistema compatible determinado)
Las rectas se cortan en un único punto, por lo que el sistema tiene solución única.

• Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)
Las rectas son la misma recta (coinciden totalmente), entonces todas las soluciones de una son soluciones de la otra.

• Ninguna solución (sistema incompatible)
Las rectas son paralelas y no se cortan, entonces no hay valores que satisfagan las ecuaciones a la vez.

b. Métodos de resolución

￭ Método gráfico
Consiste en graficar ambas ecuaciones en el plano cartesiano y observar el punto (si existe) donde se cruzan las rectas.

Ejemplo:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

• Primera recta: $y = -x + 4$
• Segunda recta: $y = x – 2$
Graficando, se cruzan en el punto (3, 1). Esa es la solución del sistema.

￭ Método de sustitución

Paso 1. Se despeja una variable en una de las ecuaciones.
Paso 2. Se sustituye en la otra ecuación.
Paso 3. Se resuelve y luego se reemplaza para encontrar la otra variable.

Ejemplo:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

Paso 1. De la primera ecuación, despejamos $x = 4 – y$
Paso 2. Sustituimos en la segunda

$(4 – y) – y = 2 \Rightarrow 4 – 2y = 2 \Rightarrow y = 1$

Paso 3. Reemplazamos en $x = 4 – y$

$x = 4 – 1 = 3$

Solución: (3, 1)

￭ Método de igualación

Paso 1. De despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
Paso 2. De igualan las expresiones.
Paso 3. De resuelve la ecuación resultante.

Ejemplo:

$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$$

Paso 1. Como ya están ambas ecuaciones igualadas a y, se continúa al siguiente paso.
Paso 2. Se igualan ambas ecuaciones

$2x + 1 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$

Paso 3: se resuelve que $y = 2(1) + 1 = 3$
Solución: (1, 3)

￭ Método de reducción (o suma y resta)

Paso 1. Se multiplican las ecuaciones (si es necesario) para que, al sumarlas o restarlas, una variable se elimine.
Paso 2. Se resuelve la variable restante y luego se reemplaza.

Ejemplo:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

Paso 1. $(2x + y) + (x – y) = 5 + 1 \Longrightarrow 3x = 6 \Longrightarrow x = 2$
Paso 2. $2 – y = 1 \Longrightarrow y = 1$
Solución: (2, 1)

14. Matrices y determinantes

a. Definición de matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, ordenados en filas y columnas.

Se denota por una letra mayúscula (como A, B, M…), y sus elementos se representan con subíndices:

$A = a_{ij}​$, donde i es el número de la fila y j el de la columna.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

Esta es una matriz de 2 filas y 3 columnas, o matriz $2 \times 3$ (se dice “dos por tres”).
En este caso se puede observar que $a_{11} = 1$ y $a_{23} = 6$.

b. Tipos de matrices

Las matrices se pueden clasificar según su forma y contenido. 

Tipo de matriz	Descripción	Ejemplo
Matriz fila	Solo tiene una fila.	$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$
Matriz columna	Solo tiene una columna.	$\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}​$​​
Matriz rectangular	Número de filas distinto al de columnas.	$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
Matriz cuadrada	Mismo número de filas y columnas (n × n). Sólo las matrices cuadradas tienen determinante e inversa.	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Matriz diagonal	Cuadrada, sólo tiene elementos no nulos en la diagonal principal.	$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
Matriz identidad	Diagonal con unos en la diagonal principal	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Matriz nula	Todos sus elementos son cero	$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

c. Operaciones con matrices

Las matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse, siempre que cumplan ciertas condiciones.

• Suma y resta de matrices
Sólo pueden sumarse o restarse matrices del mismo tamaño, es decir, con igual número de filas y de columnas.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$, $$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

$$A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

• Multiplicación por un escalar
Se multiplica cada elemento de la matriz por ese número.

Ejemplo:

$$2 \cdot A = 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$$

• Multiplicación de matrices
Solo se puede multiplicar una matriz $A_{m \times n}$​ por una matriz $B_{n \times p}$​: las columnas de la primera deben coincidir con las filas de la segunda. El resultado será una matriz $C_{m \times p}$​.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \Rightarrow AB = (1)(3) + (2)(4) = 11$$

d. Determinantes

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Es importante para saber si un sistema de ecuaciones tiene solución única, calcular la inversa de una matriz.

Se denota como $\det(A)$ o $|A|$.

• Determinante de una matriz 2×2

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) = ad – bc$$

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) = (3)(4) – (2)(1) = 12 – 2 = 10$$

• Determinante de una matriz 3×3 (Regla de Sarrus)
La regla de Sarrus permite calcular de forma rápida el determinante de una matriz 3×3.
Dada una matriz

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$

Paso 1. Repite las dos primeras columnas a la derecha

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}​$$

Paso 2. Suma los productos de las diagonales principales

$$a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$$

Paso 3. Resta los productos de las diagonales secundarias

$$a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}$$

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

Paso 1.

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 \\ 7 & 8 & 9 & 7 & 8 \end{bmatrix}​$$

Paso 2.

$1 \times 5 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8 = 45 + 84 + 96 = 225$

Paso 3.

$3 \times 5 \times 7 + 1 \times 6 \times 8 + 2 \times 4 \times 9 = 105 + 48 + 72 = 225$

Determinante: 225 – 225 = 0

e. Matriz inversa
La inversa de una matriz A (si existe), denotada $A^{-1}$, es aquella tal que:

$$A \cdot A^{-1} = I$$

Solo existen inversas para matrices cuadradas y no singulares (es decir, cuyo determinante no es cero).

f. Resolución de sistemas de ecuaciones con matrices
Un sistema lineal puede escribirse como $AX = B$, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna de incógnitas y B es la matriz de resultados.
Si A es invertible, se cumple que $X = A^{-1} \cdot B$.

Ejemplo:
Sea el sistema

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x – y = 4 \end{cases}$$

Se tiene que

• Matriz de coeficientes: $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$
• Incógnitas: $X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
• Resultados: $B = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$
• $A \cdot X=B$

Luego se calcula la inversa de A
Determinante: $det(A) = (2)(−1) − (3)(1) = − 2 − 3 = −5$
Inversa de A:

$$A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.6 & -0.4 \end{bmatrix}$$

Después se multiplica $A^{-1} \cdot B = X$

$$X = A^{-1} \cdot B = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.6 & -0.4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$$

Multiplicamos:

• Primera fila: $0.2 \times 5 + 0.2 \times 4 = 1 + 0.8 = 1.8$
• Segunda fila: $0.6 \times 5 + (-0.4) \times 4 = 3 – 1.6 = 1.4$
Se obtiene que $X = \begin{bmatrix} 1.8 \\ 1.4 \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad x = 1.8,\ y = 1.4$

¡Hola! Si estás leyendo esto, probablemente te estás preparando para cursar Modelos Biomatemáticos I, una asignatura que puede parecer desafiante si no sientes familiaridad con los números.

Este material fue diseñado pensando en ti. Aquí encontrarás explicaciones claras y concisas, acompañadas de ejemplos y ejercicios prácticos que te ayudarán a repasar y fortalecer conceptos fundamentales como fracciones, porcentajes, proporciones, potencias, sucesiones y más.

El objetivo con estas notas es que descubras cómo las matemáticas son un lenguaje que te permitirá describir y analizar fenómenos biológicos de forma precisa.

Tómate tu tiempo, resuelve los ejercicios, equivócate, vuelve a intentar. Este es un espacio seguro para aprender, repasar y ganar confianza.
Espero que estas páginas te acompañen como una herramienta útil en tu camino hacia una comprensión más sólida, no solo de la asignatura, sino también del papel que tienen las matemáticas en tu formación como estudiante de biología.

¡Ánimo y adelante!

Módulo 1

1. Fracciones

a. Definición de una fracción

Una fracción es una forma de representar una parte de un todo. Se representa como 

$$\frac{a}{b},$$

donde a es el numerador, que indica cuántas partes tomamos; b es el denominador, que indica en cuántas partes se divide el todo.

b. Cómo simplificar fracciones

Para simplificar una fracción, la sugerencia siempre es buscar el máximo común divisor (MCD) entre el numerador y el denominador. En algunos casos, esto implica descomponer ambos números en sus factores primos. Una vez que se tiene el MCD, se dividen ambas partes de la fracción entre ese número.

Ejemplo: para simplificar $\frac{18}{24}$

• Los factores primos de 18 son 2 × 3 × 3.
• Los factores primos de 24 son 2 × 2 × 2 × 3.
• El MCD es 2 × 3 = 6.

Entonces, $\frac{18}{24}$ se simplifica dividiendo ambos números entre 6:

$$\frac{18÷6}{24÷6} = \frac{3}{4}$$

c. Operaciones con fracciones

Suma y Resta

Si los denominadores son iguales, simplemente se realiza la suma o resta de los numeradores. 

Ejemplos: 

$$\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$$ $$\frac{4}{7} − \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$$

Si los denominadores son diferentes, necesitas un denominador común. 

Ejemplo: 

Para sumar $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ un denominador común es 12. Convertimos las fracciones: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}​, \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$​; por lo tanto $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.​

Multiplicación

Se multiplican numerador por numerador y denominador por denominador. 

Ejemplo: 

$$\frac{2}{3} × \frac{4}{5} = \frac{2×4}{3×5} = \frac{8}{15}$$

División 

Multiplicamos la primera fracción por el inverso de la segunda. 

Ejemplo:

$$\frac{2}{3} ÷ \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}​$$

d. Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. Para encontrar fracciones equivalentes se multiplica o divide el numerador y el denominador por el mismo número.

Ejemplo: 

$\frac{1}{2}$​ es equivalente a $\frac{2}{4}​, \frac{3}{6}​, \frac{5}{10}​$

e. Conversión de fracciones a decimales

Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador.

Ejemplo:

$$\frac{3}{4} = 3 ÷ 4 = 0.75$$

f. Reconocer decimales exactos y periódicos

Decimal exacto: es un decimal que termina después de un número finito de decimales, por ejemplo 0.5 o 0.75.

Decimal periódico: es un decimal que tiene una parte decimal que se repite infinitamente, por ejemplo $\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$, donde el 3 se repite indefinidamente.

g. Cómo expresar un decimal en fracción

Para convertir un decimal a fracción, si el decimal tiene una cantidad finita de dígitos, se escribe el número como fracción sobre 10, 100, 1000, etc., dependiendo de la cantidad de decimales.

Ejemplo:

Para convertir 0.75 a fracción se sigue que $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

h. Para convertir un número decimal infinito periódico a fracción

Paso 1. Identificar el período: sea x un número decimal periódico $x = 0.\overline{a}$, donde a es el dígito o grupo de dígitos que se repite, es decir, el período.

Por ejemplo, si tenemos $x = 0.\overline{3}$, entonces a = 3.

Paso 2. Multiplicar por una potencia de 10: se multiplican ambos lados de la ecuación por la potencia de 10 que corresponda a la cantidad de dígitos del período para desplazar el punto decimal.

Si el período tiene un solo dígito (como en el caso del ejemplo), se multiplica por 10: $10x = 10(0.\overline{3}) = 3.\overline{3}$.

Paso 3. Restar la ecuación original de la ecuación multiplicada: ahora se resta la ecuación original de la ecuación recién obtenida. Esto eliminará la parte decimal periódica. 

En el caso del ejemplo se resta: $10x-x = 3.\overline{3} – 0.\overline{3} \Longrightarrow 9x = 3$.

Paso 4. Resolver para x: finalmente se resuelve la ecuación para x.

En el caso del ejemplo, dividiendo ambos lados entre 9:

$$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}​$$.
Por lo tanto, $0.\overline{3}$ es igual a $\frac{1}{3}​$.

Ejemplo: con un número decimal periódico más largo

Sea un número decimal $x= 0.\overline{142857}$.

Se identifica el período: el grupo de dígitos que se repite, o período de

$x= 0.\overline{142857}$ es 142 857.

Se multiplica por una potencia de 10: como el período tiene seis dígitos, se multiplica ambos lados de la ecuación por $10^6 = 1000000$:

$$1000000x= 1000000(0.\overline{142857}) = 142857.\overline{142857}$$.

Restar la ecuación original: se resta la ecuación original:

$$1000000x-x = 142857.\overline{142857} – 0.\overline{142857}$$.

Esto da como resultado: $999999x= 142857$.

Resolver para x: se resuelve para x dividiendo ambos lados entre 999 999:

$$x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$$​.

Así, $0.\overline{142857}$ es igual a $\frac{1}{7}$​.

2. Porcentajes

a. Definición de porcentajes

El porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100.

$$\text{Porcentaje} = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100$$

b. Conversión de fracciones y decimales a porcentajes

• Fracción a porcentaje: multiplicar la fracción por 100.

Ejemplo:

$$\frac{1}{4} \times 100 = 25 %$$

• Decimal a porcentaje: multiplicar el número decimal por 100.

Ejemplo:

$$0.75 \times 100 = 75 %$$

c. Conversión de porcentajes a decimales o fracciones

• Porcentaje a decimal: dividir entre 100.

Ejemplo:

$$25\% = \frac{25}{100} = 0.25$$

• Porcentaje a fracción: escribir el porcentaje como fracción y simplificar.

Ejemplo:

$$75 \% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$$

d. Operaciones con porcentajes

Porcentaje de una cantidad: multiplicar la cantidad por el porcentaje expresado como decimal.

Ejemplo:

El 20 % de 50 es: 50 × 0.20 = 10

3. Proporciones y razones

a. Cálculo de proporciones

Una proporción es una igualdad entre dos razones: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Para resolver proporciones, se puede usar el producto cruzado: a × d = b × c.

Ejemplo:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{x} \Rightarrow 2 \times x = 3 × 4 \Longrightarrow x = 6$$

b. Proporciones directas e inversas

• Proporción directa: si una cantidad aumenta, la otra también aumenta necesariamente, por ejemplo y = k × x.

• Proporción inversa: si una cantidad aumenta, la otra disminuye, por ejemplo $y = \frac{k}{x}$.

4. Medidas de tendencia central

a. Media (promedio)

La media se obtiene sumando todos los valores de un conjunto de datos y dividiendo entre la cantidad total de elementos en dicho conjunto.

Fórmula::

$$\text{Media} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}$$

donde $x_i$ son los valores de los datos y n es la cantidad de datos.

Ejemplo:
Supongamos que medimos el número de hojas en 5 plantas: 8, 10, 12, 10, 10.

La media es: $\frac{8 + 10 + 12 + 10 + 10}{5} = \frac{50}{5} = 10$.

b. Mediana

La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto de datos ordenados. Si hay un número impar de datos, es el valor central. Si hay un número par, es el promedio de los dos valores centrales.

Ejemplo: con número impar de datos

Datos: 7, 9, 10, 13, 15

Ordenados: 7, 9, 10, 13, 15

→ La mediana es 10 (el del medio)

Ejemplo: con número par de datos

Datos: 5, 7, 8, 9
→ Mediana = $\frac{7 + 8}{2}$ = $\frac{15}{2}$ = 7.5

c. Moda

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo:

Datos: 3, 4, 4, 5, 6, 4, 7

→ La moda es 4, porque se repite tres veces.

Importante recordar: Puede haber más de una moda (moda bimodal o multimodal), o ninguna si todos los datos aparecen solo una vez.

5. Sucesiones

Una sucesión es una lista ordenada de números, llamados términos, que siguen una regla o patrón. Estos números pueden representar fenómenos naturales que cambian con el tiempo, como el crecimiento de una población, la cantidad de bacterias en una placa, o la altura de una planta en distintas semanas.

a. Definición de sucesión

Una sucesión es una secuencia de números dispuestos en un orden específico. Cada número tiene una posición que se indica con un subíndice:

$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$​, donde $a_1$​ es el primer término, $a_2$​ el segundo, y así sucesivamente hasta $a_n$ para cualquier n en los naturales.

b. Fórmulas generales de sucesiones

Algunas sucesiones siguen reglas simples que nos permiten encontrar cualquier término sin tener que listar todos los anteriores.

• Sucesión aritmética: se forma sumando una cantidad fija llamada razón.

Fórmula general:

$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$, donde d es la diferencia común.

Ejemplo:

$2, 5, 8, 11, \dots$ tiene $a_1 = 2$, $d = 3$, entonces $a_5 = 2 + (5 – 1)\cdot3 = 14$

• Sucesión geométrica: se forma multiplicando por una cantidad fija, es decir, la razón geométrica.

Fórmula general:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, donde r es la razón multiplicativa.

Ejemplo:

$3, 6, 12, 24, \dots$ tiene $a_1 = 3$, $r = 2$, entonces $a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 24$

c. Algunas sucesiones conocidas

• Sucesión de Fibonacci: cada término es la suma de los dos anteriores

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 \dots$

Esta sucesión aparece en la naturaleza: por ejemplo en la distribución de hojas, en el crecimiento de conchas, bifurcación de ramas, etcétera.

• Sucesión de cuadrados: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ representa el área de cuadrados de lado $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.

6. Potencias y exponentes

a. Definición de potencia

Una potencia es una forma abreviada de representar una multiplicación repetida de un mismo número:

$a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a \quad \text{(n veces)}$, donde a es la base, n es el exponente o índice.

Ejemplo:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Importante: signos y paréntesis
Hay una diferencia fundamental entre:

$(-2)^5 = -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 = -32$ y $-(2^5) = -32$

Regla clave:
Si el signo negativo está dentro de paréntesis, la base es negativa. De lo contrario, solo el número es base y el signo queda afuera.

b. Propiedades de las potencias

• Producto con la misma base:  $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

• Cociente con la misma base: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

• Potencia de una potencia: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

• Potencia de un producto: $$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$

• Potencia de un cociente: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

c. Exponentes especiales

• Exponente cero:

$a^0 = 1$ para $a \neq 0$

• Exponente uno: $$a^1 = a$$

• Exponente negativo: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Ejemplo: $$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$$​

d. Potencias con fracciones

• Si la base es una fracción: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

• Y si el exponente es negativo: $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

Ejemplo:

$$\left( \frac{3}{5} \right) ^{-2}= \left( \frac{5}{3} \right) ^2 = \frac{25}{9}$$

e. Exponentes fraccionarios

Un exponente fraccionario representa una raíz: 

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$​

Ejemplos:

• $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

• $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$

También se puede hacer en dos pasos: 

$$27^{\frac{2}{3}} = \left(27^{1/3}\right)^2 = (3)^2 = 9$$

7. Radicales y racionalización

a. Definición de raíz

Una raíz es la operación inversa de una potencia. La raíz cuadrada de un número a es aquel número que al elevarlo al cuadrado da a:

$\sqrt{a} = b \Longleftrightarrow b^2 = a$

Para raíces cúbicas: $\sqrt[3]{a} = b \Longrightarrow b^3 = a$

b. Propiedades de las raíces

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

• $\sqrt{a^2} = |a|$

• $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

Estas propiedades son válidas sólo si los números involucrados están definidos en el conjunto de los números reales (por ejemplo, no se puede extraer raíz par de un número negativo en los reales).

c. Simplificación de raíces cuadradas

Para simplificar una raíz cuadrada, se busca el mayor cuadrado perfecto que divida al radicando.

Ejemplo:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$​

Otros ejemplos:

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

• $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$

d. Racionalización

Racionalizar es el proceso de eliminar raíces del denominador de una fracción.

• Caso básico

$$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$$

Ejemplo:

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6} – 3}$ se racionaliza multiplicando por el conjugado: $\frac{\sqrt{6} + 3}{\sqrt{6} + 3}$

• Binomios con radicales

Cuando el denominador es un binomio con una raíz, se multiplica por su conjugado:

$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{\sqrt{a} – \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{a – b}$$

Ejemplo:

$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2}$$

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5. Sistemas Dinámicos Discretos y Modelos de Crecimiento

5.1. Ejemplos elementales de sistemas dinámicos: números de Fibonacci, modelo de Malthus discreto

Los números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son una secuencia de números enteros que aparecen en muchos fenómenos de la naturaleza. Esta secuencia se define de una manera muy simple: cada número, a partir del tercero, es la suma de los dos números anteriores. Es decir, la secuencia comienza así:

$F_0 = 0,$

$F_1 = 1,$

$F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1,$

$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2,$

$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3, \quad \dots$

Formalmente, la sucesión de Fibonacci se expresa como:

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, donde $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$ son condiciones iniciales.

Este patrón se repite para todos los números de la secuencia. Los números de Fibonacci aparecen, por ejemplo, en la distribución de las hojas de las plantas, las espirales de los caracoles, la proporción de las ramas de los árboles y muchos otros fenómenos naturales. Esto nos lleva a preguntarnos no sólo cómo se genera esta secuencia, sino por qué estructuras naturales parecen seguirla. Las matemáticas modelan patrones de crecimiento y organización que optimizan recursos en organismos vivos.

La sucesión de Fibonacci

En el año 1202, Leonardo de Pisa (1175–1250), mejor conocido como Fibonacci, publicó su libro Liber Abaci en el cual planteó el siguiente problema: Si se pone una pareja de conejos en un lugar rodeado por un muro, ¿cuántas parejas de conejos pueden salir de esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que, a partir del segundo mes, se vuelve fértil?

Para resolver el problema, Fibonacci supuso que cada pareja ―a partir del segundo mes― daba a luz a una nueva pareja de conejos por mes, y que cada pareja está conformada por un macho y una hembra. Para modelar esto matemáticamente, se define como

$y_n= \sum_{k=1}^\infty y_{k,n}$,

donde $y_{k,n}$ representa el número de parejas de conejos de edad k (meses) en el mes n; $y_n$ el número total de parejas en el mes n. También se asume que ningún conejo muere. De manera que cada conejo de edad k en el mes n, tendrá edad k + 1 en el mes n + 1. Por lo que la población de cada mes sería

$y_{k,n} = y_{k+1,n+1}$ para $y \geq 0, k \geq 0$.

Además, el número de parejas de conejos de un mes de edad en n + 1 es igual al número de parejas de dos meses o más en el mes anterior, es decir

$y_{1,n+2}=y_{2,n+1}+y_{3,n+1}+…$

Ahora, se supone que la pareja del inicio es adulta y no debe esperar dos meses para poder engendrar, por lo que las condiciones iniciales son 

$y_{1,0}=0$, $y_{2,0}=1$, $y_{k,0}=0$ para k > 2.

Por lo que para $n\geq 0$ se tiene que 

$y_{n+2}=\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+2}=y_{1,n+2}+\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+1}=\sum_{b=2}^\infty y_{b,n+1}+\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+1}$,

entonces $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$.

Entonces podemos deducir que 

$y_{1,1} =0, y_{2,1}=0, y_{3,1}=1, y_{k,1}=0$ para $k\geq 3$,

luego $y_1=1$. Entonces las condiciones iniciales son $y_0=y_1=1$.

Para entender cómo crece esta población con el tiempo, tenemos que resolver la ecuación obtenida $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$, que nos ayuda a predecir cómo se comportará la población de conejos en el futuro. Para esto, se necesita encontrar una fórmula general que permita predecir cómo será el número de parejas de conejos en cualquier mes n.

Lo que sigue es encontrar la solución general de esta ecuación, y para eso utilizamos algo llamado la ecuación característica. La idea es proponer una solución de la forma:

$y_n = C \lambda^n$,

donde C es una constante (que encontraremos más tarde), y $\lambda$ es lo que llamamos la raíz de la ecuación. La razón por la que proponemos esta forma es que la solución $y_n$​ crece como crecen las poblaciones, de forma exponencial.

Ahora, sustituimos esta forma en la ecuación de diferencias para encontrar $\lambda$. Esto es lo que se hace en la ecuación característica.

Sustituyendo $y_n = C \lambda^n$ en la ecuación $y_{n+2} = y_n + y_{n+1}$​, obtenemos:

1. $y_{n+2} = C \lambda^{n+2}$
2. $y_n = C \lambda^n$
3. $y_{n+1} = C \lambda^{n+1}$
   

Ahora, sustituyendo estas tres expresiones en $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$:

$C \lambda^{n+2} = C \lambda^n + C \lambda^{n+1}$

Como C es una constante no nula, podemos cancelarla en ambos lados de la ecuación, lo que nos deja con:

$\lambda^{n+2} = \lambda^n + \lambda^{n+1}$

Ahora, podemos dividir toda la ecuación entre $\lambda^n$ ―asumiendo que $\lambda \neq 0$―, luego:

$\lambda^2 = \lambda + 1$

Este es el resultado de la ecuación característica, y así es como queda simplificada la ecuación $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$ en una ecuación cuadrática:

$\lambda^2 – \lambda – 1 = 0$

Ahora, utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas tenemos que:

$\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

En este caso, los coeficientes de la ecuación son:

• a = 1 (el coeficiente de $\lambda^2$),
• b = –1 (el coeficiente de $\lambda$),
• c = –1 (el término independiente).
  

Sustituyendo en la fórmula general, tenemos:

$\lambda = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}$

Simplificando:

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Esto nos da dos soluciones para $\lambda$:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y $\lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$​​

Estas dos soluciones son los valores de $\lambda$ que describen el crecimiento de la población de conejos. En este caso, la solución positiva $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$​​ es la que nos interesa, porque nos da la tasa de crecimiento de la población, que es un número mayor que 1. Este número es conocido como la proporción áurea y tiene muchas propiedades interesantes en biología y naturaleza.

La solución negativa $\lambda_2$​ no es útil en este caso, ya que corresponde a un crecimiento negativo, lo cual no ocurre en este modelo. Como menciona Britton “el crecimiento o decrecimiento geométrico ocurre en casi todos los modelos de ecuaciones diferenciales lineales, incluso cuando se incluye la estructura poblacional. Esto no es necesariamente un problema si tratamos un período finito, como en la pregunta que planteó Fibonacci” (Britton, p. 29).

Entonces, la solución general para la población de conejos en el mes n es:

$F_n = A_1 \lambda_1^n + A_2 \lambda_2^n$​,

donde $A_1$​ y $A_2$​ son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. 

Usando las condiciones iniciales de la sucesión de Fibonacci para determinar las constantes $A_1$​ y $A_2$:

Sabemos que $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$, entonces sustituimos estos valores en la ecuación general para obtener un sistema de ecuaciones.

Para n = 0:

$F_0 = A_1 \lambda_1^0 + A_2 \lambda_2^0 = A_1 + A_2 = 0 \Rightarrow A_1 = -A_2$​

Para n = 1:

$F_1 = A_1 \lambda_1^1 + A_2 \lambda_2^1 = A_1 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 = 1$

Sustituyendo $A_1 = -A_2$ tenemos que $-A_2 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 = 1 \Rightarrow A_2 (\lambda_2 – \lambda_1) = 1$

Tenemos que las raíces de la ecuación característica para la sucesión de Fibonacci son:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$​​.

Ahora, para calcular la diferencia $\lambda_2 – \lambda_1$​, simplemente restamos estas dos expresiones:

$\lambda_2 – \lambda_1 = \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right) – \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)$

Para simplificar, primero agrupamos los términos de forma conveniente:

$\lambda_2 – \lambda_1 = \frac{1 – \sqrt{5} – 1 – \sqrt{5}}{2}$

$\lambda_2 – \lambda_1 = \frac{-2\sqrt{5}}{2}$

$\lambda_2 – \lambda_1 = -\sqrt{5}$

Luego, como $\lambda_2 – \lambda_1 = -\sqrt{5}$​, tenemos:

$A_2 (-\sqrt{5}) = 1 \quad \Rightarrow \quad A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$.

Por lo tanto, $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$​.

Ahora que tenemos las constantes $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$​, podemos escribir la solución general de la sucesión de Fibonacci como:

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} (\lambda_1^n – \lambda_2^n)$.

Dado que $\lambda_2$​ tiende a cero cuando n crece, podemos aproximar

$F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$​ para valores grandes de n.

Ejemplo
Calcula de los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci:

Los primeros 10 términos son:
$F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_3 = 2, \quad F_4 = 3, \quad F_5 = 5, \quad F_6 = 8, \quad F_7 = 13, \quad F_8 = 21, \quad F_9 = 34.$

Ejemplo
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 6 meses, usando la ecuación $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, luego comprueba el resultado usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$.

El número de parejas de conejos después de seis meses es $F_6 = F_{6-1} + F_{6-2} \Rightarrow  F_6 = F_{5} + F_{4}$ entonces $F_6 = 8$.

Ahora, usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, donde $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ y n es el mes para el cual queremos calcular el número de conejos, tenemos que 

$F_6 \approx \frac{(1.618)^6}{\sqrt{5}} \approx 8.02$. 

Ejercicio
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 38 meses.

Respuesta modelo
Usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_38 \approx \frac{(1.618)^{38}}{\sqrt{5}} \approx 39056979.55$.

En 38 meses habrá 39 056 979 conejos.

Ejercicio
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 83 meses.

Respuesta modelo
Usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_83 \approx \frac{(1.618)^{83}}{\sqrt{5}} \approx \frac{2.2142 \times 10^{17}}{\sqrt{5}} \approx 9.9022 \times 10^{21}$.
En 83 meses habrá aproximadamente $9.9022 \times 10^{21}$ conejos.

Demostración matricial de la sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se define de forma recursiva como:

$F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, para $n \geq 2$

Lo que buscamos es expresar esta relación en términos de multiplicación de matrices, para poder usar álgebra lineal en lugar de recurrencia.

Observamos que se puede escribir la relación de recurrencia como
$\begin{bmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$

Denotando:
• $\vec{x}_n = \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$
• $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
entonces la sucesión se convierte en $\vec{x}_{n+1} = A \vec{x}_n$.

Esto nos lleva a la expresión iterativa

$\vec{x}_1 = A \vec{x}_0, \quad \vec{x}_2 = A \vec{x}_1 = A^2 \vec{x}_0, \quad \vec{x}_3 = A \vec{x}_2 = A^3 \vec{x}_0, \quad \ldots \Rightarrow \vec{x}_n = A^n \vec{x}_0$

Para hallar $\vec{x}_n$​ sin repetir multiplicaciones, queremos diagonalizar la matriz A.

$A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^n = P D^n P^{-1}$,

donde D es diagonal, entonces $D^n$ se calcula 

$D^n = \begin{bmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{bmatrix}$

Siguiendo para encontrar los valores propios de A:

dada $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

El polinomio característico se obtiene resolviendo:

$\det(A – \lambda I) = 0$
$A – \lambda I = \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1 – \lambda \end{bmatrix}, \quad \det(A – \lambda I) = (-\lambda)(1 – \lambda) – 1 = \lambda^2 – \lambda – 1$

Resolvemos

$\lambda^2 – \lambda – 1 = 0 \Rightarrow \lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Estos son
• $\lambda_1 = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
• $\lambda_2 = \bar{\phi} = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$

Y cumplen que
$\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \phi \cdot \bar{\phi} = -1, \quad \bar{\phi} = \frac{-1}{\phi}$

Ahora, queremos encontrar vectores no nulos $\vec{v}$ que cumplan
$A \vec{v} = \lambda \vec{v} \Rightarrow (A – \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$

▪ Para $\lambda_1 = \phi$:

$A – \phi I = \begin{bmatrix} -\phi & 1 \\ 1 & 1 – \phi \end{bmatrix} \Rightarrow -\phi x + y = 0 \Rightarrow y = \phi x$

Podemos elegir $x = 1 \Rightarrow y = \phi$, así que
$\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ \phi \end{bmatrix}$

▪ Para $\lambda_2 = \bar{\phi} = -\frac{1}{\phi}$​:

$A – \bar{\phi} I = \begin{bmatrix} -\bar{\phi} & 1 \\ 1 & 1 – \bar{\phi} \end{bmatrix} \Rightarrow -\bar{\phi} x + y = 0 \Rightarrow y = \bar{\phi} x$

Elegimos $x = 1 \Rightarrow y = \bar{\phi}$​, entonces
$\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ \bar{\phi} \end{bmatrix}$

Luego, para diagonalizar la matriz, construimos
$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \phi & \bar{\phi} \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0 & \bar{\phi} \end{bmatrix}$

Entonces
$A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^n = P D^n P^{-1}$

Cualquier vector $\vec{w} \in \mathbb{R}^2$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores propios:
$\vec{w} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2$

Aplicando A iteradamente:
$A \vec{w} = c_1 A \vec{v}_1 + c_2 A \vec{v}_2 = c_1 \lambda_1 \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2 \vec{v}_2$

Por lo que en general tenemos que
$A^n \vec{w} = c_1 \lambda_1^n \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^n \vec{v}_2$

Usando el vector inicial tenemos que
$\vec{x}_0 = \begin{bmatrix} F_1 \\ F_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Queremos
$\vec{x}_{n-1} = A^{n-1} \vec{x}_0 \Rightarrow F_n =$ primera coordenada de $A^{n-1} \vec{x}_0$

Usamos la diagonalización
$\vec{x}_{n-1} = P D^{n-1} P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Obtenemos que
$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n – \bar{\phi}^n \right)$

Concretamente

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n – \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right)^n \right)$

Esta es la fórmula de Binet para Fibonacci.

Actividad
Mira el video Fibonacci del canal Derivando en https://www.youtube.com/watch?v=yDyMSliKsxI&t=54s&ab_channel=Derivando.
Luego responde:
a. ¿Qué relación hay entre los números naturales y la sucesión de Fibonacci según el video?
b. Expresa el número 68 como la suma de dos números de la sucesión de Fibonacci.
c. ¿Qué ejemplo biológico relacionado con insectos presenta el video y cómo se vincula con la sucesión de Fibonacci? 

Actividad
Mira los videos The Golden Ratio de Numberphile en https://www.youtube.com/watch?v=sj8Sg8qnjOg&ab_channel=Numberphile y The fabulous Fibonacci flower formula de Mathologer en https://www.youtube.com/watch?v=_GkxCIW46to&ab_channel=Mathologer.
Luego responde:
a. ¿Cómo se define el número áureo matemáticamente?
b. Menciona ejemplos de la naturaleza u otros contextos en los que aparece esta proporción.
c. ¿Qué significa que una planta “siga” la sucesión de Fibonacci?
d. ¿Cuál es el vínculo entre la proporción áurea y la eficiencia en el espacio?

Respuestas modelo
Actividad
a. El video muestra que todo número natural positivo se puede escribir como suma de números de Fibonacci sin repetir ninguno, es decir, cualquier número puede expresarse de manera única como suma de términos no consecutivos de la sucesión.
b. 55 + 13
c. El video explica el árbol genealógico de las abejas. En esta especie, las abejas macho (zánganos) nacen de un solo progenitor (una hembra), mientras que las hembras nacen de dos (macho y hembra). Esto genera una estructura genealógica donde el número de ancestros en cada generación sigue la sucesión de Fibonacci: 1 padre, 1 abuelo y 2 bisabuelos, luego 3 tatarabuelos, y así sucesivamente.

Actividad
a. El número áureo, denotado como $\phi$, se define como el número irracional $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$, que cumple la propiedad de que $\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$ cuando a > b > 0. Es decir, la razón entre el todo y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la menor.
b. Aparece en la disposición de hojas (filotaxia), en la estructura de caracoles, piñas, girasoles y también en proporciones corporales. Se asocia también con obras de arte, arquitectura y diseño.
c. Que una planta “siga” la sucesión de Fibonacci significa que el número de espirales visibles en su estructura (como en las semillas de un girasol o las hojas de una piña) corresponde a términos consecutivos de la sucesión (por ejemplo, 21 y 34).
d. La proporción áurea logra un empaquetamiento óptimo en el que se evitan solapamientos, es decir, maximiza el uso del espacio de manera eficiente y equilibrada, lo que es favorable para el crecimiento natural.

Modelo de Malthus discreto

El modelo de Malthus describe cómo crece una población en condiciones ideales, es decir, cuando no hay limitaciones en los recursos disponibles (como alimentos, espacio o energía). Este modelo supone que la población crece de manera exponencial, lo que significa que el número de individuos en cada periodo de tiempo aumenta en función del tamaño de la población en el periodo anterior. El modelo se expresa como:

$P_{n+1} = r P_n$

donde $P_n$ es el tamaño de la población en el tiempo n (por ejemplo, el número de individuos al mes n), y r es la tasa de crecimiento de la población, que nos indica cuántas veces crece la población en cada periodo. Si r > 1, la población está creciendo; si r < 1, la población está decreciendo.

En este modelo, no se tienen en cuenta las limitaciones de recursos, lo que significa que la población puede crecer indefinidamente sin restricciones. Este tipo de crecimiento es característico de poblaciones de microorganismos en cultivo, como las bacterias, cuando se encuentran en un ambiente con recursos abundantes y sin competencia.

Limitaciones del modelo

Aunque el modelo de Malthus proporciona una descripción útil del crecimiento rápido de poblaciones en condiciones ideales, no es realista para describir el comportamiento de poblaciones en ecosistemas naturales. En la realidad, los recursos son finitos. Esto significa que a medida que la población crece, los recursos disponibles (como comida y espacio) se vuelven limitados, lo que provoca que el crecimiento de la población disminuya.

En estos casos, el modelo de Malthus deja de ser aplicable, ya que no toma en cuenta los efectos de la competencia por recursos. Por esta razón, en la naturaleza, el crecimiento de las poblaciones se describe mejor mediante modelos más complejos, como el modelo logístico, que tiene en cuenta las restricciones de los recursos y permite predecir un crecimiento poblacional que eventualmente se estabiliza en un valor determinado.

Ejemplo
Supón que una población inicial de bacterias es de 50 individuos, y la tasa de crecimiento es de 1.2 por mes. ¿Cuántos individuos habrá en la población al final de 6 meses?

Tenemos que el modelo original de Malthus es: $P_{n+1} = r \cdot P_n$​
Aquí, $P_n$​ es la población en el mes n, mientras que r es la tasa de crecimiento, y $P_{n+1}$​ es la población en el siguiente mes.
Entonces, en el mes 1 tenemos que $P_1 = r \cdot P_0$​.
Luego, en el mes 2, sustituyendo $P_1$ obtenemos​ $P_2 = r \cdot P_1 = r \cdot (r \cdot P_0) = r^2 \cdot P_0$. 
En el mes 3 la población será $P_3 = r \cdot P_2 = r \cdot (r^2 \cdot P_0) = r^3 \cdot P_0$.
Y así sucesivamente. De manera que para el mes n la población se calcula como

$P_n = r^n \cdot P_0$

Por lo tanto, la población después de 6 meses será:
$P_6 = 50 \cdot (1.2)^6 \approx 50 \cdot 2.98598 \approx 149.3$ individuos.

Ejercicio
Si una población de 100 individuos tiene una tasa de crecimiento $r = 1.5$, ¿cuántos individuos habrá después de 10, 20 y 30 meses? Compara cómo varía el crecimiento de la población con diferentes tasas $r = 1.2, \, r = 1.5, \, r = 2.0$.

Respuesta modelo

Para r = 1.5:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (1.5)^{10} \approx 100 \cdot 57.665 \approx 5766.5$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (1.5)^{20} \approx 100 \cdot 3325.2567 \approx 332525.67$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (1.5)^{30} \approx 100 \cdot 191751.0592 \approx 19175105.92$

Para r = 1.2:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (1.2)^{10} \approx 100 \cdot 6.1917 \approx 619.17$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (1.2)^{20} \approx 100 \cdot 38.3375 \approx 3833.75$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (1.2)^{30} \approx 100 \cdot 237.3763 \approx 23737.63$

Para r = 2.0:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (2.0)^{10} = 100 \cdot 1024 = 102400$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (2.0)^{20} = 100 \cdot 1048576 = 104857600$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (2.0)^{30} = 100 \cdot 1073741824 = 107374182400$

Comparación
El modelo de Malthus muestra un crecimiento exponencial, entre más grande sea la tasa de crecimiento, mayor es también el aumento de la población en el tiempo. Se puede observar cómo las tasas r = 1.5 y r = 2.0 muestran un crecimiento mucho más rápido que r = 1.2.

Ejercicio
Supón que una población de bacterias comienza con 500 individuos, pero su tasa de crecimiento cambia a lo largo del tiempo. Durante los primeros 3 meses, la tasa de crecimiento es 1.1, y durante los siguientes 3 meses, la tasa es 1.3. ¿Cuál será el tamaño de la población después de 6 meses?

Respuesta modelo
Hemos de dividir el cálculo en dos partes:

1. Primeros 3 meses con tasa de crecimiento 1.1:
   $P_3 = 500 \cdot (1.1)^3 \approx 500 \cdot 1.331 = 665.5$

2. Próximos 3 meses con tasa de crecimiento 1.3:
   $P_6 = 665.5 \cdot (1.3)^3 \approx 665.5 \cdot 2.197 = 1462.1$

Así, después de 6 meses, la población será aproximadamente 1462 individuos.

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1. La modelación matemática en las ciencias

La modelación matemática es la herramienta que sirve para representar sistemas naturales y entender cómo funcionan, además de predecir y analizar comportamientos y encontrar soluciones de problemas sobre sistemas complejos. 

1.1. ¿Qué es y para qué sirve un modelo matemático?

¿Qué es un modelo matemático?

Un modelo matemático es una representación abstracta de un sistema real. Utiliza variables, ecuaciones matemáticas, funciones o algoritmos para describir cómo interactúan estos elementos. Como se mencionó anteriormente, los modelos son herramientas para simplificar, entender, estudiar y predecir comportamientos de sistemas complejos, como los ecosistemas, el crecimiento de poblaciones, la difusión de enfermedades, entre otros. Por ejemplo, en biología, un modelo podría representar la dinámica de una población, utilizando factores como la tasa de natalidad, mortalidad y recursos disponibles.

¿Para qué sirve un modelo matemático?

1. Predecir: los modelos matemáticos pueden predecir futuros comportamientos bajo condiciones específicas. Según Allman y Rhodes, “los modelos permiten entender las consecuencias que una ecuación puede tener a través del análisis matemático, para así poder comparar la formulación con observaciones biológicas” (Allman, p. 1). Por ejemplo, si se conoce la cantidad de individuos que tiene una población y cuántos nacen y mueren cada año, se puede predecir la población que habrá en algún momento del futuro. Esto es útil para la conservación de especies.
2. Simular: se pueden crear diferentes escenarios para explorar los resultados de diferentes intervenciones, por lo que se puede practicar la «prueba y error» las veces necesarias sin consecuencias dañinas para un ecosistema. Por ejemplo, si se deseara saber qué pasaría si se introdujera un nuevo depredador en un ecosistema, un modelo puede ayudar a ver cómo esto afectaría a la población sin tener que hacer un experimento real que podría ser perjudicial.
3. Optimizar: en algunos casos, los modelos se utilizan para encontrar la mejor estrategia o solución a un problema, como en el control de plagas, sin embargo, la optimización busca no solo eficiencia, sino también sostenibilidad y equilibrio en la gestión de recursos naturales, Britton señala que “las políticas de gestión de recursos pueden derivarse de modelos matemáticos” (Britton, p. 45). Por ejemplo, si se trabaja en la gestión de un área natural, es posible usar un modelo para determinar cómo distribuir los recursos de manera eficiente, asegurando tanto la salud del ecosistema como su sostenibilidad a largo plazo.
4. Comprender: los modelos también son herramientas educativas, ayudan a visualizar y entender relaciones complejas. Según Kline, “las matemáticas nos permiten observar patrones y relaciones” (Kline, p. 5), al representar gráficamente los datos y las relaciones, se pueden observar patrones que no son obvios sólo al mirar los números.

1.2. De la biología al modelo y de regreso: Supuestos, limitaciones y predicciones verificables

Para pasar de un fenómeno biológico real a un modelo matemático se deben hacer suposiciones que son fundamentales para construir dicho modelo, pero es importante considerar que también imponen limitaciones sobre qué tan exacto o útil será en ciertos contextos. Los sistemas biológicos pueden involucrar una “gran cantidad de interacciones y predisposiciones que compiten entre sí, lo que puede dificultar la comprensión completa de un fenómeno en su totalidad” (Allman, p. 1). Por esta razón, los modelos matemáticos deben simplificar estos sistemas, enfocándose en los factores más relevantes, pero esta simplificación puede llevar a la omisión de detalles importantes y afectar la precisión de las predicciones en algunos escenarios.

Observación. Todo comienza con la observación, es importante prestar atención a todas las variables que pueden intervenir o afectar el desarrollo de un evento.

Supuestos. Al momento de realizar suposiciones se deben considerar aspectos como
• Homogeneidad: suposición de que el sistema es uniforme en ciertas características, por ejemplo, asumir que todos los individuos de una población tienen la misma tasa de crecimiento.
• Condiciones iniciales conocidas: los modelos suelen necesitar condiciones iniciales específicas para poder ser resueltos, por ejemplo, la cantidad inicial de individuos en una población.
• Aislamiento de factores externos: a veces se puede asumir que el sistema es cerrado, es decir, que no influyen factores externos, para facilitar el análisis.

Limitaciones. Los modelos son abstracciones de la realidad que nunca podrán representar todos los factores posibles que influyen en un sistema biológico, por lo que es importante reconocer que todos los modelos tienen limitaciones.
Según Allman, “aunque muchos de los modelos que examinamos pueden parecer al principio simplificaciones burdas, su misma simplicidad es una fortaleza. Los modelos simples muestran claramente las implicaciones de nuestros supuestos más básicos» (Allman, p . 1). En otras palabras, aunque los modelos matemáticos omiten muchos detalles, esta simplificación les permite centrarse en los aspectos fundamentales del fenómeno. Por ejemplo, en un modelo de crecimiento poblacional tal  vez no se consideren detalles como la competencia entre especies o las interacciones con otras especies.
Otra limitación puede ser la escalabilidad; un modelo que funciona a pequeña escala (como en un laboratorio) puede no ser válido cuando se aplica a una escala mayor (por ejemplo, en un ecosistema natural).

Predicciones verificables. Los modelos matemáticos tienen que ser capaces de hacer predicciones que puedan ser verificadas empíricamente mediante experimentos u observaciones. Es fundamental que un modelo no solo explique o demuestre lo que ya se sabe, sino que también permita visualizar comportamientos futuros. Si las predicciones del modelo se verifican mediante datos reales, esto aumenta la confiabilidad del modelo. 

Ejemplo
Imagina que estás modelando el crecimiento de una población de bacterias. Supón que el modelo establece que la población crece de acuerdo con la ecuación de Malthus. Si realizas experimentos y observas que la población crece más lentamente debido a la competencia por recursos, tu modelo necesitará ajustarse para reflejar este nuevo factor (por ejemplo, usando un modelo logístico que limite el crecimiento cuando la población se acerca a la capacidad de carga).

Pasos para crear un modelo.
Supongamos que estamos interesados en modelar el crecimiento de una población de bacterias en un cultivo cerrado -es decir, sin interferencia externa- en un laboratorio, donde la bacteria se reproduce a través de divisiones celulares. Empezaremos desde la observación y avanzaremos paso a paso.

1. Observación. En este caso, se pueden hacer las siguientes observaciones:

• Se sabe que las bacterias en un cultivo crecen a una tasa proporcional a su población actual.
• En un principio, se tiene un número pequeño de bacterias (supongamos 100), y después de cierto tiempo, el número de bacterias aumenta.
• No hay depredadores, no hay competencia por recursos en las primeras etapas, y el entorno es ideal para su crecimiento.

2. Identificación de Variables. En cualquier modelo, primero es necesario identificar las variables involucradas.

• Variable dependiente (a modelar): N(t) es el número de bacterias en el tiempo t.
• Variable independiente: t es el tiempo, generalmente en horas, días, o cualquier unidad pertinente.
• Parámetro constante: r es la tasa de crecimiento de la población (la tasa de natalidad). Esto indica cuántas bacterias nuevas nacen por cada bacteria existente en un tiempo determinado.

3. Supuestos. Para simplificar el problema y poder construir un modelo matemático, necesitamos hacer algunos supuestos que describen cómo el sistema se comporta:

• Supuesto 1: El entorno es ideal para el crecimiento bacteriano; no hay limitación de recursos.
• Supuesto 2: La tasa de crecimiento r es constante durante todo el proceso.
• Supuesto 3: Las bacterias se dividen de manera exponencial, es decir, cada bacteria produce exactamente dos hijas en un tiempo fijo.
• Supuesto 4: El número de bacterias en el tiempo t = 0 es conocido, es decir, tenemos un número inicial $N_0$​ de bacterias.

4. Limitaciones. Ahora, debemos tener en cuenta algunas limitaciones que podrían afectar la validez de nuestro modelo:

• Limitación 1: Este modelo no tiene en cuenta mutaciones o factores estocásticos (azar), como la posibilidad de que algunas bacterias no se reproduzcan debido a variabilidad genética o factores aleatorios.
• Limitación 2: El modelo no incluye interacciones con otras especies, como bacterias depredadoras o interacciones simbióticas que podrían alterar el crecimiento.

5. Formulación del modelo. El siguiente paso es escribir la ecuación matemática que describe el fenómeno. Con base en nuestras observaciones, sabemos que el crecimiento bacteriano sigue una ley de crecimiento exponencial. En el capítulo 1, Britton discute el crecimiento de poblaciones y la ecuación diferencial $\frac{dN}{dt} = r N(t)$ –que es ampliamente utilizada para modelar este tipo de fenómenos–, donde:

• $\frac{dN}{dt}$​ es la tasa de cambio de la población de bacterias con respecto al tiempo (es decir, cuántas bacterias están naciendo por unidad de tiempo),
• r es la tasa de crecimiento de la población,
• N(t) es el número de bacterias en el tiempo t.

Esta es una ecuación diferencial que describe cómo cambia la población de bacterias con el tiempo. Para obtener la expresión de N(t), resolvemos esta ecuación diferencial. La solución es:

$N(t) = N_0 e^{rt}$

donde

• $N_0$ es el número inicial de bacterias en t = 0,
• e es la base del logaritmo natural.

Este modelo nos dice que el número de bacterias crece exponencialmente en función del tiempo, con una tasa de crecimiento r.

6. Verificación del Modelo. Finalmente, se verifica el modelo utilizando datos reales o se realiza el experimento para comprobar si las predicciones del modelo son correctas.

Un caso práctico de verificación
Supongamos que, en un experimento real, comenzamos con una población de 100 bacterias (es decir, $N_0 = 100$) y que después de 2 horas ya hay 400 bacterias.
Para comprobar si el modelo puede predecir este comportamiento usamos la fórmula del modelo: 

$N(t) = N_0 e^{rt}$

Sabemos que $N_0 = 100$, t = 2 horas, y N(t) = 400. Sustituimos en la fórmula

$400 = 100 e^{r \cdot 2}$

Despejamos r

$4 = e^{2r}$

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados

$\ln(4) = 2r$

$r = \frac{\ln(4)}{2} \approx 0.6931$

Ahora, sabemos que la tasa de crecimiento r es aproximadamente 0.6931 por hora. Podemos usar este valor para hacer más predicciones y compararlas con los datos reales.

Predicción adicional
Supongamos que queremos saber cuántas bacterias habrá después de 5 horas. Usamos el modelo con r = 0.6931:

$N(5) = 100 e^{0.6931 \cdot 5} = 100 e^{3.4655} \approx 100 \cdot 32 = 3200$

Esto nos da una predicción de que habrá 3200 bacterias después de 5 horas.

Si el número real de bacterias se acerca a este valor, podemos estar bastante seguros de que nuestro modelo está funcionando bien. Si no es así, será necesario ajustar el modelo, considerar efectos de límite de recursos (como el modelo logístico), o incorporar factores estocásticos.

Resumen del procedimiento:

1. Observación: se identifica el fenómeno a estudiar (crecimiento de bacterias).
2. Identificación de variables: se determina qué variables son importantes (número de bacterias, tiempo, tasa de crecimiento).
3. Supuestos: se realizan suposiciones sobre el entorno ideal, el crecimiento exponencial y las condiciones iniciales.
4. Limitaciones: se considera que el modelo tiene limitaciones como el crecimiento ilimitado y la falta de factores estocásticos.
5. Formulación del modelo: se desarrolla una ecuación diferencial para modelar el crecimiento exponencial de las bacterias.
6. Verificación: se comprueban las predicciones del modelo con datos reales del experimento.

1.3. Tipos de modelos: Deterministas vs. Estocásticos

Modelos deterministas. Son aquellos que producen resultados predecibles, es decir que están completamente definidos y se puede calcular exactamente lo que sucederá. En otras palabras, no hay incertidumbre; dado un conjunto de condiciones iniciales y parámetros, el modelo siempre dará el mismo resultado. Como menciona Britton, en un modelo determinista, “el estado del sistema en el tiempo t + 1 se determina completamente a partir del estado en el tiempo t» (Britton, p. 2). Estos modelos se suelen representar con ecuaciones diferenciales o sistemas algebraicos que describen el comportamiento del sistema en función del tiempo.

Por ejemplo, el modelo de crecimiento exponencial es un modelo determinista, donde la población crece de manera predecible si no hay factores limitantes: $N(t) = N_0 e^{rt}$ donde N(t) es el tamaño de la población en el tiempo t, $N_0$​ es el tamaño inicial de la población, y r es la tasa de crecimiento constante.

Modelos estocásticos. En estos modelos hay incertidumbre, el azar juega un papel importante. Los resultados pueden variar incluso con las mismas condiciones iniciales; el sistema no sigue un camino único, sino que puede tener varios resultados posibles debido a la inclusión de variables aleatorias o probabilísticas. Son útiles cuando se requiere modelar fenómenos como las fluctuaciones en una población debido a factores aleatorios (mutaciones genéticas, migración, dispersión). Un ejemplo claro puede ser la modelación de la propagación de una enfermedad infecciosa en una población, donde la tasa de infección no es constante, sino que depende de la probabilidad de contacto entre individuos. En un modelo estocástico, la distribución de probabilidades es clave.

Referencias bibliográficas

Allman, E. S. & J. A. Rhodes. 2007. Mathematical models in biology: an introduction. Cambridge University Press, Cambridge.
Britton, N. F. 2003. Essential mathematical biology. Springer, Cham.
Kline, M. 1967. Mathematics for the nonmatemathician. Dover, Nueva York.

Evaluación

1. Responde y haz lo que se indica

a. ¿Qué es un modelo matemático?
Escribe una definición simple de qué es un modelo matemático en el contexto de las ciencias. Explica brevemente por qué es útil tener un modelo en lugar de estudiar un fenómeno de forma directa.

b. Menciona al menos tres ventajas de usar modelos matemáticos en biología.

c. Define qué son los supuestos en un modelo matemático.
Da un ejemplo de un supuesto que podrías hacer si estás modelando el crecimiento de una población de bacterias.

d. ¿Por qué es importante conocer las limitaciones de un modelo matemático?
Explica qué podría suceder si un modelo no tiene en cuenta factores importantes (como la competencia entre especies o los recursos limitados en un ecosistema).

e. Explica la diferencia entre un modelo determinista y un modelo estocástico.
Usa un ejemplo sencillo para ilustrar la diferencia. Por ejemplo, si estás modelando el crecimiento de una población de bacterias, ¿cuál sería un modelo determinista y cuál uno estocástico?

f. Imagina que estás modelando el crecimiento de una población de animales en un hábitat. Si se incluye una probabilidad de que cada individuo muera debido a condiciones ambientales impredecibles, ¿cómo se llamaría este tipo de modelo? Justifica tu respuesta.

g. Imagina que tienes una población de 1000 bacterias en un cultivo cerrado. Esta población crece a una tasa constante de 0.2 por hora. Si se mantiene esta tasa de crecimiento, ¿cómo describirías el comportamiento de la población en términos matemáticos?

h. ¿Este es un modelo determinista o estocástico? ¿Por qué?

Respuesta modelo: Este modelo es determinista, ya que asume que la tasa de crecimiento es constante, r = 0.2, y que el crecimiento de la población depende únicamente de este parámetro, sin ningún componente aleatorio.

i. ¿Cuáles serían algunos supuestos de este modelo?
Piensa en qué asumes sobre el comportamiento de las bacterias, el ambiente, o cualquier otro factor relevante.

j. ¿Por qué es importante verificar las predicciones de un modelo matemático con datos reales o experimentales?
Explica cómo se puede hacer para comprobar si un modelo matemático está funcionando correctamente.

k. Si tienes un modelo de crecimiento de una población de plantas en un invernadero, ¿qué tipo de datos recolectarías para comparar con las predicciones del modelo?

Pregunta de Reflexión:

• ¿Qué importancia tiene comprender los supuestos y las limitaciones de un modelo matemático cuando se usan para tomar decisiones en biología (por ejemplo, para la conservación de especies, el manejo de recursos naturales, etc.)?

2. Proporciones, concentraciones y soluciones

Las proporciones nos permiten comparar partes de un todo y entender las relaciones cuantitativas entre diferentes elementos. Las concentraciones son esenciales para comprender cómo interactúan los compuestos en soluciones, lo cual es crucial para procesos biológicos como la difusión de nutrientes, el transporte de gases y la regulación de los ecosistemas.

2.1. Representación de fracciones en forma decimal y porcentual

Las fracciones, decimales y porcentajes son tres formas diferentes de representar una parte de un todo. Estos tres conceptos se utilizan en biología para representar datos relacionados con concentraciones, proporciones de especies en una población, etc.

1. Una fracción es una forma de representar una parte de una unidad. Se representa como $\frac{a}{b}$​, donde a es la parte y b es el todo, por ejemplo, $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$, etc.
2. Un número decimal es una fracción cuyo denominador es una potencia de 10, y se utiliza la notación posicional para expresar las fracciones de manera más sencilla. Los números decimales pueden clasificarse en tres tipos:

Decimales exactos: son aquellos que tienen un número finito de dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, $0.5 = \frac{1}{2}$ o $0.75 = \frac{3}{4}.$

Decimales periódicos: son los que, después del punto decimal, tiene una cola infinita de decimales en un patrón fijo, este patrón se denomina período. Por ejemplo, el número $0.\overline{3}$, que es igual a $\frac{1}{3}$, tiene un período de 3. Otro ejemplo es $0.\overline{142857}$ que es equivalente a $\frac{1}{7}. Siempre son racionales.$

Decimales no periódicos: son aquellos que no repiten ningún patrón y tienen una secuencia infinita de dígitos después del punto decimal. Un ejemplo de este tipo de decimal es $\pi = 3.14159265358979…$, que continúa sin repetirse y sin un patrón predecible. Los decimales no periódicos corresponden a números irracionales.

3. Porcentajes: es una forma de expresar un número como una fracción de 100, es decir, una fracción multiplicada por 100, por ejemplo $\frac{1}{2} = 0.5 = 50 %$.

Ejemplo. Si se tiene una solución con 25 gramos de sal disueltos en 500 gramos de agua, ¿cuál es la concentración de sal en porcentaje?
Paso 1. Se calcula la fracción de sal: $\frac{25}{500} = \frac{1}{20} = 0.05$.
Paso 2. Para convertirlo a porcentaje, se multiplica por 100: 0.05 × 100 = 5 %.
Esto significa que la solución tiene una concentración del 5 % de sal.

Ejercicio. Si se tiene una solución con 10 gramos de azúcar disueltos en 250 gramos de agua, ¿cuál es la concentración de azúcar en porcentaje?

2.2. Aplicaciones: concentraciones (salinidad, CO₂ atmosférico), preparación de soluciones

Las concentraciones son importantes para entender muchos procesos biológicos, por ejemplo para medir la cantidad de alguna sustancia en un medio. Se pueden expresar de diferentes formas, como la concentración molar, la fracción molar, la molalidad, entre otras; esto es fundamental en áreas como la biología celular, la ecología (concentración de gases como CO₂ en la atmósfera) o la farmacología (concentración de medicamentos en sangre). 

Concentración molar (M)
La molaridad (M) es una medida de concentración que expresa la cantidad de moles de soluto por litro de solución. Un mol es una unidad utilizada en química para expresar una cantidad específica de partículas como átomos, moléculas o iones. Un mol contiene aproximadamente $6.022 \times 10^{23}$ partículas, un número conocido como el número de Avogadro. La concentración molar se define matemáticamente de la siguiente manera:

$M = \frac{\text{moles de soluto}}{\text{volumen de solución en litros}}$

Ejemplo. Si se disuelve 1 mol de NaCl (sal común) en 1 L de agua, entonces la solución tendrá una concentración de 1 M.

Concentración en porcentaje (porcentaje en masa)
A veces se utilizan porcentajes para expresar la concentración de una solución en términos de la masa de soluto respecto a la masa total de la solución, y se calcula de la siguiente manera:

$\text{Porcentaje en masa} = \left( \frac{\text{masa de soluto}}{\text{masa de solución}} \right) \times 100$

Ejemplo. Si se tienen 10 g de sal disueltos en 90 g de agua, ¿cuál sería la concentración en porcentaje?

$\frac{10 \, \text{g}}{100 \, \text{g}} \times 100 = 10 %$

Salinidad
Se refiere a la cantidad de sal disuelta en agua. Es un concepto de importante uso por ejemplo en los ecosistemas marinos, para medir la salinidad y entender el equilibrio de especies acuáticas. Se puede expresar como partes por mil (ppm), que equivale a la masa de sal disuelta en mil partes de agua. En volumen, 1 ppm = 1 mL por m³ = 1 μL por litro.

Ejemplo. En el océano, la salinidad promedio es de aproximadamente 35 ppt, por lo tanto, en cada litro de agua hay 35 gramos de sales disueltas.

Ejercicio. Si se tienen 200 mL de agua y se añaden 10 g de sal, ¿cuál será la concentración de sal en la solución?

Concentración de CO₂
Para la biología ambiental, medir la concentración atmosférica de dióxido de carbono, CO₂, es esencial para estudiar el cambio climático y su impacto sobre los ecosistemas. Se expresa en partes por millón (ppm), esto indica cuántas moléculas de CO₂ hay por cada millón de moléculas de aire.

Ejercicio. Si la concentración de CO₂ en la atmósfera es de 400 ppm (partes por millón), esto significa que en un millón de partes de aire, 400 partes son de CO₂. Si se tiene 1 litro de aire, ¿cuántos mililitros de CO₂ hay en ese volumen?

Ejercicio. En un ambiente cerrado, la concentración de oxígeno es del 21 %. Si hay 50 litros de aire, ¿cuántos litros de oxígeno hay en total?

2.3. Conversión entre porcentajes, fracciones y cantidades absolutas

La conversión entre fracciones, porcentajes y cantidades absolutas es frecuente cuando se trabaja con datos biológicos como concentraciones en soluciones, porcentajes de población o mediciones de otros parámetros biológicos, por dar algunos ejemplos. 

Conversión de fracción a porcentaje 
Para convertir una fracción a porcentaje, se debe encontrar una fracción equivalente cuyo denominador sea 100, ya que buscamos la cantidad n de cada 100, es decir, el tanto por ciento. Basta con multiplicar la fracción por 100. Otra opción puede ser convertir primero la fracción a número decimal realizando la división, y luego multiplicar por 100.

Ejemplo. Si una población tiene $\frac{1}{5}$​ de individuos infectados por una enfermedad, ¿a qué porcentaje de la población equivale?

$\frac{1}{5}​ = \frac{x}{100}  \Rightarrow \frac{1}{5}​​ \times 100 = 20$,

o bien $\frac{1}{5}​ = 0.2  \Rightarrow 0.2​​ \times 100 = 20$.

Entonces $\frac{1}{5}$ de individuos equivale al 20 % de la población.

Ejercicio. Si en un grupo de 40 estudiantes, 10 han completado su tarea. ¿Qué porcentaje de estudiantes ha completado su tarea?

Ejercicio. Si en una población de 200 árboles, 60 son de especies invasoras. ¿Qué porcentaje de los árboles corresponde a los no nativos?

Conversión de porcentaje a fracción
Para convertir un porcentaje a fracción se debe dividir entre 100 para obtener la fracción decimal que luego se simplificará.

Ejemplo. Si el 30% de una solución es NaCl (sal), ¿qué fracción representa esta concentración?
$30 % = \frac{30}{100}$, luego se simplifica la fracción dividiendo tanto el numerador como el denominador entre su máximo común divisor (MCD), en este caso es 10:  

$\frac{30}{100} = \frac{3}{10}$

Por lo tanto, 30% equivale a $\frac{3}{10}$​.

Ejercicio. Si el 40% de una población de bacterias está infectada, ¿qué fracción representa el porcentaje de bacterias infectadas?

Conversión de un porcentaje a cantidad absoluta
A veces es útil o necesario convertir un porcentaje a una cantidad absoluta, por ejemplo de una sustancia en una solución o población. Esto es particularmente útil cuando se manejan concentraciones en una solución o porcentajes en una muestra biológica. Para convertir un porcentaje a cantidad absoluta, se puede encontrar su expresión en fracción decimal y luego multiplicar por el total.

Ejemplo. Si se tiene una solución de 500 mL y la concentración de sal es del 10 %, ¿de cuánto sería la cantidad de sal en la solución?

$10\% = \frac{10}{100} = 0.1 \Rightarrow 0.1 \times 500 \, \text{mL}$

$ 10\% = 50 \, \text{mL de sal}$.

Ejercicio. Si un ecosistema tiene 1000 g de carbono y el 20 % está almacenado en las raíces de las plantas, ¿cuántos gramos de carbono están almacenados en las raíces?

Ejercicio. Si en un ecosistema con 5000 g de nitrógeno, el 15 % está presente en el suelo, ¿cuántos gramos de nitrógeno hay en el suelo?

Conversión de cantidad absoluta a porcentaje
Si tienes una cantidad conocida de una sustancia en una solución y quieres expresar su concentración en porcentaje, puedes usar la fórmula:

$\text{Porcentaje} = \left( \frac{\text{cantidad de soluto}}{\text{cantidad total de la solución}} \right) \times 100$

Ejemplo. Si en un recipiente con 500 g de una solución hay 125 g de azúcar, ¿qué porcentaje de la solución es azúcar?

$\frac{125}{500} \times 100 = 25$, por lo tanto, 25 % de la solución es azúcar.

Ejercicio. Si en una solución de 600 g, 150 g corresponden a sal, ¿qué porcentaje de la solución es sal?

Conversión de fracción a cantidad absoluta
Para convertir una fracción a cantidad absoluta, se multiplica el total por la fracción.

Ejemplo. Si en una muestra de 200 g de agua, $\frac{3}{4}$​ es agua dulce, ¿cuántos gramos de agua dulce hay? 

Para convertir una fracción a cantidad absoluta, multiplicamos el total (200 g) por la fracción:

$200 \times \frac{3}{4} = 150$, por lo tanto, 150 g de la muestra corresponden a agua dulce.

Ejercicio. En una solución de 1000 g de sangre, $\frac{2}{5}$​ es plasma. ¿Cuántos gramos de plasma hay en la muestra? 

Evaluación. Proporciones, concentraciones y soluciones

1. Responde

a. En un estudio ecológico, se observa que de un total de 1000 árboles en un bosque, 300 son de una especie invasora. ¿Qué porcentaje de los árboles del bosque son de especies invasoras?

b. En una población de 1200 bacterias, 0.75 de ellas están infectadas por una enfermedad. ¿Qué fracción representa la población infectada?

c. Si una solución tiene 50 gramos de azúcar disueltos en 200 gramos de agua, ¿cuál es la concentración de azúcar en porcentaje?

d. En un ecosistema marino, la salinidad promedio es de 35 ppt. ¿Cuántos gramos de sal hay disueltos en 2 litros de agua?

e. Una solución acuosa contiene 2 moles de NaCl (sal común) disueltos en 1 litro de agua. ¿Cuál es la concentración molar de la solución?

f. En un laboratorio, se preparó una solución disolviendo 15 gramos de glucosa (C₆H₁₂O₆) en 150 ml de agua. Si la densidad del agua es aproximadamente 1 g/ml, ¿cuál es la concentración de glucosa en porcentaje en masa?

g. La concentración de CO₂ en la atmósfera es de 400 ppm. Si tomamos una muestra de aire de 2 metros cúbicos (2000 litros), ¿cuántos litros de CO₂ están presentes en esa muestra?

h. En un ecosistema terrestre, se sabe que el 20 % del nitrógeno en el suelo está presente como amoníaco (NH₃). Si en total hay 3000 g de nitrógeno en el suelo, ¿cuántos gramos de nitrógeno están presentes como amoníaco?

i. Si el 15 % de una población de 2000 insectos está infectada por un virus, ¿cuántos insectos están infectados?

j. En un ecosistema acuático, el 40 % del oxígeno en el agua es consumido por organismos acuáticos. Si hay 5000 litros de agua en un estanque, ¿cuántos litros de oxígeno son consumidos por los organismos?

k. Si en una solución de 300 mL de agua, el 10 % está compuesto por sales minerales, ¿cuál es la cantidad absoluta de sales en la solución?

l. Un investigador mide que en un ecosistema existen 100 g de carbono. Si el 25 % de ese carbono está almacenado en las raíces de las plantas, ¿cuántos gramos de carbono están almacenados en las raíces?

m. Si en una solución de 400 g de agua, $\frac{2}{5}$​ de ella es agua dulce, ¿cuántos gramos de agua dulce hay en la solución?

n. En un ecosistema forestal, la fracción de árboles jóvenes es $\frac{3}{8}$​. Si hay un total de 1600 árboles en el bosque, ¿cuántos árboles son jóvenes?

o. En un laboratorio de biología, se prepara una solución con 250 g de una sustancia en 1250 g de agua. ¿Cuál es la concentración de la sustancia en porcentaje?

p. Una solución tiene una concentración de 5 % de NaCl en masa. Si la masa total de la solución es 400 g, ¿cuántos gramos de NaCl hay en la solución?

q. En un ecosistema marino, la salinidad es de 40 ppt. Si se tiene 500 litros de agua de mar, ¿cuántos gramos de sal hay disueltos en esa cantidad de agua?

r. Un experimento muestra que el 30 % del oxígeno en una muestra de aire está en forma de ozono (O₃). Si hay 2000 mL de aire, ¿cuántos mililitros de ozono hay en la muestra?

s. En una plantación de árboles, el 40 % de los árboles son de una especie nativa y el resto son de especies no nativas. Si hay 1200 árboles en total, ¿cuántos árboles son no nativos? Si además, del 40 % de árboles de especies nativas, 15 % son especies en peligro de extinción, ¿a qué porcentaje del total representa esa cantidad?

t. Si en un ecosistema hay 5 toneladas de carbono, y el 40 % de ese carbono se encuentra almacenado en los organismos del ecosistema, ¿cuántas toneladas de carbono están almacenadas en los organismos?

u. La concentración de dióxido de carbono (CO₂) en un ambiente cerrado es de 500 ppm. Si el volumen total de aire es 10 m³ (10 000 L), ¿cuántos mililitros de CO₂ están presentes en el ambiente?

v. En un experimento de difusión, se encontró que el 25 % de las partículas de un gas están dispersas en una zona de 400 mL. ¿Cuántos mililitros de gas están dispersos en esa zona?