4.1. Ejemplos elementales de sistemas dinámicos: números de Fibonacci, modelo de Malthus discreto

Los números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son una secuencia de números enteros que aparecen en muchos fenómenos de la naturaleza. Esta secuencia se define de una manera muy simple: cada número, a partir del tercero, es la suma de los dos números anteriores. Es decir, la secuencia comienza así:

$F_0=0,F_1=1,F_2=F_1+F_0=1+0=1,F_3=F_2+F_1=1+1=2,F_4=F_3+F_2=2+1=3,\dots$

Formalmente, la sucesión de Fibonacci se expresa como:

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$, donde $F_0=0$ y $F_1=1$ son condiciones iniciales.

Este patrón se repite para todos los números de la secuencia. Los números de Fibonacci aparecen, por ejemplo, en la distribución de las hojas de las plantas, las espirales de los caracoles, la proporción de las ramas de los árboles y muchos otros fenómenos naturales, por lo que no es gratuito cuestionarnos: ¿cómo se obtuvo dicha secuencia?

La sucesión de Fibonacci

En el año 1202, Leonardo de Pisa (1175–1250), mejor conocido como Fibonacci, publicó su libro Liber Abaci en el cual planteó el siguiente problema: Si se pone una pareja de conejos en un lugar rodeado por un muro, ¿cuántas parejas de conejos pueden salir de esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que, a partir del segundo mes, se vuelve fértil?

Para resolver el problema, Fibonacci supuso que cada pareja –a partir del segundo mes– daba a luz a una nueva pareja de conejos por mes, y que cada pareja está conformada por un macho y una hembra. Para modelar esto matemáticamente, se define como

$y_n=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_{k,n}$,

donde $y_{k,n}$ representa el número de parejas de conejos de edad k (meses) en el mes n; $y_n$ el número total de parejas en el mes n. También se asume que ningún conejo muere. De manera que cada conejo de edad k en el mes n, tendrá edad k + 1 en el mes n + 1. Por lo que la población de cada mes sería

$y_{k,n}=y_{k+1,n+1}$ para $y\ge 0,k\ge 0$.

Además, el número de parejas de conejos de un mes de edad en n + 1 es igual al número de parejas de dos meses o más en el mes anterior, es decir

$y_{1,n+2}=y_{2,n+1}+y_{3,n+1}+…

Ahora, se supone que la pareja del inicio es adulta y no debe esperar dos meses para poder engendrar, por lo que las condiciones iniciales son 

$y_{1,0}=0$, $y_{2,0}=1$, $y_{k,0}=0$ para k > 2.

Por lo que para $n\ge 0$ se tiene que 

$y_{n+2}=\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_{a,n+2}=y_{1,n+2}+\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_{a,n+1}=\sum _{b=2}^{\mathrm{\infty }}{y}_{b,n+1}+\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_{a,n+1}$,

entonces $y_{n+2}=y_n+y_{n+1}$.

Entonces podemos deducir que 

$y_{1,1}=0,y_{2,1}=0,y_{3,1}=1,y_{k,1}=0$ para $k\ge 3$,

luego y_1=1. Entonces las condiciones iniciales son y_0=y_1=1.

Para entender cómo crece esta población con el tiempo, tenemos que resolver la ecuación obtenida $y_{n+2}=y_n+y_{n+1}$, que nos ayuda a predecir cómo se comportará la población de conejos en el futuro. Para esto, se necesita encontrar una fórmula general que permita predecir cómo será el número de parejas de conejos en cualquier mes n.

Lo que sigue es encontrar la solución general de esta ecuación, y para eso utilizamos algo llamado la ecuación característica. La idea es proponer una solución de la forma:

$y_n=C{\lambda }^n$,

donde C es una constante (que encontraremos más tarde), y $\lambda$ es lo que llamamos la raíz de la ecuación. La razón por la que proponemos esta forma es que la solución $y_n$​ crece como crecen las poblaciones, de forma exponencial.

Ahora, sustituimos esta forma en la ecuación de diferencias para encontrar $\lambda$. Esto es lo que se hace en la ecuación característica.

Sustituyendo $y_n=C{\lambda }^n$ en la ecuación $y_{n+2}=y_n+y_{n+1}$​, obtenemos:

1. $y_{n+2}=C{\lambda }^{n+2}$
   
2. $y_n=C{\lambda }^n$
   
3. $y_{n+1}=C{\lambda }^{n+1}$
   

Ahora, sustituyendo estas tres expresiones en $y_{n+2}=y_n+y_{n+1}$:

$C{\lambda }^{n+2}=C{\lambda }^n+C{\lambda }^{n+1}$

Como C es una constante no nula, podemos cancelarla en ambos lados de la ecuación, lo que nos deja con:

${\lambda }^{n+2}={\lambda }^n+{\lambda }^{n+1}$

Ahora, podemos dividir toda la ecuación entre ${\lambda }^n$ –asumiendo que $\lambda \ne 0$–, luego:

${\lambda }^2=\lambda +1$

Este es el resultado de la ecuación característica, y así es como queda simplificada la ecuación $y_{n+2}=y_n+y_{n+1}$ en una ecuación cuadrática:

${\lambda }^2–\lambda –1=0$

Ahora, utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas tenemos que:

$\lambda =\frac{-b\pm \sqrt{b^2–4ac}}{2a}$

En este caso, los coeficientes de la ecuación son:

• a = 1 (el coeficiente de ${\lambda }^2$),
  
• b = -1 (el coeficiente de $\lambda$),
  
• c = -1 (el término independiente).
  

Sustituyendo en la fórmula general, tenemos:

$\lambda =\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2–4(1)(-1)}}{2(1)}$

Simplificando:

$\lambda =\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}$

$\lambda =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Esto nos da dos soluciones para $\lambda$:

${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y ${\lambda }_2=\frac{1–\sqrt{5}}{2}$​​

Estas dos soluciones son los valores de $\lambda$ que describen el crecimiento de la población de conejos. En este caso, la solución positiva ${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$​​ es la que nos interesa, porque nos da la tasa de crecimiento de la población, que es un número mayor que 1. Este número es conocido como la proporción áurea y tiene muchas propiedades interesantes en biología y naturaleza.

La solución negativa ${\lambda }_2$​ no tiene mucho sentido en este contexto porque implica una disminución en el número de conejos, lo cual no es el caso en este modelo de crecimiento poblacional. Como menciona Britton “el crecimiento o decrecimiento geométrico ocurre en casi todos los modelos de ecuaciones diferenciales lineales, incluso cuando se incluye la estructura poblacional. Esto no es necesariamente un problema si tratamos un período finito, como en la pregunta que planteó Fibonacci” (Britton, p. 29).

Entonces, la solución general para la población de conejos en el mes n es:

$F_n=A_1{\lambda }_1^n+A_2{\lambda }_2^n$​,

donde $A_1$​ y $A_2$​ son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. 

Usando las condiciones iniciales de la sucesión de Fibonacci para determinar las constantes $A_1$​ y $A_2$:

Sabemos que $F_0=0$ y$F_1=1$, entonces sustituimos estos valores en la ecuación general para obtener un sistema de ecuaciones.

Para n = 0:

$F_0=A_1{\lambda }_1^0+A_2{\lambda }_2^0=A_1+A_2=0\Rightarrow A_1=-A_2$​

Para n = 1:

$F_1=A_1{\lambda }_1^1+A_2{\lambda }_2^1=A_1{\lambda }_1+A_2{\lambda }_2=1$

Sustituyendo $A_1=-A_2$ tenemos que $-A_2{\lambda }_1+A_2{\lambda }_2=1\Rightarrow$A_2 (\lambda_2 – \lambda_1) = 1$

Tenemos que las raíces de la ecuación característica para la sucesión de Fibonacci son:

${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},{\lambda }_2=\frac{1–\sqrt{5}}{2}$​​.

Ahora, para calcular la diferencia ${\lambda }_2–{\lambda }_1$​, simplemente restamos estas dos expresiones:

${\lambda }_2–{\lambda }_1=\left(\frac{1–\sqrt{5}}{2}\right)–\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$

Para simplificar, primero agrupamos los términos de forma conveniente:

${\lambda }_2–{\lambda }_1=\frac{1–\sqrt{5}–1–\sqrt{5}}{2}$

${\lambda }_2–{\lambda }_1=\frac{-2\sqrt{5}}{2}$

${\lambda }_2–{\lambda }_1=-\sqrt{5}$

Luego, como ${\lambda }_2–{\lambda }_1=-\sqrt{5}$​, tenemos:

$A_2(-\sqrt{5})=1\Rightarrow A_2=\frac{-1}{\sqrt{5}}$.

Por lo tanto, $A_1=\frac{1}{\sqrt{5}}$​.

Ahora que tenemos las constantes $A_1=\frac{1}{\sqrt{5}}$ y $A_2=\frac{-1}{\sqrt{5}}$​, podemos escribir la solución general de la sucesión de Fibonacci como:

$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}({\lambda }_1^n–{\lambda }_2^n)$.

Dado que ${\lambda }_2$​ tiende a cero cuando n crece, podemos aproximar

$F_n\approx \frac{{\lambda }_1^n}{\sqrt{5}}$​ para valores grandes de n.

Ejemplo 1.

Calcula de los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci:

Los primeros 10 términos son:
$F_0=0,F_1=1,F_2=1,F_3=2,F_4=3,F_5=5,F_6=8,F_7=13,F_8=21,F_9=34.$

Ejemplo 2.

Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 6 meses, usando la ecuación $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$, luego comprueba el resultado usando la fórmula $F_n\approx \frac{{\lambda }_1^n}{\sqrt{5}}$.

El número de parejas de conejos después de seis meses es $F_6=F_{6-1}+F_{6-2}\Rightarrow F_6=F_5+F_4$ entonces $F_6=8$.

Ahora, usando la fórmula $F_n\approx \frac{{\lambda }_1^n}{\sqrt{5}}$, donde ${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$ y n es el mes para el cual queremos calcular el número de conejos, tenemos que 

$F_6\approx \frac{(1.618{)}^6}{\sqrt{5}}\approx 8.02$. 

Ejercicio 1.

Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 38 meses.

Respuesta modelo:

Usando la fórmula $F_n\approx \frac{{\lambda }_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_{3}8\approx \frac{(1.618{)}^{38}}{\sqrt{5}}\approx 39056979.55$.

En 38 meses habrá 39056979 conejos.

Ejercicio 2.

Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 83 meses.

Respuesta modelo:

Usando la fórmula $F_n\approx \frac{{\lambda }_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_{8}3\approx \frac{(1.618{)}^{83}}{\sqrt{5}}\approx \frac{2.2142\times {10}^{17}}{\sqrt{5}}\approx 9.9022\times {10}^{21}$.

En 83 meses habrá aproximadamente 9.9022 \times 10^{21} conejos.

Modelo de Malthus discreto

El modelo de Malthus describe cómo crece una población en condiciones ideales, es decir, cuando no hay limitaciones en los recursos disponibles (como alimentos, espacio o energía). Este modelo supone que la población crece de manera exponencial, lo que significa que el número de individuos en cada periodo de tiempo aumenta en función del tamaño de la población en el periodo anterior. El modelo se expresa como:

$P_{n+1}=r{P}_n$,

donde $P_n$ es el tamaño de la población en el tiempo n (por ejemplo, el número de individuos al mes n), y r es la tasa de crecimiento de la población, que nos indica cuántas veces crece la población en cada periodo. Si r > 1, la población está creciendo; si r < 1, la población está decreciendo.

En este modelo, no se tienen en cuenta las limitaciones de recursos, lo que significa que la población puede crecer indefinidamente sin restricciones. Este tipo de crecimiento es característico de poblaciones de microorganismos en cultivo, como las bacterias, cuando se encuentran en un ambiente con recursos abundantes y sin competencia.

Limitaciones del modelo

Aunque el modelo de Malthus proporciona una descripción útil del crecimiento rápido de poblaciones en condiciones ideales, no es realista para describir el comportamiento de poblaciones en ecosistemas naturales. En la realidad, los recursos son finitos. Esto significa que a medida que la población crece, los recursos disponibles (como comida y espacio) se vuelven limitados, lo que provoca que el crecimiento de la población disminuya.

En estos casos, el modelo de Malthus deja de ser aplicable, ya que no toma en cuenta los efectos de la competencia por recursos. Por esta razón, en la naturaleza, el crecimiento de las poblaciones se describe mejor mediante modelos más complejos, como el modelo logístico, que tiene en cuenta las restricciones de los recursos y permite predecir un crecimiento poblacional que eventualmente se estabiliza en un valor determinado.

Ejemplo 1.

Supón que una población inicial de bacterias es de 50 individuos, y la tasa de crecimiento es de 1.2 por mes. ¿Cuántos individuos habrá en la población al final de 6 meses?

Tenemos que el modelo original de Malthus es:

$P_{n+1}=r\cdot P_n$​

Aquí, $P_n$​ es la población en el mes n, mientras que r es la tasa de crecimiento, y $P_{n+1}$​ es la población en el siguiente mes.

Entonces, en el mes 1 tenemos que $P_1=r\cdot P_0$​.

Luego, en el mes 2, sustituyendo$P_1$ obtenemos​ $P_2=r\cdot P_1=r\cdot (r\cdot P_0)=r^2\cdot P_0$. 

En el mes 3 la población será $P_3=r\cdot P_2=r\cdot (r^2\cdot P_0)=r^3\cdot P_0$.

Y así sucesivamente. De manera que para el mes n la población se calcula como

$P_n=r^n\cdot P_0$

Por lo tanto, la población después de 6 meses será:

$P_6=50\cdot (1.2{)}^6\approx 50\cdot 2.98598\approx 149.3$ individuos.

Ejercicio 1.

Si una población de 100 individuos tiene una tasa de crecimiento $r=1.5$, ¿cuántos individuos habrá después de 10, 20 y 30 meses? Compara cómo varía el crecimiento de la población con diferentes tasas $r=1.2,r=1.5,r=2.0$.

Respuesta modelo:

Para r = 1.5:

• Después de 10 meses:
$P_{10}=100\cdot (1.5{)}^{10}\approx 100\cdot 57.665\approx 5766.5$

• Después de 20 meses:
$P_{20}=100\cdot (1.5{)}^{20}\approx 100\cdot 3325.2567\approx 332525.67$

• Después de 30 meses:
$P_{30}=100\cdot (1.5{)}^{30}\approx 100\cdot 191751.0592\approx 19175105.92$

Para r = 1.2:

• Después de 10 meses:
$P_{10}=100\cdot (1.2{)}^{10}\approx 100\cdot 6.1917\approx 619.17$

• Después de 20 meses:
$P_{20}=100\cdot (1.2{)}^{20}\approx 100\cdot 38.3375\approx 3833.75$

• Después de 30 meses:
$P_{30}=100\cdot (1.2{)}^{30}\approx 100\cdot 237.3763\approx 23737.63$

Para r = 2.0:

• Después de 10 meses:
$P_{10}=100\cdot (2.0{)}^{10}=100\cdot 1024=102400$

• Después de 20 meses:
$P_{20}=100\cdot (2.0{)}^{20}=100\cdot 1048576=104857600$

• Después de 30 meses:
$P_{30}=100\cdot (2.0{)}^{30}=100\cdot 1073741824=107374182400$

Comparación:
El modelo de Malthus muestra un crecimiento exponencial, entre más grande sea la tasa de crecimiento, mayor es también el aumento de la población en el tiempo. Se puede observar cómo las tasas r = 1.5 y r = 2.0 muestran un crecimiento mucho más rápido que r = 1.2.

Ejercicio 2.

Supón que una población de bacterias comienza con 500 individuos, pero su tasa de crecimiento cambia a lo largo del tiempo. Durante los primeros 3 meses, la tasa de crecimiento es 1.1, y durante los siguientes 3 meses, la tasa es 1.3. ¿Cuál será el tamaño de la población después de 6 meses?

Respuesta modelo: 

Hemos de dividir el cálculo en dos partes:

1. Primeros 3 meses con tasa de crecimiento 1.1:
   $P_3=500\cdot (1.1{)}^3\approx 500\cdot 1.331=665.5$

2. Próximos 3 meses con tasa de crecimiento 1.3:
   $P_6=665.5\cdot (1.3{)}^3\approx 665.5\cdot 2.197=1462.1$

Así, después de 6 meses, la población será aproximadamente 1462 individuos.

4.2. Órbitas: iteración y tipos de órbita

Definición de un sistema dinámico discreto

Cuando estudiamos sistemas dinámicos discretos, estamos interesados en cómo cambia el sistema con el paso del tiempo. Un sistema dinámico discreto es aquel cuya evolución se describe por medio de ecuaciones matemáticas que se actualizan en intervalos de tiempo específicos. Estos sistemas se «avanzan» en pasos discretos (por ejemplo, de un día a otro, de un año a otro, de una generación a otra).

Como menciona Torres Olin “Un sistema dinámico es un organismo cambiante, o propenso al cambio. Es un conjunto de elementos que describen la evolución de un sistema. […] Se define un sistema dinámico discreto cuando medimos el tiempo en forma tal que cualesquiera dos puntos en el tiempo $t_1$ y $t_2$ están bien separados, es decir, el tiempo se mide respecto a un conjunto discreto.” (Torres Olin, 2019)

Introducción a las órbitas en sistemas dinámicos discretos

En el contexto de los sistemas dinámicos discretos, las órbitas se refieren a las trayectorias que siguen las soluciones de un sistema de ecuaciones a lo largo del tiempo, cuando el tiempo avanza en pasos discretos.

• Definición. Las órbitas son secuencias de puntos que representan el estado del sistema en diferentes momentos del tiempo. Cada uno de estos puntos se encuentra en el espacio de fases del sistema, que es el conjunto de todos los posibles estados del sistema en el que se puede encontrar. 

Por ejemplo, si estamos estudiando la población de una especie en un ecosistema, cada punto de la órbita representará el número de individuos de esa población en un momento dado. A medida que el tiempo avanza, la población cambia, y por lo tanto, la órbita describe cómo esa población evoluciona con el tiempo.

• Relación con las ecuaciones recursivas. En un sistema dinámico discreto, la evolución del sistema se describe mediante ecuaciones recursivas. Esto significa que el valor del estado del sistema en el tiempo t+1 depende del valor en el tiempo t.

Un ejemplo sería un modelo de población descrito por la ecuación:
$P_{t+1}=r\cdot P_t\cdot (1–\frac{P_t}{K})$, 

donde $P_t$​ es la población en el tiempo t, r es la tasa de crecimiento de la población y K es la capacidad de carga del ambiente, es decir, el número máximo de individuos que el ecosistema puede soportar.

• Importancia de las órbitas. Las órbitas permiten entender el comportamiento a largo plazo del sistema. A medida que el sistema evoluciona con el tiempo, las órbitas nos ayudan a identificar patrones. Según el tipo de órbita, el sistema puede estabilizarse en un valor constante, entrar en un ciclo periódico o volverse impredecible (lo que se conoce como caos).

¿Qué es la iteración en sistemas dinámicos discretos?

La iteración es el proceso mediante el cual repetimos una operación matemática para obtener el siguiente valor del sistema a partir del valor actual. En otras palabras, es aplicar repetidamente una función o ecuación para predecir el comportamiento futuro del sistema. Se trata de calcular el estado del sistema en el siguiente paso de tiempo, usando el valor actual como punto de partida. Cada «paso» o «iteración» produce un nuevo valor que se usa como base para la siguiente, es decir, cada vez que realizamos una iteración, tomamos el valor del sistema en el tiempo t y lo usamos para calcular el valor en el tiempo t + 1, y este valor calculado luego se convierte en el valor inicial para el siguiente paso

Ejemplo 1.

Consideremos un modelo de crecimiento poblacional donde la población en el tiempo t + 1 depende de la población en el tiempo t:
$P_{t+1}=r\cdot P_t\cdot (1–\frac{P_t}{K})$

Supongamos una población inicial $P_0=50$, una tasa de crecimiento r = 1.5 y una capacidad de carga K = 100, podemos calcular las poblaciones de los siguientes tiempos de forma iterativa:

• Para t = 0, $P_0=50$.

• Para t = 1, $P_1=1.5\cdot 50\cdot (1–\frac{50}{100})=1.5\cdot 50\cdot 0.5=37.5$.

• Para t = 2, $P_2=1.5\cdot 37.5\cdot (1–\frac{37.5}{100})$, y así sucesivamente.

Este proceso continúa para muchos pasos, y la población va cambiando a medida que se realizan las iteraciones.

Tipos de órbitas

Las órbitas en los sistemas dinámicos pueden clasificarse en diferentes tipos, dependiendo de cómo se comporta el sistema con el paso del tiempo.

1. Órbitas periódicas: son aquellas en las que el sistema regresa al mismo estado después de un número finito de pasos, es decir, la secuencia de valores se repite cíclicamente. 

Ejemplo: Si r = 2 y $P_0=50$, el sistema puede entrar en una órbita periódica. En este caso, la población podría oscilar entre los valores 60 y 50 en un patrón cíclico, como P = 60, 50, 60, 50,….
Estas órbitas son estables y predecibles, ya que la población sigue un patrón constante que se repite con el tiempo.

2. Órbitas atractoras: son aquellas en las que el sistema tiende a estabilizarse en un valor constante o en un ciclo periódico a medida que pasa el tiempo. Estas órbitas son estables, y las pequeñas perturbaciones tienden a ser corregidas.
Ejemplo: En el modelo logístico de crecimiento poblacional, si los valores de r y K se eligen adecuadamente, la población puede estabilizarse en el valor P = K, que es la capacidad de carga del ambiente. Este valor se convierte en una órbita atractora, ya que la población tiende a estabilizarse alrededor de K con el paso del tiempo.

3. Órbitas caóticas: son aquellas en las que el comportamiento del sistema es extremadamente sensible a las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en el valor inicial del sistema pueden generar trayectorias completamente diferentes. Estos sistemas son impredecibles y no siguen un patrón repetitivo.
Ejemplo: Si r es demasiado grande (por ejemplo, r = 3.5), el sistema puede volverse caótico, donde las iteraciones no siguen un patrón predecible, sino que se distribuyen de forma irregular.

1. La modelación matemática en las ciencias

La modelación matemática es la herramienta que sirve para representar sistemas naturales y entender cómo funcionan, además de predecir y analizar comportamientos y encontrar soluciones de problemas sobre sistemas complejos. 

1.1. ¿Qué es y para qué sirve un modelo matemático?

¿Qué es un modelo matemático?

Un modelo matemático es una representación abstracta de un sistema real. Utiliza variables, ecuaciones matemáticas, funciones o algoritmos para describir cómo interactúan estos elementos. Como se mencionó anteriormente, los modelos son herramientas para simplificar, entender, estudiar y predecir comportamientos de sistemas complejos, como los ecosistemas, el crecimiento de poblaciones, la difusión de enfermedades, entre otros. Por ejemplo, en biología, un modelo podría representar la dinámica de una población, utilizando factores como la tasa de natalidad, mortalidad y recursos disponibles.

¿Para qué sirve un modelo matemático?

1. Predecir: los modelos matemáticos pueden predecir futuros comportamientos bajo condiciones específicas. Según Allman y Rhodes, “los modelos permiten entender las consecuencias que una ecuación puede tener a través del análisis matemático, para así poder comparar la formulación con observaciones biológicas” (Allman, p. 1). Por ejemplo, si se conoce la cantidad de individuos que tiene una población y cuántos nacen y mueren cada año, se puede predecir la población que habrá en algún momento del futuro. Esto es útil para la conservación de especies.
2. Simular: se pueden crear diferentes escenarios para explorar los resultados de diferentes intervenciones, por lo que se puede practicar la «prueba y error» las veces necesarias sin consecuencias dañinas para un ecosistema. Por ejemplo, si se deseara saber qué pasaría si se introdujera un nuevo depredador en un ecosistema, un modelo puede ayudar a ver cómo esto afectaría a la población sin tener que hacer un experimento real que podría ser perjudicial.
3. Optimizar: en algunos casos, los modelos se utilizan para encontrar la mejor estrategia o solución a un problema, como en el control de plagas, sin embargo, la optimización busca no solo eficiencia, sino también sostenibilidad y equilibrio en la gestión de recursos naturales, Britton señala que “las políticas de gestión de recursos pueden derivarse de modelos matemáticos” (Britton, p. 45). Por ejemplo, si se trabaja en la gestión de un área natural, es posible usar un modelo para determinar cómo distribuir los recursos de manera eficiente, asegurando tanto la salud del ecosistema como su sostenibilidad a largo plazo.
4. Comprender: los modelos también son herramientas educativas, ayudan a visualizar y entender relaciones complejas. Según Kline, “las matemáticas nos permiten observar patrones y relaciones” (Kline, p. 5), al representar gráficamente los datos y las relaciones, se pueden observar patrones que no son obvios sólo al mirar los números.

1.2. De la biología al modelo y de regreso: Supuestos, limitaciones y predicciones verificables

Para pasar de un fenómeno biológico real a un modelo matemático se deben hacer suposiciones que son fundamentales para construir dicho modelo, pero es importante considerar que también imponen limitaciones sobre qué tan exacto o útil será en ciertos contextos. Los sistemas biológicos pueden involucrar una “gran cantidad de interacciones y predisposiciones que compiten entre sí, lo que puede dificultar la comprensión completa de un fenómeno en su totalidad” (Allman, p. 1). Por esta razón, los modelos matemáticos deben simplificar estos sistemas, enfocándose en los factores más relevantes, pero esta simplificación puede llevar a la omisión de detalles importantes y afectar la precisión de las predicciones en algunos escenarios.

Observación. Todo comienza con la observación, es importante prestar atención a todas las variables que pueden intervenir o afectar el desarrollo de un evento.

Supuestos. Al momento de realizar suposiciones se deben considerar aspectos como

• Homogeneidad: suposición de que el sistema es uniforme en ciertas características, por ejemplo, asumir que todos los individuos de una población tienen la misma tasa de crecimiento.
• Condiciones iniciales conocidas: los modelos suelen necesitar condiciones iniciales específicas para poder ser resueltos, por ejemplo, la cantidad inicial de individuos en una población.
• Aislamiento de factores externos: a veces se puede asumir que el sistema es cerrado, es decir, que no influyen factores externos, para facilitar el análisis.

Limitaciones. Los modelos son abstracciones de la realidad que nunca podrán representar todos los factores posibles que influyen en un sistema biológico, por lo que es importante reconocer que todos los modelos tienen limitaciones.
Según Allman, “aunque muchos de los modelos que examinamos pueden parecer al principio simplificaciones burdas, su misma simplicidad es una fortaleza. Los modelos simples muestran claramente las implicaciones de nuestros supuestos más básicos» (Allman, p . 1). En otras palabras, aunque los modelos matemáticos omiten muchos detalles, esta simplificación les permite centrarse en los aspectos fundamentales del fenómeno. Por ejemplo, en un modelo de crecimiento poblacional tal  vez no se consideren detalles como la competencia entre especies o las interacciones con otras especies.
Otra limitación puede ser la escalabilidad; un modelo que funciona a pequeña escala (como en un laboratorio) puede no ser válido cuando se aplica a una escala mayor (por ejemplo, en un ecosistema natural).

Predicciones verificables. Los modelos matemáticos tienen que ser capaces de hacer predicciones que puedan ser verificadas empíricamente mediante experimentos u observaciones. Es fundamental que un modelo no solo explique o demuestre lo que ya se sabe, sino que también permita visualizar comportamientos futuros. Si las predicciones del modelo se verifican mediante datos reales, esto aumenta la confiabilidad del modelo. 

Ejemplo: Imagina que estás modelando el crecimiento de una población de bacterias. Supón que el modelo establece que la población crece de acuerdo con la ecuación de Malthus. Si realizas experimentos y observas que la población crece más lentamente debido a la competencia por recursos, tu modelo necesitará ajustarse para reflejar este nuevo factor (por ejemplo, usando un modelo logístico que limite el crecimiento cuando la población se acerca a la capacidad de carga).

Pasos para crear un modelo.

Supongamos que estamos interesados en modelar el crecimiento de una población de bacterias en un cultivo cerrado -es decir, sin interferencia externa- en un laboratorio, donde la bacteria se reproduce a través de divisiones celulares. Empezaremos desde la observación y avanzaremos paso a paso.

1. Observación. En este caso, se pueden hacer las siguientes observaciones:

• Se sabe que las bacterias en un cultivo crecen a una tasa proporcional a su población actual.
• En un principio, se tiene un número pequeño de bacterias (supongamos 100), y después de cierto tiempo, el número de bacterias aumenta.
• No hay depredadores, no hay competencia por recursos en las primeras etapas, y el entorno es ideal para su crecimiento.

2. Identificación de Variables. En cualquier modelo, primero es necesario identificar las variables involucradas.

• Variable dependiente (a modelar): N(t) es el número de bacterias en el tiempo t.
• Variable independiente: t es el tiempo, generalmente en horas, días, o cualquier unidad pertinente.
• Parámetro constante: r es la tasa de crecimiento de la población (la tasa de natalidad). Esto indica cuántas bacterias nuevas nacen por cada bacteria existente en un tiempo determinado.

3. Supuestos. Para simplificar el problema y poder construir un modelo matemático, necesitamos hacer algunos supuestos que describen cómo el sistema se comporta:

• Supuesto 1: El entorno es ideal para el crecimiento bacteriano; no hay limitación de recursos.
• Supuesto 2: La tasa de crecimiento r es constante durante todo el proceso.
• Supuesto 3: Las bacterias se dividen de manera exponencial, es decir, cada bacteria produce exactamente dos hijas en un tiempo fijo.
• Supuesto 4: El número de bacterias en el tiempo t = 0 es conocido, es decir, tenemos un número inicial $N_0$​ de bacterias.

4. Limitaciones. Ahora, debemos tener en cuenta algunas limitaciones que podrían afectar la validez de nuestro modelo:

• Limitación 1: Este modelo no tiene en cuenta mutaciones o factores estocásticos (azar), como la posibilidad de que algunas bacterias no se reproduzcan debido a variabilidad genética o factores aleatorios.
• Limitación 2: El modelo no incluye interacciones con otras especies, como bacterias depredadoras o interacciones simbióticas que podrían alterar el crecimiento.

5. Formulación del modelo. El siguiente paso es escribir la ecuación matemática que describe el fenómeno. Con base en nuestras observaciones, sabemos que el crecimiento bacteriano sigue una ley de crecimiento exponencial. En el capítulo 1, Britton discute el crecimiento de poblaciones y la ecuación diferencial $\frac{dN}{dt}=rN(t)$ –que es ampliamente utilizada para modelar este tipo de fenómenos–, donde:

• $\frac{dN}{dt}$​ es la tasa de cambio de la población de bacterias con respecto al tiempo (es decir, cuántas bacterias están naciendo por unidad de tiempo),
• r es la tasa de crecimiento de la población,
• N(t) es el número de bacterias en el tiempo t.

Esta es una ecuación diferencial que describe cómo cambia la población de bacterias con el tiempo. Para obtener la expresión de N(t), resolvemos esta ecuación diferencial. La solución es:

$N(t)=N_0{e}^{rt}$

donde

• $N_0$ es el número inicial de bacterias en t = 0,
• e es la base del logaritmo natural.

Este modelo nos dice que el número de bacterias crece exponencialmente en función del tiempo, con una tasa de crecimiento r.

6. Verificación del Modelo. Finalmente, se verifica el modelo utilizando datos reales o se realiza el experimento para comprobar si las predicciones del modelo son correctas.

Un caso práctico de verificación:

Supongamos que, en un experimento real, comenzamos con una población de 100 bacterias (es decir, $N_0=100$) y que después de 2 horas ya hay 400 bacterias.

Para comprobar si el modelo puede predecir este comportamiento usamos la fórmula del modelo: 

$N(t)=N_0{e}^{rt}$

Sabemos que $N_0=100$, t = 2 horas, y N(t) = 400. Sustituimos en la fórmula:

$400=100e^{r\cdot 2}$

Despejamos r:

$4=e^{2r}$

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:

$\ln (4)=2r$

$r=\frac{\ln (4)}{2}\approx 0.6931$

Ahora, sabemos que la tasa de crecimiento r es aproximadamente 0.6931 por hora. Podemos usar este valor para hacer más predicciones y compararlas con los datos reales.

Predicción adicional:

Supongamos que queremos saber cuántas bacterias habrá después de 5 horas. Usamos el modelo con r = 0.6931:

$N(5)=100e^{0.6931\cdot 5}=100e^{3.4655}\approx 100\cdot 32=3200$

Esto nos da una predicción de que habrá 3200 bacterias después de 5 horas.

Si el número real de bacterias se acerca a este valor, podemos estar bastante seguros de que nuestro modelo está funcionando bien. Si no es así, será necesario ajustar el modelo, considerar efectos de límite de recursos (como el modelo logístico), o incorporar factores estocásticos.

Resumen del procedimiento:

1. Observación: se identifica el fenómeno a estudiar (crecimiento de bacterias).
2. Identificación de variables: se determina qué variables son importantes (número de bacterias, tiempo, tasa de crecimiento).
3. Supuestos: se realizan suposiciones sobre el entorno ideal, el crecimiento exponencial y las condiciones iniciales.
4. Limitaciones: se considera que el modelo tiene limitaciones como el crecimiento ilimitado y la falta de factores estocásticos.
5. Formulación del modelo: se desarrolla una ecuación diferencial para modelar el crecimiento exponencial de las bacterias.
6. Verificación: se comprueban las predicciones del modelo con datos reales del experimento.

1.3. Tipos de modelos: Deterministas vs. Estocásticos

Modelos deterministas. Son aquellos que producen resultados predecibles, es decir que están completamente definidos y se puede calcular exactamente lo que sucederá. En otras palabras, no hay incertidumbre; dado un conjunto de condiciones iniciales y parámetros, el modelo siempre dará el mismo resultado. Como menciona Britton, en un modelo determinista, “el estado del sistema en el tiempo t + 1 se determina completamente a partir del estado en el tiempo t» (Britton, p. 2). Estos modelos se suelen representar con ecuaciones diferenciales o sistemas algebraicos que describen el comportamiento del sistema en función del tiempo.

Por ejemplo, el modelo de crecimiento exponencial es un modelo determinista, donde la población crece de manera predecible si no hay factores limitantes: $N(t)=N_0{e}^{rt}$ donde N(t) es el tamaño de la población en el tiempo t, $N_0$​ es el tamaño inicial de la población, y r es la tasa de crecimiento constante.

Modelos estocásticos. En estos modelos hay incertidumbre, el azar juega un papel importante. Los resultados pueden variar incluso con las mismas condiciones iniciales; el sistema no sigue un camino único, sino que puede tener varios resultados posibles debido a la inclusión de variables aleatorias o probabilísticas. Son útiles cuando se requiere modelar fenómenos como las fluctuaciones en una población debido a factores aleatorios (mutaciones genéticas, migración, dispersión). Un ejemplo claro puede ser la modelación de la propagación de una enfermedad infecciosa en una población, donde la tasa de infección no es constante, sino que depende de la probabilidad de contacto entre individuos. En un modelo estocástico, la distribución de probabilidades es clave.

Referencias bibliográficas

Allman, E. S. & J. A. Rhodes. 2007. Mathematical models in biology: an introduction. Cambridge University Press, Cambridge.
Britton, N. F. 2003. Essential mathematical biology. Springer, Cham.
Kline, M. 1967. Mathematics for the nonmatemathician. Dover, Nueva York.

Evaluación

Ejercicio 1: Conceptos básicos de modelación matemática

a) ¿Qué es un modelo matemático?
Escribe una definición simple de qué es un modelo matemático en el contexto de las ciencias. Explica brevemente por qué es útil tener un modelo en lugar de estudiar un fenómeno de forma directa.

b) Menciona al menos tres ventajas de usar modelos matemáticos en biología.

Ejercicio 2: Supuestos y limitaciones de los modelos matemáticos

a) Define qué son los supuestos en un modelo matemático.
Da un ejemplo de un supuesto que podrías hacer si estás modelando el crecimiento de una población de bacterias.

b) ¿Por qué es importante conocer las limitaciones de un modelo matemático?
Explica qué podría suceder si un modelo no tiene en cuenta factores importantes (como la competencia entre especies o los recursos limitados en un ecosistema).

Ejercicio 3: Tipos de modelos (Deterministas vs. Estocásticos)

a) Explica la diferencia entre un modelo determinista y un modelo estocástico.
Usa un ejemplo sencillo para ilustrar la diferencia. Por ejemplo, si estás modelando el crecimiento de una población de bacterias, ¿cuál sería un modelo determinista y cuál uno estocástico?

b) Imagina que estás modelando el crecimiento de una población de animales en un hábitat. Si se incluye una probabilidad de que cada individuo muera debido a condiciones ambientales impredecibles, ¿cómo se llamaría este tipo de modelo? Justifica tu respuesta.

Ejercicio 4: Aplicación de un modelo matemático simple

a) Imagina que tienes una población de 1000 bacterias en un cultivo cerrado. Esta población crece a una tasa constante de 0.2 por hora. Si se mantiene esta tasa de crecimiento, ¿cómo describirías el comportamiento de la población en términos matemáticos?

b) ¿Este es un modelo determinista o estocástico? ¿Por qué?

Respuesta modelo: Este modelo es determinista, ya que asume que la tasa de crecimiento es constante, r = 0.2, y que el crecimiento de la población depende únicamente de este parámetro, sin ningún componente aleatorio.

c) ¿Cuáles serían algunos supuestos de este modelo?
Piensa en qué asumes sobre el comportamiento de las bacterias, el ambiente, o cualquier otro factor relevante.

Ejercicio 5: Verificación y Aplicación de Modelos

a) ¿Por qué es importante verificar las predicciones de un modelo matemático con datos reales o experimentales?
Explica cómo se puede hacer para comprobar si un modelo matemático está funcionando correctamente.

b) Si tienes un modelo de crecimiento de una población de plantas en un invernadero, ¿qué tipo de datos recolectarías para comparar con las predicciones del modelo?

Pregunta de Reflexión:

• ¿Qué importancia tiene comprender los supuestos y las limitaciones de un modelo matemático cuando se usan para tomar decisiones en biología (por ejemplo, para la conservación de especies, el manejo de recursos naturales, etc.)?

2. Proporciones, concentraciones y soluciones

Las proporciones nos permiten comparar partes de un todo y entender las relaciones cuantitativas entre diferentes elementos. Las concentraciones son esenciales para comprender cómo interactúan los compuestos en soluciones, lo cual es crucial para procesos biológicos como la difusión de nutrientes, el transporte de gases y la regulación de los ecosistemas.

2.1. Representación de fracciones en forma decimal y porcentual

Las fracciones, decimales y porcentajes son tres formas diferentes de representar una parte de un todo. Estos tres conceptos se utilizan en biología para representar datos relacionados con concentraciones, proporciones de especies en una población, etc.

1. Fracciones: es una forma de representar una parte de una unidad. Se representa como $\frac{a}{b}$​, donde a es la parte y b es el todo, por ejemplo, $\frac{1}{2},\frac{3}{4}$, etc.
2. Decimales: un número decimal es una fracción cuyo denominador es una potencia de 10, y se utiliza la notación posicional para expresar las fracciones de manera más sencilla. Los números decimales pueden clasificarse en tres tipos:

Decimales exactos: son aquellos que tienen un número finito de dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, $0.5=\frac{1}{2}$ o $0.75=\frac{3}{4}.$

Decimales periódicos: son los que, después del punto decimal, tiene una cola infinita de decimales en un patrón fijo, este patrón se denomina período. Por ejemplo, el número $0.\bar{3}$, que es igual a $\frac{1}{3}$, tiene un período de 3. Otro ejemplo es $0.\overline{142857}$ que es equivalente a $\frac{1}{7}.$

Decimales no periódicos: son aquellos que no repiten ningún patrón y tienen una secuencia infinita de dígitos después del punto decimal. Un ejemplo de este tipo de decimal es $\pi =3.14159265358979\dots$, que continúa sin repetirse y sin un patrón predecible. Los decimales no periódicos corresponden a números irracionales.

3. Porcentajes: es una forma de expresar un número como una fracción de 100, es decir, una fracción multiplicada por 100, por ejemplo $\frac{1}{2}=0.5=50$.

Ejemplo. Si se tiene una solución con 25 gramos de sal disueltos en 500 gramos de agua, ¿cuál es la concentración de sal en porcentaje?

Paso 1. Se calcula la fracción de sal: $\frac{25}{500}=\frac{1}{20}=0.05$.

Paso 2. Para convertirlo a porcentaje, se multiplica por 100: 0.05 × 100 = 5 %.

Esto significa que la solución tiene una concentración del 5 % de sal.

Ejercicio. Si se tiene una solución con 10 gramos de azúcar disueltos en 250 gramos de agua, ¿cuál es la concentración de azúcar en porcentaje?

2.2. Aplicaciones: concentraciones (salinidad, CO₂ atmosférico), preparación de soluciones

Las concentraciones son importantes para entender muchos procesos biológicos, por ejemplo para medir la cantidad de alguna sustancia en un medio. Se pueden expresar de diferentes formas, como la concentración molar, la fracción molar, la molalidad, entre otras; esto es fundamental en áreas como la biología celular, la ecología (concentración de gases como CO₂ en la atmósfera) o la farmacología (concentración de medicamentos en sangre). 

Concentración molar (M)

La molaridad (M) es una medida de concentración que expresa la cantidad de moles de soluto por litro de solución. Un mol es una unidad utilizada en química para expresar una cantidad específica de partículas como átomos, moléculas o iones. Un mol contiene aproximadamente $6.022\times {10}^{23}$ partículas, un número conocido como el número de Avogadro. La concentración molar se define matemáticamente de la siguiente manera:

$M=\frac{\text{moles de soluto}}{\text{volumen de solución en litros}}$

Ejemplo. Si se disuelve 1 mol de NaCl (sal común) en 1 L de agua, entonces la solución tendrá una concentración de 1 M.

Concentración en porcentaje (porcentaje en masa)

A veces se utilizan porcentajes para expresar la concentración de una solución en términos de la masa de soluto respecto a la masa total de la solución, y se calcula de la siguiente manera:

$\text{Porcentaje en masa}=\left(\frac{\text{masa de soluto}}{\text{masa de solución}}\right)\times 100$

Ejemplo. Si se tienen 10 g de sal disueltos en 90 g de agua, ¿cuál sería la concentración en porcentaje?

$\frac{10\text{g}}{100\text{g}}\times 100=10$

Salinidad

Se refiere a la cantidad de sal disuelta en agua. Es un concepto de importante uso por ejemplo en los ecosistemas marinos, para medir la salinidad y entender el equilibrio de especies acuáticas. Se puede expresar como partes por mil (ppt), que equivale a la masa de sal disuelta en mil partes de agua.

Ejemplo. En el océano, la salinidad promedio es de aproximadamente 35 ppt, por lo tanto, en cada litro de agua hay 35 gramos de sales disueltas.

Ejercicio. Si se tienen 200 mL de agua y se añaden 10 g de sal, ¿cuál será la concentración de sal en la solución?

Concentración de CO₂

Para la biología ambiental, medir la concentración atmosférica de dióxido de carbono, CO₂, es esencial para estudiar el cambio climático y su impacto sobre los ecosistemas. Se expresa en partes por millón (ppm), esto indica cuántas moléculas de CO₂ hay por cada millón de moléculas de aire.

Ejercicio. Si la concentración de CO₂ en la atmósfera es de 400 ppm (partes por millón), esto significa que en un millón de partes de aire, 400 partes son de CO₂. Si se tiene 1 litro de aire, ¿cuántos mililitros de CO₂ hay en ese volumen?

Ejercicio. En un ambiente cerrado, la concentración de oxígeno es del 21 %. Si hay 50 litros de aire, ¿cuántos litros de oxígeno hay en total?

2.3. Conversión entre porcentajes, fracciones y cantidades absolutas

La conversión entre fracciones, porcentajes y cantidades absolutas es frecuente cuando se trabaja con datos biológicos como concentraciones en soluciones, porcentajes de población o mediciones de otros parámetros biológicos, por dar algunos ejemplos. 

Conversión de fracción a porcentaje 

Para convertir una fracción a porcentaje, se debe encontrar una fracción equivalente cuyo denominador sea 100, ya que buscamos la cantidad n de cada 100, es decir, el tanto por ciento. Basta con multiplicar la fracción por 100. Otra opción puede ser convertir primero la fracción a número decimal realizando la división, y luego multiplicar por 100.

Ejemplo. Si una población tiene $\frac{1}{5}$​ de individuos infectados por una enfermedad, ¿a qué porcentaje de la población equivale?

$\frac{1}{5}=\frac{x}{100}\Rightarrow \frac{1}{5}\times 100=20$,

o bien $\frac{1}{5}=0.2\Rightarrow 0.2\times 100=20$.

Entonces $\frac{1}{5}$ de individuos equivale al 20 % de la población.

Ejercicio. Si en un grupo de 40 estudiantes, 10 han completado su tarea. ¿Qué porcentaje de estudiantes ha completado su tarea?

Ejercicio. Si en una población de 200 árboles, 60 son de especies invasoras. ¿Qué porcentaje de los árboles corresponde a los no nativos?

Conversión de porcentaje a fracción

Para convertir un porcentaje a fracción se debe dividir entre 100 para obtener la fracción decimal que luego se simplificará.

Ejemplo. Si el 30% de una solución es NaCl (sal), ¿qué fracción representa esta concentración?

$30$, luego se simplifica la fracción dividiendo tanto el numerador como el denominador entre su máximo común divisor (MCD), en este caso es 10:  

$\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$

Por lo tanto, 30% equivale a $\frac{3}{10}$​.

Ejercicio. Si el 40% de una población de bacterias está infectada, ¿qué fracción representa el porcentaje de bacterias infectadas?

Conversión de un porcentaje a cantidad absoluta

A veces es útil o necesario convertir un porcentaje a una cantidad absoluta, por ejemplo de una sustancia en una solución o población. Esto es particularmente útil cuando se manejan concentraciones en una solución o porcentajes en una muestra biológica. Para convertir un porcentaje a cantidad absoluta, se puede encontrar su expresión en fracción decimal y luego multiplicar por el total.

Ejemplo. Si se tiene una solución de 500 mL y la concentración de sal es del 10 %, ¿de cuánto sería la cantidad de sal en la solución?

$10\mathrm{\%}=\frac{10}{100}=0.1\Rightarrow 0.1\times 500\text{mL}$

$10\mathrm{\%}=50\text{mL de sal}$.

Ejercicio. Si un ecosistema tiene 1000 g de carbono y el 20 % está almacenado en las raíces de las plantas, ¿cuántos gramos de carbono están almacenados en las raíces?

Ejercicio. Si en un ecosistema con 5000 g de nitrógeno, el 15 % está presente en el suelo, ¿cuántos gramos de nitrógeno hay en el suelo?

Conversión de cantidad absoluta a porcentaje

Si tienes una cantidad conocida de una sustancia en una solución y quieres expresar su concentración en porcentaje, puedes usar la fórmula:

$\text{Porcentaje}=\left(\frac{\text{cantidad de soluto}}{\text{cantidad total de la solución}}\right)\times 100$

Ejemplo. Si en un recipiente con 500 g de una solución hay 125 g de azúcar, ¿qué porcentaje de la solución es azúcar?

$\frac{125}{500}\times 100=25$, por lo tanto, 25 % de la solución es azúcar.

Ejercicio. Si en una solución de 600 g, 150 g corresponden a sal, ¿qué porcentaje de la solución es sal?

Conversión de fracción a cantidad absoluta

Para convertir una fracción a cantidad absoluta, se multiplica el total por la fracción.

Ejemplo. Si en una muestra de 200 g de agua, $\frac{3}{4}$​ es agua dulce, ¿cuántos gramos de agua dulce hay? 

Para convertir una fracción a cantidad absoluta, multiplicamos el total (200 g) por la fracción:

$200\hspace{0.17em}\times \frac{3}{4}=150$, por lo tanto, 150 g de la muestra corresponden a agua dulce.

Ejercicio. En una solución de 1000 g de sangre, $\frac{2}{5}$​ es plasma. ¿Cuántos gramos de plasma hay en la muestra? 

Evaluación. Proporciones, concentraciones y soluciones

Representación de fracciones, decimales y porcentajes

Ejercicio 1. En un estudio ecológico, se observa que de un total de 1000 árboles en un bosque, 300 son de una especie invasora. ¿Qué porcentaje de los árboles del bosque son de especies invasoras?

Ejercicio 2. En una población de 1200 bacterias, 0.75 de ellas están infectadas por una enfermedad. ¿Qué fracción representa la población infectada?

Ejercicio 3. Si una solución tiene 50 gramos de azúcar disueltos en 200 gramos de agua, ¿cuál es la concentración de azúcar en porcentaje?

Ejercicio 4. En un ecosistema marino, la salinidad promedio es de 35 ppt. ¿Cuántos gramos de sal hay disueltos en 2 litros de agua?

Aplicaciones de las concentraciones

Ejercicio 5. Una solución acuosa contiene 2 moles de NaCl (sal común) disueltos en 1 litro de agua. ¿Cuál es la concentración molar de la solución?

Ejercicio 6. En un laboratorio, se preparó una solución disolviendo 15 gramos de glucosa (C₆H₁₂O₆) en 150 ml de agua. Si la densidad del agua es aproximadamente 1 g/ml, ¿cuál es la concentración de glucosa en porcentaje en masa?

Ejercicio 7. La concentración de CO₂ en la atmósfera es de 400 ppm. Si tomamos una muestra de aire de 2 metros cúbicos (2000 litros), ¿cuántos litros de CO₂ están presentes en esa muestra?

Ejercicio 8. En un ecosistema terrestre, se sabe que el 20 % del nitrógeno en el suelo está presente como amoníaco (NH₃). Si en total hay 3000 g de nitrógeno en el suelo, ¿cuántos gramos de nitrógeno están presentes como amoníaco?

Conversión entre porcentajes, fracciones y cantidades absolutas

Ejercicio 9. Si el 15 % de una población de 2000 insectos está infectada por un virus, ¿cuántos insectos están infectados?

Ejercicio 10. En un ecosistema acuático, el 40 % del oxígeno en el agua es consumido por organismos acuáticos. Si hay 5000 litros de agua en un estanque, ¿cuántos litros de oxígeno son consumidos por los organismos?

Ejercicio 11. Si en una solución de 300 mL de agua, el 10 % está compuesto por sales minerales, ¿cuál es la cantidad absoluta de sales en la solución?

Ejercicio 12. Un investigador mide que en un ecosistema existen 100 g de carbono. Si el 25 % de ese carbono está almacenado en las raíces de las plantas, ¿cuántos gramos de carbono están almacenados en las raíces?

Conversiones de fracción a cantidad absoluta y viceversa

Ejercicio 13. Si en una solución de 400 g de agua, $\frac{2}{5}$​ de ella es agua dulce, ¿cuántos gramos de agua dulce hay en la solución?

Ejercicio 14. En un ecosistema forestal, la fracción de árboles jóvenes es $\frac{3}{8}$​. Si hay un total de 1600 árboles en el bosque, ¿cuántos árboles son jóvenes?

Ejercicio 15. En un laboratorio de biología, se prepara una solución con 250 g de una sustancia en 1250 g de agua. ¿Cuál es la concentración de la sustancia en porcentaje?

Ejercicio 16. Una solución tiene una concentración de 5 % de NaCl en masa. Si la masa total de la solución es 400 g, ¿cuántos gramos de NaCl hay en la solución?

Problemas contextualizados

Ejercicio 17. En un ecosistema marino, la salinidad es de 40 ppt. Si se tiene 500 litros de agua de mar, ¿cuántos gramos de sal hay disueltos en esa cantidad de agua?

Ejercicio 18. Un experimento muestra que el 30 % del oxígeno en una muestra de aire está en forma de ozono (O₃). Si hay 2000 mL de aire, ¿cuántos mililitros de ozono hay en la muestra?

Ejercicio 19. En una plantación de árboles, el 40 % de los árboles son de una especie nativa y el resto son de especies no nativas. Si hay 1200 árboles en total, ¿cuántos árboles son no nativos? Si además, del 40 % de árboles de especies nativas, 15 % son especies en peligro de extinción, ¿a qué porcentaje del total representa esa cantidad?

Ejercicio 20. Si en un ecosistema hay 5 toneladas de carbono, y el 40 % de ese carbono se encuentra almacenado en los organismos del ecosistema, ¿cuántas toneladas de carbono están almacenadas en los organismos?

Aplicaciones de conversión entre unidades

Ejercicio 21. La concentración de dióxido de carbono (CO₂) en un ambiente cerrado es de 500 ppm. Si el volumen total de aire es 10 m³ (10 000 L), ¿cuántos mililitros de CO₂ están presentes en el ambiente?

Ejercicio 22. En un experimento de difusión, se encontró que el 25 % de las partículas de un gas están dispersas en una zona de 400 mL. ¿Cuántos mililitros de gas están dispersos en esa zona?

3. Relaciones morfométricas y alometría: funciones potenciales

3.1 Alometría: tamaño y forma en biología

La alometría es el estudio de cómo los cambios en el tamaño de un organismo afecta a sus características, lo que puede involucrar transformaciones morfológicas, así como modificaciones ecológicas, fisiológicas y conductuales. Es muy importante para comprender las relaciones entre distintas características físicas, como la altura y el peso, en organismos animales y vegetales. La alometría también es importante en la investigación ecológica y evolutiva, ayudando a entender los patrones de crecimiento y adaptación de las especies.

Modelo matemático
La fórmula básica para representar una relación alométrica es:

$y=a{x}^b$

donde, y es la variable dependiente (por ejemplo, el peso de un órgano), x es la variable independiente (por ejemplo, el tamaño del individuo), a es una constante que depende del sistema biológico que estamos estudiando, b es el exponente alométrico.

Por ejemplo, supongamos que estamos midiendo el volumen x y la masa y de diferentes especies de mamíferos. Sea la ecuación

$y=0.1\cdot x^{3/4}$,

podemos interpretar que, aunque el volumen crece más rápidamente que la masa, la masa no aumenta de manera proporcional al volumen debido a la eficiencia metabólica y estructural de los animales más grandes. Es decir, en esta ecuación, el exponente $\frac{3}{4}$ es el que marca la relación entre la masa y y el volumen x del individuo. Si analizamos esto, vemos que la relación no es directamente proporcional porque el exponente no es 1. Si fuera y = ax, esto significaría que la masa aumenta de manera proporcional al volumen; en otras palabras, si el volumen se duplicara, la masa también se duplicaría. Pero en este caso, como el exponente es menor que 1, la masa aumenta a un ritmo más lento que el volumen. Es decir, si el volumen se duplica, la masa no lo hará en la misma proporción.

Además es importante cuestionarse ¿por qué la masa no aumenta proporcionalmente al volumen? Esto se puede deber a:

• Eficiencia metabólica

Reiss plantea que los organismos más grandes pueden tener una mayor proporción de tejido menos activo metabólicamente, por lo que, aunque en términos absolutos un animal grande tenga una tasa metabólica mayor que uno pequeño, su tasa metabólica por unidad de masa es menor (Reiss, p. 7). Esto se debe a que, aunque los animales grandes tienen más células y órganos, el aumento en tamaño no implica que todas las funciones metabólicas (como la digestión, la circulación o el transporte de oxígeno) aumenten al mismo ritmo. La masa no aumenta tan rápidamente como el volumen.

• Estructura

A medida que un animal aumenta su tamaño durante su desarrollo, su estructura también cambia. Las proporciones de las diferentes partes de su cuerpo se ajustan para soportar el aumento de tamaño, pero no todos los componentes crecen al mismo ritmo. Por ejemplo, en un individuo los huesos deben ser cada vez más gruesos para sostener el aumento de masa, pero no crecen proporcionalmente al volumen total del cuerpo. Esta adaptación estructural también explica por qué la masa no crece de manera proporcional al volumen en lo que respecta a los huesos.

Thompson plantea que existe un límite definido para la posible magnitud de un animal que vive bajo la acción directa de la gravedad. El elefante, por ejemplo, al observar las dimensiones de los huesos de sus extremidades se pueden ver signos de una tendencia al grosor desproporcionado. Menciona que “a medida que el tamaño de un animal aumenta, sus miembros tienden a volverse más gruesos y cortos, y todo el esqueleto se vuelve más voluminoso y pesado. Los huesos constituyen alrededor del 8% del cuerpo de un ratón, 13 o 14% de un ganso o perro, y 17 o 18% del cuerpo de un hombre.» (Thompson, p. 26-28).

Es importante señalar que estos porcentajes varían dependiendo del medio en el que el animal se desarrolle. Por ejemplo, animales terrestres y marinos presentan diferencias en su composición ósea debido a las distintas condiciones ambientales. En el caso de los patos y las gallinas, las diferencias en sus alas y en cómo crecen son clave para sus capacidades de vuelo. Los patos, por estar adaptados para volar, tienen alas más grandes en relación con su cuerpo, mientras que las gallinas, al no ser voladoras, tienen alas más pequeñas y no están adaptadas para el vuelo, lo que refleja cómo su crecimiento y estructura están influenciados por el entorno en el que viven.

Ahora supongamos que tenemos una planta cuyo tamaño en altura x se relaciona con su tasa de crecimiento medida como el aumento en su peso y. Si esta relación estuviera definida por:

$y=0.5\cdot x^{1.2}$,

podríamos predecir que, a medida que la planta crece, su tasa de crecimiento también aumenta, pero a un ritmo ligeramente mayor que su aumento en tamaño. Al tener un exponente mayor que 1, su tasa de crecimiento y aumentará más rápidamente que el tamaño de la planta x. Es decir, cuando la planta crece más en altura, no solo aumentará en tamaño, sino que la cantidad de recursos metabólicos (como nutrientes, agua, luz solar) que puede captar y procesar la planta, también crece a un ritmo mayor. Esto podría deberse a que las plantas más grandes tienen una mayor capacidad para realizar fotosíntesis y, por lo tanto, pueden aumentar su masa a una tasa más alta que su simple crecimiento en tamaño.

Ejemplo 1.

Sea un elefante adulto de 3.3 metros de altura y 6000 kilogramos de masa. Supongamos que queremos modelar la relación entre el peso de la masa (y) y la altura (x) de dicho elefante utilizando un modelo alométrico de la forma: $y=a\cdot x^b$

donde:

• y es el peso del elefante en kilogramos,
• x es la altura del elefante en metros,
• a es una constante específica para esta relación,
• b es el exponente alométrico, que refleja cómo varía el peso con respecto a la altura.

Nota importante: el valor del exponente b para especies grandes, como los elefantes, generalmente se obtiene a través de estudios empíricos. En muchos mamíferos grandes, el exponente alométrico b suele estar en el rango de 2.5 a 3. Este valor se ha observado en estudios alométricos realizados por biólogos que modelan la relación entre el tamaño y el peso de diferentes especies de mamíferos. Por ejemplo, según Reiss en sus estudios de alometría en elefantes africanos (Loxodonta africana) encontró que el exponente b se encuentra cerca de 2.7 (Reiss, p. 47).

Usamos los valores de los datos conocidos para encontrar la constante a en la ecuación alométrica. Sabemos que: x = 3.3 m (altura), y = 6000 kg (peso), y suponemos que b = 2.7.
Sustituyendo en la ecuación: $y=a\cdot x^b\Rightarrow 6000=a\cdot (3.3{)}^{2.7}$.
Resolvemos para a: $a=\frac{6000}{38.3}\approx 156.5$.

De manera que la ecuación que describe la relación buscada es: $y=156.5\cdot x^{2.7}$.

Podemos decir que este modelo muestra que el peso del elefante africano aumenta a un ritmo mucho más rápido que la altura. Esto es consistente con la idea de que los animales más grandes necesitan estructuras corporales más robustas para sostener su tamaño. La constante a refleja la escala de la relación para esta especie en particular, y el exponente b = 2.7 indica que, por cada unidad de aumento en la altura, el peso aumenta de manera más que proporcional.

Ejemplo 2. 

Sea una planta de maíz de 2.5 metros de altura y 5 kilogramos de masa. Supongamos que queremos modelar la relación entre el peso de la masa (y) y la altura de la planta (x), utilizando un modelo alométrico de la forma: $y=a\cdot x^b$

donde:

• y es el peso de la planta en kilogramos,
• x es la altura de la planta en metros,
• a es una constante específica para esta relación,
• b es el exponente alométrico.

Nota importante: para las plantas, el valor del exponente b generalmente se encuentra en el rango de 1.1 a 1.3. Este valor depende de cómo el crecimiento de la biomasa se ve influenciado por factores como la capacidad de la planta para realizar fotosíntesis, la disponibilidad de recursos y las condiciones ambientales. En estudios de alometría para el maíz, se ha observado que el exponente b está alrededor de 1.2.

Usamos los valores de los datos conocidos para encontrar la constante a. Sabemos que: x = 2.5 m (altura), y = 5 kg (peso), y suponemos que b = 1.2.
Sustituyendo en la ecuación: $y=a\cdot x^b\Rightarrow 5=a\cdot (2.5{)}^{1.2}$
Ahora resolvemos para a: $a=\frac{5}{3.16}\approx 1.58$.

Por lo que la ecuación que describe la relación que buscamos es: $y=1.58\cdot x^{1.2}$.

Podemos observar que este modelo muestra que, a medida que la planta de maíz crece en altura, su peso aumenta a un ritmo mayor. Esto tiene sentido, ya que las plantas más altas tienen más capacidad para captar luz solar, agua y nutrientes, lo que les permite incrementar su masa de manera más rápida a medida que crecen.

Ejercicio 1. 

Sea una planta de agave de 1.8 metros de altura y 25 kilogramos de masa. Modela la relación entre el peso de la masa (y) y la altura de la planta (x), utilizando un modelo alométrico de la forma: $y=a\cdot x^b$. Considera un exponente alométrico b = 1.2.

3.2 Propiedades de las potencias y los logaritmos
Las potencias y los logaritmos son funciones matemáticas  y herramientas importantes para estudios biológicos, especialmente en el análisis de relaciones exponenciales entre variables. Estas relaciones pueden aparecer en modelos de crecimiento, distribución de recursos, y escalas de tamaño en organismos vivos. A través de las propiedades de las potencias y la transformación logarítmica, podemos simplificar la resolución de ecuaciones complejas, además de visualizar relaciones no lineales de manera más clara.

Potencias

Las potencias son funciones matemáticas de la forma $x^b$, donde b es un exponente. Estas funciones forman una familia de curvas, cuya forma cambia dependiendo del valor de b. A continuación se puede observar gráficamente esta familia de curvas para algunos valores de b:

Propiedades de las potencias

• $x^a\cdot x^b=x^{a+b}$
  Ejemplo: $x^3\cdot x^4=x^{3+4}=x^7$
• ${\left(x^a\right)}^b=x^{a\cdot b}$
  Ejemplo: ${\left(x^3\right)}^2=x^{3\cdot 2}=x^6$
• $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$
  Ejemplo: $\frac{x^7}{x^3}=x^{7-3}=x^4$

Estas propiedades nos permiten simplificar expresiones algebraicas complejas y que resulte más sencillo operar con ellas. Al transformar las potencias, podemos estudiar cómo las variables se afectan entre sí.

Ejercicios

• $x^2\cdot x^5$

• $x^6\cdot x^3$

• ${\left(x^2\right)}^4$

• ${\left(x^5\right)}^3$

• $\frac{x^8}{x^2}$

• $\frac{x^9}{x^4}$

Logaritmos

Los logaritmos son el proceso inverso de la potenciación. Mientras que la potenciación nos permite elevar una base a un exponente, el logaritmo nos permite encontrar el exponente al que debemos elevar una base para obtener un determinado valor. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, porque ${10}^3=1000$.

La propiedad básica de los logaritmos es la siguiente:

${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$

Esto quiere decir que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.

A continuación se puede observar gráficamente las familias de curvas de las funciones inversas para algunos valores de a:

Propiedades de los logaritmos

• Producto: ${\log }_b(x\cdot y)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$
  Ejemplo: Si x = 2 e y = 8, calculamos ${\log }_2(2\cdot 8)$: ${\log }_2(16)={\log }_2(2)+{\log }_2(8)$
  Sabemos que ${\log }_2(16)=4$,${\log }_2(2)=1$ y ${\log }_2(8)=3$, por lo tanto: 4 = 1 + 3.
• Cociente: ${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b(x)–{\log }_b(y)$
  Ejemplo: Si x = 8 e y = 2, calculamos ${\log }_2\left(\frac{8}{2}\right)$: ${\log }_2(4)={\log }_2(8)–{\log }_2(2)$
  Sabemos que ${\log }_2(4)=2$, ${\log }_2(8)=3$ y ${\log }_2(2)=1$, por lo tanto: 2 = 3 – 1.
• Potencia: ${\log }_b(x^n)=n\cdot {\log }_b(x)$
  Ejemplo: Si x = 2 y n = 3, calculamos ${\log }_2(2^3)$: ${\log }_2(8)=3\cdot {\log }_2(2)$
  Sabemos que ${\log }_2(8)=3$ y ${\log }_2(2)=1$, por lo tanto: $3=3\cdot 1$.
• Cambio de Base: ${\log }_b(x)=\frac{{\log }_c(x)}{{\log }_c(b)}$
  Ejemplo: Si x = 8, b = 2 y c = 10, calculamos ${\log }_2(8)$ utilizando la base 10: ${\log }_2(8)=\frac{{\log }_{10}(8)}{{\log }_{10}(2)}$
  Sabemos que ${\log }_{10}(8)\approx 0.903$ y ${\log }_{10}(2)\approx 0.301$, por lo tanto: ${\log }_2(8)=\frac{0.903}{0.301}\approx 3$
• Logaritmo de 1: ${\log }_b(1)=0\text{para cualquier base}b>0$
  Ejemplo: Si b = 5, entonces: ${\log }_5(1)=0$

Transformación logarítmica

Si tenemos una ecuación de una función exponencial de la forma $y=a{x}^b$, podemos aplicar logaritmos de base 10 o natural para obtener una relación lineal:

$y=a{x}^b\Rightarrow \log (y)=\log (a)+b\log (x).$

De esta forma, los datos pueden ser graficados en un sistema de coordenadas log-log, y la pendiente de la recta resultante será igual al valor de b.

Ejemplo 1. Ajuste logarítmico de datos alométricos 

Dado un conjunto de datos con las variables de masa corporal y y altura x a lo largo del desarrollo de una especie, al aplicar logaritmos a ambos valores, se podrían graficar estos valores y ver si los datos siguen una línea recta. Si la relación es alométrica, la pendiente de esa línea corresponderá al exponente b.

• Sea el siguiente conjunto de datos sobre la masa corporal (kg) y altura (cm) de un ciervo a lo largo de su desarrollo: (50, 3.5), (80, 12), (90, 25), (100, 40), (110, 60), (120, 80).

El primer paso es aplicar el logaritmo en base 10 a ambos valores:

x (altura en cm)	y (masa en kg)	log(x)	log(y)
50	3.5	1.698970004	0.5440680444
80	12	1.903089987	1.079181246
90	25	1.954242509	1.397940009
100	40	2	1.602059991
110	60	2.041392685	1.77815125
120	80	2.079181246	1.903089987

Al graficar los dos conjuntos de datos, obtenemos las gráficas:

Ejemplo 2. Cálculo de la pendiente de una relación alométrica 

Para calcular la pendiente de la recta logarítmica obtenida (continuando con la información del ejemplo anterior)  usamos la fórmula de la pendiente $b=\frac{(y_2–y_1)}{(x_2–x_1)}$, donde $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ son dos puntos transformados.

Tomamos un par de puntos (1.698970004, 0.5440680444) y (1.903089987, 1.079181246):

$b=\frac{(1.079181246–0.5440680444)}{(1.903089987–1.698970004)}$ 

$=\frac{0.5351132016}{0.204119983}\approx 2.62156205$

Ejercicio 1. Transformación logarítmica de una ecuación alométrica
Dada la ecuación $y=0.5\cdot x^{2.1}$, realiza su transformación logarítmica.

Ejercicio 2. Ajuste logarítmico de datos alométricos
Dado el siguiente conjunto de puntos (x, y): (1, 2), (2, 8), (4, 32), (8, 128), (16, 512), esboza la curva que representan. Luego realiza su transformación logarítmica y encuentra el lugar geométrico que describen los nuevos datos.

Ejercicio 3. Cálculo de la pendiente de una relación alométrica
En un estudio sobre la relación entre la masa corporal y la altura de una especie de mamífero terrestre, se ha observado que estas dos variables siguen una relación alométrica. Se te proporcionan los siguientes datos para una muestra de 6 individuos:

Individuo	x (altura en cm)	y (masa en kg)
1	33	2.5
2	51.5	7
3	58	12.5
4	69	18
5	83	24.5
6	92	32

1. Grafica los puntos y encuentra la curva alométrica.
2. Transforma los valores de altura x y masa y de cada individuo aplicando logaritmos de base 10 (puedes usar una hoja de cálculo para tener resultados más precisos).
3. Grafica los puntos transformados en un sistema de coordenadas log-log.
4. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos transformados, que representará el valor del exponente b en la ecuación alométrica (puedes usar la fórmula de la pendiente $b=\frac{(y_2–y_1)}{(x_2–x_1)}$.

3.3 Transformación de datos y ajuste de curvas alométricas

Transformación de datos

Como se mencionó anteriormente, cuando los datos de un experimento no siguen una relación lineal directa, podemos transformarlos para hacer que sigan una tendencia más fácil de analizar. En biología, esto ocurre comúnmente cuando estamos trabajando con relaciones exponenciales.

Para transformar los datos, se puede aplicar el logaritmo de cada uno de los valores. Este proceso es útil cuando tenemos datos que siguen una ley del tipo $y=a{x}^b$, ya que al aplicar el logaritmo, transformamos la relación en una forma lineal:

$\log (y)=\log (a)+b\log (x)$

Esta transformación convierte la relación no lineal en una recta, la cual podemos analizar utilizando métodos estadísticos.

Ajuste de curvas alométricas

El ajuste de curvas implica encontrar el valor de a y b que mejor describen la relación entre las variables y y x. Para hacer esto, se puede usar el método de mínimos cuadrados que es una técnica utilizada para encontrar la recta que mejor se ajusta a un conjunto de datos minimizando la suma de las diferencias cuadradas entre los valores observados y los valores predichos por la recta. La recta se describe con la ecuación $Y=mX+c$, donde m es la pendiente de la recta y c es la intersección o el valor de Y cuando X = 0.

La intención del método es encontrar la recta que minimice la suma de las diferencias cuadradas entre los valores observados (los puntos reales en el gráfico) y los valores predichos por la recta. No podemos esperar que todos los puntos encajen en la recta, sin embargo, se busca encontrar la mejor aproximación posible.

Para encontrar esta recta debemos considerar la siguiente fórmula para encontrar la pendiente m:

$m=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot (y_i–\overline{y})}{\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot (x_i–\overline{x})},$

donde:

• $x_i$ y $y_i$​ son los valores individuales de los datos transformados de x e y,
• $\overline{x}$ y $\overline{y}$​ son las medias de $\log (x)$ y $\log (y)$, respectivamente.

La fórmula propuesta es una expresión estándar derivada de los principios del ajuste de curvas mediante el método de mínimos cuadrados, y nos da el valor de la pendiente de la recta que mejor aproxima los datos transformados.

Una vez que hemos calculado la pendiente m, podemos calcular la intersección c, que es el valor de $\log (y)$ cuando $\log (x)=0$. Para calcular c, utilizamos la siguiente fórmula:

$c=\frac{\sum y_i–m\cdot \sum x_i}{n},$

donde:

• $\sum y_i$ es la suma de los valores de $\log (y)$,
• $\sum x_i$​ es la suma de los valores de$\log (x)$,
• m es la pendiente que hemos calculado previamente,
• n es el número total de puntos de datos.

Ésta fórmula proviene de la ecuación general de la recta $Y=mX+c$, evaluada en los puntos medios de los valores de X e Y. Esta fórmula garantiza que la recta pase por el promedio de los puntos transformados.

Ejemplo 1. Ajuste de datos alométricos con el método de mínimos cuadrados 

Supongamos que se tiene un conjunto de datos de peso y y tamaño x de diferentes individuos que cumple con una relación alométrica. Los datos obtenidos son:

(x, y) = (2, 10), (4, 16), (8, 40), (16, 100)

Queremos encontrar la ecuación $y=a{x}^b$ utilizando el método de mínimos cuadrados. 

• Paso 1: Transformación logarítmica de los datos

Como estamos trabajando con una relación alométrica del tipo $y=a{x}^b$, aplicamos logaritmos en base 10 a ambos valores de x e y:

$\log (x)=\{0.3010,0.6021,0.9031,1.2041\}$  y $\log (y)=\{1,1.2041,1.6021,2\}.$

Luego, los puntos transformados son: 

$(\log (x),\log (y))=(0.3010,1),(0.6021,1.2041),(0.9031,1.6021),(1.2041,2)$

• Paso 2: Ajuste de la recta usando mínimos cuadrados

Ahora que tenemos los puntos transformados, ajustamos una recta $Y=mX+c$, donde $Y=\log (y)yX=\log (x)$. Consideramos la fórmula para calcular la pendiente m:

$m=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot (y_i–\overline{y})}{\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot (x_i–\overline{x})}$​

Primero, calculamos los promedios de $\log (x)$ y $\log (y)$:

$\overline{x}=\frac{0.3010+0.6021+0.9031+1.2041}{4}=0.7526$

$\overline{y}=\frac{1+1.2041+1.6021+2}{4}=1.4513$

Luego, calculamos las sumas necesarias:

$\sum x_i\cdot (y_i–\overline{y})=(0.3010)(1–1.4513)+(0.6021)(1.2041–1.4513)+(0.9031)(1.6021–1.4513)+(1.2041)(2–1.4513)$

$=(0.3010)(-0.4513)+(0.6021)(-0.2472)+(0.9031)(0.1508)+(1.2041)(0.5487)$

$=-0.1359+(-0.1486)+0.1362+0.6603=0.5120$ 

$\sum x_i\cdot (x_i–\overline{x})=(0.3010)(0.3010–0.7526)+(0.6021)(0.6021–0.7526)+(0.9031)(0.9031–0.7526)+(1.2041)(1.2041–0.7526)$

$=(0.3010)(-0.4516)+(0.6021)(-0.1505)+(0.9031)(0.1505)+(1.2041)(0.4515)$

$=-0.1359+(-0.0906)+0.1362+0.5436=0.4533$

Ahora, sustituimos los valores en la fórmula para la pendiente m:

$m=\frac{0.5120}{0.4533}\approx 1.13$

• Paso 3: Cálculo de la intersección c

Para calcular la intersección c consideramos la fórmula:

$c=\frac{\sum y_i–m\cdot \sum x_i}{n}$

Primero, calculamos las sumas:

$\sum y_i=1+1.2041+1.6021+2=5.8062$

$\sum x_i=0.3010+0.6021+0.9031+1.2041=3.0103$

Sustituimos los valores en la fórmula de c:

$c=\frac{5.8062–(1.13)(3.0103)}{4}=\frac{5.8062–3.4022}{4}=\frac{2.4040}{4}=0.6010$

• Paso 3: Definición de la ecuación de la recta

La ecuación de la recta transformada es:

$\log (y)=1.13\log (x)+0.6010$

Para obtener la ecuación original $y=a\cdot x^b$ a partir de los datos obtenidos, sabemos que b = m = 1.13 y $\log (a)=c=0.6010$.

Por lo tanto, $a={10}^{0.6010}\approx 4.0$.

Así que la ecuación alométrica que buscamos es:

$y=4\cdot x^{1.13}$.

Ejercicio 1.
Supongamos que estamos estudiando la relación entre la altura x (cm) y el peso y (kg) de pumas macho en una zona montañosa de México. Los datos obtenidos para cuatro individuos son los siguientes:

$(x,y)=(220,60),(230,62),(225,64),(210,58)$

Encuentra la ecuación $y=a\cdot x^b$ que mejor describa la relación alométrica utilizando el método de mínimos cuadrados.

3.4 Otras funciones potenciales en biología: el metabolismo y las leyes de Kleiber y Rubner

Ley de Kleiber

La ley de Kleiber establece que la tasa metabólica M (generalmente en calorías o kilocalorías por día) de los organismos es proporcional a su masa corporal (en kilogramos) W elevada a la ¾. Esta ley se puede expresar como:

$M=a\cdot W^{3/4}$, 

donde a es una constante de proporcionalidad que se determina experimentalmente y varía entre diferentes grupos de organismos (mamíferos, aves, reptiles, etc.). Esta constante refleja la eficiencia metabólica del organismo y la forma específica en que su cuerpo utiliza la energía en función con su masa. Por ejemplo, en mamíferos, la constante a suele tener un valor cercano a 70, aunque puede ajustarse para cada especie dependiendo de su metabolismo y características fisiológicas.

Concepto clave: Aunque los animales más grandes tienen una mayor tasa metabólica, esta no es proporcional al tamaño de su masa debido a factores como la eficiencia del metabolismo y la distribución de la energía.

Ejemplo 1. Cálculo de la tasa metabólica de un animal 

Supongamos que un animal tiene una masa de 500 kg y una constante a = 70, entonces usando la ley de Kleiber, podemos calcular su tasa metabólica:

$M=70\cdot {500}^{3/4}\approx 70\cdot 105.7371\approx 7401.59$kcal/día.

Este cálculo nos indica que el animal consume aproximadamente 7401.59 kcal por día, que es su tasa metabólica según la ley de Kleiber.

Ley de Rubner

La ley de Rubner establece que la tasa metabólica M de un organismo es proporcional a su superficie corporal A, con la fórmula:

$M=k\cdot A^{2/3}$,

donde k es una constante que se determina experimentalmente y depende de la forma del animal y de cómo se distribuye su masa en relación con su superficie. Cada especie tiene un valor único de k basado en su morfología y distribución corporal; los animales más grandes tienen un valor más pequeño de k, mientras que los animales más pequeños, tendrán un valor de k más grande, ya que su forma está más adaptada a perder calor rápidamente. Los valores de k usualmente oscilan entre 60 y 80 para mamíferos en general.

Concepto clave: En organismos pequeños, la superficie corporal es crucial para determinar la tasa metabólica debido a su papel en el intercambio de calor y energía con el ambiente. A medida que los animales son más pequeños, su área superficial en relación con el volumen es mayor, lo que favorece la pérdida de calor.

Ejemplo 2. Comparación entre la ley de Kleiber y Rubner 

Vamos a comparar cómo cada ley describe la tasa metabólica de dos animales de tamaños muy diferentes: un ratón y un elefante.

Ley de Kleiber

La ley de Kleiber describe cómo la tasa metabólica está relacionada con la masa corporal. 

Para ello, utilizamos la fórmula $M=a\cdot W^{3/4}$ con los siguientes datos respectivamente:

• Masa del ratón: $W_{\text{ratón}}=0.03\text{kg}$
• Masa del elefante: $W_{\text{elefante}}=5000\text{kg}$
• $a_{\text{ratón}}=70$
• $a_{\text{elefante}}=80$

Calculamos sus tasas metabólicas

Ratón: $M_{\text{ratón}}=70\cdot {0.03}^{3/4}\approx 70\cdot 0.0721\approx 5.05\text{kcal/día}$

Elefante: $M_{\text{elefante}}=80\cdot {5000}^{3/4}\approx 80\cdot 594.6\approx 47568.28\text{kcal/día}$

Ley de Rubner

La ley de Rubner, por otro lado, describe la tasa metabólica en función de la superficie corporal A. Usamos la fórmula:

$M=k\cdot A^{2/3}$

supongamos $k_{\text{ratón}}=70$ y $k_{\text{elefante}}=60$.

Para usar esta ley, necesitamos calcular el área superficial de cada animal. Aproximamos la superficie corporal A de un organismo utilizando la fórmula:

$A=k\cdot W^{2/3}$

supongamos $k_{\text{ratón}}=10$ y $k_{\text{elefante}}=5$.

Calculamos el área superficial de cada animal y a continuación sus tasas metabólicas

Ratón:

$A_{\text{ratón}}=10\cdot {0.03}^{2/3}\approx 10\cdot 0.098\approx 0.98{\text{m}}^2$

$\Rightarrow M_{\text{ratón}}=b\cdot {0.97}^{2/3}\approx 70\cdot 0.98\approx 68.59\text{kcal/día}$

Elefante:

$A_{\text{elefante}}=5\cdot {5000}^{2/3}\approx 5\cdot 292.40\approx 1462{\text{m}}^2$

$\Rightarrow M_{\text{elefante}}=b\cdot {1462}^{2/3}\approx 60\cdot {1462}^{2/3}\approx 60\cdot 128.81\approx 7728.87\text{kcal/día}$

Observaciones:

• La ley de Kleiber se basa en la relación entre la masa corporal de un organismo y su tasa metabólica, y muestra que los organismos más grandes tienen una tasa metabólica mayor, pero no proporcional a su masa. Los resultados muestran que el elefante, con una masa mucho mayor, tiene una tasa metabólica considerablemente mayor (aproximadamente 47568 kcal/día) en comparación con el ratón (aproximadamente 5.05 kcal/día). Esto es consistente con la hipótesis de que los animales grandes requieren más energía, pero la relación no es directamente proporcional a su masa.

• La ley de Rubner se enfoca en la superficie corporal, lo que es un factor importante en el intercambio de calor y la eficiencia metabólica de los animales, sobre todo en los más pequeños, que tienden a tener una tasa metabólica relativamente más alta en relación con su masa, ya que tienen más superficie en proporción a su volumen. En este caso, el ratón tiene una tasa metabólica más alta (aproximadamente 68.59 kcal/día) que el elefante (aproximadamente 7728.87 kcal/día), lo que refleja que los animales pequeños tienen una tasa metabólica más alta debido a la mayor superficie corporal relativa.

Podemos concluir que:

La ley de Kleiber es más adecuada para animales grandes, donde la masa corporal es el factor dominante que determina el metabolismo; y la ley de Rubner es más adecuada para animales pequeños, donde la superficie corporal juega un papel crucial en la tasa metabólica debido a la mayor tasa de pérdida de calor y eficiencia energética.

Referencias bibliográficas

Thompson, D’ A. W. 1992 On growth and form: the complete revised edition. Dover, Nueva York.
Reiss, Michael J. 1989. The Allometry of Growth and Reproduction. Cambridge University Press, Cambridge.

Evaluación

Faltan ejercicios y evaluación

1. Evalúa las siguientes expresiones, escribe cada paso y la ley de los exponentes que usaste en cada caso. Escribe tu respuesta sin exponentes negativos.

• $(-2{)}^5$
• $-2^5$
• $2^{-5}$
• $(4^7)/(4^4)$
• $(3^8)/(3^5)$
• $(7^{1}2)/(7^{1}0)$
• $(5/6{)}^{-3}$
• $(1/4{)}^{-2}$
• $(3/5{)}^{-4}$
• ${27}^{2/3}$
• $8^{3/2}$
• ${16}^{1/4}$
• $(-5{)}^3$
• $-5^3$
• $5^{-3}$
• $(2^6)/(2^2)$
• $(9^5)/(9^3)$
• $(4^7)/(4^4)$
• $(3/4{)}^{-2}$
• $(5/9{)}^{-1}$
• $(8/15{)}^{-3}$
• $2^{-2}$
• ${10}^{-3}$
• ${16}^{-5/4}$
• ${32}^{-4/5}$
• $(3/7{)}^{-5}$
• $(1/2{)}^{-4}$
• $(5/11{)}^{-6}$

2. Simplifica las expresiones e indica la ley o propiedad que usaste en cada tipo de expresión. Escribe tu respuesta sin exponentes negativos.

• $\sqrt{72}-\sqrt{50}$​
• $\sqrt{245}+\sqrt{72}$​
• $\sqrt{300}-\sqrt{75}$
• $\sqrt{128}+\sqrt{32}$
• $\sqrt{180}-\sqrt{45}$
• $(2a^2{b}^3)(3a^4{b}^2)$
• $(5a^3{b}^2{)}^2(2a^2{b}^4)$
• $(4a^{2}b)(3a^3{b}^2)$
• $(7a^5{b}^3)(2a^2{b}^4{)}^2$
• $(8a^4{b}^2)(5a^2{b}^3)$
• ${\left(\frac{2x^{3/4}{y}^2}{x^{1/2}{y}^{1/3}}\right)}^2$
• ${\left(\frac{3a^{5/3}{b}^2}{a^{2/3}{b}^{1/2}}\right)}^3$
• ${\left(\frac{4x^{5/6}{y}^3}{x^{1/3}{y}^{2/5}}\right)}^2$
• ${\left(\frac{5a^{2/3}{b}^{1/4}}{a^{1/2}{b}^{1/3}}\right)}^3$
• ${\left(\frac{6x^{4/5}{y}^2}{x^{1/5}{y}^{1/2}}\right)}^2$

3. Resuelve las siguientes operaciones paso a paso.

• $5(x+7)+3(2x-4)$
• $4(x-3)+6(3x+2)$
• $2(x+5)+7(4x-1)$
• $(x+4)(3x-2)$
• $(x-1)(2x+5)$
• $(2x+3)(x-4)$
• ​​$(3x+5{)}^2$
• $(2x-7{)}^2$
• $(4x+6{)}^2$
• $(x+3{)}^3$
• $(2x-1{)}^3$
• $(x-4{)}^3$
• $(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})$
• $(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)$
• $(2a+\sqrt{b})(2a-\sqrt{b})$

4. Factoriza las siguientes expresiones. 

• $4x^4+8x^3$
• $5y^3+10y^2$
• $3x^{4/3}-6x^{2/3}+9x^{-1/3}$
• $2x^{5/2}–4x^{3/2}+6x^{1/2}$
• $x^{2}y-3x{y}^2$
• $6x^{3}y-9x^2{y}^2$
• $9x^2–16$
• $4y^2–25$
• $3x^2+11x-4$
• $4x^2-13x+9$
• $x^3-6x^2-4x+24$
• $x^3+2x^2-9x-18$

5. Simplifica las siguientes expresiones racionales. 

• $\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+3}$
• $\frac{2x^3+5x^2–6x}{x^2–x–6}$​
• $\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2–1}\right)\left(\frac{x–1}{x+2}\right)$
• $\left(\frac{x^2–9}{x^2–4}\right)\left(\frac{x+3}{x+2}\right)$
• $\frac{x^2+6x+9}{x^2–4}–\frac{2x+3}{x+2}$
• $\frac{x^2–1}{x^2+3x+2}–\frac{x+2}{x+1}$
• $\frac{\frac{2x}{y}–\frac{y}{x}}{\frac{1}{x}–\frac{1}{y}}$
• $\frac{\frac{3}{x+1}+\frac{2}{x–1}}{\frac{1}{x–1}+\frac{1}{x+1}}$

6. Racionaliza las expresiones y simplifica.

• $\sqrt{6}\sqrt{3}-1$
• $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}–3}$
• $\frac{\sqrt{16+h}–4}{h}$
• $\frac{\sqrt{9+h}–3}{h}$

7. Reescribe las siguientes expresiones completando cuadrados.

• $x^2+6x+5$
• $x^2+4x+7$
• $3x^2–18x+7$
• $3x^2–18x+5$
• $2x^2+8x+3$
• $4x^2–12x+24$

8. Resuelve las siguientes ecuaciones, encuentra sólo raíces reales.

• $x+3=8-\frac{x}{3}$
• $x^2–7x+10=0$
• $x^4–5x^2+4=0$
• $3x(5–x{)}^{1/2}–2\sqrt{5–x}=0$
• $\frac{3x}{x+2}=\frac{3x–2}{x+1}$
• $2x^2+5x–3=0$
• $4|x–2|=12$

9. Resuelve las desigualdades, la solución debe estar en términos de intervalos de números reales.

• $-3<4–2x\le 10$
• $-5\le 7–4x<12$
• $x(x+3)(x–2)>0$
• $(x–1)(x+3)(x–4)\le 0$
• $\frac{3x+2}{x–2}>1$
• $\frac{4x–5}{x+2}\ge 2$
• $x^2–5x+6\ge 0$
• $x^2+4x–5<0$
• $|x+2|\ge 5$
• $|2x–1|>4$

10. Indica si las siguientes ecuaciones son falsas o verdaderas, explica por qué.

• $(m+n{)}^2=m^2+n^2$
• $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$
• $\frac{1}{a–b}=\frac{1}{a}–\frac{1}{b}$
• $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$​
• $\frac{1+r}{r}=1+\frac{1}{r}$
• $\frac{1/y}{a/y–b/y}=\frac{1}{a–b}$