(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta entrada empezaremos a estudiar los sistemas de ecuaciones lineales con cierto número de incógnitas. El objetivo de este tipo de sistemas es encontrar los valores adecuados que se deben colocar en el lugar de las incógnitas para que se satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.
Cada una de las ecuaciones en el sistema representa una restricción en las posibles soluciones del mismo, por lo que la solución del sistema debe cumplir con todas las restricciones impuestas por las ecuaciones. Las soluciones de este tipo de sistemas pueden no existir, ser únicas o puede haber múltiples soluciones.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales puede ser útil en diferentes áreas como en la física, la ingeniería, la economía, entre otras. Existen diferentes métodos para resolver este tipo de sistemas como el método de eliminación de Gauss, el método de eliminación de Gauss-Jordan y el método de la matriz inversa, entre otros.
Definición
Sean y naturales positivos. Un sistema de ecuaciones lineales con incógnitascon coeficientes en los reales es una colección de ecuaciones de la siguiente forma:
con para todo y para todo . Los números son llamados los coeficientes del sistema, mientras que son llamadas las incógnitas del sistema.
Si decimos que es un sistema homogéneo.
Ejemplo
Éste es un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas.
Podemos reescribir el sistema en forma matricial:
o bien,
Si , y , el sistema quedaria abreviado como:
A la matriz se le llama la matriz de coeficientes del sistema.
La matriz aumentada del sistema es:
Decimos que un vector , que identificamos con la matriz columna formada por las entradas , es solución del sistema si .
Observación 1
Sean y naturales positivos, , y . Sean son las columnas de . Tenemos que es una solución del sistema si y sólo si
Demostración
Sean y naturales positivos, , y . Sean son las columnas de .
es solución del sistema
Observación 2
Todo sistema homogéneo tiene al menos la solución , llamada la solución trivial.
Teorema.
Al realizar operaciones elementales en la matriz aumentada de un sistema, el sistema asociado puede cambiar, pero las soluciones son las mismas.
Demostración
Sean y naturales positivos, y
Consideremos el sistema y su matriz aumentada. Basta probar que al aplicar una operación elemental a el sistema asociado tiene las mismas soluciones.
Sea la operación que intercambia los renglones y . Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original sólo que en otro orden, así que las soluciones son las mismas.
Sea la operación que multipica el renglón por un real , con
Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original salvo por la ecuación que queda multiplicada por . Pero todo cumple que
Así, las soluciones de ambos sistemas coinciden.
Sea la operación que suma al renglón , veces el renglón , con
Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original salvo por la ecuación Pero todo cumple que:
si y sólo si
si y sólo si
y por lo tanto las soluciones son las mismas.
Tarea Moral
Determina si los siguientes sistemas son lineales. Para aquellos que lo sean expresa al sistema en forma matricial , encuentra una solución y expresa a como combinación lineal de las columnas de .
Considera a un sistema de ecuaciones en forma matricial . Sea una solución particular del sistema y una solución al sistema .
¿Qué puedes decir de ?
¿Cualquier solución de será la suma de con alguna solución del sistema ?
Más adelante
En la siguiente nota veremos ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones, los caracterizaremos de acuerdo a si tiene o no solución y al número de soluciones.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
La propiedad multiplicativa del determinante establece que si y son dos matrices cuadradas de igual tamaño, entonces el determinante de su producto es igual al producto de los determinantes de y , es decir:
La propiedad multiplicativa del determinante es muy útil en muchos problemas de álgebra lineal, ya que permite calcular el determinante de una matriz grande descomponiéndola como producto de matrices cuyos determinantes sean más sencillos de calcular.
En esta última entrada vamos a probar la propiedad multiplicativa del determinante, primero cuando una de las matrices es elemental, después probaremos la propiedad multiplicativa cuando una de las matrices es una matriz escalonada reducida por renglones para finalmente justificar con ello el caso general.
Observación 1
Sea es una matriz elemental:
El determinante de es si se obtiene de intercambiando dos renglones.
El determinante de es si se obtiene de multiplicando un renglón por un escalar no nulo.
El determinante de es si se obtiene de sumando a un renglón un múltiplo de otro.
Demostración
Es consecuencia directa de cómo cambia el determinante cuando aplicamos a la matriz una operación elemental. Se deja la prueba al lector.
Lema 3
Sean un natural positivo, con una matriz elemental. Tenemos que
Demostración
Sean un natural positivo, con una matriz elemental, , .
Caso 1
Si se obtiene de intercambiando los renglones y , entonces, gracias a la observación de la nota 35, se obtiene de intercambiando los renglones y . Por la propiedad de determinantes vista en la nota 41 tenemos que:
y por la observación 1 . Por lo tanto
Caso 2
Si se obtiene de multiplicando el renglón por , entonces, gracias a la observación de la nota 35, se obtiene de multplicando el renglón por Por la propiedad de determinantes vista en la nota 41 tenemos que y por la observación 1 , así
Caso 3
Si se obtiene de sumando al renglón veces el renglón , entonces, gracias a la observación de la nota 35, se obtiene de sumando al renglón veces el renglón , así por la propiedad de determinantes vista en la nota 41 y por la observación tenemos que y así
Observación 2
Sean un natural positivo, una matriz escalonada reducida. Tenemos que o bien tiene al menos un renglón nulo.
Demostración
Se deja la prueba al lector.
Lema 4
Sean un natural positivo, con escalonada reducida, se tiene que
Demostración
Sean un natural positivo, con escalonada reducida.
Por la observación sabemos que o bien tiene al menos un renglón nulo. Analicemos cada uno de estos dos casos.
Caso 1
Si entonces:
Caso 2
Si tiene al menos un renglón nulo, tenemos que tiene al menos un renglón nulo y por la propiedad de determinantes vista en la nota 41, así:
Teorema
Sean un natural positivo, . Se tiene que
Demostración
Sean un natural positivo,
Sabemos, gracias a lo que se vio en la nota 36, que para alguna matriz escalonada reducida, entonces, por la observación 2 de la nota 35 sabemos que , con un natural positivo y matrices elementales. Así:
Por el lema aplicado varias veces tenemos que:
y por el lema tenemos que:
Por el lema tenemos que:
y aplicando sucesivamente el lema obtenemos:
Concluimos que:
Observación 3
Sean un natural positivo, con una matriz escalonada reducida tal que . Tenemos que si y sólo si .
Demostración
Sean un natural positivo, con una matriz escalonada reducida tal que .
Dado que las operaciones elementales sólo afectan el signo del determinante o lo modifican por un factor , se tiene que y sólo difieren por un factor , es decir con , por lo cual si y sólo si .
Teorema
Sean un natural positivo, . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
Los renglones de forman un conjunto linealmente independiente en .
.
.
tiene inversa.
Demostración
Sean un natural positivo,
Supongamos que los renglones de forman un conjunto en . Entonces como son vectores en son una base de y así el espacio de renglones de es que tiene dimensión y por lo tanto
Supongamos . Entonces al escalonar se obtiene una matriz reducida con renglones no nulos. Por la observación sabemos que y así .
Supongamos que entonces con un natural positivo y matrices elementales (que son invertibles). Así, es producto de matrices invertibles y es por lo tanto invertible con
Supongamos que es invertible, entonces existe tal que . Así, . En particular .
Supongamos que . Sea la matriz escalonada tal que . Por la observación tenemos que y entonces no puede tener renglones nulos, entonces, usando la observación , tenemos que . Dado que se tiene que el rango de es y así la dimensión del espacio de renglones de es . Concluimos finalmente que los renglones de deben formar un conjunto
Tarea Moral
Analiza qué condiciones debe cumplir una matriz diagonal para que sea invertible.
Analiza qué condiciones debe cumplir una matriz triangular superior (o inferior) para que sea invertible.
¿Para que valores reales de , si es que existen, la matriz es invertible?
¿Qué condiciones se deben pedir a para que la matriz sea invertible?
Más adelante
Con esta entrada se terminan las notas del curso de Álgebra Superior I impartido por la Dra. Diana Avella Alaminos.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
El cálculo del determinante de una matriz es una operación fundamental en la teoría de matrices y álgebra lineal. En esta entrada estudiaremos el método de los menores o cofactores que es una técnica utilizada para calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier tamaño.
El método se basa en la expansión del determinante a lo largo de una fila o columna de la matriz, calculando el determinante de una matriz a partir de determinantes de ciertas matrices que resultan de eliminar una fila y una columna de la matriz original, acompañados de algunas entradas de la matriz y signos positivos o negativos que se alternan en función de la posición del elemento en la matriz.
El método de los menores o cofactores puede ser un poco tedioso para matrices grandes, pero es una herramienta poderosa para calcular determinantes de matrices cuadradas de cualquier tamaño y puede usarse junto con las propiedades que hemos estudiado de los determinantes para facilitar el cálculo de los mismos.
Ve el siguiente video con las demostraciones de los dos lemas que estudiaremos en esta entrada.
Definición
Sean un natural positivo, e Denotamos por a la matriz que se obtiene de quitando el renglón y la columna de . El menor de es el determinante de
Ejemplo
Considera las siguientes matrices:
y
El menor de es
, el menor de es
Lema 1
Sean un natural positivo y tal que , entonces
Demostración
Sean un natural positivo y tal que .
Por definición de determinante tenemos que:
Como todos los elementos de la fila son cero salvo en -ésimo entonces los únicos sumandos que pueden contribuir con algún valor no nulo son aquellos tales que , así:
Factorizando tenemos que:
Pero cada tal que da lugar a una , a saber tal que para toda , y recíprocamente, cada da lugar a una tal que , a saber tal que para toda y . Podemos reescribir lo anterior entonces como:
y por definición de determinante tenemos que:
Lema 2
Sean un natural positivo, e Si todos los elementos del renglón de salvo quizás son cero, entonces
Al número se le conoce como el cofactor de .
Demostración
Sean un natural positivo, , con
Entonces la matriz se ve de la siguiente forma (el renglón está marcador en rojo):
Vamos a intercambiar renglones y columnas para llevar esta matriz a una del tipo de las requeridas en la hipótesis del lema 1.
Nuestro objetivo es transformar la matriz en una equivalente , que tenga en el último renglón ceros en todas sus entradas salvo quizás en la última, y cuyo menor que es , sea igual al menor de , es decir el determinante de la matriz que se obtiene de quitar el ésimo renglón y la ésima columna de . Consideremos la matriz que se obtiene de después de intercambiar el renglón de con cada uno de los renglones subsecuentes, y después intercambiando la columna de la matriz obtenida con las columnas subsecuentes.
La matriz es de la forma:
Dado Que se obtuvo de realizando intercambios de renglones y intercambios de columnas, por la propiedad de la nota anterior tenemos que:
Desarrollando tenemos que:
y dado que y que
Obtenemos por el lema 1 que:
Teorema
Sean un natural positivo, e Se tiene que:
que se conoce como el desarrollo del determinante por el renglón de , o bien
que se conoce como el desarrollo del determinante por la columna de .
Ve el siguiente video de la demostración del teorema:
Demostración
Sean un natural positivo, e
Vamos a considerar el renglón y pensaremos que en cada término aparece una suma de términos, son ceros y el otro en el sumando -ésimo. Así, vamos a escribir a la matriz como:
Desde esta perspectiva podemos visualizar al renglón como la suma de los siguientes vectores:
Consideraremos ahora para cada , una matriz que tiene los mismos renglones que , excepto en el -ésimo renglón, en el que tendremos precisamente al vector -ésimo de la lista anterior.
Recordemos la propiedad uno de determinantes vista en la nota 41 que nos dice que: Si y son los renglones de y respectivamente, el renglón de es , y el resto de los renglones de y coinciden, entonces Gracias a dicha propiedad obtenemos que:
Finalmente, por el lema 2 obtenemos que:
La prueba es análoga para las columnas.
Ejemplos
Considera la matriz
Vamos a desarrollar su determinante. Conviene hacerlo por los renglones o columnas que tengan muchos ceros, en este caso vamos a desarrollar por la cuarta columna.
Según el teorema tenemos que:
Eliminando los términos con cero obtenemos que:
Consideremos ahora la matriz:
.
Vamos a calcular su determinante desarrollándolo a través de su tercer renglón:
,
al desarrollar obtenemos que:
Eliminando los términos con ceros tenemos que:
y como
Sea .
Desarrollemos su determinante por la segunda columna:
.
Eliminando los términos con cero tenemos que:
Finalmente, como obtenemos que:
Para el siguiente ejemplo tienes que tener el consideración las siguientes propiedades de determinantes vistos en la nota anterior.
Considera la matriz:
Escalonemos la matriz para obtener una matriz escalonada reducida por renglones, cuyo determinante será más sencillo de obtener. Dado que sabemos cómo cambia el determinante con las operaciones elementales realizadas, podremos decir cuál es el determinante de :
Explicación de las igualdades y operaciones elementales
Efectúa las operaciones elementales:
La igualdad se da por la propiedad 5. Efectúa la operación elemental:
La multiplicación por 10 se da por la propiedad 2. Efectúa la operación elemental:
El cambio de signo es por la propiedad 3. Efectúa las operaciones elementales:
La igualdad se da por la propiedad 5. Efectúa la operación elemental:
La igualdad se da por la propiedad 5.
Por ser una matriz diagonal inferior su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Pruébalo de tarea moral.
Tarea Moral
Una matriz cuadrada es diagonal si para . Por otro lado una matriz cuadrada es triangular superior si para . De acuerdo a la definición del determinante.
¿Cuál es el determinante de una matriz diagonal?
¿Cuál es el determinante de una matriz triangular superior?
Sea calcula los menores y de .
Calcula el determinante de
Considera la matriz
¿Cómo es su determinante en términos de ?, ¿cómo generalizarías el resultado para matrices con un natural positivo?
Más adelante
En la siguiente y última nota veremos la propiedad multiplicativa que tiene el determinante y estudiaremos qué condición debe cumplir el determinante de una matriz para saber si es invertible.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota deduciremos propiedades importantes que tienen los determinantes, para ello usaremos la definición dada en la nota anterior. Sería conveniente que, si no lo has hecho, revisaras los ejemplos de la nota anterior para que sea más natural su deducción.
Propiedades
Sean un natural positivo, , y
Si y son los renglones de y respectivamente, el renglón de es , y el resto de los renglones de y coinciden, entonces:
Si se obtiene de multiplicando el renglón por , entonces:
Si se obtiene de intercambiando dos renglones, entonces:
Si tiene dos renglones iguales, entonces:
Si se obtiene de sumando a un renglón un múltiplo de otro, entonces:
Si tiene un renglón de ceros, entonces:
Ve el siguiente video con las demostraciones de las propiedades y :
Demostración de las propiedades
Sean un natural positivo, , y
Demostración de la propiedad 1
Supongamos que para todo y para todo , supongamos también que para todo . Por definición de determinante:
y entonces por hipótesis
Así:
Aplicando la propiedad distributiva de los reales tenemos que:
y por hipótesis para todo y para todo , por lo tanto:
Entonces por definición determinante tenemos que:
Demostración de la propiedad 2
Supongamos que para toda y para toda , y que para toda .
Por definición de determinante tenemos que:
pero, por hipótesis, , así:
También por hipótesis para toda , entonces:
y factorizando :
entonces por definición:
Ve el siguiente video con las demostraciones de las propiedades y
Demostración de la propiedad 3
Supongamos que se obtiene de intercambiando los renglones y .
Por definición tenemos que:
Al intercambiar los renglones y tenemos que:
y , y además para toda distinta de y de .
Entonces:
Observa que la permutación es muy parecida a salvo en su evaluación en y en . De modo más preciso , con la transposición que intercambia a y a . Entonces difieren sólo en una transposición y por lo tanto . Vamos a reescribir el determinante en términos de la permutación , y entonces:
entonces por definición tenemos que:
Demostración de la propiedad 4
Supongamos que los renglones y de son iguales . Sea la matriz que se obtiene de intercambiado sus renglones y , entonces . Por la propiedad tenemos que . Así:
entonces . De aquí tenemos que y por lo tanto:
.
Ve el siguiente video con las demostraciones de las propiedades
Demostración de la propiedad 5
Supongamos que se obtiene de sumando al renglón , veces el renglón
Entonces si:
Entonces es:
Por la propiedad tenemos que:
y por la propiedad tenemos que:
y como la matriz que aparece en el segundo sumando tiene dos renglones repetidos, su determinante es cero. Por lo tanto:
Demostración de la propiedad 6
Si el renglón de es un renglón de ceros, al multiplicar el renglón por cero obtenemos , así por la propiedad :
Observación
Sea ya que si es un producto de transposiciones entonces tenemos que
Demostración de la propiedad 7
Sea , entonces de la definición de determinante
Por la definición de transpuesta tenemos que para toda , entonces:
Por la observación tenemos que:
Observemos que cada factor , es de la forma con , entonces reacomodando dichos factores en orden creciente de acuerdo al valor de tenemos:
Si denotamos , al reescribir en términos de tenemos que:
Gracias a la propiedad 7 tenemos que:
Corolario
Todas las propiedades antes mencionadas de renglones se cumplen también para las columnas.
Tarea Moral
Sean ,
Si y , ¿cuánto es el determinante de ?
Sean , .
Calcula el determinante de en términos de los determinantes de y .
¿Cómo podrías generalizar el resultado del inciso anterior a matrices de para un natural positivo?
Sean y . ¿Cómo es el determinante de en términos del determinante de ?
Sean y
¿Cómo es el determinante de comparado con el determinante de ?
Sean un natural positivo y . Si un renglón de es múltiplo de otro. ¿Qué ocurre con el determinante de ?
Más adelante
En la siguiente nota deduciremos una fórmula para el calculo del determinante.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
El determinante de una matriz cuadrada es un valor numérico asociado a la matriz, que se puede calcular a partir de sus entradas y que tiene muchas aplicaciones en álgebra lineal y otras áreas de las matemáticas y la física. Una forma de definir el determinante es mediante permutaciones.
Dada una matriz cuadrada de renglones, para cada permutación de elementos se consideran los productos de entradas de la matriz, donde hay exactamente un factor en cada renglón de la matriz y exactamente un factor de cada columna; después se les asocia un signo y se suman todos estos productos. El resultado de esta suma es el determinante de la matriz.
Esta definición puede parecer complicada al principio, pero es muy poderosa y se puede utilizar para calcular determinantes de matrices de cualquier tamaño.
En esta entrada estudiaremos las permutaciones de elementos, daremos la definición de determinante y algunos ejemplos sencillos.
Te invitamos a ver el siguiente video de 3Blue1Brown en el que se da una aproximación geométrica e intuitiva de lo que es el determinante.
Puedes ver también el siguiente video de la clase que te ayudará a comprender lo que aparece en esta entrada.
Antes de llegar a la definición de lo que es un determinante recordemos lo que es una permutación. En la nota 22 estudiamos las permutaciones de un conjunto . Ahora, para un natural positivo, vamos a concentrarnos en las permutaciones del conjunto :
Definición
Sea un natural positivo. Las permutaciones del conjunto o permutaciones de elementos son la funciones biyectivas de en sí mismo. El conjunto de todas las permutaciones de elementos se denotará por , esto es:
Una permutación se llama una transposición si intercambia dos números y deja fijos a los demás, es decir si existen distintos tales que , y para todo con y .
Enunciemos ahora un resultado importante, cuya demostración se omitirá porque va más allá de los objetivos de este curso, pero que puede ser consultada en las notas del curso de Álgebra Moderna I de la Dra. Avella, escritas por la alumna Cecilia Villatoro.
Nota
Toda permutación es una composición de transposiciones. Puede que haya varias composiciones que den la misma permutación, pero todas son la composición de un número par de transposiciones o todas son la composición de un número impar de transposiciones.
Definición
Sean un natural positivo y . Decimos que es par si es la composición de un número par de transposiciones, e impar en caso contrario.
El signo de es en el primer caso y en el segundo caso y se denota por
Ejemplo
Considera el conjunto
Podemos dar todos elementos del conjunto, es decir todas las funciones biyectivas :
, , , , ,
¿Cuál es el signo de ?
es un transposición ya que intercambia el con el y deja fijo al , entonces es impar y .
Observa que y también son transposiciones y por lo tanto también su signo es .
¿Cuál es el signo de ?
Observa que la composición de es igual a .
Como , siendo una transposición, entonces es par pues la composición de con si misma. Su signo por lo tanto es , .
¿Cuál es el signo de ?
Observa que la composición de con nos da
Así, , con y transposiciones.
Concluimos que es par y por tanto
¿Cuál es el signo de ?
La composición de con nos da
Así, , con y transposiciones.
Concluimos que es par y por tanto su signo es .
Observemos que es la inversa de , por eso es la composición de las mismas transposiciones que pero en orden inverso.
Los que acabamos de ver es que:
son pares y son impares.
Con estos elementos vamos a dar la definición de lo que es el determinante de una matriz.
Pues revisar el siguiente video para ayudarte a entender mejor la definición:
Definición
Sean un natural positivo y . El determinante de es:
Observación Sea , entonces
Esto se debe a que las únicas permutaciones de son , que es la identidad y tiene signo , y la transposición que tiene signo Así,
Ejemplos.
En estos ejemplos veremos lo que sucede con el determinante, cuando aplicamos las distintas operaciones elementales a una matriz.
Considera las matrices , ,
Si obtenemos sus determinantes tenemos que:
En este ejemplo, el segundo renglón de se obtiene de la suma de los segundos renglones de y y su primer renglón coincide con los de y ,
Lo que estamos observando es que:
.
Sean y
El primer renglón de se obtiene multiplicando por el primer renglón de
Los determinantes de estas matrices son:
y lo que estamos observando es que:
Veamos qué sucede con el determinante cuando intercambiamos dos renglones en una matriz. Considera las matrices:
y
En este caso tenemos que:
Veamos qué pasa cuando en una matriz hay dos renglones iguales.
Sea entonces
, es decir el determinante vale cero.
Veamos qué pasa cuando le sumamos a un renglón un múltiplo de otro.
Sea y considera su matriz equivalente , que se obtiene de , sumando al renglón dos de menos dos veces el primero.
Entonces En este caso
es decir el determinante coincide.
Consideremos una matriz con un renglón de ceros, por ejemplo
Notamos que su determinante es .
Por último veamos qué pasa con el determinante al transponer una matriz.
Sean y considera su transpuesta
Si calculamos sus determinantes tenemos que:
En este caso:
Tarea Moral
Encuentra todas las permutaciones de y su signo. ¿Cuántas hay en total?, ¿cuántas son pares?
Sea y calcula:
Su determinante.
El , donde se obtiene de multiplicando su segundo renglón por
El , donde se obtiene de intercambiando sus renglones entre sí.
El , donde se obtiene de sumando al segundo renglón dos veces el primero.
Más adelante
En la siguiente nota veremos que las propiedades observadas en los ejemplos se cumplen en general, para ello usaremos la definición que dimos de determinante.