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Nota 38. Sistemas de ecuaciones.

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada empezaremos a estudiar los sistemas de ecuaciones lineales con cierto número de incógnitas. El objetivo de este tipo de sistemas es encontrar los valores adecuados que se deben colocar en el lugar de las incógnitas para que se satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Cada una de las ecuaciones en el sistema representa una restricción en las posibles soluciones del mismo, por lo que la solución del sistema debe cumplir con todas las restricciones impuestas por las ecuaciones. Las soluciones de este tipo de sistemas pueden no existir, ser únicas o puede haber múltiples soluciones.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales puede ser útil en diferentes áreas como en la física, la ingeniería, la economía, entre otras. Existen diferentes métodos para resolver este tipo de sistemas como el método de eliminación de Gauss, el método de eliminación de Gauss-Jordan y el método de la matriz inversa, entre otros.

Definición

Sean n y m naturales positivos. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas con coeficientes en los reales es una colección de ecuaciones de la siguiente forma:

a11x1+a12x2++a1nxn=b1am1x1+am2x2++amnxn=bn

con aij,bjR para todo i{1,,m} y para todo j{1,,n}. Los números aij son llamados los coeficientes del sistema, mientras que x1,,xn son llamadas las incógnitas del sistema.

Si b1=b2==bm=0 decimos que es un sistema homogéneo.

Ejemplo

3x12x2+14x3+x4=02x1+x2+5x4=07x1+8x2=0

Éste es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.

Podemos reescribir el sistema en forma matricial:

(a11x1++a1nxnam1x1++amnxn) =(b1bm)

o bien,

(a11a1nam1amn) (x1xn) =(b1bm).

Si A=(a11a1nam1amn), X=(x1xn) y B=(b1bm), el sistema quedaria abreviado como:

AX=B.

A la matriz A se le llama la matriz de coeficientes del sistema.

La matriz aumentada del sistema es:

(a11a1nb1am1amnbm)=(A|B)m×(n+1)

Decimos que un vector S=(s1,,sn)Rn, que identificamos con la matriz columna formada por las entradas s1,,sn, es solución del sistema si AS=B.

Observación 1

Sean n y m naturales positivos, AMm×n(R), BMm×1(R) y S=(s1,,sn)Rn. Sean A1,,AnRm son las columnas de A. Tenemos que S es una solución del sistema si y sólo si s1A1+s2A2++snAn=B.

Demostración

Sean n y m naturales positivos, AMm×n(R), BMm×1(R) y S=(s1,,sn)Rn. Sean A1,,AnRm son las columnas de A.

S es solución del sistema AX=BAS=B

(a11s1++a1nsnam1s1++amnsn) (b1bm)

s1(a11am1) + + sn(a1namn)=(b1bm)

s1A1+s2A2++snAn=B.

Observación 2

Todo sistema homogéneo tiene al menos la solución S=(0,,0)Rn, llamada la solución trivial.

Teorema.

Al realizar operaciones elementales en la matriz aumentada de un sistema, el sistema asociado puede cambiar, pero las soluciones son las mismas.

Demostración

Sean n y m naturales positivos, AMm×n(R) y BMm×1(R)

Consideremos el sistema AX=B y (A|B) su matriz aumentada. Basta probar que al aplicar una operación elemental e a (A|B) el sistema asociado tiene las mismas soluciones.

1) Sea e la operación que intercambia los renglones r y t. Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original sólo que en otro orden, así que las soluciones son las mismas.

2) Sea e la operación que multipica el renglón r por un real λ, con λ0.

Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original salvo por la ecuación r que queda multiplicada por λ. Pero todo S=(s1,,sn)Rn cumple que

ar1s1++arnsn=brλ(ar1s1++arnsn)=λbr(λar1)s1++(λarn)sn=λbr.

Así, las soluciones de ambos sistemas coinciden.

3) Sea e la operación que suma al renglón r, λ veces el renglón t, con λR.

Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original salvo por la ecuación r. Pero todo S=(s1,,sn)Rn cumple que:

ar1s1++arnsn=brat1s1++atnsn=bt

si y sólo si

(ar1s1++arnsn)+λ(at1s1++atnsn)=br+λbtat1s1++atnsn=bt

si y sólo si

(ar1+λat1)s1++(arn+λatn)sn=br+λbtat1s1++atnsn=bt

y por lo tanto las soluciones son las mismas.

Tarea Moral

1. Determina si los siguientes sistemas son lineales. Para aquellos que lo sean expresa al sistema en forma matricial AX=B, encuentra una solución y expresa a B como combinación lineal de las columnas de A.

i)

3x+y=15x+y=0

ii)

71x1y=11x+61y=0

iii)

x3yz2xz=8

iv)

2x+3y4z+w=9y+5z=1

2. Considera a un sistema de ecuaciones en forma matricial AX=B. Sea Sp una solución particular del sistema y So una solución al sistema AX=0.

i) ¿Qué puedes decir de So+Sp?

ii) ¿Cualquier solución de AX=B será la suma de Sp con alguna solución del sistema AX=0?

Más adelante

En la siguiente nota veremos ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones, los caracterizaremos de acuerdo a si tiene o no solución y al número de soluciones.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 37. El rango de una matriz.

Enlace a la nota siguiente. Nota 39. Ejemplos de sistemas de ecuaciones

Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices.

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

La propiedad multiplicativa del determinante establece que si A y B son dos matrices cuadradas de igual tamaño, entonces el determinante de su producto AB es igual al producto de los determinantes de A y B, es decir:

detAB=detAdetB.

La propiedad multiplicativa del determinante es muy útil en muchos problemas de álgebra lineal, ya que permite calcular el determinante de una matriz grande descomponiéndola como producto de matrices cuyos determinantes sean más sencillos de calcular.

En esta última entrada vamos a probar la propiedad multiplicativa del determinante, primero cuando una de las matrices es elemental, después probaremos la propiedad multiplicativa cuando una de las matrices es una matriz escalonada reducida por renglones para finalmente justificar con ello el caso general.

Observación 1

Sea E es una matriz elemental:

  • El determinante de E es 1 si E se obtiene de In intercambiando dos renglones.
  • El determinante de E es λ si E se obtiene de In multiplicando un renglón por un escalar λ no nulo.
  • El determinante de E es +1 si E se obtiene de In sumando a un renglón un múltiplo de otro.

Demostración

Es consecuencia directa de cómo cambia el determinante cuando aplicamos a la matriz una operación elemental. Se deja la prueba al lector.

Lema 3

Sean n un natural positivo, E,BMn×n(R) con E una matriz elemental. Tenemos que detEB=detEdetB.

Demostración

Sean n un natural positivo, E,BMn×n(R) con E una matriz elemental, t,s{1,,n}, λR.

Caso 1

Si E se obtiene de In intercambiando los renglones t y s, entonces, gracias a la observación 1 de la nota 35, EB se obtiene de B intercambiando los renglones t y s. Por la propiedad 3 de determinantes vista en la nota 41 tenemos que:

detEB=detB=(1)detB

y por la observación 1 (1)detB=detEdetB. Por lo tanto detEB=detEdetB.

Caso 2

Si E se obtiene de In multiplicando el renglón s por λR{0}, entonces, gracias a la observación 1 de la nota 35, EB se obtiene de B multplicando el renglón s por λR{0}. Por la propiedad 2 de determinantes vista en la nota 41 tenemos que detEB=λdetB y por la observación 1 detE=λ, así detEB=detEdetB.

Caso 3

Si E se obtiene de In sumando al renglón t λ veces el renglón s, entonces, gracias a la observación 1 de la nota 35, EB se obtiene de B sumando al renglón t λ veces el renglón s, así por la propiedad 5 de determinantes vista en la nota 41 detEB=+1detB y por la observación 1 tenemos que detE=+1 y así detEB=detEdetB.

◻

Observación 2

Sean n un natural positivo, RMn×n(R) una matriz escalonada reducida. Tenemos que R=In o bien R tiene al menos un renglón nulo.

Demostración

Se deja la prueba al lector.

Lema 4

Sean n un natural positivo, R,BMn×n(R) con R escalonada reducida, se tiene que detRB=detRdetB.

Demostración

Sean n un natural positivo, R,BMn×n(R) con R escalonada reducida.

Por la observación 2 sabemos que R=In o bien R tiene al menos un renglón nulo. Analicemos cada uno de estos dos casos.

Caso 1

Si R=In entonces:

detRB=detInB=detB=detIndetB=detRdetB.

Caso 2

Si R tiene al menos un renglón nulo, tenemos que RB tiene al menos un renglón nulo y por la propiedad 6 de determinantes vista en la nota 41 detR=0=detRB, así:

detRB=0=0detB=detRdetB.

Teorema

Sean n un natural positivo, A,BMn×n(R). Se tiene que detAB=detAdetB.

Demostración

Sean n un natural positivo, A,BMn×n(R).

Sabemos, gracias a lo que se vio en la nota 36, que AR para alguna RMn×n(R) matriz escalonada reducida, entonces, por la observación 2 de la nota 35 sabemos que A=EtE1R, con t un natural positivo y E1,,Et matrices elementales. Así:

detAB=detEtE1RB

Por el lema 3 aplicado varias veces tenemos que:

detAB=detEtdetEt1detE1detRB

y por el lema 4 tenemos que:

detAB=detEtdetEt1detE1detRdetB.

Por el lema 3 tenemos que:

detAB=detEtdetEt1detE1RdetB

y aplicando sucesivamente el lema 3 obtenemos:

detAB=detEtEt1E1RdetB.

Concluimos que:

detAB=detAdetB.

◻

Observación 3

Sean n un natural positivo, A,RMn×n(R) con R una matriz escalonada reducida tal que AR. Tenemos que detA0 si y sólo si detR0.

Demostración

Sean n un natural positivo, A,RMn×n(R) con R una matriz escalonada reducida tal que AR.

Dado que las operaciones elementales sólo afectan el signo del determinante o lo modifican por un factor λ0, se tiene que detA y detR sólo difieren por un factor λ0, es decir detR=λdetR con λ0, por lo cual detR0 si y sólo si detA0.

◻

Teorema

Sean n un natural positivo, AMn×n(R). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Los renglones de A forman un conjunto linealmente independiente en Rn.

2. rkA=n.

3. AIn.

4. A tiene inversa.

5. detA0.

Demostración

Sean n un natural positivo, AMn×n(R).

12 Supongamos que los renglones de A forman un conjunto l.i en Rn. Entonces como son n vectores l.i en Rn son una base de Rn y así el espacio de renglones de A es Rn que tiene dimensión n y por lo tanto rkA=n.

23 Supongamos rkA=n. Entonces al escalonar A se obtiene una matriz reducida RMn×n(R) con n renglones no nulos. Por la observación 2 sabemos que R=In y así AIn.

34 Supongamos que AIn entonces A=EtE1In con t un natural positivo y E1,,Et matrices elementales (que son invertibles). Así, A es producto de matrices invertibles y es por lo tanto invertible con A1=E11Et1.

45 Supongamos que A es invertible, entonces existe A1 tal que AA1=In. Así, 1=detIn=detAA1=detAdetA1. En particular detA0.

51 Supongamos que detA0. Sea R la matriz escalonada tal que AR. Por la observación 3 tenemos que detR0 y entonces R no puede tener renglones nulos, entonces, usando la observación 2, tenemos que R=In. Dado que rkA=rkR=rkIn, se tiene que el rango de A es n y así la dimensión del espacio de renglones de A es n. Concluimos finalmente que los n renglones de A deben formar un conjunto l.i.

◻

Tarea Moral

1. Analiza qué condiciones debe cumplir una matriz diagonal para que sea invertible.

2. Analiza qué condiciones debe cumplir una matriz triangular superior (o inferior) para que sea invertible.

3. ¿Para que valores reales de k, si es que existen, la matriz C=(k3924k+11k23) es invertible?

4. ¿Qué condiciones se deben pedir a a,b,c para que la matriz (111abca2b2c2) sea invertible?

Más adelante

Con esta entrada se terminan las notas del curso de Álgebra Superior I impartido por la Dra. Diana Avella Alaminos.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 42. Formula para obtener el determinante.

Nota 42. Fórmula para obtener el determinante.

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El cálculo del determinante de una matriz es una operación fundamental en la teoría de matrices y álgebra lineal. En esta entrada estudiaremos el método de los menores o cofactores que es una técnica utilizada para calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier tamaño.

El método se basa en la expansión del determinante a lo largo de una fila o columna de la matriz, calculando el determinante de una matriz a partir de determinantes de ciertas matrices que resultan de eliminar una fila y una columna de la matriz original, acompañados de algunas entradas de la matriz y signos positivos o negativos que se alternan en función de la posición del elemento en la matriz.

El método de los menores o cofactores puede ser un poco tedioso para matrices grandes, pero es una herramienta poderosa para calcular determinantes de matrices cuadradas de cualquier tamaño y puede usarse junto con las propiedades que hemos estudiado de los determinantes para facilitar el cálculo de los mismos.

Ve el siguiente video con las demostraciones de los dos lemas que estudiaremos en esta entrada.

Definición

Sean n un natural positivo, AMn×n(R) e i,j{1,,n}. Denotamos por A(ij) a la matriz (n1)×(n1) que se obtiene de A quitando el renglón i y la columna j de A. El menor i,j de A es el determinante de A(ij).

Ejemplo

Considera las siguientes matrices:

A=(123570241) y A(12)=(5021).

El menor 1,2 de A es det(5021)=5.

A(23)=(1224), el menor 2,3 de A es det(1224)=8.

Lema 1

Sean n un natural positivo y AMn×n(R) tal que an1==an(n1)=0, entonces detA=anndetA(nn).

Demostración

Sean n un natural positivo y AMn×n(R) tal que an1==an(n1)=0.

Por definición de determinante tenemos que:

detA=σSnsgnσa1σ(1)anσ(n).

Como todos los elementos de la fila n son cero salvo en n-ésimo entonces los únicos sumandos que pueden contribuir con algún valor no nulo son aquellos tales que σ(n)=n, así:

detA=σSn,σ(n)=nsgnσa1σ(1)an1σ(n1)ann.

Factorizando ann tenemos que:

detA=annσSn,σ(n)=nsgnσa1σ(1)an1σ(n1).

Pero cada σSn tal que σ(n)=n da lugar a una γSn1, a saber γ:{1,2,,n1}{1,2,,n1} tal que γ(i)=σ(i) para toda i{1,2,,n1}, y recíprocamente, cada γSn1 da lugar a una σSn tal que σ(n)=n, a saber σ:{1,2,,n}{1,2,,n} tal que σ(i)=γ(i) para toda i{1,2,,n1} y σ(n)=n. Podemos reescribir lo anterior entonces como:

detA=annγSn1sgnγa1γ(1)an1γ(n1)

y por definición de determinante tenemos que:

detA=anndetA(nn).

◻

Lema 2

Sean n un natural positivo, AMn×n(R) e i,j{1,,n}. Si todos los elementos del renglón i de A salvo quizás aij son cero, entonces detA=(1)i+jaijdetA(ij).

Al número (1)i+jdetA(ij) se le conoce como el cofactor i,j de A.

Demostración

Sean n un natural positivo, AMn×n(R), i,j{1,,n} con ail=0lj.

Entonces la matriz A se ve de la siguiente forma (el renglón i está marcador en rojo):

A=(a11a1ja1n0aij0an1anjann).

Vamos a intercambiar renglones y columnas para llevar esta matriz a una del tipo de las requeridas en la hipótesis del lema 1.

Nuestro objetivo es transformar la matriz A en una equivalente A, que tenga en el último renglón ceros en todas sus entradas salvo quizás en la última, y cuyo menor n,n que es detA(nn), sea igual al menor i,j de A, es decir el determinante de la matriz que se obtiene de quitar el iésimo renglón y la jésima columna de A. Consideremos A la matriz que se obtiene de A después de intercambiar el renglón i de A con cada uno de los ni renglones subsecuentes, y después intercambiando la columna j de la matriz obtenida con las nj columnas subsecuentes.

La matriz A es de la forma:

A=(a11a1j1a1j+1a1naijai11ai1j1ai1j+1ai1nai1jai+11ai+1j1ai+1j+1ai+1nai+1jan1anj1anj+1annanj0000aij).

Dado Que A se obtuvo de A realizando ni intercambios de renglones y nj intercambios de columnas, por la propiedad 3 de la nota anterior tenemos que:

detA=(1)(ni)+(nj)detA.

Desarrollando tenemos que:

detA=(1)2n(i+j)detA=(1)2n(1)(i+j)detA

y dado que (1)2n=1 y que (1)(i+j)=1(1)i+j=(1)i+j.

Obtenemos por el lema 1 que:

detA=(1)i+jaijdetA(ij).

◻

Teorema

Sean n un natural positivo, AMn×n(R) e i,j{1,,n}. Se tiene que:

detA=(1)i+1ai1detA(i1)+(1)i+2ai2detA(i2)++(1)i+naindetA(in),

que se conoce como el desarrollo del determinante por el renglón i de A, o bien

detA=(1)1+ja1jdetA(1j)+(1)2+ja2jdetA(2j)++(1)n+janjdetA(nj),

que se conoce como el desarrollo del determinante por la columna j de A.

Ve el siguiente video de la demostración del teorema:

Demostración

Sean n un natural positivo, AMn×n(R) e i,j{1,,n}.

Vamos a considerar el renglón i y pensaremos que en cada término aij aparece una suma de n términos, n1 son ceros y el otro aij en el sumando j-ésimo. Así, vamos a escribir a la matriz A como:

A=(a11a1ja1nai1+0++00++aij++00++0+ainan1anjann).

Desde esta perspectiva podemos visualizar al renglón i como la suma de los siguientes n vectores:

(ai1,0,,0),(0,ai2,0,,0),,(0,,0,ain).

Consideraremos ahora para cada j{1,,n}, una matriz que tiene los mismos renglones que A, excepto en el i-ésimo renglón, en el que tendremos precisamente al vector j-ésimo de la lista anterior.

Recordemos la propiedad uno de determinantes vista en la nota 41 que nos dice que: Si Rk y Rk son los renglones k de A y A respectivamente, el renglón k de A es Rk+Rk, y el resto de los renglones de A,A y A coinciden, entonces detA=detA+detA. Gracias a dicha propiedad obtenemos que:

detA=det(a11a1ja1nai100an1anjann) ++ det(a11a1ja1n0aij0an1anjann) ++ (a11a1ja1n00ainan1anjann).

Finalmente, por el lema 2 obtenemos que:

detA=(1)i+1ai1detA(i1)++(1)i+jaijdetA(ij)++(1)i+naindetA(in).

La prueba es análoga para las columnas.

◻

Ejemplos

1. Considera la matriz A=(128045013023895700200901101)

Vamos a desarrollar su determinante. Conviene hacerlo por los renglones o columnas que tengan muchos ceros, en este caso vamos a desarrollar por la cuarta columna.

detA=det(128045013023895700200901101)

Según el teorema tenemos que:

detA=(1)1+4(0)detA(14)+(1)2+4(0)detA(24)+(1)3+4(5)detA(34)+(1)4+4(0)detA(44)+(1)1+5(0)detA(54).

Eliminando los términos con cero obtenemos que:

detA=(1)3+45detA(34)=5det(128450132002090111)

Consideremos ahora la matriz:

A=(128450132002090111).

Vamos a calcular su determinante desarrollándolo a través de su tercer renglón:

detA=det(128450132(0)(0)(2)(0)90111),

al desarrollar obtenemos que:

detA=(1)3+10detA(31)+(1)3+2(0)detA(32)+(1)3+3(2)detA(33)+(1)3+4(0)detA(34)

Eliminando los términos con ceros tenemos que:

detA=(1)3+3(2)detA(33)=2detA(33)=(124502901)

y como detA=5detA=(5)(2)det(124502901)

Sea A=(124502901).

Desarrollemos su determinante por la segunda columna:

detA=det(124502901)=(1)1+2(2)detA(12)+(1)2+2(0)detA(22)+(1)3+2(0)detA(32).

Eliminando los términos con cero tenemos que:

detA=(1)1+2(2)detA(12)=2detA(12)=2(5291).

Finalmente, como detA=(5)(2)detA obtenemos que:

detA=(5)(2)(2)det(5291)=(5)(2)(2)[518]=(5)(2)(2)(13)=260

Para el siguiente ejemplo tienes que tener el consideración las siguientes propiedades de determinantes vistos en la nota anterior.

2. Considera la matriz:

A=(1421551322213642)

Escalonemos la matriz para obtener una matriz escalonada reducida por renglones, cuyo determinante será más sencillo de obtener. Dado que sabemos cómo cambia el determinante con las operaciones elementales realizadas, podremos decir cuál es el determinante de A:

Explicación de las igualdades
y operaciones elementales
detA=det(1421551322213642)Efectúa las operaciones elementales:
R2R2+5R1
R3R3+2R1
R4R4+3R1
=det(142102511801063018105)La igualdad se da por la propiedad 5.
Efectúa la operación elemental:
110R3
=10det(14210251180135310018105)La multiplicación por 10 se da por la propiedad 2.
Efectúa la operación elemental:
R2R3
=10det(14210135310025118018105)El cambio de signo es por la propiedad 3.
Efectúa las operaciones elementales:
R3R3+(2)R2
R4R4+(18)R2
=10det(1421013531000412004525)La igualdad se da por la propiedad 5.
Efectúa la operación elemental:
R4R4+(15)R2
=10det(142101353100041200012)La igualdad se da por la propiedad 5.
=10(1)(1)(4)(12)=20Por ser una matriz diagonal inferior su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Pruébalo de tarea moral.

Tarea Moral

1. Una matriz cuadrada A es diagonal si Aij=0 para ij. Por otro lado una matriz cuadrada A es triangular superior si Aij=0 para i>j. De acuerdo a la definición del determinante.

i) ¿Cuál es el determinante de una matriz diagonal?

ii) ¿Cuál es el determinante de una matriz triangular superior?

2. Sea A=(1234010431044214), calcula los menores 3, 4 y 1,1 de A.

3. Calcula el determinante de A,B,C.

A=(821346172)

B=(1346241731251237)

C=(k3924k+11k23)

4. Considera la matriz (111abca2b2c2)

¿Cómo es su determinante en términos de a,b,c?, ¿cómo generalizarías el resultado para matrices n×n con n un natural positivo?

Más adelante

En la siguiente y última nota veremos la propiedad multiplicativa que tiene el determinante y estudiaremos qué condición debe cumplir el determinante de una matriz para saber si es invertible.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 41. Propiedades de los determinantes.

Enlace a la nota siguiente. Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices.

Nota 41. Propiedades de los determinantes.

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota deduciremos propiedades importantes que tienen los determinantes, para ello usaremos la definición dada en la nota anterior. Sería conveniente que, si no lo has hecho, revisaras los ejemplos de la nota anterior para que sea más natural su deducción.

Propiedades

Sean n un natural positivo, k{1,,n}, A,A,AMn×n(R) y λR.

1. Si Rk y Rk son los renglones k de A y A respectivamente, el renglón k de A es Rk+Rk, y el resto de los renglones de A,A y A coinciden, entonces:

detA=detA+detA.

2. Si A se obtiene de A multiplicando el renglón k por λ, entonces:

detA=λdetA.

3. Si A se obtiene de A intercambiando dos renglones, entonces:

detA=detA.

4. Si A tiene dos renglones iguales, entonces:

detA=0.

5. Si A se obtiene de A sumando a un renglón un múltiplo de otro, entonces:

detA=detA.

6. Si A tiene un renglón de ceros, entonces:

detA=0

7. detAt=detA.

Ve el siguiente video con las demostraciones de las propiedades 1 y 2:

Demostración de las propiedades

Sean n un natural positivo, k,s{1,,n}, A,A,AMn×n(R) y λR.

Demostración de la propiedad 1

Supongamos que aij=aij=aij para todo ik y para todo j, supongamos también que akj=akj+akj para todo j. Por definición de determinante:

detA=σSnsgnσa1σ(1)akσ(k)anσ(n),

y entonces por hipótesis akσ(k)=akσ(k)+akσ(k).

Así:

detA=σSnsgnσa1σ(1)(akσ(k)+akσ(k))anσ(n).

Aplicando la propiedad distributiva de los reales tenemos que:

detA=σSnsgnσa1σ(1)akσ(k)anσ(n)+σSnsgnσa1σ(1)akσ(k)anσ(n)

y por hipótesis aij=aij=aij para todo it y para todo j, por lo tanto:

detA=σSnsgnσa1σ(1)akσ(k)anσ(n)+σSnsgnσa1σ(1)akσ(k)anσ(n).

Entonces por definición determinante tenemos que:

detA=detA+detA.

Demostración de la propiedad 2

Supongamos que aij=aij para toda ik y para toda j, y que akj=λakj para toda j.

Por definición de determinante tenemos que:

detA=σSnsgnσa1σ(1)akσ(k)anσ(n)

pero, por hipótesis, akσ(k)=λakσ(k), así:

detA=σSnsgnσa1σ(1)λakσ(k)anσ(n).

También por hipótesis aij=aij para toda it, entonces:

detA=σSnsgnσa1σ(1)λakσ(k)anσ(n), y factorizando λ:

detA=λσSnsgnσa1σ(1)akσ(k)anσ(n),

entonces por definición:

detA=λdetA.

Ve el siguiente video con las demostraciones de las propiedades 3 y 4

Demostración de la propiedad 3

Supongamos que A se obtiene de A intercambiando los renglones k y s.

Por definición tenemos que:

detA=σSnsgnσa1σ(1)akσ(k)asσ(s)anσ(n)

Al intercambiar los renglones k y s tenemos que:

akσ(k)=asσ(k) y asσ(s)=akσ(s), y además aiσ(i)=aiσ(i) para toda i distinta de k y de s.

Entonces:

detA=σSnsgnσa1σ(1)asσ(k)akσ(s)anσ(n)

Observa que la permutación γ=(1ksnσ(1)σ(s)σ(k)σ(n)) es muy parecida a σ salvo en su evaluación en k y en s. De modo más preciso τσ=γ, con τ la transposición que intercambia a σ(k) y a σ(s). Entonces difieren sólo en una transposición y por lo tanto sgnσ=sgnγ. Vamos a reescribir el determinante en términos de la permutación γ, y entonces:

detA=γSnsgnγa1γ(1)asγ(s)akγ(k)anγ(n),

entonces por definición tenemos que:

detA=detA.

Demostración de la propiedad 4

Supongamos que los renglones k y s de A son iguales . Sea A la matriz que se obtiene de A intercambiado sus renglones k y s, entonces A=A. Por la propiedad 3 tenemos que detA=detA. Así:

detA=detA=detA,

entonces detA=detA. De aquí tenemos que 2detA=0 y por lo tanto:

detA=0.

Ve el siguiente video con las demostraciones de las propiedades 5,6,7.

Demostración de la propiedad 5

Supongamos que A se obtiene de A sumando al renglón s, λ veces el renglón k.

Entonces si:

A=(a11a1nak1aknas1asnan1ann).

Entonces A es:

A=(a11a1nak1aknas1+λak1asn+λaknan1ann).

Por la propiedad 1 tenemos que:

detA= det(a11a1nak1aknas1+λak1asn+λaknan1ann) =det(a11a1nak1aknas1asnan1ann) +det(a11a1nak1aknλak1λaknan1ann),

y por la propiedad 2 tenemos que:

detA= det(a11a1nak1aknas1asnan1ann) + λdet(a11a1nak1aknak1aknan1ann),

y como la matriz que aparece en el segundo sumando tiene dos renglones repetidos, su determinante es cero. Por lo tanto:

detA= det(a11a1nak1aknas1asnan1ann)=detA

Demostración de la propiedad 6

Si el renglón k de A es un renglón de ceros, al multiplicar el renglón k por cero obtenemos A, así por la propiedad 2:

detA=0detA=0.

Observación

Sea σSn,sgnσ=sgnσ1 ya que si σ=τmτ1 es un producto de transposiciones entonces tenemos que σ1=τ1τm.

Demostración de la propiedad 7

Sea At=(bij), entonces de la definición de determinante

detAt=σSnsgnσb1σ(1)bnσ(n).

Por la definición de transpuesta tenemos que biσ(i)=aσ(i)i para toda i, entonces:

detAt=σSnsgnσaσ(1)1aσ(n)n.

Por la observación tenemos que:

detAt=σSnsgnσ1aσ(1)σ1(σ(1))aσ(n)σ1(σ(n)).

Observemos que cada factor aσ(i)σ1(σ(i)), es de la forma ajσ1(j) con j{1,2,,n}, entonces reacomodando dichos factores en orden creciente de acuerdo al valor de j tenemos:

detAt=σSnsgnσ1a1σ1(1)anσ1(n).

Si denotamos γ=σ1, al reescribir en términos de γ tenemos que:

detAt=γSnsgnγa1γ(1)anγ(n)=detA.

◻

Gracias a la propiedad 7 tenemos que:

Corolario

Todas las propiedades antes mencionadas de renglones se cumplen también para las columnas.

Tarea Moral

1. Sean A=(abcd), B=(efcd), C=(a+eb+fcd)M2×2(R).

Si detA=7 y detB=π, ¿cuánto es el determinante de C?

2. Sean B1=(a110a21a22), B2=(0a12a21a22), A=(a11a12a21a22)M2×2(R).

i) Calcula el determinante de A en términos de los determinantes de B1 y B2.

ii) ¿Cómo podrías generalizar el resultado del inciso anterior a matrices de n×n para n un natural positivo?

3. Sean AMn×n(R) y λR. ¿Cómo es el determinante de λA en términos del determinante de A?

4. Sean A=(abcdefghi) y B=(ghiabcdef)M3×3(R).

¿Cómo es el determinante de B comparado con el determinante de A?

5. Sean n un natural positivo y AMn×n(R). Si un renglón de A es múltiplo de otro. ¿Qué ocurre con el determinante de A?

Más adelante

En la siguiente nota deduciremos una fórmula para el calculo del determinante.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 40. Determinantes.

Enlace a la nota siguiente. Nota 42. Formula para obtener el determinante.

Nota 40. Determinantes.

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El determinante de una matriz cuadrada es un valor numérico asociado a la matriz, que se puede calcular a partir de sus entradas y que tiene muchas aplicaciones en álgebra lineal y otras áreas de las matemáticas y la física. Una forma de definir el determinante es mediante permutaciones.

Dada una matriz cuadrada de n renglones, para cada permutación de n elementos se consideran los productos de entradas de la matriz, donde hay exactamente un factor en cada renglón de la matriz y exactamente un factor de cada columna; después se les asocia un signo y se suman todos estos productos. El resultado de esta suma es el determinante de la matriz.

Esta definición puede parecer complicada al principio, pero es muy poderosa y se puede utilizar para calcular determinantes de matrices de cualquier tamaño.

En esta entrada estudiaremos las permutaciones de n elementos, daremos la definición de determinante y algunos ejemplos sencillos.

Te invitamos a ver el siguiente video de 3Blue1Brown en el que se da una aproximación geométrica e intuitiva de lo que es el determinante.

Puedes ver también el siguiente video de la clase que te ayudará a comprender lo que aparece en esta entrada.

Antes de llegar a la definición de lo que es un determinante recordemos lo que es una permutación. En la nota 22 estudiamos las permutaciones de un conjunto A. Ahora, para n un natural positivo, vamos a concentrarnos en las permutaciones del conjunto {1,2,,n}:

Definición

Sea n un natural positivo. Las permutaciones del conjunto {1,,n} o permutaciones de n elementos son la funciones biyectivas de {1,,n} en sí mismo. El conjunto de todas las permutaciones de n elementos se denotará por Sn, esto es:

Sn={σ:{1,,n}{1,,n}σesbiyectiva}

Una permutación σSn se llama una transposición si intercambia dos números y deja fijos a los demás, es decir si existen i,j{1,,n} distintos tales que σ(i)=j, σ(j)=i y σ(k)=k para todo i,j{1,,n} con ki y kj.

Enunciemos ahora un resultado importante, cuya demostración se omitirá porque va más allá de los objetivos de este curso, pero que puede ser consultada en las notas del curso de Álgebra Moderna I de la Dra. Avella, escritas por la alumna Cecilia Villatoro.

Nota

Toda permutación es una composición de transposiciones. Puede que haya varias composiciones que den la misma permutación, pero todas son la composición de un número par de transposiciones o todas son la composición de un número impar de transposiciones.

Definición

Sean n un natural positivo y σSn. Decimos que σ es par si es la composición de un número par de transposiciones, e impar en caso contrario.

El signo de σ es +1 en el primer caso y 1 en el segundo caso y se denota por sgnσ.

Ejemplo

Considera el conjunto

S3={σ:{1,2,3}{1,2,3}σesbiyectiva}.

Podemos dar todos elementos del conjunto, es decir todas las funciones biyectivas :

σ1=(123123), σ2=(123213), σ3=(123132), σ4=(123321), σ5=(123231), σ6=(123312).

¿Cuál es el signo de σ2?

σ2=(123213) es un transposición ya que intercambia el 1 con el 2 y deja fijo al 3, entonces σ2 es impar y sgnσ2=1.

Observa que σ3=(123132) y σ4=(123321) también son transposiciones y por lo tanto también su signo es 1.

¿Cuál es el signo de σ1?

Observa que la composición de σ2σ2 es igual a σ1.

Como σ2σ2=(123123) =σ1, siendo σ2 una transposición, entonces σ1 es par pues la composición de σ2 con si misma. Su signo por lo tanto es 1, sgnσ1=+1.

¿Cuál es el signo de σ5?

Observa que la composición de σ2=(123213) con σ4=(123321) nos da σ5=(123231).

Así, σ4σ2=σ5, con σ4 y σ2 transposiciones.

Concluimos que σ5 es par y por tanto sgnσ5=+1.

¿Cuál es el signo de σ6?

La composición de σ4=(123321) con σ2=(123213) nos da σ6=(123312).

Así, σ2σ4=σ6, con σ2 y σ4 transposiciones.

Concluimos que σ6 es par y por tanto su signo es +1.

Observemos que σ6=(123312) es la inversa de σ5=(123231), por eso es la composición de las mismas transposiciones que σ5 pero en orden inverso.

Los que acabamos de ver es que:

σ1,σ5,σ6 son pares y σ2,σ3,σ4 son impares.

Con estos elementos vamos a dar la definición de lo que es el determinante de una matriz.

Pues revisar el siguiente video para ayudarte a entender mejor la definición:

Definición

Sean n un natural positivo y AMn×n(R). El determinante de A es:

detA=σSnsgnσa1σ(1)a2σ(2)anσ(n)

Observación Sea A=(a11a12a21a22)Mn×n(R), entonces

detA=a11a22a12a21.

Esto se debe a que las únicas permutaciones de {1,2} son σ1=(1212), que es la identidad y tiene signo +1, y la transposición σ2=(1221) que tiene signo 1. Así,

detA=sgnσ1a1σ1(1)a2σ1(2)+sgnσ2a1σ2(1)a2σ2(2)=(+1)a11a22+(1)a12a21=a11a22a12a21.

Ejemplos.

En estos ejemplos veremos lo que sucede con el determinante, cuando aplicamos las distintas operaciones elementales a una matriz.

1. Considera las matrices A=(1234), A=(1215), A=(1229).

Si obtenemos sus determinantes tenemos que:

detA=46=2,detA=5(2)=7,detA=94=5

En este ejemplo, el segundo renglón de A se obtiene de la suma de los segundos renglones de A y A y su primer renglón coincide con los de A y A,

Lo que estamos observando es que:

detA=detA+detA.

2. Sean A=(1234) y A=(3634).

El primer renglón de A se obtiene multiplicando por 3 el primer renglón de A

Los determinantes de estas matrices son:

detA=46=2,detA=1218=6

y lo que estamos observando es que:

detA=3detA.

3. Veamos qué sucede con el determinante cuando intercambiamos dos renglones en una matriz. Considera las matrices:

A=(1234) y A=(3412),

detA=46=2,detA=64=2.

En este caso tenemos que:

detA=detA.

4. Veamos qué pasa cuando en una matriz hay dos renglones iguales.

Sea A=(1212), entonces

detA=22=0, es decir el determinante vale cero.

5. Veamos qué pasa cuando le sumamos a un renglón un múltiplo de otro.

Sea A=(1234) y considera su matriz equivalente A=(1210), que se obtiene de A, sumando al renglón dos de A menos dos veces el primero.

Entonces detA=46=2,detA=02=2. En este caso

detA=detA.

es decir el determinante coincide.

6. Consideremos una matriz con un renglón de ceros, por ejemplo

A=(1200). Notamos que su determinante es detA=00=0.

7. Por último veamos qué pasa con el determinante al transponer una matriz.

Sean A=(1234) y considera su transpuesta At=(1324)

Si calculamos sus determinantes tenemos que:

detA=46=2,detAt=46=2.

En este caso:

detA=detAt.

Tarea Moral

1. Encuentra todas las permutaciones de {1,2,3,4} y su signo. ¿Cuántas hay en total?, ¿cuántas son pares?

2. Sea A=(3179) y calcula:

i) Su determinante.

ii) El detB, donde B se obtiene de A multiplicando su segundo renglón por 4.

iii) El detC, donde C se obtiene de A intercambiando sus renglones entre sí.

iv) El detD, donde D se obtiene de A sumando al segundo renglón dos veces el primero.

Más adelante

En la siguiente nota veremos que las propiedades observadas en los ejemplos se cumplen en general, para ello usaremos la definición que dimos de determinante.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 39. Ejemplos de sistemas de ecuaciones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 41. Propiedades de los determinantes.