Introducción

La forma en que los gobiernos de muchos países, para poder llevar a cabo mejores y proyectos de mantenimiento a carreteras, obras, realizar proyectos de modernización, abastecimiento de agua, luz, servicios en general, entre otras muchas cosas, recurren a fuentes de financiamiento para hacerlo. La forma en que funciona este tipo de financiamiento es el tema que se abordará en ésta sección.

Conceptos generales del mercado de valores

La mayoría de los gobiernos de cualquier país, necesitan un financiamiento para llevar a cabo el mantenimiento de toda la infraestructura que posee la sociedad, los recursos los adquieren por medio del cobro de los impuestos a los ciudadanos, y a las empresas que operan en cada región, sin embargo, hay ocasiones en que dichos recursos no son suficientes.

Un caso semejante les ocurre a las empresas, cuando tienen considerado expandirse con otras sucursales, o pretenden modernizar su maquinaria, su parque vehicular, etc. Para llevarlo a cabo las empresas pueden acudir a un banco para justamente adquirir créditos, sin embargo, al igual como le pasa al gobierno hay ocasiones en que dichas instituciones financieras no son suficientes.

En ambos casos, cuando las empresas ó el gobierno, se quieren hacer de algún crédito aparecen las variables que durante todo este tiempo se han estado manejando, capital, tasa de interés, temporalidad o duración del crédito, monto y la forma en que va a ser pagado. Todas esas variables y condiciones mediante los cuales se pactan la forma en que se pagará un crédito aparecen debidamente descritas en un contrato, el cual es firmado por ambas partes involucradas.

Retomando el problema de financiamiento que tienen las empresas, para solucionarlo, pueden recurrir también a la venta de acciones (cada una de las acciones es equivalente a una pequeña parte de la empresa), invitando a inversionistas a ser parte de la empresa comprando una pequeña parte de ésta. Dichas acciones pueden otorgar intereses, los cuales son llamados dividendos, sobre una cierta inversión. Estos dividendos pueden ser pagos fijos o variables.

Los socios de la empresa son los que determinan, al momento de crear la empresa, el valor del capital social de la misma, el cual queda determinado por las aportaciones de cada uno de los socios y por el valor del número de las acciones que representan dicho capital. El valor de dichas acciones se irá modificando a través del tiempo, pueden incrementar, disminuir o mantener su valor, dependiendo del crecimiento de la empresa, sus ganancias, entre otros factores. El tema de cómo se comportan las acciones es bastante interesante y amplio, no obstante, no es el objeto principal de estudio del presente material. Sin embargo, era necesario, hacer mención de sus generalidades para tener una idea más concreta de su funcionamiento y ubicar la importancia de éste tema dentro de las matemáticas financieras y sobre todo por la importancia que tienen como una alternativa de fuente de financiamiento.

Este tema aborda los conceptos de acciones, bonos de la tesorería, pagares y otros documentos de deuda, son ejemplos de formas de tener un financiamiento y son mejor conocidos como valores. El lugar donde se puede comerciar dichos documentos, se llama Bolsa mexicana de valores, y es en ella donde a través de casas de bolsa (instituciones autorizadas por el gobierno para servir de intermediarios entre las empresas, los inversionistas o instituciones de gobierno, que estén interesadas en comprar o vender dichos valores.

El mercado de valores, está compuesto por empresas privadas, instituciones gubernamentales, inversionistas, así como las diferentes operaciones de compra-venta que llevan a cabo en la bolsa.

-«Los valores pueden ser clasificados como nacionales o extranjeros, públicos o privados, y de renta fija o de renta variable»- (Cánovas. T.)

Los valores de renta fija, son todos aquellos que se encuentran libres de riesgo, de cierta forma está garantizado el pago de los intereses convenidos, y regularmente son emitidos por el gobierno, sin embargo, también se puede encontrar éste tipo de valores por parte de empresas privadas. Este tipo de valores se diferencias de las acciones, porque éstas no garantizan algún rendimiento exacto, como puede subir su precio, puede bajar o puede ser igual al que se compró al momento de adquirirlo. Ejemplo de este tipo de valores son los que emiten el gobierno en sus diferentes órdenes (Federal, Estatal o municipal), certificados de la tesorería (CETES), Bonos de desarrollos, los UDIbonos (su valor queda determinado por las UDIS, el cual se ajusta dependiendo de la inflación), por parte de los bancos aparecen pagarés con interés liquidable al vencimiento, el papel cédulas hipotecarias, entre otros.

Existen también los dividendos, que son un tipo de acciones que ofrecen garantizar el pago de un interés mínimo.

Una de las aplicaciones de los temas que se han estado trabajando durante todo este tiempo, se da cuando hay un reparto de dividendos que como se mencionó es el pago de los intereses generados de una inversión, y éstos los pagan al término de un año fiscal que pueden ser pagaderos p veces al año, una expresión con la que ya se ha estado trabajando con bastante frecuencia. Cabe hacer mención que el pago de los dividendos también suele cambiarse por la adquisición de más acciones de la empresa.

Otro dato importante que es necesario mencionar es el mercado de dinero el cual se conforma por las casas de bolsa, los inversionistas y las instituciones financieras, así como la actividad de compra-venta de valores de renta fija.

También existen los fondos de inversión de renta variable, este tipo de valores pueden ofrecer rendimientos muy altos, pero de igual forma pueden representar pérdidas igual de grandes, es por ésta razón que la mayoría de veces que se hacen uso de éste tipo de valores lo realizan en combinación con los de renta fija, para de alguna forma disminuir el riesgo que implica ésta práctica.

A continuación, se muestra un Cuadro que resume los diferentes tipos de valores, la forma en que opera y qué entidad es la que los emite.

Más adelante…

Este tema solo se trató de abordar los conceptos más generales que aparecen en el mercado de valores, para estar en contexto de cómo se manejan de forma general dichos conceptos, sin embargo; es necesario mencionar que fueron descritos ya que se abordará el tema de valuación de valores de renta fija, para lo cual se hará uso de todas las herramientas de matemáticas financieras que hasta el momento se han dado a conocer.

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Introducción

Este tipo de fenómenos, ocurre cuando los créditos que se otorgan tienen la característica que su duración es mucho más tiempo, esto se puede interpretar como por ejemplo más de dos años. También ocurre cuando las tasas de referencia que aparecen en los mercados financieros, se comportan de forma inestables, esto quiere decir que tiene variaciones frecuentes, es decir su valor cambia.

Descripción

Cuando ocurre lo anterior y los créditos o préstamos que se hacen utilizando tasas de interés de referencia, se pacta que para dichas operaciones la cantidad de intereses que se vaya a pagar, sea modificada en cada periodo, esto es, la tasa de interés que se va a utilizar será variable de un periodo a otro. Como ya se ha mencionado algunas tasas de referencias son la TIIE, la tasa CETES, etc. Cabe hacer mención que a éstas tasas de interés, al usarlas se le suele añadir uno o dos puntos porcentuales más al momento de utilizarla para obtener la cantidad que se cobrará de interés.

También hay ocasiones en las que se establece que la tasa de interés sea modificada al término de cada año, y así sucesivamente durante toda la vigencia del contrato.

Ahora con respecto a la construcción de las tablas de amortización, en el caso donde se pacta hacer uso de tasas de referencia, implica que la tabla de amortización se tenga que construir en cada periodo, una vez que se conozca el valor de la tasa, es en ése momento que se puede construir.

En el otro caso, lo que se hace es pactar proyecciones a futuro de las tasas, ambas aceptadas por los involucrados.

Fue de los puntos anteriores, la forma de construcción de la tabla de amortización es semejante a como se han venido construyendo.

Veamos el siguiente ejemplo: Una empresa adquiere un crédito por una cantidad de \$175 mil pesos, la cual planean pagar en 10 mensualidades iguales, con cantidad a pagar directo al capital por una suma de \$17,500, con una tasa de interés TIIE mensual considerando 0.3 puntos porcentuales.

Supongamos que el comportamiento de la TIIE serán las siguientes: 0.415%, 0.654%, 0.765%, 0.456%, 0.721%, 0.631%, 0.476%, 0.614%, 0.817%, 0.522%, respectivamente.

La tabla de amortización queda como sigue:

Es pertinente señalar que en la columna con título tasa de interés, aparece la que se había propuesto, más los 3 puntos porcentuales, ya calculados. Los intereses que se van a pagar, tienen que ser calculados en cada uno de los periodos, ya que la tasa de interés varía en cada periodo.

Amortización con tasas de interés variables por periodos

Ocurre en operaciones de crédito que en las que se acuerda entre las partes involucradas, fijar una cierta tasa de interés durante parte de la vigencia del crédito, esto puede ser por ejemplo que los pagos se hagan de forma bimestral y la tasa de interés quede fija sólo por el primer año, mientras que en los años siguientes la puedan modificar, así sucesivamente hasta que termine la vigencia del crédito. Dicho acuerdo de fijar las tasas de interés, puede fijarse desde el inicio de la operación del crédito o irse renegociando cada año, el aspecto que se intenta es considerar circunstancias económicas que prevalezcan en ése momento.

Respecto a la construcción de la tabla de amortización, ésta puede ser construida si se conocen las tasas de interés, esto puede dar, si desde el inicio de operaciones del crédito, quedan fijadas las tasas de interés que serán manejadas durante la vigencia del crédito. Si se fija sólo por el primer año, sólo podrá ser construida para los periodos que estén contenidos en ése año, una vez terminado ese año, se volverá a fijar la tasa que operará en el siguiente y hasta ése momento se podrá elaborar la tabla de amortización.

Otro aspecto a considerar, es que, en este tipo de créditos, pueden usar tasas de referencia o también usar el comportamiento que tuvieron éstas en el año anterior.

Veamos el siguiente ejemplo: Una empresa que se dedica a la serigrafía, planea modernizar todo su inventario en maquinaria y mercancía, para poder hacerlo ha solicitó un crédito por 5 millones de pesos, los cuales piensa pagar en 4 años, con pagos realizados por cuatrimestre, manejando cada año las siguientes tasas, 1.5% para el primer año, 2.4% para el segundo año, 1.9% para el tercer año y 2.3% para el último año.

Para determinar el pago que se realizará en cada periodo se hace lo siguiente:

$$\frac{\$5,000,000}{12}=416,666.667$$

La tabla de amortización correspondiente a éste ejercicio queda de la siguiente forma:

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Se tiene un crédito emitido por la cantidad de 3 millones de pesos, con pagos trimestrales iguales, de forma vencida, con una tasa fija del 16.7% para el primer año, 17.8% para el segundo año, 21.7% para el tercer año. Construir toda la tabla.

Ejercicio. Se tiene una deuda por la cantidad de \$55000, la cual se tiene considerado pagar en 6 pagos mensuales fijos al capital. Para dicha operación se pactó una tasa de interés de CETE, más dos puntos porcentuales. Supongamos que las tasa CETEs, dan los siguientes resultados: 2.21%, 1.25%, 3.1%, 1,7%, 0.97%, 3.5%, respectivamente para cada pago. Se quiere obtener la tabla de amortización.

Más adelante…

Con éste tema se termina de analizar el concepto de amortización, para que en el siguiente capítulo se aborda la forma en que se pueden hacer valuaciones de valores de renta fija, la forma en que se puede determinar, así como el modo en el que operan.

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Introducción

Se tiene hasta este momento, el procedimiento para construir tablas de amortización de muy diversas situaciones, cada una depende de las necesidades que se presenten en las condiciones que se pacte otorgar un crédito que van enfocadas a satisfacer las posibilidades de pago que posea el deudor. Aún con todo lo que se ha visto, falta por revisar el caso donde se otorgan créditos que están sujetos a una tasa de interés variables, esto quiere decir que puede estar cambiando a lo largo de la vigencia o duración del crédito.

Descripción

En éste tema se abordará el tipo de créditos que manejan una tasa de interés variable, lo afecta la cantidad de que se va a pagar en cada periodo, este fenómeno ocurre cuando la institución que otorga el crédito, decide hacer uso de una tasa de referencia como por ejemplo la TIIE. La forma de manejar éste tipo de créditos, es determinar una cierta cantidad la cual va a ser la que será pagada en cada periodo con el fin de saldar o ir liquidando la deuda. Otra alternativa para manejar éstos créditos, es establecer que la forma de pagar la deuda, se haga a través de pagos fijos a la deuda, cada cierto periodo, y que los intereses que genera la deuda se calculen en la fecha que se haga dicho pago.

En cualquier caso, que escojan, las partes involucradas lo que regularmente hacen, es pactar un cierto número de pagos, de acuerdo a la capacidad de pago con la que cuente el deudor, para que sea cubierta la deuda, mientras que la cantidad de intereses que se vaya a pagar, serán calculados sobre la cantidad que falte por pagar del crédito en cada pago. Si por ejemplo la cantidad otorgada en el crédito es de \$86 462, y se quiere pagar en 18 mensualidades y lo que se acaba de mencionar se resume en la siguiente expresión:

$$\frac{86,46}{18}=4803.5$$

Donde cada pago será por la cantidad de \$4803.5, a la cual le falta sumarle la cantidad de intereses que estará determinada según la tasa de referencia que se haya decidido utilizar. También puede darse el caso que la cantidad que se vaya a pagar por concepto de intereses, se haya pactado desde el principio.

Amortización con tasa de interés fija durante toda la vigencia del crédito

Es tal cual, como lo enuncia su nombre, en este tipo de amortización se da en los créditos que se pacta una tasa fija de interés, esto se puede ver de forma más clara en el siguiente ejemplo: Una empresa solicitó un crédito por una cantidad de \$250,000. La forma en que se planea pagar dicho crédito es mediante pagos mensuales por un año, con una tasa de interés del 1.8% mensual, con pagos fijos directos al capital.

$$\frac{240,000}{12}=20,000.$$

Para construir la tabla de amortización es necesario considerar que los pagos que se van a realizar cada mes, son pagos iguales, pero los intereses se van a ir modificando en cada periodo, esto es a causa de que la cantidad que falte por pagar es sobre la cual se calculan los intereses y éstos irán disminuyendo conforme se vaya liquidando la deuda, esto independientemente de que la tasa de interés permanezca constante.

Para determinar la cantidad que se va a pagar por concepto de intereses, se obtiene multiplicando el saldo insoluto al principio del periodo por la tasa de interés (1.8%).

Y la tabla de amortización queda de la siguiente forma:

Ejercicio. Don Juan desea poner una pastelería en su colonia, para poder hacerlo solicitó un préstamo en el banco ABC, con el que logró que le autorizarán un monto de \$360 mil pesos, el cual quiere pagar con 18 pagos mensuales con una tasa de fija del 1.3% mensual. Construir la tabla de amortización.

Otro ejemplo, La compañía farmacéutica quiere ampliar su producción, para ellos, le consiguió un crédito por la cantidad de \$120 mil pesos, con pagos semestrales durante 3 años, a una tasa del 1.8% semestral.

Más adelante…

En los siguientes temas se continuará analizando más variantes de las tasas de interés en éste concepto de amortización con la finalidad que se tenga un mejor conocimiento de su comportamiento, sobre todo, para mostrar el tipo de situaciones en que se presentan.

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Introducción

Aplicamos los mismos conceptos usados en el tema de anualidades decrecientes, para este tema, esto equivalente a decir, que funcionan de forma análoga, los pagos van disminuyendo en cada periodo.

Concepto y descripción

La forma en que se va a construir la tabla de amortización obedece de forma semejante a la que ya se ha estado trabajando en los temas anteriores, de esta forma es como se dará solución al siguiente ejemplo para mostrar su comportamiento.

Para ésta sección se va a retomar el ejemplo visto en la sección de anualidades decrecientes el cual solo para recordar se enuncia a continuación:

Una empresa de aeronaves, necesitan refacciones para sus aviones, sus socios desean adquirir un crédito para ello, y planean pagarlo con aportaciones decrecientes, las cuales están basadas en su experiencia de ingresos. Al hacer su cálculo, llegan a la conclusión de que cada uno de sus socios pueden realizar aportaciones mensuales de forma vencida, comenzando con un adelanto de \$6 mil pesos, disminuyendo los siguientes pagos en \$250, hasta llegar a mensualidades de \$2 mil. Pretenden, además, negociar, para que el banco les otorgue un plazo para pagar su crédito de 2 años, a una tasa de interés del 10.5% pagadero mensual el banco les otorga una plazo de año y medio. ¿Se necesita saber qué cantidad es la que el banco puede prestar a cada uno de sus socios?

Ahora se pasará a la parte de construcción de la tabla de amortización correspondiente.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una empresa panadera, quiere renovar su maquinaria, para hacerlo solicitó un préstamo y planea pagarlo con pagos mensuales que van a ir disminuyendo, para tal efecto comenzarán con un pago de \$12 mil pesos, cantidad que irá disminuyendo \$500 hasta llegar a la cantidad de \$5 mil pesos durante los primeros 15 pagos, una vez pasado estos periodos, se mantendrá constante del pago en \$5 mil pesos hasta liquidar el préstamo, que sería hasta completar un lapso de 3 años. Durante la vigencia del préstamo, se pactó una tasa del 21% convertible mensual. La empresa panadera, requiere saber cuánto le pueden prestar bajo ésas condiciones, así como saber la tabla de amortización para pagar dicho crédito.

Ejercicio. Una persona desea abrir un negocio de venta de electrodomésticos, para hacerlo, solicitó un préstamo por 2 millones y medio, cantidad que pacto pagar en 18 meses y una tasa de interés mensual del 3.2%, con pagos de \$215,625.5, los cuales irán disminuyendo cada mes el 2.5% con respecto al anterior. Obtener la tabla de amortización.

Más adelante…

Se continuará analizando los tipos de tablas de amortización hasta terminar de ver todos ellos, con la finalidad de contar con el conocimiento necesario para estar en condiciones de comenzar a ver cómo es su comportamiento y su construcción cuando se combinan entre ellas.

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Introducción

Este tema será abordado, haciendo uso de los conocimientos adquiridos en el tema de anualidades crecientes, tomando en cuenta sus reglas del modelo de interés compuesto, así como la equivalencia entre las tasas de interés.

Concepto y descripción

El proceso de construcción de la tabla de amortización para créditos con pagos crecientes, es análogo a como se han venido construyendo en los temas anteriores, con la única diferencia que ahora se estarán aplicando el concepto de anualidades crecientes.

Para dejarlo más en claro se procederá a realizar el siguiente ejemplo:

La señora Juanita quiere irse de vacaciones, y ha estado haciendo cuentas para saber a cuánto ascienden sus ingresos, los resultados que obtuvo son que puede disponer de una cantidad de \$5000 de forma mensual, y pretende tener un incremento a ésa cantidad de \$500 pesos cada mes. Desea saber ¿cuánto le podrían prestar si pide un crédito a una caja de ahorro popular, bajo ésta situación. si su deseo es pagar dicho crédito en año y medio, con una tasa de interés del 3% efectivo mensual.

Para poder encontrar la respuesta a éste problema se realizará primeramente el cálculo de la cantidad que se le puede otorgar por parte de la institución financiera.

Para ello se aplicará la siguiente ecuación de valor:

$$M=5000\prescript{}{18}{\mathbf{A}}_{.03}+500\left(\frac{\prescript{}{18}{\mathbf{A}}_{.03}-18v_{0.03}^{18}}{0.03}\right)$$

$$\prescript{}{18}{\mathbf{A}}_{.03}=\left(\frac{1-v_{0.03}^{18}}{0.03}\right)=\left(\frac{1-\left(\frac{1}{1+0.03}\right)^{18}}{0.03}\right)=13.7535131.$$

Sustituyendo el valor que se acaba de obtener:

$$M=5,000(13.7535131)+500\left(\frac{13.7535131-10.5731029}{0.03}\right)$$

$$M=68,767.56550+500\left(\frac{3.1804102}{0.03}\right)$$

$$M=68,767.56550+53,006.83632=121,774.4018.$$

La cantidad que se le puede otorgar a la señora Juanita es de \$121,774.40

y la tabla de amortización queda como sigue:

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una empresa desea constituir una reserva para hacer frente a contingencias que pudiera tener, con la finalidad de no verse afectada por gastos inesperados. Por este motivo se propone ahorrar durante un año, para ver cuánto puede generar, ya que las aportaciones las hace de forma mensual y en base a sus ingresos, los cuales ascienden a \$2 mil pesos mensuales y planea incrementar en \$300 pesos cada mes, con una tasa de interés del 4% mensual.

Se necesita calcular el monto que se va a obtener durante la vigencia del tiempo que va a ahorrar, y elaborar la tabla de amortización, de éste problema.

El señor Ramón, desea conocer la forma en que va a pagar el crédito que le otorgo el banco a su empresa textil, para ampliación de sus instalaciones. La cantidad que le otorgó fue de \$250 mil pesos, con una tasa de interés del 25% semestral, si cada pago será realizado de forma semestral, por la cantidad de \$40,076.24 el cual irá incrementándose en \$10 mil pesos, durante 3 años.

Más adelante…

Se abordarán la construcción de tablas de amortización que combinan su construcción con otros tipos de anualidades, y que van a estar presentes en una misma tabla.

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