Sea $K\subseteq {\mathbb{R}}^n$, $K$ es compacto si y solo si $K$ es cerrado y acotado.

(*) Compacto $⟹$ cerrado y acotado. (proposición anterior).

Ahora probamos (**) Cerrado y acotado $⟹$ compacto.

Siguiendo el texto de Spivak, la demostración consistirá de los siguientes pasos:

(1) El intervalo cerrado $[a,b]\in \mathbb{R}$ es compacto.

(2) Si $x\in {\mathbb{R}}^n,B\subseteq {\mathbb{R}}^m,B$ compacto; entonces $\{x\}\times B$ es compacto.

(3) Más aún: Para toda cubierta abierta de $\{x\}\times B$ existe un abierto $U\subseteq {\mathbb{R}}^n$ tal que $x\in U$ y $U\times B$ es cubierto por un número finito de elementos de la cubierta dada.

(4) Si $A\subset {\mathbb{R}}^n$ y $B\subset {\mathbb{R}}^m$ son compactos entonces $A\times B\subset {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ es compacto.

(5) Si $A_1,A_2,\dots ,A_k$ son compactos, entonces $A_1\times A_2\times \dots ,A_k$ es compacto.

(6) Todo conjunto cerrado y acotado en ${\mathbb{R}}^n$ es compacto.

Demostración:

(1) $[a,b]\subset \mathbb{R}$ es compacto. (con la topología usual)

$[$ por demostrar: para toda cubierta abierta $\{U_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ de $[a,b]$ existe una subcubierta finita $]$

Sea $\mathcal{O}=\{U_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ una cubierta abierta de $[a,b].$

Sea $A=\{x\in [a,b]\mid [a,x]$ es cubierto por un número finito de elementos de $\mathcal{O}\}$

$[$ por demostrar: $A=[a,b]$ $]$

$[$ por demostrar: $b\in A$ $]$

Sea $\alpha =supA$

¿Cómo sabemos que existe $\alpha$?

$A$ es acotado.

$A\ne \mathrm{\varnothing }$ pues $a\in A$, $[a,a]\{a\}$, $a\in U_{\lambda }$ para alguna $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$

$[$ por demostrar: $\alpha =b$ y $A$ es cerrado $]$

Observación: $\alpha >a$

$a\in U_{\lambda }$ para algún $\lambda$, como $U_{\lambda }$ es abierto entonces existe $(a-ϵ,a+ϵ)\subseteq U_{\lambda }$

Tomamos $x=\frac{a+ϵ}{2}$

$[a,x]\subseteq (a-ϵ,a+ϵ)\subseteq U_{\lambda }$

$[a,x]$ se puede cubrir con un número finito de elementos de $\mathcal{O}.$

$x\in A$

$x>a$

$\alpha =supA\ge x>a$

$\therefore \alpha \in (a,b]$

Afirmación: Si $x\in (a,\alpha )$ entonces $x\in A.$

Razón: $\alpha$ es el supremo de $A.$

CASO 1: $\alpha \in A$, $[a,\alpha ]\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_n\Rightarrow [a,x]\subseteq [a,\alpha ]$

CASO 2: $\alpha \ne A\Rightarrow \mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\tilde{x}\in A$ tal que $\alpha –ϵ<\tilde{x}\le \alpha +ϵ$

En particular, para $ϵ=\frac{\alpha –x}{2}$ $$x<\tilde{x}\le \alpha$$

$$[a,x]\subseteq [a,\tilde{x}]\subseteq U_1\cup U_2\cup \dots ,U_m$$

$\therefore x\in A$

Afirmación: $\alpha \in A$

Supongamos que $\alpha \notin A$

Regresamos al CASO 2.

Sabemos que $\alpha \in [a,b]$

$$\alpha \in U_{\mu }\text{ para alguna }\mu \in \mathrm{\Lambda }$$

$$\tilde{x}<\alpha ,\tilde{x}\in A$$

Entonces $[a,\tilde{x}]\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_n⟹[\tilde{x},\alpha ]\subseteq U_{\mu }$ $$[a,\alpha ]\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_n\cup U_{\mu }$$ $$\therefore \alpha \in A$$

$[$ por demostrar: $\alpha =b$ $]$

Supongamos que $\alpha \ne b$, entonces

$\alpha \in U_{\mu }$ para alguna $U_{\mu }\in \mathcal{O}$ entonces, existe $x^{\prime }\in (\alpha ,b)$ con $x^{\prime }\in U_{\mu }$

entonces como $\alpha \in A$

$[a,\alpha ]\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_n$

$[\alpha ,x^{\prime }]\subseteq U_{\mu }$

$[\alpha ,x^{\prime }]\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_n\cup U_{\mu }$

por lo que $x^{\prime }>\alpha =supA$ y $x^{\prime }\in A$ (CONTRADICCIÓN)

entonces, $\alpha =b$ pero como $\alpha \in A$ entonces $b\in A$

$[a,b]=U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_n$

$\therefore [a,b]$ es compacto.

(2) Si $x\in {\mathbb{R}}^n,B\subseteq {\mathbb{R}}^m,B$ compacto;

entonces $\{x\}\times B$ es compacto.

$\{x\}\times B\subseteq {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$

Sea $\mathcal{O}=\{U_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ una cubierta abierta de $\{x\}\times B.$

$U_{\lambda }\subseteq {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ abierto.

Plan: construir una cubierta abierta de $B\subseteq {\mathbb{R}}^m$ para usar que $B$ es compacto.

Sea $y\in B$

$(x,y)\in \{x\}\times B$

$(x,y)\in U_{\lambda }$ para algún $U_{\lambda }\in \mathcal{O}$

Consideramos $U_{\lambda }\cap H_x$ donde $H_x\subseteq {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ y $(a,b)\in H_x⟺a=x$; $H_x$ es un hiperplano.

$U_{\lambda }\cap H_x=\{x\}\times V_{\lambda }$ para algún $V_{\lambda }\subseteq {\mathbb{R}}^m$

Entonces $U_{\lambda }$ es abierto en ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ entonces $U_{\lambda }$ es abierto en ${\mathbb{R}}^m$

$\{V_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ es una cubierta abierta de $B\subset {\mathbb{R}}^m$ pero $B$ es compacto, entonces existe un número finito tal que $$B\subseteq V_1\cup V_2\cup \cdots \cup V_s$$ $$\{x\}\times B\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_s$$

Entonces $\{x\}\times B$ es compacto.

(3) Más aún: Para cada cubierta abierta de $\{x\}\times B$ existe un abierto $U\subseteq {\mathbb{R}}^n$ tal que $U\times B$ se puede cubrir con un número finito de los elementos de la cubierta abierta.

$$\mathcal{O}=\{U_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$$

Hipótesis:

* Cada $U_{\lambda }\subset {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ es abierto.

* $\{x\}\times B\subseteq \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{U}_{\lambda }$

Sabemos que $\{x\}\times B$ es compacto, entonces existe $U_1,U_2,\dots ,U_s\in \mathcal{O}$ tales que $$\{x\}\times B\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_s$$

Para cada $y\in B$ el punto $(x,y)\in U_i$ para alguna $i.$

Entonces $(x,y)\in A_y\times B_y\subseteq U_i$ para cada caja abierta, $A_y\times B_y\subset {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ con $A_y\subset {\mathbb{R}}^n$ y $B_y\subset {\mathbb{R}}^m.$

$\{B_y{\}}_{y\in B}$ es una cubierta abierta de $B$ compacto entonces, existe una subcubierta finita.

Así, todo $(x,y)\in A_i\times B_i$ para algún $i=1,2,\dots ,n$

Sea $U=A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_r$ abierto.

$U\times B\subset U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_s$

Sea $(x,y)\in U\times B$ entonces $x\in A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_r$

$$⟹(x,y)\in A_i\times B_i\subseteq U_i$$ $$⟹(x,y)\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_s$$

(4) Si $A\subset {\mathbb{R}}^n$ y $B\subset {\mathbb{R}}^m$ son compactos entonces $A\times B\subset {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ es compacto.

$[$ por demostrar: $A\times B$ es compacto. $]$

Demos una cubierta abierta de $A\times B.$

Para cada $\overrightarrow{x}\in A$ existe una abierto $U_x\subset {\mathbb{R}}^n$ tal que $$U_x\times B$$ puede ser cubierto con un número finito de elementos de la cubierta de $A\times B$, esto es por el inciso (2).

Entonces $\{U_x{\}}_{x\in A}$ es una cubierta abierta de $A$, pero como A es compacto entonces, existe una subcubierta finita de $A.$

Es decir, existen $U_1,U_2,\dots ,U_k$, abiertos, subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$ tales que $A\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_k$

$$A\times B\subseteq (U_1\times B)\cup (U_2\times B)\cup \cdots \cup (U_k\times B)$$

Sea $\{W_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$

$U_1\subset W_{{\lambda }_{1,1}}\cup W_{{\lambda }_{1,2}}\cup \cdots \cup W_{{\lambda }_{1,n}}$

$U_2\subset W_{{\lambda }_{2,1}}\cup W_{{\lambda }_{2,2}}\cup \cdots \cup W_{{\lambda }_{2,n}}$

$⋮$

$U_k\subset W_{{\lambda }_{k,1}}\cup W_{{\lambda }_{k,2}}\cup \cdots \cup W_{{\lambda }_{k,n}}$

$A\times B\subseteq \bigcup W_{i,n_i}$ unión finita de abiertos.

$$W_{i,n_i}\in \{W_{\lambda }\}$$

$$\therefore A\times B\text{ es compacto}$$

(5) Sea $A_k=[a_k,b_k]$ compacto.

En particular $[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ es compacto.

(6) Sea $K$ un conjunto cerrado y acotado en ${\mathbb{R}}^n.$

Sea $\mathcal{O}$ una cubierta abierta $\{U_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ de $K.$

$[$ por demostrar: existe una subcubierta finita $\{U_1,U_2,\dots ,U_m\}$ tal que $K\subset U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_m$ $]$

Existe una caja $\mathcal{C}=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ rectangular que contiene a $K.$

Sea $\tilde{\mathcal{O}}=\mathcal{O}\cup \{{\mathbb{R}}^n\setminus K\}$

Como la caja es cerrada, ${\mathbb{R}}^n\setminus K$ es abierto, por lo que $\tilde{\mathcal{O}}$ es una cubierta abierta de la caja $\mathcal{C}$; pero $\mathcal{C}$ es compacta, entonces existe una subcubierta finita de $\tilde{\mathcal{O}}$

$U_1,U_2,\dots ,U_m$ y quizas ${\mathbb{R}}^n\setminus K$ que cubre a $\mathcal{C}$, entonces $\mathcal{C}\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_m\cup ({\mathbb{R}}^n\setminus K)$

• Si $({\mathbb{R}}^n\setminus K)$ no es necesaria, ya acabamos, pues $$K\subseteq \mathcal{C}\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_m$$ por lo que $\{U_1,U_2,\dots ,U_m\}$ sería subcubierta de $\mathcal{O}$ que cubre a $K.$
• Sin embargo, esta no es el caso.

También $K\subseteq U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_m.$

Sea $x\in K\subseteq \mathcal{C}$ entonces $x\in U_i$ para algún $i=1,2,\dots ,m$ o $x\in {\mathbb{R}}^n\setminus K$, este último no se da.

Entonces $x\in U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_m.$

Por todo lo anterior, se concluye que para $K\subseteq {\mathbb{R}}^n$, $K$ es compacto si y solo si $K$ es cerrado y acotado.