13 Material de prueba: Límite de una sucesión

Recordemos, en $R$ , sea ${x_{n}}_{n \in N}$ una sucesión de números reales, es decir una función $x : N ⟶ R .$

Notación: $x (1) = x_{1}$ $x (2) = x_{2}$ $x (3) = x_{3}$ $⋮$

Geométricamente, puntos en la recta $R$ .

Ejemplo: sucesión ${\frac{1}{n}}$ para $n \in N$ .

https://www.geogebra.org/m/gwet39b2

En $R^{2}$ ; una sucesión de puntos en $R^{2}$ es una función $\vec{x} : N ⟶ R^{2}$

Notación: $\vec{x} (1) = \vec{x_{1}} = (x_{1}, y_{1})$ $\vec{x} (2) = \vec{x_{2}} = (x_{2}, y_{2})$ $\vec{x} (3) = \vec{x_{3}} = (x_{3}, y_{3})$ $⋮$

Geométricamente, vectores en el plano.

https://www.geogebra.org/classic/jyzgsg63

Decimos que un número $L \in R$ es el límite de la sucesión ${x_{n}}_{n \in N}$ , si $\forall ϵ > 0, \exists N \in N$ tal que para toda $n > N$ se cumple que $| x_{n} - L | < ϵ$ .

Decimos que $\vec{L} \in R^{2}$ es el límite de la sucesión ${\vec{x_{n}}}_{n \in N}$ , si $\forall ϵ > 0, \exists N \in N$ tal que $\forall n > N$ se cumple que $‖ \vec{x_{n}} - \vec{L} ‖ < ϵ .$

Teorema: Si una sucesión tiene dos límites $\vec{L_{1}}$ y $\vec{L_{2}}$ entonces $\vec{L_{1}} = \vec{L_{2}} .$

Demostración:

Sea ${\vec{x_{n}}}_{n \in N}$ una sucesión en $R^{2}$ supongamos que tiene dos límites $\vec{L_{1}} \neq \vec{L_{2}} .$

Sea $ϵ_{0} = \frac{\vec{L_{1}} - \vec{L_{2}}}{2}$ .

Como $\vec{L_{1}}$ es límite entonces a partir de un momento $N_{1}$ todos los $\vec{x_{n}} \in B_{ϵ_{0}} (\vec{L_{1}}) .$

De igual modo, $\vec{L_{2}}$ es límite entonces a partir de un momento $N_{2}$ todos los $\vec{x_{n}} \in B_{ϵ_{0}} (\vec{L_{2}}) .$ (CONTRADICCIÓN) ya que todas las bolas son ajenas.

$∴ \vec{L_{1}} = \vec{L_{2}}_{}$

Teorema: Sea ${(\vec{x_{n}}, \vec{y_{n}})}_{n \in N}$ una sucesión de puntos en $R^{2}$ . Esta sucesión converge a un punto $(\vec{L}, \vec{M})$ si y sólo si los límites de las coordenadas convergen. Es decir, ${\vec{x_{n}}}_{n \in N} ⟶ \vec{L}$ ${\vec{y_{n}}}_{n \in N} ⟶ \vec{M}$

Demostración:

[ $\Rightarrow$ ] Si $(\vec{x_{n}}, \vec{y_{n}}) ⟶ (\vec{L}, \vec{M})$ entonces $\vec{x_{n}} ⟶ \vec{L}$ $\vec{y_{n}} ⟶ \vec{M}$

$[$ por demostrar: ${\vec{x_{n}}} ⟶ \vec{L}]$

Sea $ϵ > 0.$

$\exists N > 0$ tal que $n \geq N \Rightarrow | \vec{x_{n}} - \vec{L} | < ϵ$ .

Como ${(\vec{x_{n}}, \vec{y_{n}})} ⟶ (\vec{L}, \vec{M})$ para $ϵ > 0$ dada existe $n \geq Ñ \Rightarrow ‖ (\vec{x_{n}}, \vec{y_{n}}) - (\vec{L}, \vec{M}) ‖ < ϵ$ entonces $\sqrt{(\vec{x_{n}} - \vec{L})^{2} + (\vec{y_{n}} - \vec{M})^{2}} < ϵ$ $| \vec{x_{n}} - \vec{L} | \leq \sqrt{(\vec{x_{n}} - \vec{L})^{2} + (\vec{y_{n}} - \vec{M})^{2}} < ϵ$ $\Rightarrow | \vec{x_{n}} - \vec{L} | < ϵ$

Entonces $N =$ Ñ sirve.

Análogamente la sucesión de ${\vec{y_{n}}}_{n \in N} ⟶ \vec{M}$ .

[ $\Leftarrow$ ] Si las sucesiones ${\vec{x_{n}}} ⟹ \vec{L}$ y ${\vec{y_{n}}} ⟹ \vec{M}$ entonces la sucesión ${(\vec{x_{n}}, \vec{y_{n}})}_{n \in N} ⟶ (\vec{L}, \vec{M})$ .

Sea $ϵ > 0$

$[$ por demostrar: existe $N$ tal que si $n > N$ entonces $‖ (\vec{x_{n}}, \vec{y_{n}}) - (\vec{L}, \vec{M}) ‖ < ϵ]$

Dada la circunferencia $(x - L)^{2} + (y - M)^{2} = ϵ^{2}$ , queremos saber cuales son las coordenadas del cuadrado con lados paralelos a los ejes coordenados que está inscrito en la circunferencia.

Como ${\vec{x_{n}}} ⟶ \vec{L}$ para $δ = \frac{ϵ}{\sqrt{2}}$ existe $N_{1}$ tal que $n \geq N_{1} \to | \vec{x_{n}} - \vec{L} | < δ$ ….. $(1)$

Como ${\vec{y_{n}}} ⟹ \vec{M}$ para $δ = \frac{ϵ}{\sqrt{2}}$ existe $N_{2}$ tal que $n \geq N_{2} \to | \vec{y_{n}} - \vec{M} | < δ$ ….. $(2)$

Por $(1)$ y $(2)$ , para $n \geq m á x {N_{1}, N_{2}}$ tenemos que $| \vec{x_{n}} - \vec{L} | < δ \land | \vec{y_{n}} - \vec{M} | < δ ⟹ (\vec{x_{n}}, \vec{y_{n}}) está en el cuadrado con vértices (\vec{L} \pm δ, \vec{M} \pm δ)$

Entonces $(\vec{x_{n}}, \vec{y_{n}})$ está en el círculo. $_{}$

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