Definiciones: Sea $(X, d)$ un espacio métrico; en nuestro curso consideramos el espacio métrico$(\mathbb{R}^n, \| \; \|_2)$:

Decimos que un punto $x$ es un punto de adherencia de un conjunto $A$ si cualquier vecindad (bola abierta) suya contiene al menos un punto de $A$. $$\forall \; r > 0, B_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

El conjunto de puntos de acumulación de $A$ se denota por $A’$.

Decimos que $x$ es un punto de acumulación de un conjunto $A$ si para todo $r > 0$ la bola perforada con centro en $x$ y radio $r$ contiene elementos de $A$. $$\mathring{B}_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

El conjunto de los puntos de adherencia de $A$ se denota por $[A]$.

Observación 1: Todo punto de acumulación de $A$ es un punto de adherencia de $A$.

Sea $x$ punto de acumulación de $A$, entonces $\forall \; r > 0 $ se tiene que $$\mathring{B}_r (x) \cap A \neq \emptyset \Longrightarrow B_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

En consecuencia $A’ \subseteq [A] \; _\blacksquare$.

Observación 2: Si $a$ es un punto aislado de $A$, $a$ es punto de adherencia de $A$ que NO es punto de acumulación de $A$.

¿Cuál es la diferencia entre $\bar{A}$ y $[A]$?

• si $x \in \bar{A} \iff x \in A \lor x \in \partial A$ pero $\partial A \subseteq A$ y $A \subseteq [A]$ por lo que $\bar{A} \subseteq [A]$.
• si $x \in [A] = A \cup ([A] \setminus A)$ entonces $$x \in A \Longrightarrow x \in \bar{A}$$ o $$x \in [A] \setminus A \Longrightarrow x \in \partial A \Longrightarrow x \in \bar{A}$$ $$ \therefore \bar{A} = [A] \; _{\blacksquare}$$