Definiciones: Sea $(X,d)$ un espacio métrico; en nuestro curso consideramos el espacio métrico$({\mathbb{R}}^n,\Vert {\Vert }_2)$:

Decimos que un punto $x$ es un punto de adherencia de un conjunto $A$ si cualquier vecindad (bola abierta) suya contiene al menos un punto de $A$. $$\mathrm{\forall }r>0,B_r(x)\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$$

El conjunto de puntos de acumulación de $A$ se denota por $A^{\prime }$.

Decimos que $x$ es un punto de acumulación de un conjunto $A$ si para todo $r>0$ la bola perforada con centro en $x$ y radio $r$ contiene elementos de $A$. $${\mathring{B}}_r(x)\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$$

El conjunto de los puntos de adherencia de $A$ se denota por $[A]$.

Observación 1: Todo punto de acumulación de $A$ es un punto de adherencia de $A$.

Sea $x$ punto de acumulación de $A$, entonces $\mathrm{\forall }r>0$ se tiene que $${\mathring{B}}_r(x)\cap A\ne \mathrm{\varnothing }⟹B_r(x)\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$$

En consecuencia $A^{\prime }\subseteq [A]{}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$.

Observación 2: Si $a$ es un punto aislado de $A$, $a$ es punto de adherencia de $A$ que NO es punto de acumulación de $A$.

¿Cuál es la diferencia entre $\bar{A}$ y $[A]$?

• si $x\in \bar{A}⟺x\in A\vee x\in \partial A$ pero $\partial A\subseteq A$ y $A\subseteq [A]$ por lo que $\bar{A}\subseteq [A]$.
• si $x\in [A]=A\cup ([A]\setminus A)$ entonces $$x\in A⟹x\in \bar{A}$$ o $$x\in [A]\setminus A⟹x\in \partial A⟹x\in \bar{A}$$ $$\therefore \bar{A}=[A]{}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$$